Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Геометрическое приложение определённого интеграла

Выполнила студентка

Рябова Татьяна Сергеевна

Научный руководитель

Бугаенко Оксана Дмитриевна

Архангельск 2011



Оглавление

Введение

Глава I. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1.1 Задача о пройденном пути

1.2 Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию

1.3 Задача о работе переменной силы

1.4 Задачи о площади криволинейной трапеции

Глава II. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Глава III. Геометрический смысл определенного интеграла

3.1 Вычисление площади плоской фигуры

3.1.1 Плоская фигура и ее площадь

3.1.2 Площадь криволинейной трапеции

3.1.4 Площадь криволинейного сектора

3.1.5 Приближённые методы вычисления

3.2 Вычисление объема тела вращения

3.3 Вычисление площади поверхности вращения

3.4 Вычисление длины дуги

3.5 Некоторые кривые, которые встречаются при вычислении определенного интеграла

3.5.1 Некоторые кривые, вычисляемые с помощью определенного интеграла

3.5.2 Площадь плоской области

3.5.3 Вычисление длин кривых

3.5.4 Объёмы тел вращения

3.5.5 Площадь поверхности вращения

Глава IV. Применение геометрического приложения определенного интеграла при решении задач

4.1 Вычисление площади плоской фигуры

4.2 Вычисление объема тела вращения

4.3 Вычисление площади поверхности вращения

4.4 Вычисление длины дуги

Заключение

Список литературы



Введение

Интеграл (от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа - является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Мы же рассмотрим геометрическое приложение определенного интеграла.

Объект курсового исследования: определенный интеграл.

Предмет курсового исследования: геометрическое приложение определенного интеграла.

Цель курсовой работы: показать применение определенного интеграла в геометрии.

Глава I. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1.1 Задача о пройденном пути

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v=v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = ? до t = ?. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t₀ = ? < t₁< t₂ < … < t_i-1 < t_i < … t_n-1 < t_n = ?,

где t_i - t_i-1 = ?t_i. На произвольном участке [t_i-1, t_i] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(?_i), t_i-1 ? ?_i ? t_i. Тогда за время ?t_i пройденный путь приближенно равен s_i = v(?_i)?t_i. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим ? = ?t_i, тогда



1.2 Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию

Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t₀ до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t₀ = ? < t₁< t₂ < … < t_i-1 < t_i < … t_n-1 < t_n = ?,

где t_i - t_i-1 = ?t_i. На произвольном участке [t_i-1, t_i] будем считать химическую реакцию близкую к равномерному с постоянной скоростью v = v(?_i), t_i-1 ? ?_i ? t_i. Тогда за время ?t_i количество вступившего в реакцию вещества приближенно равно m_i = v(?_i)?t_i. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то все количество вступившего в реакцию вещества приближенно равно сумме:

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы количества вступившего в реакцию вещества перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим ? = ?t_i, тогда

В результате получим:

1.3 Задача о работе переменной силы

Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F_S.

Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x₀<x₁<…<x_n = b на n частичных отрезков и положим: ?x_i = x_i - x_i-1, i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через ? = max ?x_i. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(?_i)), что дает приближенное выражение для работы

,

где ?_i - одна из точек сегмента [x_i-1, x_i]. Отсюда:



1.4 Задачи о площади криволинейной трапеции

Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)?0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

Рисунок. 1

1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x₀=a<x₁<x₂<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b на n частей. Положим ?x_i = x_i - x_i-1, то есть ?x_i есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим ?, (?=max ?x_i).

2). На каждом отрезке [x_i-1, x_i] возьмем по произвольной точке c_i,

x_i-1<c_i< x_i и вычислим f(c_i). Построим прямоугольник с основанием [x_i-1, x_i] и высотой f(c_i). Его площадь равна S_i=f(c_i)*(x_i - x_i-1). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.

3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме

.



Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.

4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n>?). Таким образом,

Мы рассмотрели несколько видов задач, приводящие к понятию определенного интеграла, а теперь сформулируем определения данного понятия. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

Определение 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается .

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:



Данная формула является формулой Ньютона-Лейбница.

Определение 2:

Рисунок. 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что ? = max ?x_i>0 (n>?) и при любом выборе точек интегральная сумма ?_k=f(?_i) ?x_i стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.

lim_n>? ?_k = lim_?>0 f (?_i) ?x_i=A(2).

Где ?х_i = x_i - x_i-1 (i=1,2,…,n) ? = max ?x_i - начало разбиения произвольная точка из отрезка [x_i-1;x_i]
сумма всех произведений f(?_i)?x_i(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.



Глава II. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Естественный ход решения каждой из рассмотренных конкретных задач позволяет установить ту математическую операцию, с выполнением которой связано получение ответа во всех вопросах такого же характера.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x).

1) Заданный отрезок разделим на n промежутков (равных или неравных) точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b,

причем для всякого индекса i, принимающего целые значения от 1 до n, имеет место соотношение x_i-1<x_i. Выразим длину каждого из этих частичных промежутков:

x₁ - x₀ = ?x₁, x₂ - x₁ = ?x₂, ..., x_n - x_n-1 = ?x_n.

При этом обозначим длину наибольшего из них через ?.

2) В каждом из этих промежутков выберем произвольное число ?_i так, что x_i-1? ?_i ? x_i., и по каждому такому числу определим соответствующее значение функции f(?_i). Вычислим для каждого промежутка произведение f(?_i)?x_i.

3) Составим сумму таких произведений по всем n промежуткам заданного отрезка:

f(?₁)?x₁+ f(?₂)?x₂+ f(?₃)?x₃+...+ f(?_n)?x_n= .



Такая сумма называется интегральной суммой.

Построение интегральной суммы состоит в произвольном делении заданного отрезка [a, b] на частичные и произвольном выборе числа ?_i на каждом отрезке.

4) Выполняется дробление каждого из имеющихся отрезков на более мелкие так, что длина наибольшего из них безгранично уменьшается (?>0). При этом интегральная сумма становится переменной величиной, имеющей конечный предел, если заданная функция непрерывна, а отрезок [a, b] конечен.

Этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b].

Соответствующее математическое выражение таково

;

lim = ?>0

Знак ?, представляющий растянутую S (начальную букву латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное увеличение числа слагаемых интегральной суммы. Буквы a и b, указывающие границы отрезка, на котором выполняется суммирование, называются пределами интегрирования. Таким образом, определенным интегралом функции от f(x) в границах от a до b называется предел интегральной суммы вида



При условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю.

Выясним теперь возможность непосредственного использования операции, которая привела к понятию определенного интеграла, для решения соответствующих задач. Ограничимся при этом двумя примерами на вычисление площадей.

Пример. Вычислить площадь, заключенную между прямой y=x, осью Ox и прямой x=1.

Решение. Так как данная прямая пересекается с Ox в начале координат, то отрезок интегрирования здесь будет [0, 1].

1) Разбиением этого отрезка на n равных между собой частей получим точки деления с абсциссами:

2) В каждом из полученных n отрезков выберем правые концы, т.е.

Так как f(x) = x, то

и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде



где i - номер элементарного отрезка и принимает значения от 1 до n.

3) Интегральная сумма выразится в виде

(здесь применена формула n членов арифметической прогрессии).

4) Находим предел этой суммы при n > ?:

Таким образом, искомая площадь равна 1/2 кв.ед. Проведенное вычисление, явно невыгодное из-за своей громоздкости, знакомит с операцией, составляющей сущность определенного интеграла.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную параболой y=x², осью Ox и прямой x=1.

Решение.

1) Разбивая отрезок интегрирования [0, 1] на n равных частей, получим такие же абсциссы точек деления, как в примере 1.

2) В каждом из частичных отрезков выберем снова правые концы:



Так как f(x) = x², то

и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде

3) Интегральная сумма

Помещенная в скобках сумма квадратов первых n чисел натурального ряда может быть преобразована по формуле, доказываемой в элементарной алгебре:

Отсюда



4) Переход к пределу интегральной суммы при n > ? дает S = . Таким образом, искомая площадь равна .

Выполненное в этих двух примерах непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм

и

оказалось возможным только благодаря простой структуре операции суммирования, да и то оно потребовало проведения сложных подсчетов. Надо отметить, что такие приемы вычисления (здесь применен способ Архимеда) существовали до появления понятия интеграла.

Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления. Такой способ, оказывается, дает операция интегрирования ввиду наличия связи между определенным интегралом и интегралом неопределенным.

Глава III. Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

Рисунок. 3

Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Рисунок. 4



Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

и т.д.

(Первый из интегралов - площадь квадрата со стороной единичной длины; второй - площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий - площадь четверти круга единичного радиуса).

3.1 Вычисление площади плоской фигуры

Вычисление площадей плоских фигур. Если функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a;b], то площадь S криволинейной трапеции G ={(x,y)| a?x?b, 0?y?f(x)} выражается формулой . Если f непрерывна и неположительна на [a;b] и G ={(x,y)| a?x?b, f(x)?y?0}, то площадь S фигуры G можно вычислить по формуле

.

Если фигура G ограничена линиями y=f(x), y=g(x), x=a, x=b и функции f и g непрерывны на [a;b], то площадь S фигуры G вычисляется по формуле

.

С помощью определенного интеграла могут быть вычислены и площади плоских фигур, имеющих более сложную структуру, если их можно представить в виде объединения фигур, рассмотренных выше.

Если фигура G представляет собой криволинейный сектор заданный в полярных координатах r=r(), 0? и функция r() непрерывна на [, то площадь S фигуры G может быть вычислена по формуле [5].

.

3.1.1 Плоская фигура и ее площадь

Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной. Под прямоугольником будем понимать множество точек вида К = {(х,у): ? х? ? у ? } или множество, получаемое из К удалением части границы (или всей границы) множества К.

Площадью прямоугольника К назовем число (-)(-) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству К его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.

Замечание 1. Можно показать, что площадь клеточной фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. Нетрудно также убедиться в том, что площадь клеточной фигуры неотрицательна и обладает свойствами:

а) аддитивности, т. е. площадь объединения двух непересекающихся клеточных фигур равна сумме их площадей;

б) инвариантности, т. е. площади двух равных (конгруэнтных) клеточных фигур совпадают;

в) монотонности, т. е. если клеточные фигуры и таковы, что ?, то площадь фигуры не превосходит площади фигуры .

Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого ? > О найдутся клеточные фигуры q и Q такие, что

q?G?Q, (1)

О ? S(Q) - S(q) < ?, (2)

где S(Q), S(q) -- площади фигур Q и q соответственно.

Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число S(G) такое, что

S(q) ? S(G) ? S(Q) (3)

для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию (1).

Теорема 1. Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) существует и единственно, причем

S(G)= sup S(q)=inf S(Q). (4)

Так как для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию (1), выполняется неравенство

S(q) ? S(Q),

то по теореме об отделимости существуют supS(q) и inf S(Q) (супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру), причем



S(q) ? supS(q) ? inf S(Q) ? S(Q), (5)

S(q) ? sup S(q) ? S(Q). (6)

Таким образом, число S(G) = sup S(q) удовлетворяет условию (3).

Докажем единственность числа S(G). Предположим, что наряду с числом S(G) существует еще одно число S'(G), удовлетворяющее условию (3), т. е.

S(q) ? S'(G) ? S(Q). (7)

Тогда из (3) и (7) в силу свойств неравенств получаем, что

|S(G)-S'(G) | ? S(Q)-S(q) (8)

для любых клеточных фигур таких, что q ? G? Q. Так как G - квадрируемая фигура, то разность S(Q) - S(q) можно сделать сколь угодно малой в силу условия (2), выбрав соответствующие фигуры Q и q. Поэтому из (8) следует, что S'(G) = S(G) Таким образом, квадрируемая фигура G имеет площадь S(G), причем в силу (5) справедливо равенство (4).

Теорема 2. Для того чтобы плоская фигура G была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовали такие квадрируемые плоские фигуры q и Q что

q?G?Q, 0 ? S(Q) - S(q) < , (9)

где S(Q) и S(q) -- площади фигур Q и q соответственно.

Необходимость условий (9) очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять q1 = q, Q1 = Q, где q и Q - клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям (1), (2).

Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число > О, найдем в силу (9) такие квадрируемые плоские фигуры q и Q, что

q?G?Q, 0 ? S(Q) - S(q)< , (10)

Так как q и Q -- квадрируемые плоские фигуры, то существуют клеточные фигуры Q1 и q1 такие, что

q1?q, Q?Q1, 0? S(q) - S(q1) < , 0 ? S(Q1) - S(Q) < . (11)

Из (10) и (11) следует, что

q1 ? G?Q1, 0 ? S(Q1) - S(q1) < ?.

Это означает, что G -- квадрируемая фигура, причем

S(G) = sup S(q) = inf S(Q).

Замечание 2. Можно доказать, что площадь квадрируемой фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности (см. замечание 1).

3.1.2 Площадь криволинейной трапеции

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры G, задаваемой на плоскости Оху условиями

G = {(x,y): a ? x ? b, 0 ? y ? f(x)}, (12)



где f(x) -- функция, непрерывная на отрезке [а, b].

Утверждение 1. Криволинейная трапеция G - квадрируемая фигура, площадь которой S = S(G) выражается формулой

S = dx. (13)

Пусть T = {, i =} -- разбиение отрезка [а, b], и - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке

= [,], ? = -- , i = .

Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников [i = .), таких, что длина основания i-го прямоугольника равна ?, а высота равна .

Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная из фигур , где -- прямоугольник, длина основания которого ?, а высота , i = .

Очевидно, q ?G ? Q, площади фигур q и Q соответственно равны

S(q) = ?, S(Q) = ?,

Заметим, что

S(q) = , S(Q) = , (14)

где и -- соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции f при разбиении Т отрезка [а;b]. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то в силу критерия интегрируемости для любого ? > 0 найдется такое разбиение Т этого отрезка, что



О ? - < ?.

Иными словами (см. равенства (14)), существуют клеточные фигуры q и Q такие, что

q?G?Q, 0 ? S(Q) - S(q) < ?,

т. е. выполняются условия (1), (2). Это означает, что G -- квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство (4), которое в силу равенств (14) можно записать в виде

S(G) =sup = inf . (15)

Используя следствие из теоремы 2, получаем

sup = inf = dx. (16)

Из (15) и (16) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапеции G выражается формулой (13).

Замечание 3. Площадь S фигуры G была определена как предел интегральной суммы ?T(?) = ? при l{Т) 0 при условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки ? = {, i =} }, где ? . Для непрерывной на отрезке [а, b] функции = dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим теперь фигуру D (рис. 5), ограниченную отрезками прямых х=а и х=b и графиками непрерывных на отрезке [а,b]



Рисунок. 5

функций у = (x) и у = (x), где (x) ? (x) при х?[а,b]. Если (x) ? 0 для всех х?[а, b], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций и , где = {(х,у): а ? x ?b, 0 ? y ? (x)}, i = 1, 2. Поэтому площадь фигуры D выражается формулой

= dx. (17)

Формула (17) остается в силе и в случае, когда не выполняется условие f1(x) ? 0 для всех х?[а,b]. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси на = | | и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают[14].

интеграл геометрический площадь кривая

3.1.3 Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением ? =?(?), ?????, причем функция ?(?) непрерывна и отрицательна на отрезке [?,?]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой AB и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы ? и ?, будем называть криволинейным сектором (рис. 6). Площадь s криволинейного сектора



Рисунок. 6

Доказательство: Разобьем произвольно отрезок [] на n частей точками , выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку и построим круговые секторы с радиусами . В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади s криволинейного сектора:

,

где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла . Так как функция непрерывна на отрезке , то предел этой суммы при существует и равен интегралу . Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу: [15].



3.1.4 Приближённые методы вычисления

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F'=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Например следующие интегралы: ?e^-xdx; ?; ?dx/ln¦x¦; ?(e^x/x)dx; ?sinx²dx; ?ln¦x¦sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

a. Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀,x_1,x₂,…,x_n=b на n равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/n.

Рисунок. 7

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обозначим через y₀,y₁,y₂,…,y_n-1,y_n значение функции f(x) в точках x₀, x₁, x₂…,x_n, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)…y_n,=f(x_n).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. 7 выделена).

Составим суммы:

y₀?x+ y₁?x₁+ y₂?x₂…+y_n-1?x; Y₁?x+ y₂?x+…+y_n?x

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием ?х, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y_i: S_пр=a*b=y_i?x.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx??x(y₀+y₁+…+y_n-1);

f(x)dx??x(y₁+y₂+…+y_n).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx?((b-a)/n)(y₀+y₁+…+y_n-1); (18)

f(x)dx?((b-a)/n)(y₁+y₂+…+y_n); (19)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (18) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (19) - площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). Для вычисления погрешности этого метода используется формула:

P_np=,



где Результат полученный по формуле (18) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (19) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников:

(20)

b. Формула трапеций.

Возьмём определённый интеграл ?f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 8 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y_i-1 и y_i (i=1,2,…,n).

Рисунок. 8

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i-1 и y_i и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x₀=a<x₁<…<x_n=b. Прямые x=x_k разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Рисунок. 9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

S=

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

(21)



Формула (21) и есть формула трапеций

Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула:

где

c. Формула Симпсона (формула парабол).

Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

А) C использованием параболы.

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀,x₁], [x₁,x₂] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M₀[x₀,y₀], M₁[x₁,y₁], M₂[x₂,y₂] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид:

.

Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

Рисунок. 10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой , осью O_x и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: (22), где y₀ и y₂- крайние ординаты, а y₁- ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство:

Рисунок. 11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы определяются из следующих уравнений:

Если x₀=-h, то

Если x₁=0, то (23)

Если x₂=-h, то

Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

следовательно: ч.т.д. пользуясь формулой (22), можно написать приближённые равенства, учитывая, что



складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

или

(24)

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (23) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле:

где

Б) Без использования парабол

В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=a и x=b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой.



Рисунок. 12

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и g на 3 равные части и проведём через них прямые x=p и x=q. P и Q - точки пересечения прямых с касательной. Соединив AP и BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB - основания трапеций;

- высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3

Получаем:

(25)



Обозначим, что: aA=f(a)=y_a, bB=f(b)=y_b. Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y=f(x), так как P и Q лежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда . Значит . Формула (25) принимает вид:

(26).

Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Рисунок.13

Размещено на http://www.allbest.ru/

Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (26), то получится приемлемый результат.

Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.

Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками . Интеграл представим в виде суммы . К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования , и положить , то получим:

Раскроем скобки:

Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (24), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула:

Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.

3.2 Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Определение. Объем тела может быть вычислен по формуле , где S()-площадь попереного сечения тела T плоскостью x=. в частности, если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oх, то , а если вокруг оси Оу, то [5].

а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида М = {{x,y,z): ? х ? , ?у ? , ? z ? }, а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число ( -- )( -- )( -- ), а объемом клеточного тела -- сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14].

Рассмотрим подробнее. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a? x? b[13].

Рисунок 14.

1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + ?x, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), имеет объем

.

Рисунок.15



Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a=. На каждом частичном отрезке [] построим прямоугольник (рис. 15). При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ:

,

где .

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

.

С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла . Так как функция непрерывна на [a;b], то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу . Таким образом,

[15].

3.3 Вычисление площади поверхности вращения

Определение: площадь S поверхности фигуры, полученной вращением кривой y=f(x)(a?x?b, f-непрерывно дифференцируема) вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:



Если фигура получена вращением кривой

Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [a,b]. Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, имеет площадь P, которая может быть вычислена по формуле

Рисунок. 16

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a,b] на n-частей точками a=<…<Пусть , , …, - соответствующие точки графика функции f(x). Построим ломанную …, (рис. 16). При вращении этой ломаной вокруг оси Ox полученных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением i-го звена ломаной, равна , где - длина хорды , т.е.

.

По формуле Лагранжа

, .

.

Итак, площадь P поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломаной

.

Представим эту сумму в виде двух сумм

. (2)

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (1), и при в силу непрерывности функции имеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства (2) имеет при предел, равный нулю. Действительно, так как функция f(x) равномерно непрерывна на [a;b], то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства и . Если обозначить через M максимальное значение функции на отрезке [a;b], то выражение в фигурных скобках при оценивается следующим образом:

.

Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при >0[15]. Таким образом, переходя в равенстве (2) к пределу при >0, имеем

,

т.е. получена искомая формула (1).

Замечание. Если поверхность получается вращением вокруг оси Ox кривой AB, то заданной параметрическими уравнениями причем изменяется от a до b при изменении t от , то, производя в интеграле (1) замену переменной x=, получаем

. (3)



Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: , где имеет непрерывную производную на [], то этот случай сводится к параметрическому заданию кривой , и формула (3) принимает вид:

[15].

3.4 Вычисление длины дуги

Вычисление длин дуг кривых. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), t, и функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на []. Тогда кривая спрямляема, и ее длина s может быть вычислена по формуле

.

Если кривая плоская (z =0), то

.

Если кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции y=f(x), , то

.

Если кривая задана в полярных координатах r=r(, , то

[5].



Длина дуги линии - предел периметра ломаной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограниченно возрастает, а длина дуги каждого звена стремится к нулю. Для непрерывных линий упомянутый предел всегда существует, конечный или бесконечный. Если этот предел конечный, то линия (дуга ее) называется спрямляемой. В зависимости от способа аналитического задания линий длина дуги вычисляется по следующим формулам:

для плоских линий:

1) =(t), ;

2) ;

3) ;

4) ;

для пространственных линий:

5) =(t), ;[5]

Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая AB задана уравнением y=f(x), a?x?b, где f(x) - непрерывная функция на отрезке [a,b]. Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками в направлении от A к B. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую AB ломаную, длину которой обозначим через P (рис 17). Через обозначим длину одного звена ломаной, а через ? - длину наибольшего из ее звеньев: .



Рисунок. 17

Определение. Число L называется пределом длин ломаных P при , если для любого существует такое, что для всякой ломаной, у которой , выполняется неравенство

.

Если существует предел L длин P вписанных в кривую ломаных при ?0, то этот предел называется длиной дуги AB.

Если функция f(x) непрерывна вместе с на отрезке [a,b], то длина L дуги AB выражается формулой

. (1)

Доказательство. Обозначим через координаты точки , так что для абсцисс этих точек получим: . Тогда длина одного звена ломаной равна

.



По формуле Лагранжа

.

.

.

Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (1). Функция непрерывна на [a,b], поэтому предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (1). Так как , то ??0 при 0. Следовательно,

.

Замечание 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями , где - значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т.е. a=, b= в формуле надо сделать замену переменной, положив . Тогда получим

. (2)

Замечание 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана полярных координатах уравнением , где имеет непрерывную производную на отрезке [], и точками A и B соответствуют значениям , равные , нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой AB уравнениями (- параметр). Так как

,

. [5]

Полярные координаты. Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке [].

Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически

Тогда

= =

=



Рисунок. 18

Применяя формулу

L = , получаем

L =

3.5 Некоторые кривые, которые встречаются при вычислении определенного интеграла

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

3.5.1 Некоторые кривые, вычисляемые с помощью определенного интеграла

Окружности, проходящие через начало системы координат (рис.19). Уравнение окружности с центром C(a,b) радиуса R: (x - a) ² + (y - b) ² = R².



Рисунок. 19

Если окружность проходит через начало координат, то a ²+b ² = R², и уравнение принимает вид x ²+y ² = 2ax+2by. В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке 10 приведены три такие окружности (a = 0, b = ), (a = 1, b = 0), ( a = -1, b = -).

Спирали: спираль Архимеда (рис.20) . На рисунке изображены спирали .

Рисунок. 20

Логарифмическая спираль (рис.21) . На рисунке изображены спирали и .



Рисунок. 21

Гиперболическая спираль (рис.22) . На рисунке изображены спирали и .

Рисунок. 22

Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .

Кардиоида (рис.23) . Три таких кривых изображены на рисунке.



Рисунок. 23

Декартово уравнение кардиоиды: Параметрические уравнения кардиоиды:

Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .

Лемниската Бернулли (рис.24) . Подкоренное выражение неотрицательно при .

Рисунок. 24

Декартово уравнение лемнискаты (x ² + y ² )² = 2a ² (x ² - y ² ).

Лемниската - геометрическое место точек M(x, y) таких, что , где F₁(-a, 0) и F₂(a, 0) - фокусы лемнискаты. На рисунке изображена лемниската с .

Четырёхлепестковая роза (рис.25) . Декартово уравнение (x ² + y ²)³ = 4a ² x ² y ² . Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра OM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины 2a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат.

Рисунок. 25

Развёртка (эвольвента) окружности (рис.26)

.

Каждая точка M(x, y) этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности x² + y² = a² , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент t = 0 конец нити находится в точке A(a,0).

Рисунок. 26



Циклоида (рис.27) Эта кривая - траектория точки M (x, y) окружности радиуса a, которая без скольжения катится по оси Ox. В начальный момент t = 0 точка находится в O(0,0).

Рисунок. 27

Астроида (рис.28) .

Декартово уравнение . Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра PM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка P - вершина прямоугольника, построенного на отрезке AB как диагонали. На рисунке приведена астроида с a = 2.

Рисунок. 28



3.5.2 Площадь плоской области

Декартовы координаты. В главе 3 мы рассмотрели геометрический смысл определённого интеграла: если f(x)>0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b , сверху - функцией y = f(x). Следствие: если фигура ограничена сверху кривой y = f(x) , снизу - кривой y = g(x) , слева и справа - отрезками прямых x = a и x = b, то её площадь равна

.

Рисунок. 29

Пример. Найти площадь области D, ограниченной кривыми y=x²+ x + 11, y = 2x - 9, при условии, что (дальше мы будем писать так:

. (рис. 29)



При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект.

Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых; уравнение x² + x + 11 = 2 x - 9 имеет два корня: x = -1 и x = 2.

Подходящий корень - x = -1. Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой x = 1, крайняя левая точка -x=-1, поэтому

Ответ:

Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части.

Рисунок. 30

Область задана в полярных координатах. Если область D - сектор, ограниченный лучами и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток лучами на n частей; . На каждом из отрезков [] выберем произвольную точку , найдём ), тогда равно площади сектора круга, ограниченного лучами , и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область D, её площадь

.

При

разница между S_ступ и S - площадью области D - будет тоже стремиться к нулю, т.е.

.

Примеры. 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Рисунок. 31



Решение: точки лемнискаты расположены в секторах и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе и учетверим её:

.

Ответ:

2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности .

Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности , поэтому

Ответ:

4. Найти площадь, лежащую внутри окружности вне лемнискаты .



Рисунок. 32

Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия

,

.

Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. При изменении от до полярный радиус меняется от до ; при изменении от до полярный радиус меняется от 0 до ; поэтому



Ответ:

Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию ABCD задана в параметрическом виде

;

то переход в интеграле к переменной t приводит к формуле

.

Пример. Найти площадь, ограниченную астроидой

(0?t?2?).

Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка (0, a) получается при , точка (a, 0) - при t = 0, поэтому



Ответ:

3.5.3 Вычисление длин кривых

Определение спрямляемой кривой и длины кривой.

Рисунок. 33

Пусть на плоскости задана кривая AB. Разобьём эту кривую точками A = M₀, M₁, M₂, …, M_i-1, M_i, …, M_n = B на n частей и впишем в кривую ломаную M₀ M₁ M₂ …M_i-1 M_i … M_n, соединяющую эти точки. Длина L _лом этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

.

Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L _лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB.

Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную , . Тогда точка M _i имеет координаты (x_i, f(x_i)), звено M_i-1M _i имеет длину