Деякі геометричні перетворення

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

Деякі геометричні перетворення

ЗМІСТ

Вступ

Розділ I. Теоретичні відомості. Геометричні перетворення.

1.1 Перетворення фігур

1.2 Рух

1.3 Властивості руху

1.4 Симетрія відносно точки

1.5 Симетрія відносно прямої

1.6 Паралельний переніс та його властивості

1.7 Поворот (Метод обертання)

1.8 Рівність фігур

1.9 Перетворення подібності

1.10 Гомотетія

1.11 Властивості перетворення подібності

1.12 Подібність фігур

Розділ II. Практичне використання геометричних перетворень у рішенні задач на побудову.

2.1 Рішення задач за допомогою методів геометричних перетворень

Висновок

Використана література

Вступ

В геометрії розглядають деякі функції, які мають різні значення, вони кожній точці ставлять у відповідність точку. Ці функції називаються геометричними перетвореннями.

Геометричні перетворення мають велике значення в геометрії. За їх допомогою визначають такі важливі геометричні поняття, як рівність та подібність фігур. В курсовій роботі річ піде о таких перетвореннях, як рух та подібність, будуть розглянуті їх властивості та вирішені деякі задачі.

Мета: розглянути основні геометричні перетворення, вивчити їх сутність і властивості. Розібрати методи геометричних перетворень та за допомогою їх навчитись вирішувати задачі на побудову.

Актуальність цієї теми полягає у вирішенні задач на побудову, для цього потрібно знати основні методи геометричних перетворень. Це дуже важливо для учнів середньої школи, вирішення задач на побудову сприяє розвитку математичного та логічного мислення учнів, присвоєнню вмінь та навичок аналізувати та застосовувати знання в інших математичних прикладах та задачах.

Завдання:

· Розглянути деякі геометричні перетворення

· Їх властивості

· Дослідити методи геометричних перетворень

· Вирішити декілька задач на побудову.

Розділ I. Теоретичні відомості. Геометричні перетворення.

1.1 Перетворення фігур

Нехай F- дана фігура на плоскості, якщо кожну точку фігури F змістити яким-небудь чином, точці X поставити у відповідність точку X', то ми отримаємо нову фігуру F'. Говорять, що ця фігура утворилася перетворенням даної .При цьому точка X' називають образом точки X, а точку X називають прообразом точки X'

Перетворення можуть бути тотожні (кожна фігура перетворюється в себе), та взаємо-однозначні. Серед взаємо-однозначних перетворень важливу роль грає рух.

1.2 Рух

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X і У першої фігури у точки Х' і У' другої фігури так, що ХУ=Х'У' (мал.

Зауваження. Поняття руху в геометрії пов'язане із звичайним уявленням про переміщення. Але якщо, говорячи про переміщення, ми уявляємо неперервний процес, то в геометрії для нас матиме значення тільки початкове і кінцеве положення фігури. Нехай фігура Р переводиться рухом у фігуру Р', а фігура Р' переводиться рухом у фігуру Р" (мал. ). Нехай під час першого руху точка X фігури Р переходить у точку X' фігури Р' а під час другого руху точка X' фігури Р' переходить у точку X" фігури Р". Тоді перетворення фігури Р у фігуру Р", при якому довільна точка X фігури Р переходить у точку X" фігури Р", зберігає відстань між точками, а тому є також рухом.

Цю властивість руху виражають словами: два рухи, виконані послідовно, дають знову рух.

Нехай перетворення фігури Р у фігуру Р' переводить різні точки фігури Р у різні точки фігури Р'. Нехай довільна точка X фігури Р при цьому перетворенні переходить у точку X' фігури Р'. Перетворення фігури Р' у фігуру Р, при якому точка X' переходить у точку X, називається перетворенням, оберненим до даного. Рух зберігає відстані між точками, тому переводить різні точки в різні.

Очевидно, перетворення, обернене до руху, теж є рух

1.3 Властивості руху

Теорема:

Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Це означає, що коли точки А, В, С, які лежать на прямій, переходять у точки А₁ В₁ C₁, то ці точки також лежать на прямій; якщо точка В лежить між точками А і С, то точка В лежить між точками А₁ і C₁

Доведення. Нехай точка В прямої АС лежить між точками А і С. Доведемо, що точки А₁ В₁ C₁ лежать на одній прямій.

Якщо точки А₁В₁C₁ не лежать на прямій, то вони є вершинами трикутника. Тому А₁ C₁ < А₁ В₁< В₁ C_1. За означенням руху звідси випливає, що АС < АВ + ВС. Проте за властивістю вимірювання відрізків АС= АВ+ВС.

Ми прийшли до суперечності. Отже, точка В₁ лежить на прямій А₁С₁. Перше твердження теореми доведено.

Покажемо тепер, що точка В₁ лежить між точками А₁ і C₁.

Припустимо, що точка А₁ лежить між точками В₁ і С₁. Тоді А₁В₁ + А₁С₁ = В₁С₁, і тому АВ+ АС = ВС. Але це суперечить рівності АВ + ВС = АС. Таким чином, точка А₁ не може лежати між точками В₁ і С₁.

Аналогічно доводимо, що точка С₁ не може лежати між точками А₁ і В₁.

Оскільки з трьох точок одна А₁ В₁ C₁ лежить між двома іншими, то цією точкою може бути тільки В₁. Теорему доведено.

З теореми випливає, що під час руху прямі переходять у прямі, пів прямі -- у пів прямі, відрізки -- у відрізки.

Доведемо, що під час руху зберігаються кути між пів прямими.

Нехай АВ і АС -- дві пів прямі, що виходять з точки А і не лежать на одній прямій (мал. ). Під час руху ці пів прямі перейдуть у деякі пів прямі А₁В₁ і А₁ С₁. Оскільки рух зберігає відстані, то трикутники АВС і А₁В₁С₁ рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів ВАС і В₁А₁С_1, що й треба було довести.

1.4 Симетрія відносно точки

Нехай О -- фіксована точка і X -- довільна точка площини . Відкладемо на продовженні відрізка ОХ за точку О відрізок ОХ', що дорівнює ОХ. Точка X' називається симетричною точці X відносно точки О. Точка, симетрична точці О, є сама точка О. Очевидно, точка симетрична точці X', є точка X.

Перетворення фігури Р у фігуру Р', при якому кожна її точка X переходить у точку X', симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О. При цьому фігури Р і Р' називаються симетричними відносно точки О (мал. ).

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру Р у себе, то вона називається центральносиметричною, а точка О називається центром симетрії.

Наприклад, паралелограм є центральносиметричною фігурою. Центром симетрії його є точка перетину діагоналей (мал. ).

Теорема:

Перетворення симетрії відносно точки є рухом.

Доведення. Нехай X і У -- дві довільні точки фігури Р .Перетворення симетрії відносно точки О переводить їх у точки X' і У'. Розглянемо трикутники ХОУ і Х'ОУ. Ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОХ = ОХ', ОУ = ОУ' за означенням симетрії відносно точки О. З рівності трикутників випливає рівність сторін ХУ = Х'У'. А це означає, що симетрія відносно точки О є рух. Теорему доведено.

1.5 Симетрія відносно прямої

Нехай l -- фіксована пряма .Візьмемо довільну точку X і опустимо перпендикуляр АХ на пряму l. На продовженні перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок АХ', що дорівнює відрізку АХ. Точка X' називається симетричною точці X відносно прямої l. Якщо точка X лежить на прямій l, то симетрична їй точка є сама точка X. Очевидно, що точка, симетрична точці X', є точка X.

Перетворення фігури Р у фігуру Р' при якому кожна її точка X переходить у точку X', симетричну відносно даної прямої l, називається перетворенням симетрії відносно прямої l (осьова симетрія). При цьому фігури Р і Р' називаються симетричними відносно прямої l (мал. ).

Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру Р у себе, то ця фігура називається симетричною відносно прямої l, а пряма l називається віссю симетрії фігури. геометричний перетворення теорема

Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно його сторонам, є осями симетрії прямокутника Прямі, на яких лежать діагоналі ромба, є його осями симетрії

Теорема:

Перетворення симетрії відносно прямої є рух.

Доведення. Приймемо дану пряму за вісь у декартової системи координат Нехай довільна точка А (х; у) фігури Р переходить у точку А'(х'; у') фігури Р'. З означення симетрії відносно прямої випливає, що точки А і А' мають рівні ординати, а абсциси відрізняються тільки знаком: х' = --х.

Візьмемо дві довільні точки А(х_1, у₁) і В(х₂, y₂). Вони перейдуть у точки А'(--х₁, y₁) і В'(--х₂; у₂).

Маємо:

АВ²=(х₂-х₁)² + (у₂-y₁)²

А'В'²=(- х₂+х_])² + (у₂-у₁)²

Звідси бачимо, що АВ = А'В'. Це означає, що перетворення симетрії відносно прямої є рух. Теорему доведено.

1.6 Паралельний переніс та його властивості

Паралельним перенесенням, або перенесенням на вектор a, називають таке перетворення площин при якому будь-яка точка A відображається на точку A', так що AA' =a.

Точка A' називається образом точки A при паралельному перенесенні.

Введемо на площині декартові координати х, у. Перетворення фігури P, при якому довільна її точка (х; у) переходить у точку (х+а; у +b), де а і b одні й ті самі для всіх точок (х; у), називається паралельним перенесенням .Паралельне перенесення задається формулами:

х' = х + а, y' = у + b.

Ці формули виражають координати х', у' точки, у яку переходить точка (х; у) при паралельному перенесенні.

Властивості паралельного перенесення

1.Паралельне перенесення є рух.

Справді, дві довільні точки А(x; y), В(x; y) переходять при паралельному перенесенні у точки А'(х + а, y + b), В'(х₂ + а, y + b).

Тому

AB² = (x₂- x₁)² + (y₂ -y₁)²

А'В'²= (x- х₁)² + (у₂-у₁)²

Звідси АВ = А'В'. Таким чином, паралельне перенесення зберігає відстані, тобто є рухом, що й треба було довести.

2.Назва «паралельне перенесення» зумовлена тим, що при паралельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, які збігаються) на одну й ту саму відстань.

Справді, нехай точки А(х₁;у₁) і В(х₂; у₂) переходять у точки А'(х₁ +а; у₁+b)і В'(х₂+ а; у₂+b) . Середина відрізка АВ' має координати

,

Ті самі координати має і середина відрізка А'В. Звідси випливає, що діагоналі чотирикутника АА'В'В перетинаються і точкою перетину діляться пополам. Отже, цей чотирикутник -- паралелограм. А в паралелограма протилежні сторони АА' і ВВ' паралельні і рівні.

3.Зазначимо, що в паралелограма АА'В'В паралельні і дві інші протилежні сторони АВ і А'В'. Звідси випливає, що при паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе).

Зауваження. У попередньому доведенні припускалось, що точка В не лежить на прямій АА'. У випадку, коли точка В лежить на прямій АА', точка В' теж лежить на цій прямій, бо середина відрізка АВ' збігається із серединою відрізка ВА'. Отже всі точки А, В, А', В' лежать на одній прямій.

Далі

АА'==,

BB'= =.

Таким чином, у цьому випадку А і В змінюються вздовж прямої АВ на одну й ту ж саму відстань , а пряма АВ переходить у саму себе.

Існування і єдність паралельного перенесення

Теорема:

Які б не були дві точки А і А', існує одне і до того єдине паралельне перенесення, при якому точка А переходить у точку А'.

До ведення. Спочатку доведемо існування паралельного перенесення, яке переводить точку А у А'. Введемо декартові координати на площині. Нехай … -- координати точки А і а' і а' -- координати точки А'. Паралельне перенесення, задане формулами

х' = х + а'₁-- а₁; у' = у + а'₂ -- a₂,

переводить точку А у точку А'. Справді, якщо х = а₁ і у = а₂, дістанемо

х' = =а'₁, у' = а'₂.

Доведемо єдність паралельного перенесення, яке переводить точку А у точку А'. Нехай X -- довільна точка фігури і Х' -- точка, в яку вона переходить при паралельному перенесенні (мал. ). Як відомо, відрізки ХА' і АХ' мають спільну середину О. Завдання точки X однозначно визначає точку О -- середину відрізка А'Х. А точки А і О однозначно визначають точку Х'_г оскільки точка О є серединою відрізка АХ'. Однозначність у визначенні точки X' і означав єдність паралельного перенесення. Теорему доведено повністю.

1.7 Поворот (Метод обертання)

Нехай у площині дана точка О и орієнтований кут а. Кожній точці М даної площини будемо ставити у відповідність таку точку М', щоб 0М=0М'.

та М0М'= а. Такого роду відповідність називається обертанням площини біля точки О на кут а. Крапка О називається центром обертання, кут а -- кутом повороту.

Обертання є рухом. Справді, якщо ОB - центр обертання, а - кут повороту, АА' і ВВ'. Дві пари відповідних точок, то по визначенню, ОА = ОА', ОВ = ОВ'. Крім того (мал. ), А'ОВ'= АОВ і, відрізок А'В' = АВ.

Таким чином, обертання переводить усяку фігуру в рівну їй фігуру.

Щоб побудувати образ деякої прямої, досить обрати на ній які-небудь

дві точки, побудувати їх образи й з'єднати їх прямою.

Можна також опустити із центра обертання перпендикуляр ОР на дану пряму р, здійснити його поворот на даний кут і провести потім через точку Р' (у яку перейде точка Р) пряму р' перпендикулярну до ОР' (мал. ).

Щоб побудувати образ окружності, треба побудувати образ її центра й, прийнявши його за центр, провести окружність тим же радіусом. .

Побудова образа даного багатокутника зводиться до повороту його вершин.

Крім „прямого" завдання обертання за допомогою центра обертання й кута повороту, слід зазначити непрямий спосіб його завдання двома парами відповідних точок. Має місце наступна теорема.

Теорема.

Якщо задані два рівних непаралельних відрізки АВ і А'В', то існує єдине обертання, що переводить відрізок АВ у відрізок А'В', причому А переходить в А', В переходить у В'.

Центр обертання повинен бути однаково вилучений від точок А и А' і в той же час однаково вилучений від крапок В и В'. Тому він повинен перебувати в перетинанні симетралей відрізків АА' і ВВ'. Якщо прямі АА' і ВВ' не паралельні, то існує єдина така точка О (мал. ).

Неважко переконатися, що АОА' = ВОВ'. У самому справі, ОАВ = ОА'В' по трьох сторонах. Звідси слідує, щоАОВ = А'ОВ', а тому що АОА' =АОВ'- 'А'ОВ і ' ВОВ' - А'ОВ' - А'ОВ, тоАОА' = ВОВ'.

Після цього ясно, що при повороті біля точки О на АОА' відрізок АВ займе положення А'В'.

Якщо виявиться, що АА' \\ ВВ' (мал. ), то центр обертання треба шукати на прямій, що з'єднує середини М и N підстав рівнобедреної трапеції ABB'А' тому що обидві симетралі збігаються в цьому випадку з такої прямої. Але тому що повинне виконуватися умова АО А' = ВОВ' або, що те ж, АОА' = ВОВ', тобто АОМ = ВОМ, та точки М, N і О повинні розташовуватися на одній прямій. Таким чином, центром обертання може бути тільки точка О перетинання прямих АВ і МN або, що те ж, прямих АВ і А'В'. При цьому АO= А'О й ВO = В'О, тобто точка перетину прямих АВ і А'В' дійсно служить центром обертання, що переводить відрізок АВ у відрізок А'В'. Теорема доведена.

Наведена теорема залишається в силі й у тому випадку, якщо рівні відрізки АВ і А'В' паралельні й протилежно спрямовані. У цьому випадку (мал. ) центром обертання служить точка перетину прямих АА' і ВВ', а кут повороту дорівнює 180°.

Якщо ж відрізки АВ і А'В' рівні, паралельні й однаково спрямовані, то обертання, що переводить одночасно A у A' і В у В', не існує, але існує паралельний перенос, що здійснює таке перетворення.

Таким чином, будь-який рух відрізка в площині можна здійснити за допомогою обертання або за допомогою переносу.

Не входячи в подробиці, помітимо ще, що для інших фігур остання пропозиція, загалом кажучи, несправедливо.

Обертанням користуються як методом рішення геометричних задач на побудову. Ідея методу обертання полягає в тому, щоб повернути яку-небудь дану або шукану фігуру біля доцільно вибраного центра на відповідний кут так, щоб полегшити аналіз задачі або навіть безпосередньо прийти до рішення. Пояснимо цей прийом декількома прикладами .

1.8 Рівність фігур

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться рухом одна в одну.

Для позначення рівності фігур користуються звичайним знаком рівності. Запис Р = Р' означає, що фігура Р дорівнює фігурі Р'. У записі рівності трикутників: АВС= А'В'С' передбачається, що вершини, які суміщаються під час руху, стоять на відповідних місцях. За такої умови рівність трикутників, що визначається через суміщення їх рухом, і рівність, як ми її розуміли досі, виражають одне і те саме.

Це означає, що коли у двох трикутниках відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні, то ці трикутники суміщаються рухом. І навпаки, якщо два трикутники суміщаються рухом, то у них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. Доведемо обидва ці твердження.

Нехай трикутник АВС суміщається рухом з трикутником

А' B' С' причому вершина А переходить у вершину А', В переходить у В', С -- у С'. Оскільки під час руху зберігаються відстані і кути, то для наших трикутників АВ = А' В' ВС = В' C' , АС = А' С', кут A= куту A', кут B= куту B', кут C= C'.

Нехай тепер у трикутників АВС і А' В' C' маємо АВ=A'B', BC=B'C', AC=A'C', кут A= куту A' , кут B= куту B', кут C= C' . Доведемо, що вони суміщаються рухом, причому вершина А переходить у вершину А', В -- у В' і С -- у С'. Застосуємо до трикутника АВС перетворення симетрії відносно прямої а, яка перпендикулярна до відрізка АА' і проходить через його середину .Дістанемо трикутник А'B₂ С₂. Якщо точки В' і В₂ різні, то застосуємо до нього симетрію відносно прямої b, яка проходить через точку А' і перпендикулярна до прямої В'В₂. Дістанемо трикутник А' В' Сз.

Якщо точки С' і С₃ лежать з одного боку від прямої А' B', то вони збігаються. Справді, оскільки кути В' А' С' і В' А' С' рівні, то промені А' С' і А' С₃ збігаються, а через те, що відрізки А' С' і А' Сз рівні, то збігаються точки С' і Сз. Таким чином, трикутник АВС рухом переведено у трикутник А' В' С'.

Якщо точки С' і Сз лежать з різних боків від прямої А' В', то для доведення треба ще застосувати симетрію відносно прямої А' В'.

1.9 Перетворення подібності

Перетворення фігури F у фігуру F' називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів. Це означає, що коли довільні точки X і У фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X', У' фігури F', то Х'У' = kXY, причому число k -- одне і те саме для всіх точок X і У. Число k називається коефіцієнтом подібності. Якщо k = 1, перетворення подібності, очевидно, є рухом.

Нехай F -- дана фігура і О -- фіксована точка (мал. ). Через довільну точку X фігури F проведемо промінь ОХ і від кладемо на ньому відрізок ОХ', що дорівнює kОX, де k -- додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку X', побудовану таким способом, називається гомотетією відносно центра О. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F' називаються гомотетичними.

Перетворення подібності широко використовується на практиці при виконанні креслень деталей машин, споруд, планів місцевості тощо. Такі зображення -- подібні перетворення уявних зображень в натуральну величину. Коефіцієнт подібності при цьому називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, то це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.

1.10 Гомотетія

Гомотетія (від гомо... і греч. the tos - розташований) перетворення, у якому кожній точці М (площини або простори) ставиться у відповідність точка M', що лежить на OM, О - фіксована точка, називається центром гомотетії., при чому відношення OM' : OM = k те саме для всіх точок М, відмінних від точки О (при цьому відношення OM' : OM вважається позитивним, якщо точки M' і М лежать по одну сторону від точки О, і негативним у противному випадку). Число k називається коефіцієнтом гомотетії. При k < 0 гомотетія називається зворотної; при k = -1 гомотетія перетворюється в перетворення симетрії щодо крапки О. При гомотетии пряма переходить у пряму, зберігається паралельність прямих і площин, зберігаються кути (лінійна й двогранні); кожна фігура переходить у фігуру, їй подібну , вірно й зворотне твердження. Гомотетія. може бути визначена як афінне перетворення, при якому прямі, що з'єднують відповідні точки, проходять через одну точку (центр гомотетії. ). Гомотетія застосовується для збільшення зображень (проекційний ліхтар, кіно).

Теорема:

Гомотетія є перетворенням подібності.

Доведення. Нехай О -- центр гомотетії, k-- коефіцієнт гомотетії, X і Y -- дві довільні точки фігури .У результаті гомотетії точки X і Y переходять у точки X' і Y' відповідно на променях ОХ і ОY, причому ОХ' = k ОХ, ОY = k ОY. Звідси маємо векторні рівності:

ОХ' = kOХ, ОY' = kОY. Віднявши ці рівності почленно, дістанемо:

ОY' -- ОХ' = k (ОY -- ОХ).

Оскільки ОY -- ОХ' = Х'Y', ОY -- ОХ = XУ, то Х'Y' = kXY. Отже, Х'Y' = kXY, тобто Х'У = kХУ. Таким чином, гомотетія є перетворенням подібності. Теорему доведено.

1.11 Властивості перетворення подібності

Так само як і для руху, доводимо, що при перетворенні подібності три точки А, В, С, які лежать на одній прямій, переходять у три точки А₁, В₁, С₁, які теж лежать на одній прямій. Причому, якщо точка В лежить між точками А і С, то В₁ лежить між точками А₁ і С₁. Звідси випливає, що перетворення подібності переводить прямі у прямі, пів прямі -- у пів прямі, відрізки -- у відрізки.

Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між пів-прямими.

Справді, нехай кут АВС перетворенням подібності з коефіцієнтом к переводиться в кут А₁В₁С₁ .Застосуємо до кута АВС перетворення гомотетії відносно його вершини В з коефіцієнтом гомотетії к. При цьому точки А і С перейдуть у точки А₂ і С₂. Трикутник А₂ВС₂ дорівнює трикутнику А₁В₁С₁ за третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А₂ВС₂ і А₁В₁С₁. Отже, кут АВС дорівнює куту А₁В₁С₁, що й треба було довести.

1.12 Подібність фігур

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Подібність фігур позначають спеціальним знаком: ~. Запис F~F' читається: «фігура F подібна фігурі F'».

Доведемо, що коли фігура F₁ подібна фігурі F₂, а фігура F₂ подібна фігурі F₃, то фігури F₁ і F₃ подібні.

Нехай X₁ і Y₁ -- дві довільні точки фігури F₁. Перетворення подібностей, яке переводить фігуру F₁ в F₂ переводить ці точки у точки Х₂, Y₂, для яких X₂Y₂ = k₁X₁Y₁.

Перетворення подібності, яке переводить фігуру F₂ в F₃, переводить точки Х₂, Y₂ у точки Х₃, Y₃, для яких Х₃,Y₃ = k₂X₂Y₂.

З рівностей

Х₂Y₂ = k₁Х₁Y₁, X₃Y₃ = k₂X₂Y₂

випливає, що Х₁Y₁ = k₁k₂Х₁Y₁. А це означає, що перетворення фігури F₁ в F₃, яке дістаємо при послідовному виконанні двох перетворень подібності, є подібність. Отже, фігури F₁ і F₃ подібні, що й треба було довести.

У запису подібності трикутників: ?АВС~ ?А₁В₁С₁ передбачається, що вершини, які суміщаються перетворенням подібності, стоять на відповідних місцях, тобто А переходить в А₁, B переходить в B1, C--в C1.

З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутниках АВС і А₁В₁С₁

А=А₁, В= B₁, С = C₁;

Розділ II. Практичне використання геометричних перетворень у

рішенні задач на побудову

2.1 Рішення задач за допомогою методів геометричних перетворень

Ідея вирішення задач на побудову полягає в наступному. Дуже часто при проведенні аналізу ми стикаємося з тим, що шукані елементи розташовані не зручно й встановити між ними зв'язок майже не можливо. І тоді в таких випадках може допомогти використання над елементами деяких геометричних перетворень так, щоб встановився між ними зв'язок .

В залежності від того, яке геометричне перетворення ми використовуємо (паралельний переніс, осьову симетрію, поворот) метод відповідно й називається методом «паралельного перенесення», методом «осьової симетрії», методом обертання. Тепер розглянемо деякі задачі на побудову, за допомогою методів геометричних перетворень, при чому такі задачі, які розглядаються у середній школі.

Задача 1.

Побудувати трапецію по даним її сторонам.

Аналіз. Нехай ABCD--шукана трапеція (мал. ), в якій =a, =d, =b, =c -- дані елементи(a>b).

Опустимо сторону CP паралельно AD. В отриманому трикутнику ?CBP, в якому =c, =d, =a-b, цей трикутник можна побудувати за трьома сторонами. Тепер відображаючи CP на вектор CD (CD паралельний BP), ми отримуємо шукану трапецію.

Побудова. 1. Будуємо ?CBP по трьом сторонам =c, =d, =a-b.

2. Через точку C проводимо луч паралельний , й откладуємо =b.

3.Через точку D проведемо , (=А).

ABCD -- шукана трапеція.

Доведення. =d, =b. За побудовою, APCD--пар-м, ==c, ==b, тоді =a-b+b=a.

Задача 2.

Побудувати трикутник ABC, коли дані три його медіани: m_a, m_{b, ,}m_c.

Аналіз. Нехай ?ABC-- шуканий, М--точка перетину медіан = m_{a, =} m_b, = m_c.,

Задача 3.

Дано пряму l і дві точки А і В, які знаходяться по одну сторону від l. Знайти на прямій l таку точку C, щоб периметр трикутника ABC був найменшим.

Аналіз. Візьмемо довільну точку C l. Якщо міняти положення точку C l, то зміниться й периметр ?ABC. Але при цьому довжина сторони АВ не буде змінюватися. Отже, на прямій l необхідно знайти таку точку C, щоб сума | АС | + | CВ | була найменшою. Відобразимо точку В у В₁ відносно прямої l. Тоді | ВC | = | В₁С |. Таким чином, на прямій l треба знайти таку точку С, щоб сума |АС|+ |CВ₁ | була найменшої, тобто між точками А і В провести ламану АСВ найменшої довжини. А це буде відрізок АВ₁.

Побудова. 1. Будуємо точку B₁ відносно прямої l (осьова симетрія).

2. Знаходимо точку С (АВ₁l). Точка С-- шукана. Периметр ?АВС найменший.

Доведення. Візьмемо точку C₁ l , відмінну від крапки С. (Дуже часто при рішенні цього завдання за шукану крапку помилково беруть точку C₁ l, або точку D₁ l, тому для доказу візьмемо, наприклад, цю крапку C₁). Тоді периметр Р_?АВС =|АВ|+|ВС₁|+|С₁А|=|АВ|+|В₁С₁|+|С₁А|>|АВ|+|ВС|+|ВС|+|СА|= =Р_?АВСР_?АВС1>Р_?АВС

Дослідження. З побудови випливає, що завдання завжди має рішення, притім єдине.

3адача 4.

Через дану точку Р провести пряму так, щоб її відрізок між даною прямій l і даним колом щ розділився цією точкою навпіл.

Аналіз. Припустимо, що задача вирішена й АВ-- шукана пряма (Р [АВ]). Тоді |АР| = |РВ|, тобто точка Р -- центр симетрії [АВ]. Тому, якщо повернути коло щ на 180° навколо точки Р, то точка А₁ співпаде із точкою В. Отже, точка В може бути знайдена в такий спосіб.

Побудова. 1. Будуємо коло щ, симетричне колу щ₁, відносно точки Р.

2.Знаходимо точку В = щ₁ l.

3.Проводимо пряму РВ, (РВ) щ = А. ; (АВ) - шукана пряма.

Доведення очевидно з побудови.

Дослідження. 1. Коло щ_1, симетричне колу щ відносно точки P, побудувати завжди можливо й притім одну (Р не співпаде з О).

2. Залежно від того, скільки вийде загальних точок на прямій l і на колі щ, задача може мати два, одне й жодного рішення.

Размещено на Allbest.ru