Размещено на http://www.allbest.ru/

Действительные числа

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается - R

Комплексные числа

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действительные числа, а i - число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (когда a = 0). С другой стороны, и действительные (т.е. положительные и отрицательные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b - ординатой комплексного числа a + bi; Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i·i равно -1, т.е.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Четность и нечетность функции

ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ФУНКЦИИ - четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f (-x)= f(x), напр., y = |x|; нечетной называется такая функция, когда f(-x) = -f(x), напр., y = x²ⁿ⁺¹, где n -- любое натуральное число. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, обычно называются аморфными. График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной -- относительно начала координат О.

Монотонность и периодичность функции

Монотонная функция -- это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно.

Периодическая функция Ї функция, повторяющая свои значения через какой-то период, т.е. при добавлении к аргументу фиксированного числа

Предел функции в точке

Пусть функция у=ѓ (х) определена в некоторой окрестности точки х_о, кроме, быть может, самой точки х_о.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ѓ(х) в топке x₀ (или при х® х_о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_n№x₀), сходящейся к х_о последовательность соответствующих значений функции ѓ(х_n), n є N, сходится к числу А

Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что

.

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число.

Тогда при

.

Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов водной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По  теореме  о связи  предела  и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему .

Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функцийимеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть

, , .

Тогда, по  теореме  о связи  предела  и б.м. функции:

 

где  - б.м. при.

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию a (log_ab) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел).

Обозначение: log_ab.

log_ab = x, a^x = b.

Логарифм числа b по основанию a - log_ab (a > 0, a ? 1, b > 0)

Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10).

Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по основанию e, а = e).

Формулы и свойства логарифмов

1° Основное логарифмическое тождество

a^log_a^b = b;

log_a1 = 0;

log_aa = 1;

log_a(bc) = log_ab + log_ac;

log_a(b/c) = log_ab - log_ac;

log_a(1/c) = log_a1 - log_ac = - log_ac;

log_a(b^c) = c log_ab;

log_(a^c₎b = (1/c) log_ab;

Формула перехода к новому основанию

- log_ab = (log_cb)/(log_ca);

log_ab = 1/log_ba;

Переход от выражения к логарифму называется логарифмированием этого выражения. Переход от логарифма к подлогарифмическому выражению называется потенциированием. В математике преимущественно используют натуральные логарифмы. Свойства и формулы логарифмов незаменимы при решении логарифмических уравнений и функций, упрощении примеров, также они пригодятся при решении интегралов и нахождении производной от логарифмов.

Если после изучения данного теоретического материала (Формулы и свойства логарифмов) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Радианная и градусная меры углов

Углом в один градус называется угол равный 1/180 части развернутого угла. Развернутый угол равен 180 градусам.

Прямой угол равен половине развернутого угла или 90 градусам.

Угол называется острым, если его градусная мера больше 0 градусов, но меньше 90 градусов.

Угол называется тупым, если его градусная мера больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Угол называется центральным, если его вершина находится в центре окружности.

В любой окружности отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная и равна числу, что составляет примерно 3,14.

Поэтому, если диаметр с центром окружности принять за развернутый угол, то его величина равна. Тогда угол равный полному обороту, т.е. всей окружности равен 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу равную радиусу этой окружности.

Тригонометрические функции числового аргумента

1. Угол (дуга) в тригонометрии измеряется в градусах и радианах:

а его величина положительна или отрицательна в зависимости от того, отсчитывается ли он от начального радиуса О А (точки A) против или по часовой стрелке (рис. 4).

2. Единичную окружность

u² + v² = 1

отнесем к прямоугольной системе координат Оuv. Каждой точке M(u;v) этой окружности (u -- абсцисса, v -- ордината М) соответствует бесконечное множество угловых (дуговых) координат:

3. Тригонометрические функции синус, и косинус определяются при помощи координат u и v точки М:

sin a = и, cos а = и.

Две другие функции -- тангенс и котангенс -- можно определить следующим образом (рис. 5). Касательную At(Bт) превратим в числовую прямую с началом в точке A(В), положительным направлением вверх (вправо) и единицей масштаба, равной радиусу окружности. Через t(т) обозначим координату точки пересечения прямой ОМ с осью тангенсов At (котангенсов Bт).

Знаки тригонометрических функций по четвертям

В таблице приведены знаки тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg) по четвертям в тригонометрическом круге.

ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ЧЕТВЕРТЯМ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОМ КРУГЕ
Функция / четверть	I	II	III	IV
sin б	+	+	-	-
cos б	+	-	-	+
tg б	+	-	+	-
ctg б	+	-	+	-

Формулы приведения в виде таблицы

Значение тригонометрических функций основных углов

Формулы сложения тригонометрических функций

Формулы сложения

Тригонометрические функции половинного аргумента

логарифм алгебраический угол число

Формулы двойного аргумента

sin 2x=2sin xЧcos x

cos 2x=cosІx-sinІx

cos 2x=1-2sinІx

cos 2x=2cosІx-1

Обратные тригонометрические функции и их свойства

Функция :

;

;

;

функция нечетная, то есть

;

;

;

;

;

.

Функция :

;

;

убывает на ;

функция ни четная, ни нечетная, то есть ;

;

;

;

.

Функция :

;

;

возрастает на промежутке ;

функция нечетная, то есть ;

;

;

;

график функции имеет 2 ассимптоты

;

Функция :

;

;

убывает на промежутке ;

функция ни четная, ни нечетная, то есть ;

;

;

график функции имеет 2 ассимптоты .

Частные случаи решения тригонометрических уравнений

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.

Бесконечно малые.

Переменная называется бесконечно малой, если для любого существует такое значение , что каждое следующии за ним значение будет по абсолютной величине меньше .

Если - бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут: .

Бесконечно большие.

Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа c существует такое значение , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше . Пишут:

Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно.

О периодических функциях

Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.

Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т -- период этой функции.

Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ).



Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b' из интервала (а, а + T ), отстоящую от b на расстоянии T.

В силу периодичности функции f(x)

f(b) = f( b')

Таким образом, по заданным значениям функции f{x) в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f{x) в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f{x) в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).

Итак, задание периодической с периодом Т функции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin ц и у = cos ц достаточно рассмотреть их лишь при 0° < ц < 360°. Для исследования функции у = tg ц можно было бы ограничиться интервалом 0° < ц < 180°. Но при ц = 90° tg ц не определен. Поэтому в данном случае целесообразнее выбрать какой-нибудь другой интервал, в каждой точке которою функция у = tg ц была бы определена. Мы отдадим предпочтение интервалу --90° < ц < 90°. Однако в принципе можно было бы выбрать, конечно, и интервал 0° < ц < 180°. Для изучения функции сtg ц целесообразно выбрать интервал 0° < ц < 180°.

Степенная функция

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x ⁿ , x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.

Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

Размещено на Allbest.ru