Анализа статистического ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализа статистического ряда

Задание 1

По исходным данным табл.1:

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным (табл.1), сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 настоящего задания. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Таблица 1 Исходные данные

Номер организации	Среднесписочная численность работников, чел.	Выпуск продукции млн руб.	Фонд заработной платы, млн руб	Затраты на производство продукции млн руб.
1	162	36,45	11,340	30,255
2	156	23,4	8,112	20,124
3	179	46,540	15,036	38,163
4	194	59,752	19,012	47,204
5	165	41,415	13,035	33,546
6	158	26,86	8,532	22,831
7	220	79,2	26,400	60,984
8	190	54,720	17,100	43,776
9	163	40,424	12,062	33,148
10	159	30,21	9,540	25,376
11	167	42,418	13,694	34,359
12	205	64,575	21,320	51,014
13	187	51,612	16,082	41,806
14	161	35,42	10,465	29,753
15	120	14,4	4,32	12,528
16	162	36,936	11,502	31,026
17	188	53,392	16,356	42,714
18	164	41,0	12,792	33,62
19	192	55,680	17,472	43,987
20	130	18,2	5,85	15,652
21	159	31,8	9,858	26,394
22	162	39,204	11,826	32,539
23	193	57,128	18,142	45,702
24	158	28,44	8,848	23,89
25	168	43,344	13,944	35,542
26	208	70,720	23,920	54,454
27	166	41,832	13,280	34,302
28	207	69,345	22,356	54,089
29	161	35,903	10,948	30,159
30	186	50,220	15,810	40,678

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности организаций путем построения и анализа статистического ряда распределения организаций по признаку выпуск продукции.

1. Построение интервального ряда распределения банков по объему кредитных вложений

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение организаций по выпуску продукции, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

, (1)

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n, (2)

где n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, x_max = 79,2 млн. руб, x_min = 14,4 млн. руб.

При h = 12,96 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, чел.	Верхняя граница, чел.
1	14,4	27,36
2	27,36	40,32
3	40,32	53,28
4	53,28	66,24
5	66,24	79,2

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов. Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Так как при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку выпуск продукции представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 3 Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы организаций по выпуску продукции, млн. руб.	Номер организации	Выпуск продукции, млн руб.	Среднесписочная численность сотрудников, чел
1	2	3	4
14,4 - 27,36	2	23,4	156
	6	26,86	158
	15	14,4	120
	20	18,2	130
Всего:	4	82,86	564
27,36 - 40,32	1	36,45	162
	10	30,21	159
	14	35,42	161
	16	36,936	162
	21	31,8	159
	22	39,204	162
	24	28,44	158
	29	35,903	161
Всего	8	274,363	1284
40,32 - 53,28	3	46,540	179
	5	41,415	165
	9	40,424	163
	11	42,418	167
	13	51,612	187
	18	41,0	164
	25	43,344	168
	27	41,832	166
	30	50,220	186
Всего	9	398,805	1545
53,28 - 66,24	4	59,752	194
	8	54,720	190
	12	64,575	205
	17	53,392	188
	19	55,680	192
	23	57,128	193
Всего	6	345,247	1162
66,24 - 79,20	7	79,2	220
	26	70,720	208
	28	69,345	207
Всего	3	219,265	635
ИТОГО	30	1320,54	5190

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения организаций по выпуску продукции.

Таблица 4 Распределение организаций по выпуску продукции

Номер группы	Группы организаций по выпуску продукции, млн руб., х	Число организаций, f
1	14,4 - 27,36	4
2	27,36 - 40,32	8
3	40,32 - 53,28	9
4	53,28 - 66,24	6
5	66,24 - 79,2	3
	ИТОГО:	30

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

.

Таблица 5 Структура организаций по выпуску продукции

№ группы	Группы, организаций по выпуску продукции, млн руб.	Число организаций, fj	Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	14,4 - 27,36	4	13,333	4	13,333
2	27,36 - 40,32	8	26,667	12	40
3	40,32 - 53,28	9	30	21	70
4	53,28 - 66,24	6	20	27	90
5	66,24 - 79,2	3	10	30	100
	Итого	30	100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по выпуску продукции не является равномерным: преобладают организации выпуском продукции от 40,32 млн. руб до 53,28 млн. руб. (это 9 организаций, доля которых составляет 30%); в 40% организаций выпуск продукции составляет менее 40,32 млн, руб, а в 60% - более 40,32 млн. руб.

статистический ряд анализ медиана процесс

2.Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)

где х_Мo - нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 160-180 чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

Расчет моды по формуле (3):



Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный объем выпуска продукции характеризуется средней величиной 43,56 млн. руб.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где х_Ме- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В данном случае медианным интервалом является интервал 40,32 - 53,28 млн. руб. так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 21 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле (4):

42,173 млн. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем объем кредитных вложений не более 42,173 млн руб., а другая половина - не менее 42,173 млн руб.

3.Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, V_у на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( - середина j-го интервала).

Таблица 6 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы организаций по выпуску продукии, млн руб.	Середина интервала,	Число организаций, fj
1	2	3	4	5	6	7
14,4 - 27,36	20,88	4	83,52	-24,192	585,253	2341,012
27,36 - 40,32	33,84	8	270,72	-11,232	126,158	1009,264
40,32 - 53,28	46,8	9	421,2	1,728	2,986	26,874
53,28 - 66,24	59,76	6	358,56	14,688	215,737	1294,422
66,24 - 79,2	72,72	3	218,16	27,648	764,411	2293,233
Итого:		30	1352,16			6964,805

Расчет средней арифметической взвешенной:

(5)

Расчет среднего квадратического отклонения:

(6)

Расчет дисперсии:

у2 =15,2372=232,166

Расчет коэффициента вариации:

(7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средний объем выпуска продукции составляет 45,07 млн руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 15,24 млн руб. (или 33,8%), наиболее характерные значения объема выпуска продукции находятся в пределах от 29,84 млн руб. до 60,31 млн руб. (диапазон ).

Значение V_у = 33,8%, (30%< V_у <60%) следовательно, вариация объема выпуска продукции в исследуемой совокупности организаций незначительна, и совокупность по данному признаку имеет среднюю однородность. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=45,072млн руб., Мо=43,56млн руб., Ме=42,173млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение объема выпуска продукции (45,07 млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

, (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками среднесписочная численность работников и выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак выпуск продукции (X), результативным - среднесписочная численность сотрудников (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками выпуск продукции и среднесписочная численность работников методами аналитической группировки и корреляционной таблицы.

1а. Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - выпуск продукции и результативным признаком Y - среднесписочная численность работников. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7 Зависимость объема выпуска продукции организации от среднесписочной численности работников

Номер группы	Выпуск продукции млн руб.	Число организаций	Среднесписочная численность сотрудников Чел.
			всего	в среднем на одну организацию
1
2
3
4
5
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего».

Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8 Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Номер группы	Выпуск продукции млн руб.	Число организаций	Среднесписочная численность сотрудников Чел.
			всего	в среднем на одну организацию
1	2	3	4	5=4:3
1	14,4 - 27,36	4	564	141
2	27,36 - 40,32	8	1284	160,5
3	40,32 - 53,28	9	1545	171,667
4	53,28 - 66,24	6	1162	193,667
	66,24 - 79,2	3	635	211,667
	Итого:	30	5190	878,501

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением объема выпуска продукции от группы к группе систематически возрастает и среднесписочная численность работников по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы - группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака Х - Объем выпуска продукции известны из табл. 8. Для результативного признака Y - среднесписочная численность работников величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5, у_max = 220 чел., у_min = 120 чел.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 9):

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, чел.	Верхняя граница, чел.
1	120	140
2	140	160
3	160	180
4	180	200
5	200	220

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10 Распределение организаций по среднесписочной численности сотрудников

Группы организаций по среднесписочной численности работников. чел., х	Число организаций, fj
120 - 140	2
140 - 160	5
160 - 180	12
180 - 200	7
200 - 220	4
Итого	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11Корреляционная таблица зависимости среднесписочной численности работников от объема выпуска продукции

Группы организаций по объему выпуска продукции, млн руб.	Группы организаций по среднесписочной численности работников, чел.
	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	Итого
14,4 - 27,36	2	2				4
27,36 - 40,32		3	5			8
40,32 - 53,28			7	2		9
53,28 - 66,24				5	1	6
66,24 - 79,2					3	3
Итого	2	5	12	7	4	30

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между объемом выпуска продукции и среднесписочной численностью сотрудников.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии:

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

, (10)

где y_i - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

, (13)

где -групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета показателей и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12 Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер организации п/п	Среднесписочная численность сотрудников, чел
1	2	3	4	5
1	162	-11	121	26244
2	156	-17	289	24336
3	179	6	36	32041
4	194	21	441	37636
5	165	-8	64	27225
6	158	-15	225	24964
7	220	47	2209	48400
8	190	17	289	36100
9	163	-10	100	26569
10	159	-14	196	25281
11	167	-6	36	27889
12	205	32	1024	42025
13	187	14	196	34969
14	161	-12	144	25921
15	120	-53	2809	14400
16	162	-11	121	26244
17	188	15	225	35344
18	164	-9	81	26896
19	192	19	361	36864
20	130	-43	1849	16900
21	159	-14	196	25281
22	162	-11	121	26244
23	193	20	400	37249
24	158	-15	225	24964
25	168	-5	25	28224
26	208	35	1225	43264
27	166	-7	49	27556
28	207	34	1156	42849
29	161	-12	144	25921
30	186	13	169	34596
Итого	5190	0	14526	912396

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где - средняя из квадратов значений результативного признака,

- квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака - фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где -групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13 Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы организаций по объему выпуска продукции, млн руб.	Число организаций,	Среднее значение в группе
	2	3	4	5
14,4 - 27,36	4	141	-32	4096
27,36 - 40,32	8	160,5	-12,5	1250
40,32 - 53,28	9	171,667	-1,333	15,992
53,28 - 66,24	6	193,667	20,667	2562,749
66,24 - 79,2	3	211,667	38,667	4485,411
Итого:	30	878,501	13,501	12410,15

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 75,1%

Вывод. 75,1% вариации суммы прибыли банков обусловлено вариацией объема кредитных вложений, а 24,9% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

 (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14 Шкала Чэддока

	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

или 86,6%

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между объемом кредитных вложений и суммой прибыли банков является тесной.

Размещено на Allbest.ru