Цилиндрические функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Амурский государственный университет

(ГОУ ВПО «АмГУ»)

Кафедра МАиМ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

на тему: цилиндрические функции

по дисциплине: теория функции комплексного переменного

Благовещенск 2007 г.

РЕФЕРАТ

Работа 43 с., 12 рисунков, 4 источника.

Цилиндрические функции, бесселевы функции, рекуррентные соотношения, порядок цилиндрической функции, мнимый аргумент, асимптотические выражения, нули функции.

Цилиндрические, или, как их обычно называют, бесселевы функции, играют особо важную роль в приложениях, главным образом в задачах, связанных с круглыми или цилиндрическими телами. В данной работе мы познакомились с наиболее важными цилиндрическими функциями и их свойствами, а также изучили их поведение в зависимости от значений аргумента.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Цилиндрические функции первого рода

1.1 Интегральные представления Н.Я. Сонина

1.2 Аналитические свойств

1.3 Другие интегральные представления

1.4 Представление рядом

1.5 Производящая функция

1.6 Рекуррентные соотношения

1.7 Цилиндрические функции порядка, равного целому числу с полови-ной

1.8 Ортогональность

1.9 Ряды по цилиндрическим функция

2 Другие цилиндрические функции

2.1 Функция Ханкеля

2.2 Связь цилиндрических функций первого и третьего рода

2.3 Функция Вебера

2.4 Общее решение уравнения цилиндрических функций

2.5 Цилиндрические функции мнимого аргумента

3 Асимптотические выражения для цилиндрических функций

4 Графики цилиндрических функций. Распределение нулей

Заключение

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

Цилиндрические, или, как их обычно называют, бесселевы функции, играют особо важную роль в приложениях, главным образом в задачах, связанных с круглыми или цилиндрическими телами. Это объясняется тем, что решение уравнений математической физики, содержащих оператор Лапласа в цилиндрических координатах, классическим методом разделения переменных приводит к уравнению

, (1)

служащему для определения цилиндрических функций.

Цилиндрическая функция была впервые рассмотрена Даниилом Бернулли в работе, посвященной колебанию тяжелых цепей. Д. Бернулли пришел к частному случаю уравнения (1) для .

Следующей работой, в которой встречаются цилиндрические функции, была работа Леонарда Эйлера. В этой работе Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны, пришел к уравнению (1) с целыми значениями .

Немецкий астроном Ф. Бессель, с именем которого обычно связывают цилиндрические функции, дал рекуррентные соотношения для функций .

В данной курсовой работе мы рассмотрим несколько видов цилиндрических функций, изучим их свойства, найдем общее решение уравнения цилиндрических функций, также нами будут рассмотрены вопросы об асимптотическом приближении цилиндрических функций, построении их графиков и т.д.

1 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА

1.1 Интегральные представления Н. Я. Сонина

Рассмотрим дифференциальное уравнение цилиндрических функций

, (2)

где - независимое переменное, - искомая функция и - параметр, индекс уравнения (2), который для простоты мы будем считать действительным числом. Будем решать это уравнение операционным методом.

Если обозначить через изображение искомой функции, то по теоремам о дифференцировании оригиналов и изображений будем иметь:

,

,

,

где , - начальные данные. Таким образом, операторное уравнение, соответствующее уравнению (2), имеет вид:

. (3)

Для решения этого уравнения произведем замену независимого переменного и искомой функции, положив

, .

Тогда будем иметь:

,

и, подставляя это в (3), придем к простому уравнению

.

Возвращаясь от частного решения этого уравнения к старым переменным и , получим частное решение уравнения (3):

. (4)

Функция допускает выделение однозначных ветвей в плоскости с выброшенными лучами , . Примем и условимся рассматривать ту ветвь , которая на оси принимает положительные значения. Тогда функция будет стремиться к нулю при , равномерно относительно и, следовательно, будет служить изображением. Оригинал - частное решение уравнения (2) - мы будем называть цилиндрической функцией первого рода, или бесселевой функцией порядка и обозначать . Функцию находим по формуле:

, (5)

где - произвольная прямая .

Перейдем здесь к новой переменной

; (6)

тогда , и линией интегрирования будет служить кривая плоскости - образ прямой при отображении (6) в совокупность лучей , и полуокружность , , а число сколь угодно мало, то имеет вид, изображенный на рисунке 1 пунктиром. Интеграл (5) перейдет при этом в интеграл

(7)

Не меняя величины интеграла, кривую можно, очевидно, заменить любой вертикальной прямой .

Рисунок 1

Так как на окружности функция стремится к нулю при , то при по лемме Жордана интеграл (7) вдоль дуг стремится к нулю. Следовательно, в формуле (7) контур можно заменить контуром , указанным на рисунке 1, который идет из точки по нижнему берегу отрицательной полуоси , обходит начало координат по окружности и возвращается в по верхнему берегу той же полуоси. Таким образом, мы получаем еще одно интегральное представление цилиндрических функций, также принадлежащее Н. Я. Сонину (вместо пишем ):

(8)

Интеграл Сонина (8) получен нами для положительных , однако правая его часть представляет аналитическую правой полуплоскости функцию, ибо при интеграл (8) сходится равномерно по . Таким образом, интеграл Сонина дает аналитическое продолжение в правую полуплоскость.

Кроме того, при интеграл Сонина сходится не только для положительных, но и для любых комплексных значений параметра ибо на горизонтальной части контура показательный множитель стремится к нулю быстрее, чем может возрастать . Следовательно, интеграл Сонина определяет в правой полуплоскости бесселевы функции произвольного комплексного порядка.

1.2 Аналитические свойства

При целых значениях параметра подынтегральная функция интеграла Сонина (8) однозначна, следовательно, интегралы по горизонтальным частям контура исчезают и интеграл (8) принимает вид:

(9)

(радиус окружности, входящей в состав контура , мы принимаем равным 1).

Так как интеграл в правой части (9) сходится для любых и притом равномерно, то мы можем утверждать, что при целочисленных значениях параметра функции являются целыми.

Пусть, далее, -- положительное, а -- произвольное комплексное число. Заменяя в интеграле Сонина (8) переменное , мы получим интеграл Сонина -- Шлеффли:

(10)

(при такой замене контур заменяется подобным ему контуром, имеющим, следовательно, тот же вид, что и ).

Интеграл Сонина -- Шлеффли сходится и притом равномерно в любой ограниченной области значений и при любом комплексном и, следовательно, дает аналитическое продолжение цилиндрической функции на всю комплексную плоскость и на все комплексные значения параметра . Наличие множителя перед интегралом показывает, что эта функция, вообще говоря, бесконечнозначна с точкой ветвления . Но отношение при любом комплексном оказывается целой функцией.

1.3 Другие интегральные представления

Пусть ; заменим в интеграле Сонина ,отчего контур заменится контуром , изображенным на рисунке 2 (радиус окружности в контуре мы считаем равным 1). Интеграл Сонина перейдет в интеграл Шлеффли:

, (11)

представляющий цилиндрическую функцию в правой полуплоскости.

Рисунок 2

При целых значениях параметра в силу периодичности функций и , интегралы по вертикальным частям контура взаимно сокращаются, и мы получаем:

 (12)

Это - интеграл Бесселя.

1.4 Представление рядом

Разложим в интеграле Сонина -- Шлеффли (10) множитель в ряд по степеням и переменим порядок суммирования и интегрирования (это законно в силу равномерной сходимости полученного ряда):

Вспоминая интегральное представление Ханкеля для гамма-функции, находим искомое разложение цилиндрической функции в ряд:

. (13)

Из формулы (13) видно, что при действительных и функция принимает действительные значения.

Для целочисленных неотрицательных значений получаем, в частности, разложение

. (14)

Для целочисленных отрицательных значений первые

слагаемых суммы (12) исчезают, ибо при , и формула (13) принимает вид:

(мы заменили индекс суммирования индексом ) , или

. (15)

1.5 Производящая функция

Для целочисленных значений интеграл Сонина (9) совпадает с формулой для коэффициентов разложения функции в ряд Лорана по степеням . Таким образом,

. (16)

Функция называется производящей функцией для .

Заменяя в (16) , мы получаем разложение в ряд Фурье функции

. (17)

Отделяя в (17) (при действительных и ) действительные и мнимые части, получаем:

, ,

или, используя соотношения (15), получим ряды Фурье в действительной форме:

(18)

При , в частности, будем иметь:

1.6 Рекуррентные соотношения

Из разложения в ряд (13) находим:

(мы заменили индекс суммирования на ), или окончательно

. (19)

Последнюю формулу можно переписать в виде

,

откуда видно, что применение к операции сводится к изменению знака и замене индекса на . Применяя эту операцию последовательно и вводя сокращенное обозначение

,

получаем:

. (20)

Точно так же получаем:

(мы воспользовались рекуррентным соотношением для гамма-функции), или

. (21)

Деля обе части равенства на , мы видим, что применение операции к сводится к изменению индекса на . Последовательно применяя эту операцию, найдем:

. (22)

Формулы (19) и (21) переписываются в виде

; . (23)

Вычитая из одного уравнения (23) другое, найдем рекуррентное соотношение, не содержащее производных:

. (24)

Точно так же, складывая уравнения (23), найдем второе рекуррентное соотношение

. (25)

Отметим еще, что из (22) при получаем:

. (26)

1.7 Цилиндрические функции порядка, равного целому числу с

половиной

Как показал Эйлер, эти функции выражаются через элементарные. В самом деле, по формуле (12), учитывая, что , получим сначала

, (27)

и

. (28)

Затем, пользуясь соотношениями (20) и (22), найдем:

(29)

откуда и видно, что выражаются через элементарные функции.

После простых преобразований эти формулы принимают вид:

(30)

где

(31)

где означает целую часть от числа .

1.8 Ортогональность

По определению цилиндрическая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

. (32)

Положим , где --постоянная, и рассмотрим функцию . Имеем , и, подставляя это в (32), находим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция :

. (33)

Рассмотрим теперь две функции и , где и -- постоянные; по только что доказанному, они удовлетворяют уравнениям:

, .

Умножим первое из этих уравнений на , второе на и вычтем из первого второе. Если обозначить еще , то, очевидно, и мы получим:

.

После умножения на левая часть будет равна , поэтому, интегрируя по от до , получим:

(для сходимости интеграла при нецелых мы должны предположить, что ; тогда подынтегральная функция при если и обращается в бесконечность, то порядка ниже первого). Подставляя вместо и их выражения через , будем иметь:

. (34)

Пусть теперь и будут различные корни уравнения

(35)

или уравнения

. (36)

Тогда правая часть (34) будет равной нулю, и мы получим:

. (37)

При действительных каждое из уравнений (35) и (36) имеет бесчисленное множество действительных корней. Пусть -- система корней одного из этих уравнений, тогда на основании формулы (37) можно утверждать, что функции образуют семейство, ортогональное с весом на интервале .

Этот факт указывает на аналогию между цилиндрическими функциями (удовлетворяющими дифференциальному уравнению ) и тригонометрическими функциями , (удовлетворяющими уравнению ). Действительно, тригонометрические функции , также образуют семейство, ортогональное на некотором интервале. В дальнейшем мы не раз будем отмечать эту аналогию.

1.9 Ряды по цилиндрическим функциям

Пусть -- положительные корни уравнения (35) или (36) и -- кусочно-гладкая на интервале функция, Предположим, что на этом интервале представляется равномерно сходящимся рядом

. (38)

Так как функции образуют систему, ортогональную с весом интервале , то коэффициенты ряда (38) определяются по общей формуле:

, (39)

где

.

Вычислим последний интеграл. Для этого воспользуемся формулой (34), в которой предположим, что является одним из корней уравнения (35) или (36), а непрерывно приближается к этому корню. Для случая уравнения (35) формула (34) принимает вид:

,

откуда видно, что при снова имеется неопределенность вида . Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, найдем:

.

По первой формуле (23), полагая в ней , найдем , и последняя формула перепишется в виде

. (40)

Аналогично, для случая уравнения (36) будем иметь:

.

Но из дифференциального уравнения (32), полагая в нем и пользуясь формулой (36), находим , следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде

. (41)

Ряд (38), коэффициенты которого находятся по формулам (39), представляет собой обобщенный ряд Фурье; он называется также рядом Фурье -- Бесселя. Доказывается, что он сходится к для любой кусочно-гладкой на интервале функции.

2 ДРУГИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1 Функции Ханкеля

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение цилиндрических функций с индексом :

(42)

( -- независимое переменное, -- искомая функция, -- параметр; все величины предполагаются здесь комплексными). Попытаемся найти решения уравнения (42) методом интегрального преобразования, т. е. будем искать решение в виде

, (43)

где -- новая искомая функция, а функция и контур выбираются так, как будет указано ниже. Подставляя (43) в уравнение (42), мы будем иметь (предполагается, что перестановка порядка дифференцирования и интегрирования законна):

.

Пусть теперь удовлетворяет дифференциальному уравнению

, (44)

тогда предыдущее соотношение принимает вид:

.

Интегрируя первый член два раза по частям, мы преобразуем последнее уравнение к виду

,

где и обозначают концы линии . Отсюда видно, что если положить

и выбрать путь интегрирования так, чтобы на его концах выражение обращалось в нуль, то интеграл (43) будет давать решение уравнения (42). Легко проверить, что уравнение (44) будет удовлетворяться, если положить .В качестве путей интегрирования выберем контуры и (рисунок 3), так как на мнимой оси , а на прямых имеем , то на вертикальных частях и

Отсюда видно, что если считать , то при , соответственно при , |K| стремится к нулю со скоростью , соответственно . Но тогда и , и стремятся к нулю при , приближающемся к концам и , ибо стремление к нулю погашает возможный рост множителя при .

Таким образом, мы получаем в правой полуплоскости решения уравнения (42)

(45)

которые называются цилиндрическими функциями 3-го рода, или функциями Ханкеля.

Рисунок 3

2.2 Связь цилиндрических функции первого и третьего рода

Если сложить обе формулы (45), то интеграл по мнимой полуоси сократится и, вспоминая интеграл Шлеффли, мы получим:

(П -- контур рисунок 2). Таким образом, для всех комплексных значений в правой полуплоскости бесселева функция равна

. (46)

Для того чтобы найти выражение ханкелевых функций через бесселевы, найдем сначала связь между ханкелевыми функциями порядков, отличающихся лишь знаком. Имеем, например,

и вводя новую переменную интегрирования , отчего контур перейдет в контур , совпадающий с , но проходимый в противоположном направлении, получаем:

.

Аналогично, вводя , получим формулу для . Таким образом,

,. (47)

Теперь, если наряду с соотношением (46) рассмотреть формулу

(мы воспользовались формулами (47)), то из этих двух формул найдем выражение ханкелевых функций через бесселевы

;. (48)

Строго говоря, формулы (48) получены для , отличных от целых чисел, однако они остаются справедливыми и в случае целых , если в правых частях раскрыть неопределенность вида по правилу Лопиталя. Мы можем тогда утверждать, что формулы (48) дают аналитическое продолжение и на всю плоскость комплексного переменного . Как и бесселевы функции оказываются, вообще говоря, многозначными функциями с точкой ветвления .

Из формул (48) для ханкелевых функций получаются соотношения, аналогичные таким же соотношениям с бесселевыми функциями. Например, пользуясь рекуррентной формулой (24) предыдущего пункта, находим рекуррентные формулы

, (49)

(здесь может означать как , так и ). Пользуясь формулами (25) и (26), получим:

, . (50)

Выше мы отмечали аналогию между бесселевыми и тригонометрическими функциями; формулы (46) и (50) указывают на аналогию между функциями и .

2.3 Функция Вебера

Формула (46) показывает, что функции строятся из функций как косинус из функций . Рассматривают также функции, которые строятся из как синус:

. (51)

Эти функции называются цилиндрическими функциями 2-го рода или функциями Вебера; их называют также функциями Неймана и тогда обозначают через .

Так как при действительных значениях и функции действительны, то из формул (48) вытекает, что для таких значений и

.

Но тогда из (51) видно, что для действительных значений и функции Вебера принимают действительные значения.

Пользуясь формулами (48), из (51) получаем также выражение функций Вебера через функции Бесселя:

. (52)

Последняя формула справедлива для нецелых ; при стремящемся к целому числу , мы получаем неопределенность вида . Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получаем для целых :

(52)

Для функций Вебера остаются справедливыми рекуррентные соотношения

, ; (54)

для их проверки достаточно подставить выражение через (формула (51)) и воспользоваться соотношениями (49).

Функции Вебера порядка, равного целому числу с половиной, также выражаются через элементарные функции, ибо из формулы (52) вытекает при :

;. (55)

Найдем выражение функций Вебера целочисленного порядка в виде степенного ряда. Для этого можно воспользоваться формулой (53) и разложением в ряд

. (56)

Получим сначала вспомогательные формулы из теории гамма-функции. Из формулы для логарифмической производной гамма-функции, полагая в ней , получаем:

(57)

(остальные члены сокращаются). Отсюда для имеем

(мы заменили ). В точках Отсюда видно, что для

.

Теперь, дифференцируя (56) по , находим:

и

.

Для целых положительных отсюда на основании формулы (53) и уже вычисленных значений получаем:

, (58)

а для

. (59)

Мы видим, что в то время как бесселевы функции целочисленного порядка являются целыми, в разложение , кроме степеней , входит еще .

2.4 Общее решение уравнения цилиндрических функций

По построению функции Ханкеля и служат решениями уравнения

(42)

В следующем пункте мы увидим, что эти решения линейно независимы, следовательно, по известному свойству линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (42) представляется в виде

, (60)

где и -- произвольные постоянные.

Так как функции и выражаются через и линейно и с отличным от нуля определителем

,

то и функции , являются линейно независимыми решениями уравнения (42). Следовательно, общее решение этого уравнения при любых можно представить в виде

, (61)

где и -- произвольные постоянные. Кроме того, так как и выражаются через и линейно и с определителем

,

отличным от нуля и конечным при любом нецелом , то при нецелом общее решение можно представить еще в виде

(62)

При целом функции и становятся линейно зависимыми, ибо , и вместо (62) надо брать общее решение в виде (60) или (61).

2.5 Цилиндрические функции мнимого аргумента

В некоторых приложениях встречаются цилиндрические функции чисто мнимого аргумента . Из формулы (29) предыдущего пункта вытекает, что функция -- удовлетворяет дифференциальному уравнению

. (63)

Из разложения в ряд находим:

.

Отсюда видно, что если мы хотим получить функцию, действительную при действительных и , мы должны умножить на постоянный множитель . Такое произведение обозначается символом

. (64)

Функция также является решением уравнения (63), и если не равно целому числу, то и -- линейно независимы. Если же -- целое, то из (64) и соотношения получаем:

. (65)

Для получения второго решения линейно независимого с , здесь надо воспользоваться функциями, получающимися из других цилиндрических функций. Наиболее употребительна из них функция, которая получается из первой функции Ханкеля от мнимого аргумента умножением на некоторый постоянный множитель

. (66)

Важность этой функции для приложений обусловлена тем, что она является решением уравнения (63), положительным и стремящимся к при по экспоненциальному закону. Пользуясь выражением (48) функций Ханкеля через функции Бесселя, находим для нецелых :

,

или, вводя по формуле (64) функции :

. (67)

Переходя здесь к пределу при , стремящемся к целому числу , и раскрывая неопределенность, получаем:

. (68)

Отсюда можно получить и разложение в ряд так, как мы делали это для функций Вебера. Например, для получим

, (69)

где -- логарифмическая производная гамма-функции. На основании формул (66) и (47) для любых получаем:

.

Легко проверить, что функции и удовлетворяют несколько видоизмененным рекуррентным соотношениям:

; (70)

;, (71)

в частности,

; . (72)

3 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Асимптотические выражения имеют различный вид в зависимости от того, считаем ли мы большим порядок , аргумент , или обе эти величины (мы предполагаем, что они действительные). В соответствии с этим будем различать три случая:

1) Асимптотические выражения для больших порядков. Рассмотрим сначала первую функцию Ханкеля, которую мы возьмем в виде интеграла (45)

, (73)

где --контур рис. 3. Мы будем считать и обозначим меньшее 1 число . Формула (73) примет вид:

, (74)

Где

(75)

(мы полагаем ). Для получения асимптотической формулы мы воспользуемся методом перевала. Седловые точки находятся из уравнения

,

откуда

и . (76)

Линия наибольшего ската, проходящая через эти точки, определяется уравнением

(77)

(действительно, в седловых точках , ), откуда

.

Она имеет вид, указанный на рисунке 4 пунктиром, и состоит из мнимой оси и двух дуг, асимптотически приближающихся к прямым . Из дуг этой линии можно составить путь интегрирования, дающий интегралу (73) то же значение, что и путь . Мы обозначаем этот путь и отмечаем его на рисунке 4 жирным пунктиром; этот путь состоит из луча , идущего вдоль мнимой оси, и правой половины нижней дуги линии наибольшего ската. Так как согласно (77) на кривой имеем , то на ней

.

На оси функция достигает максимума в точке и минимума в точке (это вытекает непосредственно из рассмотрения производной ).

Рисунок 4

Легко видеть, что максимум в точке -- единственный максимум функции на линии . Так как , и угол наклона линии наибольшего ската в точке перевала , то получим

.

Заменяя здесь , где и , получаем получаем окончательно искомое асимптотическое выражение первой ханкелевой функции большого порядка :

(78)

(здесь надо считать ).

Совершенно аналогично находится и асимптотическое выражение второй ханкелевой функции большого порядка

. (79)

С помощью формулы (46) из оценок (78) и (79) находим асимптотическое выражение бесселевых функций большого порядка

. (80)

Рисунок 5

Если провести совершенно аналогичные выкладки, рассматривая вместо (74) интеграл Шлеффли

,

и заменить контур рисунок 2 контуром рисунок 5 -- частью линии наибольшего ската поверхности , то вместо (80) получим другое асимптотическое выражение для больших

. (81)

По формуле (51) на основании (78) и (79) находим еще асимптотическое выражение для функций Вебера большого порядка

. (82)

2) Асимптотические выражения для больших значений аргументов. Будем считать и обозначим меньшее 1 число . Первую функцию Ханкеля можно переписать в виде

(83)

где

(84) лишь постоянным множителем отличается от функции из формулы (75). Седловые точки находятся из уравнения , откуда . Линии наибольшего ската, проходящие через эти точки, определяются уравнениями

,

или

Эти линии имеют вид, указанный на рисунке 6, каждая из них состоит из двух ветвей, пересекающихся в седловых точках и асимптотически приближающихся к мнимой оси и прямым .

Рисунок 6

Мы выбираем контур представляющий одну из ветвей линии наибольшего ската, проходящей через точку ,

,

по которому интеграл (83) имеет то же значение, что и по ; на рисунке 6 этот контур отмечен жирным пунктиром. На имеется только одна точка стационарности функции

,

именно, седловая точка , и при приближении к обоим концам эта функция стремится к . Отсюда следует, что является единственной на точкой максимума функции .

Так как у нас , и , то получаем:

,

откуда, заменяя , , где и , получим асимптотическое выражение первой ханкелевой функции большого аргумента:

. (85)

Совершенно аналогично получается асимптотическое выражение второй ханкелевой функции

. (86)

Если считать еще , так что , , то последние формулы упростятся:

, . (87)

Из формул (87) на основании формул (46) и (51) мы получаем асимптотические выражения цилиндрических функций I и II рода для значений

(88)

Интересно отметить, что для значений параметра эти асимптотические выражения являются точными.

3) Асимптотические выражения для больших и . Если считать и положить

, (89)

то

, (90)

и мы будем иметь лишь одну седловую точку в начале координат .

Линия наибольшего ската

(91)

состоит из трех ветвей, проходящих через начало координат: мнимой оси и двух дуг, асимптотически приближающихся к прямым (рис. 7). Из ветвей этой линии мы строим контур (обозначен на рис. 7 жирным пунктиром), который дает интегралу (90) то же значение, что и , и к этому контуру применяем метод перевала.

Рисунок 7

Элементарный анализ показывает, что точка является точкой максимума функции на и притом единственной. В соответствии с идеей метода перевала для получения асимптотического выражения мы можем заменить и кривую малой окрестностью седловой точки, или с той же степенью точности

,

где -- положительная мнимая полуось, а - касательная к участку (см. рис. 7). Уравнением этой касательной служит , и на ней

,.

Поэтому полагая еще на участке , мы получаем:

Но

и мы получаем окончательно

. (92)

В. А. Фок дал другую асимптотическую формулу для случая , или, что то же самое, для конечных значений . Эта формула имеет вид:

, (93)

где

(94)

и --контур, идущий от до по лучу , и от до по положительной полуоси . Эта функция исследована и для нее построены таблицы.

4 ГРАФИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ

Рассмотрим графики наиболее употребительных цилиндрических функций для положительных значений аргумента. На рис. 8 и 9 сплошными линиями изображены графики функций и . Для малых значений аргументов характер этих графиков можно выяснить из представлений и в виде рядов. Для больших значений можно воспользоваться асимптотическими выражениями (93) , из которых следует

,. (95)

Рисунок 8 Рисунок 9

Пунктирными линиями на тех же рисунках изображены графики функций Бесселя и Вебера первого порядка. Они получаются из графиков и посредством графического дифференцирования на основании соотношений , .

Рисунок 10 Рисунок 11

На рис. 10 и 11 приведены также графики цилиндрических функций мнимого аргумента

,, (96)

которые часто применяются в физике; на первом из них пунктиром указаны также графики для .

Функции и имеют колебательный характер; их частота примерно постоянна, а амплитуда убывает как . При этом функции при приближении к началу координат стремятся к .

Напротив, функции и не имеют колебательного характера: первая из них монотонно возрастает на примерно со скоростью показательной функции, а вторая убывает от до нуля.

На рисунке 12 приведен рельеф функции , на нем нанесены линии вдоль уровня модуля (через 0,2) и аргумента (через 30°),

Рисунок 12

Рисунок 13

сечение вдоль действительной оси дает график . Рисунок 13 показывает рельеф той ветви , которая терпит разрыв вдоль отрицательной действительной оси и стремится к при . На нем нанесены линии уровня модуля (через 0,2) и аргумента (через 15°). На рисунке 14 показана зависимость от двух действительных переменных и ; линии на поверхности дают графики , ,…, и , ,…,.

Для практики большое значение имеют нули цилиндрических функций. Рассмотрим вопрос о расположении нулей бесселевых функций.

Рисунок 14

Пусть -- действительное число, . Из формулы (34), которую мы вывели при доказательстве ортогональности этих функций, для любых нулей и функции вытекает соотношение

(97)

Так как все коэффициенты разложения

(98)

действительны, то, очевидно,

. (99)

Отсюда, в частности, вытекает, что если --комплексный корень уравнения , то и будет корнем того же уравнения. Полагая в формуле (97) , и пользуясь формулой (99), согласно которой , будем иметь:

.

Но так как интеграл здесь не может равняться нулю, , откуда либо , либо . Таким образом, при действительных функция может иметь лишь действительные или чисто мнимые нули.

Из полученной в предыдущем пункте для асимптотической формулы

(100)

вытекает, что имеет бесчисленное множество положительных нулей (в самом деле, непрерывна и, как вытекает из (100), бесконечно часто меняет знак). Но из формулы

, (101)

непосредственно вытекающей из разложения (98), видно, что нули расположены симметрично относительно начала координат. Следовательно, имеет и бесчисленное множество отрицательных нулей.

Из (100) вытекает приближенная формула для нулей :

, (102)

тем более точная, чем больше . Приведем в качестве примера значения наименьших положительных нулей функции :

	0	1	2	3	4	5	6
	2,4048	5,5201	8,6537	11,7415	14,9309	18,0711	21,2126

Заметим, что приближенная формула (102) дает при значение (точность 0,01).

Чтобы исследовать вопрос о чисто мнимых корнях , положим в формуле (98) , получим:

. (103)

Пусть -- произвольное действительное число; так как для всех , кроме конечного числа, имеет положительные значения, то и все коэффициенты ряда (103), кроме конечного их числа, положительны. Так как, кроме того, знак правой части формулы (103) для больших определяется знаком высоких степеней, то мы можем утверждать, что для достаточно больших , . Но на конечном отрезке мнимой оси целая функция может иметь лишь конечное число нулей, следовательно, для любого действительного функция может иметь лишь конечное число чисто мнимых нулей. В частности, при все коэффициенты ряда (103) положительны, следовательно, функция при вовсе не имеет чисто мнимых нулей.

Выясним некоторые особенности распределения нулей бесселевых функций. Для этого, прежде всего, обозначим

(104)

и заметим, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

, (105)

которое получается подстановкой в уравнение цилиндрических функций.

Пусть будет любой положительный нуль производной тогда уравнение (105) при принимает вид . Но не может равняться нулю, ибо тогда из условий , по теореме единственности решения начальной задачи дифференциального уравнения (105) следовало бы, что . Поэтому и имеют различные знаки.

Пусть теперь и будут два соседних положительных нуля так что на интервале . По известной теореме Ролля на интервале лежит хотя бы один нуль точнее, нечетное число таких нулей. Отсюда следует, что и , а значит и , имеют разные знаки, т. е. что на интервале лежит хотя бы один нуль . Но больше чем один нуль на лежать не может, ибо тогда на этом интервале лежал хотя бы один нуль ,что противоречит принятому нами условию. Таким образом, можно утверждать, что положительные корни и взаимно разделяют друг друга. То же самое справедливо и для отрицательных нулей.

Далее заметим, что рекуррентное соотношение (59) переписывается в виде

. (106)

Следовательно, нули совпадают с нулями ; с другой стороны, из (104) видно, что нули совпадают с нулями . Таким образом, полученное выше утверждение можно формулировать так: нули бесселевых функций порядков, отличающихся на 1, взаимно разделяют друг друга. Мы снова обнаруживаем сходство между бесселевыми и тригонометрическими функциями: нули и , очевидно, также разделяют друг друга.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первом разделе курсовой работы мы изучили интегральные представления Сонина, рассмотрели его аналитические свойства, а также разложение в ряд цилиндрической функции, рекуррентные соотношения и производящую функцию. цилиндрический функция сонин ханкель

Во втором разделе были рассмотрены функции Ханкеля, Вебера, функции мнимого аргумента, а также установлена связь между цилиндрическими функциями первого и третьего рода.

В третьем разделе рассмотрены асимптотические выражения для цилиндрических функций в зависимости от значений аргумента.

В четвертой мы рассмотрели графики наиболее употребительных цилиндрических функций для положительных значений аргумента, а также вопрос о расположении нулей цилиндрических функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, В.В. Шабат. - М.: Научный мир, 1979.

2. Никифоров А.Ф. Основы теории специальных функций / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров.- М.: Наука, 1974.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1969

4. Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1967.

Размещено на Allbest.ru