Степенные ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Ряды - важный аппарат математического анализа, дающий возможность решения многих вопросов, как самого анализа так и его приложений. Вычисление интегралов, не выражающихся через элементарные функции, интегрирование дифференциальных уравнений, составление таблиц логарифмов и тригонометрических функций, представление функций, характеризующих сложные явления, в виде суммы простых гармонических колебаний - таковы примеры задач, использующих аппарат рядов.

Одним из отличительных свойств, степенных рядов является то, что их члены являются сравнительно простыми функциями; частичные суммы степенного ряда представляют собой многочлены от . Относительная простота функций, служит причиной многих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают, вообще говоря, другие функциональные ряды. Если степенной ряд сходится к некоторой функции , то эта функция с большой степенью точности может быть приближена частичной суммой ряда , т.е. многочленом. Изучение функции с помощью исследования ее приближения - многочлена - является одним из самых важных методов дифференциального исчисления.

1. Теоретическая часть

1.1 Степенные ряды

Среди функциональных рядов особо выделяют важнейший класс так называемых степенных рядов, имеющих большие приложения. Функциональный ряд вида

. (1)

где C0, C1, C2…, Cn. - постоянные коэффициенты, называется степенным. В дальнейшем коэффициенты будем считать действительными числами. Всякий степенной ряд (1) всегда сходится, по крайней мере, в одной точке x=0. Действительно, при x=0 все члены ряда (1), кроме, быть может с, обращаются в нуль; поэтому ряд сходится и имеет сумму, равную c0. Наряду степенными рядами вида (1) рассматривают также степенные ряды более общего вида:

(А) Однако последние x-a=x' сводятся к рядам вида (1): = . Таким образом, изучив свойства степенных рядов (1) мы, с помощью указанной подстановки, сможем перенести их свойства и на ряды вида (А). Основоположной в теории степенных рядов является так называемая: Теорема Абеля. 1.1) Если степенной ряд. сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию

2) если ряд расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих условию .

I. Пусть степенной рядсходится, при х=х0. Фиксируем ряд любое x, для которого . Так как ряд сходится по условию, то в силу необходимого признака, сходимости сnxn0>0 при n>?. А осюда, в силу теоремы об ограниченности сходящейся последовательности, следует ограниченность общего члена данного ряда, то есть следует существование числа М >0 такого, что для любого n: Icnxn0I<M. Оценим общий член данного ряда по модулю предполагая: IcnxnI= Icnxn0I<Мqn (А) Здесь положено =q<1. Так как ряд с общим членом Мqn сходится как геометрическая прогрессия (со знаменателем 0 <q<1), то, на основании признака сравнения 1, сходится и ряд в каждой точке x, для которой.А отсюда и следует абсолютная сходимость ряда для .Первая часть теоремы доказана. II. Пусть теперь степенной ряд расходится при x=x0. Тогда степенной ряд расходится и для всех , так как если бы это было не так, то по первой части теоремы Абеля, он должен, был сходится и при x= x0, противоречило бы условию. Таким образом теорема полностью доказана. Огромное значение теоремы Абеля состоит в том, что из сходимости степенного ряда в одной точке x0, следует его сходимость в целом интервале -. и еще одно важное заключение всякая точка сходимости степенного ряда (1) расположена ближе x=0, чем всякая точка расходимости.

· Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда

Теорема 2. Если существует предел то радиус сходимости ряда равен

Рассмотрим ряд . По условию существует . Обозначим его через Тогда

Пример 2. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки , так как его радиус сходимости

Пример 3. Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой так как его радиус сходимости .

Теорема 4. Если функция имеет производные до n+1 порядка в некоторой окрестности точки x=a, то, как известно из дифференциального исчисления, в каждой точке х этой окрестности она представима следующей формулой Тейлора:

f(x)=f(a)+(x-a)+ ++Rn(x), (2)

Rn(x)=.(0<0<1).

Остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа. Пусть теперь функция f(x) некоторой окрестности точки х=a имеет производные всех порядков. Если для каждой точки х этой окрестности =0, то переход к пределу в формуле (2) при дает нам представление функции f(x) в виде бесконечного ряда:

f(x)=f(a)+(x-a)+… ++… (3)

Заметим, что независимо от того, выполняется условие или нет, ряд, стоящий в правой части равенства (3), называется рядом Тейлора для функции f(x).Если , то между рядом Тейлора для функции f(x), если только в точке х=а она имеет производные всех порядков, но этот ряд может и не иметь своей суммой функцию f(x).Функция f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки х=а, если для нее справедливо равенство (3).Условием разложимости функции f(x) в ряд Тейлора является равенством .

Учитывая ранее изложенное, мы можем сделать следующее заключение: Чтобы разложить функцию f(x) в ряд Тейлора, нужно: 1) формально составить для нее ряд Тейлора, 2) найти область сходимости этого ряда, 3) выяснить, для каких х из области сходимости имеет место равенство .Для этих х и будет верна формула(8). Теорема 5. Для того чтобы ряд Тейлора(3) функции сходился к точке x, необходимои достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е. чтобы .

Пусть ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки x0 т.е. . Так как n-я частичная суммаряда() совпадает с многочленом Тейлора Pn(x), т.е. = Pn(x), находим: = === =0. Обратно, пусть . Тогда =

Замечание. Если ряд Тейлора (2) сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т.e. Rn(x)=rn(x). (Напомним, что Rn(x)=, а rn(x)=S(x) - - Sn(x), где S(x) - сумма ряда Тейлора). Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена к определению значений х, при которых Rn(x)0 (при ). Если сделать замену, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 6. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x), т.е. имеет место разложение:

f(x)=f(a)+(x-a)+…=. (8)

Согласно теореме(3) достаточно показать, что . По условию теоремы (6) для любого n имеет место неравенство.Тогда имеем:

Осталось показать, чтоДля этого рассмотри ряд

Так как

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости

Следовательно, .

Теорема 7. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости - R<x<R, то есть из справедливости равенства (А) Следует справедливость (Б)

При этом интервал сходимости ряда (Б) совпадает с интервалом сходимости ряда (А).

Фиксируем произвольную точку х интервала сходимости (-R, R) данного ряда и докажем, что в этой точке степенной ряд можно почленно дифференцировать. С этой целью построим отрезок [-p, p], содержащейся в интервале (-R, R) содержащей точку х. Покажем, что на этом отрезке ряд производных от членов данного ряда сходится равномерно. Докажем теперь, что функция е^x - сумма Возьмем точку хn удовлетворяющую условию Q<x0<0. Учитывая, что ряд сходится, что, и следовательно, его члены при всех n ограничены по модулю , также, принимая во внимание неравенство , оценим общий член ряда производных по модулю: (11). Отметим, что в силу необходимого условия сходимости Замечая, что числовой ряд с общим членом сходится (действительно, по признаку Даламбера , мажорирует ряд с общим членом на отрезке [-p, p] на основании признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд сходится равномерно на отрезке [-p, p]. Так как члены этого ряды непрерывны на том же отрезке, то отсюда, на основании теоремы о дифференцировании функциональных рядов, вытекает, что данный степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке отрезка [-p, p], в том числе и в упомянутой точке х.

Итак, равенство (Б) доказано для всякой точки х интервала сходимости - R<x<R данного ряда. Отсюда следует, что радиус сходимости ряда производных (Б) не меньше R. Докажем, что он не может быть и больше R. С этой целью предположим противное, то есть что ряд (Б) сходится в интервале , где . Тогда, проинтегрировав равенство (Б) на отрезке [0, x], мы получим исходное равенство (А), которое в силу теоремы об интегрировании степенных рядов должно иметь место в интервале более широком, чем (-R, R). Так как это невозможно, то заключаем, что Теорема доказана.

Следствие. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости сколько угодно раз.

Действительно, ряд , полученный почленным дифференцированием данного ряда, является степенным и поэтому к нему приложима доказанная теорема, на основании которой его снова можно дифференцировать. Так как и дальнейшие дифференцирования приводят к степенным рядам, то справедливость следствия очевидна.

Заметим, что m-кратное дифференцирование степенного ряда приводит к формуле

При этом интервалы сходимости всех производных рядов совпадают с интервалом сходимости исходного ряда.

Замечание 1. Можно доказать, что формула (Б) верна и для граничных точек интервала сходимости (-R, R) ряда (А), если только ряд, стоящий в левой части формулы (Б), сходится в этих точках.

Замечание 2. Ряд

полученный почленным интегрированием ряда имеет такой же интервал сходимости, как у ряда. Действительно, ряд получается дифференцированием ряда, вследствие чего оба ряда имеют совпадающие интервалы сходимости. Таким образом, доказано, что ни многократное интегрирование степенного ряда на отрезке [0, x], ни его многократное дифференцирование не приводят к рядам, имеющим иной интервал сходимости.

Замечание 3. Теоремы о равномерной сходимости степенного ряда, о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов, а также формулы для вычисления радиуса сходимости, остаются верными и для степенных рядов вида c той лишь оговоркой, что все утверждения относятся к интервалу

Замечание 4. Дифференцирование степенных рядов можно использовать для нахождения сумм некоторых рядов подобно тому, как делалось с помощью интегрирования степенных рядов.

Пример 4. Найти сумму ряда

Решение. Интервал сходимости данного ряда -1<x<1. Обозначая сумму ряда через S(x)=, получим откуда

Теорема 8. Если функция на интервале разлагается в

радиус сходимость функция дифференцирование

. (4)

то это разложение единственно.

По условию ряд (6) сходится на интервале и функция - его сумма. Следовательно. на основании теоремы ряд (4) можно почленно дифференцировать на интервале любое число раз. Дифференцируя, получаем

…………….………………………………………………………

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (6) х=0. имеем

, , , …,

откуда находим

,, , , ,…. (5)

Таким образом, все коэффициенты ряда (6) определяются единсвенным образом формулами (5), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (4). Получаем

Итак, если функция разлагается в степенной ряд. то этот ряд имеет вид

(6)

Ряд (6) называется рядом Маклорена для функции .

Пусть теперь -произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд (6). Установим, при каких условиях сумма ряда (6) совпадает с функцией . Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. Для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена

где остаточный член

, (7)

Если обозначить через частичную сумму ряда Маклорена, то формулу Маклорена можно записать так:

 (8)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 9. Для того чтобы ряд Маклорена (6) сходился на и имел своей суммой функцию, необходимо и достаточно, чтобы на остаточный член формулы

Маклорена (7) стремился к нулю при т.е. для любого.

Пусть функция - сумма ряда Маклорена на т.е. . Тогда из равенства (10) следует, что для любого .

Достаточность. Пусть для любого .

Тогда из равенства (10) следует, что т.е.

Это и означает, что ряд Маклорена (6) сходится на и его сумма равна .

Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена при .

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элемента?' ных функций.

Разложение функции f(x)=e^x Имеем: откуда при получаем: По формуле (8) для функции e^x составим ряд Маклорена:

(9)

Найдем интервал сходимости ряда (9)

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой;

Докажем теперь, что функция е^x - сумма ряда (9). Отметим, что в силу необходимого условия сходимости ряда для

любого х справедливо равенство

(10)

Так как то

где . Отсюда, учитывая, что получаем

Так как в силу (12)

то

Поэтому, переходя к пределу в последнем неравенстве при

получаем, что, при любом х, и, следовательно, функция e^х является суммой ряда (9). Таким образом, при любом х имеет место разложение

Разложение функции f(х)=соs х. Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции соs х в ряд Маклорена. справедливое при любом х. Однако еще проще разложение получается почленным дифференцированием ряда для :

откуда

Кроме рассмотренных функций е^x. sin х,в ряд Маклорена могут быть разложены и многие другие функции. Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням , где , т.е. ряд вида

Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.

При разложении функции в ряд Маклорена было использовано свойство почленной дифференцируемости степенных рядов. Аналогично можно использовать и другое свойство степенных рядов - их почленную интегрируемость. В качестве примера разложим с помощью почленного интегрирования в степенные ряды функции и .

Рассмотрим ряд . Данный ряд является геометрической прогрессией, первый член которой равен единице, а знаменатель . Как известно, при данный ряд сходится и его сумма равна Следовательно,

 (11)

Равенство (11) является разложением функции в степенной ряд.

Подставляя в равенство (11) - t вместо х, получаем равенство

справедливое при . Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в пределах от 0 до . Имеем

Отсюда

(12)

Равенство (12) является разложением функции в степенной ряд. Оно справедливо при . Можно доказать, что это равенство верно и для .

Действительно, при левая часть (12) равна , а правая часть - сходящийся по признаку Лейбница числовой ряд

 (13)

Остается проверить справедливость равенства

(14)

Для этого проинтегрируем от 0 до 1 выражение

полученное в результате деления единицы на . Имеем

т.е.

(15)

В этом равенстве сумма первых слагаемых является частичной суммой ряда (13). Запишем (15) в виде

(16)

Так как при , то

при

Отсюда заключаем, что интеграл в правой части (16) стремится | к нулю при, следовательно, , что и означает справедливость равенства (14)

Найдем теперь разложение функции . Подставляя в (11)

- t² вместо х и интегрируя по t от 0 до х, имеем

(17)

Равенство (17) справедливо при . Однако аналогично предыдущему можно показать, что оно верно и для .

2. Практическая часть

Вариант №24.

Разложить в степенной ряд функцию:

Решение

Для решения нужно упростить данную функцию:

Найдем разложение в степенной ряд функции . Обозначим данное выражение f(x); тогда и . С помощью биномиального ряда получим разложение в степенной ряд для выражения .

откуда

.

Из теоремы об однозначном разложение функции в степенной ряд следует, что полученное разложение является единственно возможным.

Список литературы

1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов/Н.С. Пискунов. - 2-ой том, стер. - М., 1972., 576 с.

2. Высшая математика. Учеб. для вузов - Мантуров О.В. - М.: Высш. Школа. 1991. - 448 с.

3. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов/Н.С. Пискунов. - 2-ой том, стер. - М., 1972., 576 с.

4. Высшая математика. Учеб. для вузов - Мантуров О.В. - М.: Высш. Школа. 1991. - 448 с.

Размещено на Allbest.ru