Преобразование Лапласа

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности, математической физики, радиотехники эффективно решаются методами операционного исчисления. Разработка символических методов, позволяет минимизировать и упростить вычисления сложных задач. Например, при решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения. В операционном методе широко используется преобразование Лапласа, которое преобразовывает определённый класс функций-оригиналов f(t) действительного переменного t в функцию-изображения F(p) комплексного переменного p. Применение этого метода позволяет решать дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, а также интегро-дифференциальные уравнения типа свёртки.

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

1.1 Функция-оригинал

Функцией-оригиналом мы будем называть любую комплексную функцию f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:

1) Функция f(t) удовлетворяет условию Гёльдера всюду на оси t , кроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого рода, причем на каждом конечном интервале таких точек конечное число. Это означает, что для каждого t (кроме указанных исключительных точек) существуют положительные постоянные А, и h такие, что

2) f(t)= 0 для всех отрицательных t.

3) f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М > 0, s₀ > 0, что для всех t

Число s₀ назовем показателем роста f(t); для ограниченных оригиналов можно, очевидно, принять s₀ = 0.

С точки зрения физических приложений условия 1) и 3) не нуждаются в пояснениях -- они, очевидно, выполняются для большинства функций f(t), описывающих физические процессы (t интерпретируется как время). Условие 2) на первый взгляд кажется искусственным. Однако следует иметь в виду, что операционный метод приспособлен к задачам, приводящим к решению дифференциальных уравнений с данными начальными условиями. В таких задачах вся информация о ходе процесса до момента начала наблюдения, за который, конечно, можно принять момент t = 0, содержится в начальных условиях. Таким образом, и условие 2) физически вполне естественно.

1.2 Изображение функции

Изображением функции f(t) (пo Лапласу) называют функцию комплексного переменного , определяемую соотношением

где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу: «функция f(t) имеет своим изображением F(p)» мы будем записывать символами:

,

.

Смысл этого обозначения: оригиналу f сопоставлено изображение F, а изображение F имеет своим оригиналом f .

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

2.1 Свойство линейности

Если f(t) F(p), ? (t) ?(p) и a, b - любые постоянные, то

af(t) + b?(t) aF(p) + b?(p)

Доказательство этого свойства основано на определении преобразования Лапласа и свойстве линейности определённого интеграла:

af(t) + b?(t)=

=aF(p)+bФ(p)

На основании этого свойства, например, сразу можно получить соотношения:

.

Аналогично,

, , .

2.2 Свойство подобия

Если f(t) F(p), то для любого ?>0

f(?t)

Свойство подобия характеризует изменение масштаба вещественной переменной t при преобразовании Лапласа.

Доказательство. Пусть f(?t) . Заменим ?t = ?, тогда f(?t) = .

Рассмотрим нахождение изображения для f(t) =sin² t.

Решение. Прежде всего, заменим f(t)=sin² t = 1/2(1 - cos2t), тогда sin²

t = 1/2(1 - cos2t) .

2.3 Дифференцирование оригинала

Если f(t) F(p) и f '(t), f ''(t), ... f ⁽ⁿ⁾(t) - оригиналы, то

f '(t) pF(p) - f(0),

f ''(t) p ²F(p) - pf(0) - f '(0)...,

f ⁽ⁿ⁾(t) p ⁿF(p) - p ^n-1f(0) - p ^n-2f(0) - ... - f ^(n-1)(0)

Доказательство. Найдём изображение для производной f '(t):

f '(t)

Проинтегрируем интеграл справа по частям:

f '(t)

Так как предполагается, что Re p=s > s₀, то при стремлении t , т.е. . Поэтому f '(t) pF(p) - f(0).

Найдём изображение второй производной: f ''(t) = [f '(t)] '.

Пользуясь полученным изображением для первой производной, находим

f ''(t) p[pF(p) - f(0)] - f '(0)=p ²F(p) - pf(0) - f '(0),

f '''(t) p[p ²F(p) - pf(0)-f '(0)] - f ''(0)=p ³F(p) - p ²f(0) - pf '(0) - f ''(0).

В общем случае для n-ой производной:

f ⁽ⁿ⁾(t) p ⁿF(p) - p ^n-1f(0) - p ^n-2f '(0) - ... - f ^(n-1)(0).

В частном случае, если f(0)=0, то f '(t) pF(p), т.е. операция дифференцирования оригинала f(t) сводится к умножению изображения F(p) на p. Если же f(0) = f '(0) = ... f ^(n-1)(0)=0, то f ⁽ⁿ⁾(t) p ⁿF(p).

Рассмотрим нахождение изображения для оригинала f(t) =x ''' - 4x '' -- x ' - 5, если x(0)=1, x '(0)=0, x ''(0)= -1, и x(t)=X(p).

Решение. Найдём изображение каждого слагаемого x ''' p ³X(p) - p ²x '(0) - x ''(0)=p ³X - p ² + 1, x '' p ²X(p) - px(0) - x '(0)=p ²X - p, x ' p X(p) - x(0) =p X - 1.Тогда f(t)=x ''' - 4x '' - x ' - 5X(p ³ - 4p ² - p) - p ² + 4p + 2 - 5/p.

2.4 Интегрирование оригинала

Если f(t) F(p), то

(2.4)

Доказательство. Покажем, прежде всего, что -оригинал. Действительно, по свойству определённого интеграла - функция ?(t) непрерывна всюду, где непрерывна функция f(t) или имеет конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что ?(t)=0 при значениях t<0, так как f(t)=0 при t < 0. Кроме того,

|.

В силу того, что f(t) - оригинал, существуют M > 0 и s₀ > 0, для которых ; тогда и или.

|.

Итак, =удовлетворяет всем требованиям, которые были наложены на функцию - оригинал.

Найдём изображение этого оригинала. Пусть

.

Очевидно, что ?(t)=0, и по свойству 2.3

?'(t) p?(p).

Но ?'(t)=f(t), поэтому f(t) p?(p)=F(p), ?(p)= .

Операции интегрирования в пространстве оригиналов соответствует операция деления в пространстве изображений.

2.5 Дифференцирование изображения

Если F(p) f(t), то

F '(p) (-t)f(t), F ''(p) (-t) ²f(t), ..., F ⁽ⁿ⁾(p) (-t) ⁿf(t)

Доказательство. По теореме о производной от интеграла по параметру:

,

для , если , непрерывны при a ? t ? b, c ? ? ? d.

По определению преобразования Лапласа

, а .

Дифференцированию в пространстве изображений соответствует операция умножения оригинала на аргумент с отрицательным знаком в пространстве оригиналов.

Рассмотрим нахождение изображения функций e^t, t e ^t, t ⁿe ^t.

Решение. Известно, что e^t, по свойству 2.5

, ,…, .

Можно показать так же, что

, .

2.6 Интегрирование изображения

Если f(t) F(p), - оригинал, а интеграл сходится, то

. (2.6)

Доказательство. Функция - оригинал, пусть ?(p). По свойству 2.5 f(t) - ? '(p). Но f(t) F(p), поэтому F(p)= - ? '(p) или d? = -F(p)d(p). Имеется дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его в пределах от значения p до значения ?.

= -.

Положим ? , тогда

, =

Следовательно, ?(p)= , но

?(p), поэтому .

Это соответствие существует, если Re p >s₁ > s₀, где s₀ и s₁ - показатели роста функций f(t) и соответственно.

Итак, операции деления на аргумент в пространстве оригиналов соответствует операция интегрирования в пределах от ? до ? в пространстве изображений.

Рассмотрим нахождение изображения функции

Решение. Известно, что sint, тогда

.

По свойству 2.4 .

2.7 Смещение в аргументе изображения

Если f(t) F(p) и - комплексное число, то

(2.7)

Доказательство. Применим преобразование Лапласа к оригиналу .

Показатель роста оригинала f(t) есть s₀, а показателем роста оригинала f(t) будет (s₀-Re). В связи с этим утверждение 2.7 справедливо, если Re p > (s₀-Re) или Re(p+) > s₀.

Рассмотрим нахождение изображения функции f(t)= .

Решение. Известно, что

, тогда

аналогично, из соответствия

по свойству 2.7 следует .

2.8 Смещение в аргументе оригинала (запаздывание)

Если f(t) F(p) и f(t - a) = 0 при значениях t < a, то для всякого a > 0

f(t - a)  e ^-pa F(p). (2.8)

Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом f(t - a), опаздывает на время a по сравнению с первоначальным f(t), то изображение, соответствующее этому процессу, получается из изображения первоначального оригинала умножением на функцию e ^-pa.

Доказательство. Используем определение преобразования Лапласа для оригинала f(t - a) и свойство аддитивности определённого интеграла относительно отрезка интегрирования.

+

Первый интеграл равен нулю, так как по условию f(t - a) = 0 при значениях t<a по условию теоремы. Ко второму интегралу применим замену переменной: t - a = ?, dt = d?, при значении t = a => ? = 0 , при значении t = ? => ? = ? . Тогда

Решение. Очевидно, что . Функцию f(t)=t - 2 можно записать и так («гасим» функцию): f(t)=(t - 4)+2.

Используя единичные функции ?(t - 2) и ?(t - 4), запишем

f(t)=(t - 2)?(t - 2) - (t - 4)?(t - 4) - 2?(t - 4)

Теорема запаздывания имеет особое значение в теории регулирования. Пользуясь ею, можно исследовать системы с запаздывающими звеньями и вообще кусочно-непрерывные функции.

Рассмотрим вначале «ступенчатые функции» (практически характеризующие сброс или присоединение постоянных нагрузок). Ступенчатые функции - это кусочно-непрерывные функции, которые на каждом участке непрерывности имеют постоянные значения.

Функция (рис. 2.3) может быть записана в виде: f(t)=A[?(t) - ?(t - T)] .

Для функции, изображённой на рис. 2.4, имеем

f(t) = A?(t) + (B - A)?(t - T₁) + (C - B)?(t - T₂)] - (C - D)?(t - T₃) - D?(t - T₄) .

Рассмотрим периодически-ступенчатую функцию, изображённую на рис. 2.5. Для неё

f(t)=A[?(t) - ?(t - T) + ?(t - 2T) - ?(t - 3T) + ?(t - 4T) - ?(t - 5T) + ...]

Для определения изображения функции, заданной на рис. 2.6(а), построим график её производной (рис. 2.6(б)).

Тогда f '(t) h/Tp(1 - e- ^pT), следовательно f(t) .

Для заданной на рис. 2.7(а) графически функции для определения изображения также воспользуемся графическим построением её производной (рис.2.7(б)):

Тогда

f'(t)

Так как ; f '(t) ,

то f(t)

Рассмотрим графики ещё трёх функций:

Функция f(t) может быть представлена как разность двух единичных функций f₁(t) - f₂(t), где f₁(t) = ?(t) 1, а f₂(t) = ?(t - T) , следовательно, f(t) .

2.9 Изображение периодического оригинала

Если f(t) F(p) и f(t)- периодическая функция с периодом T > 0, то

(2.9)

Доказательство. Применим замену переменной t = ? + T, dt = d?, при значениях t = T => ? = 0, при значении t = ? => ? = ? ;

+ =+.

Отсюда .

2.10 Свёртка функций. Теорема умножения

Пусть две функции f(t) и ?(t) непрерывны для значений t > 0.

Свёрткой этих функций называется интеграл

Вычисление этого интеграла называется «свёртыванием функций».

Покажем, что введённая операция обладает свойством симметрии:

f * ? = ? * f

Действительно:

=

В физике интегралу даётся следующий смысл. Если, например, в течение времени, длящегося от ? = 0 до ? = t, действуют некоторые факторы f(t), то их суммарный эффект в простейшем случае равен . Но если к каждому фактору применять весовой коэффициент ?, зависящий от промежутка времени, прошедшего между моментом возникновения фактора и моментом t наблюдения (следовательно, от t - ?, ) то свёртка функций определяет суммарный эффект всех факторов.

Можно показать, что если f(t) и ?(t) - оригиналы, то их свёртка также оригинал. Точнее, если f(t) и ?(t) - оригиналы с показателями роста s₀ и s₁ (s₀ > s₁), то f * ? - оригинал с показателем роста s₀.

Рассмотрим часто встречающийся случай, когда изображение неизвестного оригинала разлагается на множители F(p)?(p), причём известны оригиналы, соответствующие множителям F(p) f(t), ?(p) ?(t). Можно ли найти неизвестный оригинал? Ответ даёт теорема умножения (Эмиль Борель 1871 - 1956 гг.):

Теорема 2.1 Если f(t) F(p), ?(t) ?(p), то произведение изображений F(p)?(p) является изображением свёртки оригиналов: F(p)?(p) f(t) * ?(t)

Иначе говоря, умножение изображений равносильно свёртыванию оригиналов этих изображений.

Доказательство. По определению изображения

f(t) * ?(t)

Как известно, интеграл Лапласа абсолютно сходится при значениях Re p > s₀, поэтому можно изменить порядок интегрирования:

f(t) * ?(t)

Совершим замену переменной во внутреннем интеграле: t - ? = u, dt = du. Тогда

f*?

2.11 Интеграл Дюамеля

(Жан Мари Констан Дюамель 1797 - 1872 гг.)

Эта формула является следствием теоремы умножения и имеет важные приложения при расчёте переходных процессов в электрических цепях.

Если f(t) F(p), ?(t) ?(p), то

p F ?

Доказательство. Из теоремы Бореля f * ?  F(p) ?(p). Из правил дифференцирования следует:

[f * ?] ' p F ? - [f * ?]|_{t = 0}

Но, [f * ?]|_{t = 0} = , поэтому

[f * ?] ' p F ?.

Найдём производную свёртки [f * ?]`_t =

Интеграл справа - сложная функция от t как параметр в подынтегральном выражении и зависит от переменного верхнего предела t.

Рассмотрим более общий случай: пусть верхним пределом интегрирования будет функция u = u(t). Тогда . По правилу дифференцирования сложной функции

, где

Следовательно,

.

Полагая u = t, получим

=

Интеграл в левой части и называется интегралом Дюамеля.

Эта формула может быть использована для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, когда левая часть не меняется, а правая меняется неоднократно или, когда для правой части трудно подобрать изображение.

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение

и требуется найти частное решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям: x(0)=0, x'(0)=0, ..., x^(n-1)(0)=0. Решение соответствующего уравнения в пространстве изображений имеет вид:

,

где F(p) f(t), D_n(p) = pⁿ + a₁ p^n-1 + ... + a_n.

Рассмотрим уравнение с такой же левой частью, что и исходное уравнение, но с правой частью, равной оригинальной функции ?(t) и нулевыми начальными условиями

y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_ny = ?(t)

Вспомогательному уравнению соответствует решение в пространстве изображений: , отсюда X = pFY, или, используя формулу Дюамеля, имеем:

,

где y = Y(p) - решение вспомогательного уравнения. С учётом нулевых начальных условий

Таким образом, по решению уравнения в виде единичной функции можно найти решение, когда правая часть - есть любая непрерывная функция-оригинал.

На пример, найдём частное решение дифференциального уравнения x'' = arctgt, x(0) = 0, x '(0) = 0.

Решение. Вспомогательное уравнение y'' = 1, y(t) - частное решение. Операторное уравнение

, ,

Тогда искомое решение:

Если начальные условия исходного уравнения не нулевые, то заменой искомой функции задачу можно свести к задаче с нулевыми начальными условиями, при этом лишь несколько изменится правая часть уравнения, функция f(t).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

функция оригинал дифференцирование интегрирование

Применение методов, использующих преобразование Лапласа нашло широкое применение в решении различных задач электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности, радиотехники, а также и ряда других областей науки и техники, потому что оно позволяет минимизировать и упростить вычисления сложных задач дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегро-дифференциальные уравнений типа свёртки. В частности, в силу свойства линейности преобразования Лапласа и его определения решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости, 1968.

2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 1984.

3. Волковский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексных переменных.- М.: Просвещение, 1985.

4. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч.1, 1980.

5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / В.В. Шабат.- М.: Научный мир, 1983.

6. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного.- М.: Просвещение, 1988.

7. Труфанова Т.В. Интегральное преобразование Лапласа и Фурье: Учебное пособие / Т.В. Труфанова, Е.М. Салмашова. - Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2006.

Размещено на Allbest.ru