Гамма-функция Эйлера

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Амурский государственный университет

(ГОУ ВПО «АмГУ»)

Кафедра МА и М

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Гамма-функция Эйлера

по дисциплине теория функций комплексного переменного

Благовещенск 2007

РЕФЕРАТ

Работа 28 с., 2 рисунка.

Гамма-функция, мероморфная функция, функциональное уравнение, интегральное представление, комплексная плоскость, Эйлер, полюсы функции, интеграл, асимптотическое выражение, факториал

Гамма-функция участвует во многих формулах математического анализа. Впервые она была введена Леонардом Эйлером в 1927 г. В данной работе мы подробно рассмотрели построение гамма-функции, распространяющей понятие факториала на случай произвольных комплексных чисел z, привели ее основные свойства. Также в работе приведены важнейшие интегральные представления для гамма-функции, исследовано асимптотическое поведение.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Построение гамма-функции. Ее основные свойства

2 Интегральные представления для гамма-функции

3 Асимптотическое поведение гамма-функции

Заключение

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

Во многих формулах математического анализа участвует впервые введенная Леонардом Эйлером в 1729 г. функция «гамма». Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является одной из наиболее важных трансцендентных функций, распространяющей понятие факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Через гамма-функцию выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет значимую роль в теории специальных функций -- цилиндрических, гипергеометрических и других. Гамма-функция и ее свойства используются в аналитической теории чисел.

В данной курсовой работе будет рассмотрено построение гамма-функции, перечислены ее основные свойства. Также будут даны важнейшие интегральные представления для гамма-функции и исследовано ее асимптотическое поведение.

1 ПОСТРОЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ. ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Гамма-функция Г(z) является наиболее простой и наиболее важной из бесконечного множества мероморфных функций, посредством которых понятие факториала n! распространяется на случай произвольных комплексных чисел z. В силу исторических причин эта функция, введенная в науку Эйлером, определяется так, что значение n! получается при , то есть . Следовательно, характерное для факториала соотношение

записывается для гамма-функции так:

.

Кроме того, для Г(1) мы должны иметь:

.

Займемся построением этой функции, потребовав прежде всего, чтобы она удовлетворяла соотношению

при всех комплексных z. Итак, мы будем отправляться в определении гамма-функции от функционального уравнения

, . (1.1)

Однако это условие еще недостаточно для полного определения функции. В самом деле, если f₀(z) - какая-либо мероморфная функция, для которой

, ,

то для отношения получаем:

т. е. - мероморфная функция с периодом 1, обращающаяся в 1 при .

Беря такую функцию произвольно, мы представим любую из функций f(z), удовлетворяющих (1.1), в виде

.

Применим соотношение (1.1) к значениям (n - натуральное число) и перемножим полученные равенства; найдем:

. (1.2)

Отсюда при z = 1 получим:

, (1.3)

т. е. в точках значения совпадают со значениями факториалов: (это верно и для z = 1, так как ). Заставляя z в соотношении (1.2) стремиться к (m=0, 1, 2, …), получим:

. (1.4)

Следовательно, f(z) должна иметь простые полюсы во всех
точках (m = 0, 1, 2, …) с вычетами, равными .

Подчиним дополнительному условию

(1.5)

Если некоторая функция удовлетворяет двум условиям (1.1) и (1.5), то функция , например, удовлетворяет (1.1), но не удовлетворяет (1.5), так как она имеет бесконечное множество мнимых нулей и полюсов. Однако наряду с тем же условиям (1.1) и (1.5) удовлетворяет каждая функция вида , где - целая функция с периодом, равным 1, обращающаяся в 1 в точке z = 1 и не имеющая нигде нулей.

Итак, известный произвол в построении гамма-функции еще остается и после введения условия (1.5). Пользуясь этим условием, мы можем утверждать, однако, что функция

(1.6)

является целой с простыми нулями в точках , причем других нулей, кроме указанных, она не имеет.

Поэтому ее можно представить в следующем виде:

, (1.7)

где g(z) - целая функция (при выборе множителей , обеспечивающих сходимость произведения, мы пользуемся тем, что ряд сходится). Следовательно, каждая мероморфная функция f(z), удовлетворяющая условиям (1.1) и (1.5), должна иметь вид:

. (1.8)

Очевидно, она удовлетворяет условию (1.5) при любом выборе целой функции g(z). Чтобы исследовать условие (1.1), представим формулу (1.8) в виде

. (1.9)

Полагая для краткости

,

получим:

Здесь C обозначает известную постоянную Эйлера

.

Итак, мы удовлетворим функциональному уравнению (1.1), если подчиним целую функцию g(z) условию

.

Кроме того, условие f(l) = l дает:

,

откуда

(l - целое число).

Простейшей из целых функций, удовлетворяющих найденным условиям, является целая линейная функция

.

Мы завершим определение гамма-функции, если произведем именно этот наиболее простой выбор функции g(z). Обозначая

Рисунок 1 - графики функций и

гамма-функцию через , будем иметь по формуле (1.8):

. (1.9')

Для целой функции получим:

. (1.10)

Так как здесь показатель сходимости последовательности нулей равен 1 и степень многочлена Cz также равна 1, то порядок этой функции равен 1.

Наглядное представление о поведении функций и дают графики этих функций, изображенные на рисунке 1.

Из формулы (1.10) следует важное соотношение, связывающее и :

, (1.11)

или

.

Но по формуле (1.1) , поэтому

,

или

. (1.11')

Отсюда, в частности, получаем:

,

и так как , то

. (1.12)

Формула (1.9) при дает следующее представление для гамма-функции:

и так как , а , то

. (1.13)

Эта формула была получена впервые Эйлером и поэтому должна называться его именем (в учебниках она обычно фигурирует под именем Гаусса).

Перечислим основные свойства гамма-функции:

1. аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки .

2. удовлетворяет функциональному уравнению

,

или более общему

.

3. При всех целых положительных значение совпадает с :

.

4. Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет в полюсе равен ().

5. Функция - целая, следовательно, гамма-функция не обращается в нуль.

Свойства 3)--5) выясняют общий характер графика функции действительного аргумента х.

6. Для всех комплексных z

(при , обе части равенства обращаются в бесконечность).

Полагая в этой формуле , находим , откуда

.

Полагая теперь , будем иметь:

.

Остановимся на интегральных представлениях гамма-функции.

7. Для всех z из правой полуплоскости

,

где интегрирование производится по положительной полуоси t (Эйлер). Это представление будет рассмотрено в следующем пункте)

8. Интегральные представления гамма-функции во всей плоскости (Ханкель):

.

9. Асимптотическую формулу для гамма-функции (Стирлинг) для больших положительных х:

.

Пример: В качестве примера использования гамма-функции мы приведем вычисление так называемого эйлерова интеграла первого рода, или бета-функции, которая для , определяется соотношением

. ()

Для вычисления интеграла мы воспользуемся операционным методом.

Рассмотрим несколько более общий интеграл

,

который является сверткой функций и и при дает . По теореме умножения изображением этой свертки является произведение изображений и , т. е.

.

С другой стороны, так как - постоянная, то оригинал правой части можно найти так:

.

По теореме единственности изображений получаем, следовательно,

.

Полагая здесь , получаем искомое выражение через гамма-функцию:

.

Заметим, что эта формула дает аналитическое продолжение бета-функции, определенной интегралом () лишь для , , на всю комплексную плоскость значений z и .

2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ГАММА-ФУНКЦИИ

В этом пункте мы дадим важнейшие интегральные представления для гамма-функции. Прежде всего докажем, что при Re z > 0 имеет место формула

, (2.1)

где интегрирование производится вдоль положительной части действительной оси. Эта формула также принадлежит Эйлеру (эйлеров интеграл второго рода). Рассмотрим интеграл

, (2.2)

где обозначает . Вследствие того, что

,

интеграл этот абсолютно сходится для каждого z, принадлежащего области D: . При этом функция равномерно ограничена внутри области D, т.е. на каждом ограниченном и замкнутом множестве точек этой области. Отсюда и из того, что является целой функцией от z при каждом t, , заключаем, что есть аналитическая функция в полуплоскости D. Прежде чем доказывать равенство (2.1), докажем вспомогательное соотношение

. (2.3)

Производя замену переменной интеграции в интеграле

, получим:

или после n-кратного интегрирования по частям:

.

Но отсюда вытекает, что формула (2.3) совпадает с формулой (1.13) (при ) и, следовательно, справедлива. Теперь остается доказать, что

или что

(2.4)

(так как ).

Замечая, что при :

,

получим:

и ;

следовательно,

Поэтому

,

откуда и вытекает (2.4). Итак, соотношение (2.1) доказано.

Представим формулу (2.1) в следующем виде:

. (2.5)

Заменяя в первом из интегралов правой части функцию ее разложением в степенной ряд и интегрируя почленно, получим:

. (2.6)

Мы установили эту формулу при . Но получившийся ряд сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной области, исключая из нее точки 0, -1, -2,… Поэтому он представляет функцию , однозначную и аналитическую во всей конечной плоскости, исключая точки 0, -1, -2, …, в которых имеет простые полюсы. Следовательно, - мероморфная функция. Очевидно, вычет относительно полюса -m есть , т.е. совпадает с вычетом относительно того же полюса. Следовательно, разность есть целая функция. Из формулы (2.5) вытекает, что в области D эта разность представляется интегралом . Но этот интеграл, как легко видеть, абсолютно сходится при любом z и представляет целую функцию во всей конечной плоскости. Итак, при любом z имеем:

. (2.7)

Переход от формулы (2.5) к формуле (2.7) основан на замене интегрального выражения мероморфной функции , сходящегося только в полуплоскости D, ее разложением на простейшие дроби, сходящимся во всей плоскости. Очевидно, формула (2.7) представляет разложение на простейшие дроби функции .

Выведем еще одно интегральное представление для . Обозначим через G область, границей которой является отрицательная часть действительной оси (включая в нее точку z = 0), и рассмотрим интеграл

, (2.8)

где контур состоит из отрезка отрицательной полуоси , из окружности , пробегаемой против, часовой стрелки, и, наконец, из того же отрезка отрицательной оси, пробегаемого в направлении от точки к точке .

Мы отличаем при этом отрезок , когда он встречается в первый раз, от того же отрезка, встречающегося второй раз, рассматривая его то как нижний, то как верхний край разреза вдоль отрицательной полуоси. Определяя функцию в области G по формуле , мы полагаем в точках нижнего края разреза , а в точках верхнего края разреза .

При этих условиях формула (2.8) определяет функцию, однозначную и аналитическую во всей конечной плоскости, т. е. целую. Очевидно, последовательность равномерно сходится в каждой ограниченной области плоскости, так как при имеем:

откуда и вытекает равномерная сходимость этой последовательности. Поэтому есть целая функция, представляемая несобственным интегралом

, (2.9)

где состоит из полупрямой , окружности и еще раз той же полупрямой, пробегаемой в обратном направлении.

Убедимся в том, что не зависит от ; в самом деле, разность интегралов (2.9), взятых вдоль и , выражается интегралом , взятым вдоль замкнутого контура, состоящего из двух окружностей и и дважды пробегаемого отрезка , соединяющего их точки. В силу интегральной теоремы Коши этот интеграл равен нулю (достаточно представить интеграл в виде суммы двух интегралов, взятых вдоль полуколец, на которые рассматриваемый контур делится положительной частью действительной оси, и затем приложить теорему к каждому полукольцу в отдельности). Отсюда следует, что интеграл (1.9) не зависит от .

Пусть теперь и , где <1; заставим стремиться к нулю.

Так как

,

то при .

Следовательно, при можно представить в виде

,

где есть отрицательная часть действительной оси, пробегаемая дважды во взаимно противоположных направлениях.

Точнее говоря,

Так как при имеем: , то по формуле (2.1) интеграл равен .

Следовательно,

;

по формуле (1.11') это соотношение можно переписать в виде

.

Последняя формула доказана нами только для ; но так как обе функции и являются целыми, это равенство должно иметь место во всей конечной плоскости. Заменяя интегральным представлением (2.9), также справедливым при всех значениях z, найдем:

(2.10)

Заменяя здесь z через 1-z и пользуясь формулой (1.11'), получим:

. (2.11)

Заметим, что для любого контур можно заменить контуром , состоящим из прямолинейного луча , дуги окружности , определяемой условием , и из симметричного с первым относительно действительной оси прямолинейного луча , .

Рисунок 2

Проверим это для формулы (2.10). Интеграл , взятый вдоль каждого из двух замкнутых контуров и , имеющих вид криволинейных прямоугольников (рисунок 2), равен нулю. С другой стороны интегралы , взятые вдоль каждой из двух дуг и окружности , входящих в состав и , стремятся к нулю при , так как на этих дугах имеем:

.

Переходя к пределу при в соотношениях

и ,

получаем, что интеграл , взятый вдоль пути, состоящего из нижнего края разреза и из дуги окружности , определяемой неравенством , равен интегралу от той же функции, взятому вдоль луча , . Аналогичное обстоятельство имеет место для пути, состоящего из верхнего края разреза и из дуги окружности , и луча .

Отсюда следует, что

при всех z, т. е.

. (2.10')

Аналогично

(2.11')

3 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ

Исследуем здесь асимптотическое поведение гамма-функции. Предварительно нам понадобится элементарное соотношение между суммами и интегралами, представляющее частный случай формулы суммирования Эйлера.

Пусть - функция, определенная и непрерывная при вместе со своей первой производной. Тогда для любого натурального числа k имеем:

Пусть [t] есть целая часть t, a - дробная часть t; тогда для имеем: и .

Очевидно, что есть периодическая функция с периодом, равным единице, непрерывная при всех t, не равных целому числу, и удовлетворяющая неравенству

.

Заменяя под знаком интеграла через (значения этих двух функций различны только при t = k; такое различие не влияет на величину интеграла), получим:

.

Складывая полученные равенства для k = 1, 2, …, n, найдем:

,

или

. (3.1)

Это и есть нужное нам равенство.

Воспользуемся теперь формулой Эйлера (1.13)

,

где ; получим:

,

где m_n -- некоторые целые числа.

Считая точку z фиксированной и не лежащей на отрицательной полуоси (включая в нее и начало координат), применим формулу (3.1) к функции ; найдем:

или (замечая, что

)

.

Положим здесь z = 1 и полученное равенство вычтем почленно из данного равенства, найдем:

Следовательно,

, (3.2)

где

.

Перепишем группу членов в квадратных скобках, содержащую логарифмы, зависящие от n, в следующем виде:

где интегрирование можно вести, например, вдоль отрезков прямых. Отсюда вытекает, что вся эта группа стремится к пределу при .

Преобразуем, далее, выражение для I_n(z).

С этой целью заметим, что

,

и, следовательно,

.

Поэтому есть непрерывная периодическая функция с периодом, равным единице, принимающая действительные значения, удовлетворяющие неравенству:

.

Интегрируя по частям, получим:

,

откуда следует, что

.

Учитывая сказанное, можем переписать формулу (3.2) в виде

, (3.3)

где - целое число.

Убедимся сначала в том, что если , есть фиксированная полуполоса ширины , содержащая отрицательную часть действительной оси, то для всех точек z, не принадлежащих , имеем:

. (3.4)

В самом деле,

.

Если и , то последний интеграл, равный , будет меньше чем ; если же , то

.

Итак, наше соотношение доказано и притом для .

Отсюда следует, что

, (3.3')

где , если .

Этой формулой можно пользоваться, в частности, вдоль любого фиксированного луча , где (при достаточно больших). Поэтому вдоль такого луча имеем:

;

т. е.

для всех достаточно больших. Отсюда вытекает, что целая функция , порядок которой, как мы знаем, равен единице, обладает максимальным типом (), т.е. для нее не существует таких положительных постоянных С и К, чтобы неравенство

выполнялось для всех z.

Пусть теперь - положительное число, меньшее чем ; обозначим через область ; в этой области

. (3.5)

В самом деле, для сколь угодно большого можно указать такое , что точка z, принадлежащая и лежащая вне круга , будет вместе с тем лежать и вне полуполосы (это утверждение немедленно следует из того, что часть , находящаяся в , представляет ограниченное множество). Отсюда вытекает по предыдущему, что

,

если и ; следовательно, соотношение (3.5) справедливо.

Вычислим, наконец, постоянное . С этой целью заметим, что по формуле (1.11)

,

откуда для получаем:

.

Но (в силу того, что принимает действительные значения при z действительных, как это следует, например, из формулы (1.9')); поэтому полученное соотношение записывается так:

.

Полагая , , в формуле (3.3) и отделяя в ней действительные части, получим:

,

или

.

Переходя к пределу при и замечая, что по доказанному выше

,

найдем:

.

Окончательно формула (3.3) принимает вид

. (3.6)

Эта формула называется формулой Стирлинга.

Ее можно переписать в виде

. (3.6')

Так как в каждой области вида интеграл, стоящий в квадратных скобках, стремится к нулю, то

, ,

или, употребляя знак асимптотического равенства:

, (3.6'')

Обычно именно последнюю формулу и разумеют под именем формулы Стирлинга. Значение ее заключается в том, что она дает асимптотическое выражение для через конечную комбинацию элементарных функций. В частности, при (n - натуральное) имеем и, следовательно,

,

откуда, замечая, что

,

получаем асимптотическое выражение для факториала

. (3.7)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первом пункте данной работы мы построили гамма-функцию, отталкиваясь от функционального уравнения и введя несколько дополнительных условий. Далее были перечислены основные свойства гамма-функции и приведён пример ее использования (вычисление эйлерова интеграла первого рода, или бета-функции).

Во втором пункте работы приведены важнейшие интегральные представления для гамма-функции.

В третьем пункте курсовой работы мы исследовали асимптотическое поведение гамма-функции. Была получена формула Стирлинга, дающая асимптотическое выражение для гамма-функции через конечную комбинацию элементарных функций. Также было получено асимптотическое выражение для факториала.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аксенов А.П. Математика. Теория функций комплексной переменной/ А.П. Аксенов - СПб.: Студенческая книга, 2005.

2. Лаврентьев М.А. Методы ТФКП/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - М.: Наука, 1987. гамма асимптотический уравнение эйлер

3. Леонтьева Т.А. Лекции по теории функций комплексного переменного/ Т.А. Леонтьева - М.: Научный мир, 2004.

4. Лунц Г.Л. Функции комплексного переменного/ Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц - СПб.: Лань, 2002.

5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Дальнейшее построение теории/ А.И Маркушевич - М.: Наука, 1968.

6. Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного/ А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - СПб.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

7. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного/ Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И Шабунин - М.: Наука, 1989.

8. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ/ Б.В. Шабат - СПб.: Лань, 2004.

Размещено на Allbest.ru