Размещено на http://www.allbest.ru/

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕРЕДАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В Г. НАБЕРЕЖНЫЕ ЧЕЛНЫ

ФАКУЛЬТЕТ ПМ и ИТ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Специальность: «Математические методы в экономике»

«Об общей теории приближенных методов анализа»

Выполнила

студентка Минлибаева Ирина Владимировна

Научный руководитель

Доцент Фазылов Валерий Рауфович

2010 г

Содержание

• 1. Обратимость операторов
• 2. Решение уравнений и обратимость аппроксимирующих операторов
• 3. Разрешимость и оценка погрешности
• Литература

1. Обратимость операторов

Пусть и - произвольные линейные нормированные пространства с нормами соответственно и , - линейный, т.е. аддитивный и однородный, оператор, действующий из в . В этом случае мы будем писать .

Определение. Оператор обратим слева (справа), если существует оператор () такой, что

();

здесь () обозначает единичный оператор в пространстве (). Будем в дальнейшем обозначать через , - через , называется левым, соответственно правым, обратимым оператором к исходному оператору . В случае, когда обратим и слева, и справа, будем кратко говорить о двухсторонней обратимости операторов. Очевидно, что тогда и его обозначим через .

Лемма 1. Для того, чтобы линейный ограниченный оператор был обратим слева, необходимо и достаточно, чтобы:

1. подпространство нулей оператора было тривиальным, т.е. ;

2. множество значений оператора было подпространством, имеющим прямое дополнение в .

Лемма 2. Для того чтобы линейный ограниченный оператор был обратим справа, необходимо и достаточно, чтобы:

1. множество значений совпадало с , т.е. ;

2. имело прямое дополнение в .

Замечание. Леммы 1 и 2 дают необходимые и достаточные условия двусторонней обратимости оператора. А именно, линейный оператор двусторонне обратим тогда и только тогда, когда и .

К сожалению, условия односторонней обратимости оператора, приведенные в леммах 1 и 2, трудно проверить на практике. Поэтому мы в следующих леммах даем более простые, в основном достаточные, условия односторонней и двусторонней обратимости линейного оператора, в некоторых случаях непрерывной обратимости. Как известно, для линейных операторов непрерывность оператора эквивалентна его ограниченности. Поэтому иногда мы используем вместо свойства непрерывности оператора его ограниченность. Напомним, что оператор называется непрерывным, если из того, что при в следует в .

Лемма 3. Эта лемма известна в функциональном анализе как теорема Банаха об обратимости оператора. Пусть - -пространство, т.е. полное нормированное пространство, - непрерывный оператор, причем .

Тогда оператор - имеет непрерывный обратный, при этом

.

Действительно, рассмотрим ряд

Он сходится, т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом

,

и, следовательно, сумма ряда представляет некоторый оператор со свойством . Имеем

, .

Поэтому оператор двусторонне обратим, причем

, .

Следствие. Пусть , - -пространство, - непрерывные операторы, причем существует непрерывный обратный , и пусть . Тогда оператор непрерывно обратим и .

В самом деле, представим . Тогда имеет непрерывный обратный, причем .

Лемма 4. Пусть , - линейные нормированные пространства - линейный оператор их в .

Тогда, для того чтобы оператор был непрерывно обратимым слева, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная , не зависящая от элементов , такая, что

, . (1)

При этом , .

Действительно, если , различны, то из (1) следует . Поэтому , т.е. оператор осуществляет взаимно однозначное отображение пространства на . Тогда, с учетом замечания к леммам 1 и 2, имеет двусторонний обратный. Обозначим через соответствующий обратный. Нетрудно видеть, что есть левый обратный к оператору , т.к. , . Его обозначим через .

Пусть теперь - произвольный элемент пространства и . Тогда и поэтому неравенство (1) можно переписать в виде:

. ()

В силу произвольности неравенство () справедливо для любого .

Обозначим через множество . Если существует левый ограниченный обратный , то для любого элемент . Имеем

т.е.

,

справедливое при любых . Таким образом, справедливо неравенство (1) с постоянной .

Лемма 5. Пусть и - конечномерные пространства одинаковой размерности: .

Тогда, для того чтобы оператор имел левый обратный , необходимо и достаточно, чтобы этот оператор имел правый обратный .

Следствие. В условиях леммы 5 для существования двустороннего обратного оператора необходимо и достаточно, чтобы существовал любой из операторов ( или ).

Доказательство. Положим , и рассмотрим -мерное евклидово пространство с обычными нормой и скалярным произведением. Известно, что линейные нормированные пространства и , а также и являются гомеоморфными. Пусть - гомеоморфизм на , - гомеоморфизм на . Введем в рассмотрение оператор , действующий в пространстве .

Легко видеть, что если оператор имеет односторонний обратный ( или ), то оператор имеет также соответствующий обратный ( или ), и наоборот, причем

, .

Поэтому лемму достаточно доказать применительно к оператору . При этом существенно будем использовать соотношения Через обозначим оператор, сопряженный к оператору , т.е. определяемый через скалярное произведение в соотношением: , .

, (2)

, (3)

эквивалентные решения уравнения , заданного в конечномерном гильбертовом пространстве .

Пусть существует левый обратный . Тогда по лемме 1 подпространство нулей линейного оператора тривиально, т.е. . Поэтому в силу (3) , т.е. подпространство нулей сопряженного оператора также тривиально. Поэтому из первой части двойного равенства (2) вытекает .

Таким образом, для имеем и , которые, в силу леммы 2, обеспечивают существование правого обратного .

Пусть теперь существует правый обратный . Тогда, по той же лемме 2, и, следовательно, . Поэтому существует левый обратный .

Заметим, что предположение леммы относительно размерности пространств и существенно. В самом деле, пусть . Тогда уравнение

(, ) (4)

эквивалентно в определенном смысле системе из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Поскольку такая система не всегда совместна, то не всегда существует и решение (4), что означает: не всегда существует правый обратный .

Лемма 6. Если оператор , переводящий -пространство в нормированное пространство , имеет левый линейный непрерывный обратный , то множество представляет собой -пространство.

Очевидно, в доказательстве нуждается только полнота пространства . Пусть - сходящаяся в себе последовательность элементов пространства . Обозначим (), . Тогда, для некоторой положительной постоянной , по лемме 4.

, .

Поэтому - сходящаяся в себе последовательность пространства и, следовательно, она сходящаяся в силу полноты пространства к некоторому элементу , т.е. . Так как , то обозначая , получим и при .

Тем самым полнота пространства доказана.

Следствие. В условиях леммы множество замкнуто в .

Пусть - нормированное пространство и - его подпространство. Объединим элементы из в классы, относя два элемента и в один класс, если . При этом, очевидно, различные классы не содержат общих элементов, и каждый элемент входит в один и только один класс. Пусть - один из таких классов и . Тогда . Обозначим полученное множество классов через . В множестве всех классов можно ввести операции сложения классов и умножения на число, полагая

, , , , ,, .

Легко проверить, что эти операции заданы корректно, т.е. не зависят от выбора элементов и . Тогда множество становится линейным множеством, причем роль нулевого элемента играет, очевидно, класс, содержащий нулевой элемент пространства , т.е. подпространство . Если для положить , то превращается в нормированное пространство. Построенное таким образом нормированное пространство называется фактор - пространством пространства по подпространством .

Лемма 7. Если - -пространство, то и фактор - пространство пространства по произвольному фиксированному подпространству будет - пространством.

Действительно, обозначим через отображение, которое произвольному элементу ставит в соответствие класс . Поскольку , , отображение непрерывно. Более того, отображение обладает свойством: для любого найдется элемент такой, что

, . (5)

Пусть теперь - сходящаяся в себе последовательность элементов пространства . Тогда ряд будет сходящимся. В соответствии с (5) найдем элемент так, что

, , ; .

Ясно, что ряд сходится. Следовательно, в силу полноты пространства сходится ряд . Обозначая его сумму через и полагая , найдем

,

т.е. последовательность сходится к элементу , что и требовалось доказать.

Пусть имеются два нормированных пространства и и линейный непрерывно обратимый оператор , отображающий в . Тогда множество является, очевидно, подпространством пространства . Образуем фактор - пространство . Определим на этом пространстве линейный оператор , полагая

, , . (6)

Оператор определяется соотношением (6) однозначно, т.к. если , то , и, следовательно .

Таким образом, формула (6) определяет линейный оператор , отображающий пространство в . Оператор непрерывен, т.к. , , , и, значит, , . Из определения оператора следует, что .

Лемма 8. Если , то оператор осуществляет взаимно однозначное соответствие на .

В самом деле, если , будет , т.е. . Отсюда следует совпадение класса с классом - нулевым элементом пространства . Поэтому, если , различны, то .

2. Решение уравнений и обратимость аппроксимирующих операторов

уравнение оператор обратимость погрешность

Пусть и - произвольные линейные нормированные пространства, а и - их произвольные подпространства.

Рассмотрим два уравнения: точное -

(, ) (7)

и соответствующее ему приближенное -

(, ), (8)

где и - линейные операторы, действующие соответственно из в и из в .

Иногда будем предполагать, что существует линейный оператор , отображающий на : , а пространства и , и , операторы и , и являются в определенным смысле близкими, точнее, связанными между собой некоторыми условиями близости. Это даст основание исходное уравнение (7) называть «точным», а уравнение (8) - «приближенным», соответствующим «точному» уравнению (7), что, в свою очередь, позволяет точное решение приближенного уравнения (8) принять за приближенное решение точного уравнения (7).

В дальнейшем, в зависимости от ситуации, понадобятся некоторые из следующих условий.

А. и - конечномерные пространства одинаковой размерности: .

Б. - проекционный, т.е. , - непрерывный оператор, есть - пространство, причем для любых и существует элемент такой, что

.

I. Существует число такое, что для любого

,

где не зависит от элемента .

II. Для любого существует элемент такой, что

,

где - положительная постоянная, не зависящая от .

III. Для решения уравнения , где , существует такой элемент , что

а) ,

б) ,

где постоянные и не зависят от .

Теорема 1. Пусть оператор имеет левый ограниченный обратный , и оператор ограничен, где . Если выполнены условия I, II, и

, (9)

то приближенный оператор имеет также левый обратный , причем

. (10)

Следствие. Пусть выполнено одно из условий: а) А; б) Б; в) уравнение (8) является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором в - пространство . Если оператор имеет двусторонний ограниченный обратный , то при

()

приближенный оператор имеет также двусторонний ограниченный обратный и

. ()

Доказательство. Пусть - произвольный элемент из и - элемент, удовлетворяющий условию II. Тогда с учетом имеем

, .

Поэтому, с учетом условия I, для любого последовательно находим

.

Последнее неравенство, с учетом леммы 4, позволяет найти оценку

, .

Отсюда, в силу (9) и той же леммы 4, следует существование левого ограниченного обратного и справедливость оценки (10).

Перейдем теперь к доказательству следствия. Предположим, что существует двусторонний ограниченный обратный , и выполнено неравенство (). Тогда в силу теоремы существует левый ограниченный обратный . Поэтому в случае а) из леммы 5 вытекает также существование , и, следовательно, существование двустороннего обратного и справедливость ().

В случае б) доказательство можно провести следующим образом. Поскольку линейный оператор имеет левый ограниченный обратный , то по следствию из леммы 6 множество замкнуто в подпространстве . С другой стороны, в силу существования . Поэтому для произвольного элемента , в силу последнего соотношения, существует такой, что . Так как выполнено условие Б, то по найдется элемент , что каково бы ни было число . Последнее означает, что замыкание множества совпадает с , т.е. .

Таким образом, при выполнении условия Б . Это условие вместе с тривиальностью () эквивалентно существованию двустороннего ограниченного обратного .

В случае в) справедливость следствия вытекает из теоремы 1 и теорем Фредгольма для операторных уравнений второго рода с вполне непрерывными операторами.

Замечание 1. Оператор может быть ограниченным, если даже неограничен.

В подтверждение этого замечания приведем лишь один тривиальный пример. Пусть отображает элементы подпространства в подпространство . Тогда, очевидно, . Это соотношение вместе с означает, что есть нулевой оператор, и, следовательно, является ограниченным, каким бы ни был оператор .

Замечание 2. Если - ограниченный оператор, то в теореме 1, несколько огрубляя, можно положить

,

так как из следует и, следовательно,

.

Замечание 3. Если , то теорема 1 неверна.

В этом случае справедлива.

Теорема . Пусть оператор имеет левый ограниченный обратный и оператор ограничен. Если

_, ,

то приближенный оператор имеет также левый ограниченный обратный , причем

_.

В самом деле, возьмем и рассмотрим . Как и в теореме 1, имеем последовательность неравенства

_.

Лемма 9. Пусть - линейный непрерывный оператор из - пространства в - пространство и пусть для каждого существует такое , что

_{; ,}

где и - постоянные. Тогда уравнение

(11)

при любом имеет решение , удовлетворяющее неравенству

_.

Доказательство. Положим . По условию, найдется такое , что

_{; .}

Обозначим . Снова по найдем так, что

_{; .}

Продолжая этот процесс, построим последовательности и такие, что

, , , .

Суммируя последние равенства по от 1 до , получим

_, . (12)

Ряд , очевидно, сходится. Обозначая его сумму , имеем

_.

С другой стороны, поскольку , переход к пределу по в (12) даст

_,

т.е. - решение уравнения (11).

Замечание 4. Очевидно, утверждение леммы 6 справедливо и без предположения о полноте пространства .

Теорема 2. Пусть , оператор имеет правый ограниченный обратный и выполнены условия I и III с

_. (13)

Если подпространство нулей линейного оператора имеет прямое дополнение в - пространстве , то приближенный оператор имеет также правый ограниченный обратный и

_. (14)

Следствие 1. Пусть оператор имеет двусторонний ограниченный обратный , выполнены условия А, I и III

_.

Тогда оператор имеет также двусторонний ограниченный обратный и

_. (15)

Следствие 2. Пусть , , - - пространства, а и - непрерывные операторы. Обозначим через фактор - пространство пространства по подпространству нулей оператора , а через - непрерывный оператор из в , индуцированный оператором . Если уравнение (7) разрешимо при любом и выполнены условия I и III, то при

(16)

приближенное уравнение (8) имеет решение при любом , причем

. (17)

Доказательство. Пусть - произвольно фиксированный элемент. Рассмотрим элемент . Очевидно,

. (18)

Так как есть решение уравнения , то по условию IIIа) существует элемент такой, что

. (19)

С другой стороны, при произвольно фиксированном условия I, IIIб) и (13) позволяют получить оценку

;

здесь мы воспользовалось тем, что . С помощью неравенств (18) и (19) последнее неравенство можно продолжить:

.

Итак, учитывая (18) и (19), для любого элемента найдется элемент такой, что

, ,

причем в силу (13) . Тогда по лемме 9, с учетом замечания к ней, уравнение (8) имеет решение при любой правой части , удовлетворяющее неравенству

.

Из этого неравенства и предположения о том, что множество имеет прямое дополнение в , по лемме 2 следует существование правого ограниченного обратного и справедливость оценки (14).

Далее, в условиях следствия 1 по лемме 5 из существования правого обратного следует существование и левого обратного , причем .

Докажем теперь следствие 2. Поскольку область значений оператора совпадает со всем пространством , т.е. , то по лемме 8 оператор осуществляет взаимно однозначное отображение на , причем в силу леммы 7 является - пространством. Поэтому существует непрерывный оператор . Последнее, в частности, означает, что уравнение (, ) имеет при любой правой части единственное решение , откуда, в свою очередь, следует существование такого элемента , , что для любого справедливо неравенство

.

Дальнейшие выкладки повторяют доказательство теоремы 2 с заменой на .

Теорема 3. Пусть , , , - - пространства и существует линейный оператор такой, что:

1. отображает в ;

2. ; . (20)

Если оператор имеет односторонний ограниченный обратный ( или ), то при

(21)

приближенный оператор имеет также односторонний ограниченный обратный , причем

( или ). (22)

Следствие. Если оператор имеет двусторонний ограниченный обратный и

, ()

то оператор имеет также двусторонний ограниченный обратный и

. ()

Доказательство. Так как для любого

,

, ,

и, следовательно, справедливость теоремы следует из теоремы . Остается поэтому доказать справедливость утверждения при . Тем не менее доказательство теоремы 3 будем вести сразу для любого ( или ).

Итак, пусть существует или . Тогда оператор можно, очевидно, представить соответственно в виде

, , (23)

где и - единичные операторы в и соответственно. Поскольку , то из соотношений (23), с учетом леммы 3, нетрудно видеть, что оператор имеет односторонний обратный такой, что

. (24)

Очевидно, в силу условия 1) теоремы , причем

. (25)

Поэтому из (21) и (25) следует, что

. (26)

Далее, приближенный оператор можно представить соответственно в виде

, , (27)

где и - единичные операторы в и соответственно.

Имеем

, , (28)

, , ()

причем, в силу (26),

, . (29)

Поскольку , то правая часть (29) может быть оценена следующим образом:

.

Таким образом, , , и поэтому операторы в квадратных скобках в (27) по лемме 3 имеют двусторонние обратные, а, следовательно, приближенный оператор имеет односторонний ограниченный обратный . С учетом соотношений (25), (27), (28), (), и леммы 3, для нормы одностороннего оператора имеем оценку:

. (30)

Но из (29) следует неравенство

.

Поэтому с помощью последней оценки неравенство (30) можно продолжить:

, или ,

Что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие вытекает из того, что из существования двустороннего обратного следует двусторонняя обратимость оператора и, следовательно, двусторонняя обратимость оператора и оценка ().

Теорема 4. Пусть выполнены условие Б и одно из следующих условий: а) А; б) , где - единичный, а - вполне непрерывный операторы в пространстве . Тогда, если оператор имеет двусторонний ограниченный обратный, приближенный оператор имеет также двусторонний ограниченный обратный.

Действительно, поскольку выполнено условие Б, то из полноты и непрерывности оператора следует замкнутость множества в . А тогда с учетом существования , как показано при доказательстве следствия к теореме 1 в случае б), . Последнее означает существование правого обратного . При выполнении условия А из существования по следствию из леммы 5 вытекает существование двустороннего обратного оператора .

В случае б) из известной теоремы Фредгольма следует , что дает возможность также утверждать о существовании двустороннего обратного оператора .

Приведем примеры линейных операторов , которые показывают, что на практике как сами операторы , так и их обратные, в случае их существования, могут быть как ограниченными, так и неограниченными.

Пример 1. Пусть , - пространства соответственно непрерывно-дифференцируемых и непрерывных на функций. Рассмотрим оператор , определяемый соотношением , где не обращается в нуль ни в одной точке отрезка . Ясно, что - линейный оператор.

а) Норму в и зададим следующим образом:

(); ().

,

что означает ограниченность оператора , причем

.

Очевидно, оператор , определяемый соотношением

, , , ,

является правым ограниченным обратным. Таким образом, оператор имеет целое семейство правых обратных. Кроме того, если сузить пространство условием , , то при оператор является одновременно и левым обратным.

б) Пусть, по-прежнему, , а- подпространство пространства функций , обладающих свойством , . Норму в возьмем как и в пункте а), а в зададим по формуле

, .

Тогда оператор неограничен.

В самом деле, возьмем , . Ясно, что при любом произвольно фиксированном , причем . Поэтому (считаем )

.

Отсюда следует, что при норма оператора стремится к . Пример 2. Пусть с обычной max-нормой. Рассмотрим оператор , определяемый соотношением

, , ,

где - известная непрерывная функция в квадрате ; - данный числовой параметр, .

Оператор - линейный ограниченный оператор.

Действительно, поскольку , , то

, .

Поэтому

.

Известно, что вполне непрерывен как оператор, действующий в пространстве . Поэтому обратный оператор к оператору , в случае его существования, неограничен.

3. Разрешимость и оценка погрешности

Рассмотрим связь между обратимостью оператора и разрешимостью уравнения (7).

Лемма 10. Если существует правый обратный к оператору , то уравнение (7) имеет решение при любой правой части.

В самом деле, элемент при любом принадлежит, очевидно, пространству , при этом

,

что означает, что - решение уравнения (7).

Лемма 11. Если существует левый обратный к оператору , то уравнение (7) может иметь не более одного уравнения.

Действительно, пусть решение (7) имеет при данном два решения , т.е. , . Тогда . Применив к этому уравнению левый обратный оператор , получим .

Как следствие из лемм 10 и 11 вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 5. Пусть существует двусторонний обратный к оператору . Тогда уравнение (7) имеет единственное решение при любой правой части.

Следующие утверждения дают ответы на вопросы о разрешимости приближенного уравнения (8), если таким свойством обладает точное уравнение (7), и об оценке погрешности приближенного решения.

Теорема 6. Пусть выполнено условие Б и множество замкнуто в . Если уравнение (7) разрешимо при любой правой части, то уравнение (8) также разрешимо при любой правой части.

В самом деле, предположения теоремы обеспечивают справедливость равенства . Последнее равенство, очевидно, означает разрешимость уравнения (8) при любой правой части.

Теорема 7. Пусть существует ограниченный обратный и уравнение (8) имеет решение при любой правой части . Тогда для погрешности приближенного решения справедлива следующая двусторонняя оценка:

, (31)

где - решение уравнения (7), а .

Следствие. Пусть выполнено условие

, . (32)

Тогда справедлива оценка

. (33)

Доказательство. Так как уравнения (7) и (8) разрешимы при любых правых частях соответственно и , то справедливо тождество

. (34)

Отсюда следует, что и, следовательно,

. (35)

С другой стороны, и поэтому погрешность приближенных решений может быть оценена снизу следующим образом:

. (36)

Неравенства (35) и (36) в совокупности эквивалентны двусторонней оценке (31). Далее, в условиях следствия , причем по теореме . Поэтому неравенство (35) может быть продолжено:



,

что и требовалось доказать.

Теорема 8. Пусть существует ограниченный обратный , ограничен, выполнены условия I и II с

, (37)

где . Если выполнено одно из условий: а) А; б) Б; в) уравнение (8) есть уравнение 2-го рода с вполне непрерывным оператором в - пространстве , то для погрешности приближенных решений верна оценка (33).

Действительно, т.к. существует ограниченный обратный и . Остальное повторяет доказательство следствия к теореме 7.

Теорема 9. Пусть оператор имеет ограниченный обратный и выполнены условия I и II с ограниченным оператором З, причем . Если уравнение (7) имеет решение при данной части , то для невязки справедлива оценка

, (38)

где - решение уравнения (8) при правой части , а

. (39)

Если же существует ограниченный обратный , то для решений уравнений (7) и (8) справедлива оценка

. (40)

Доказательство. Для невязки приближенного решения имеем последовательность неравенств

.(41)

Поэтому для получения неравенства (38) остается оценить . С этой целью возьмем произвольный элемент . По условию II найдется элемент такой, что

.

.

Тогда с учетом условия I находим

, ,

что означает

.

Подставив полученное неравенство в (41), получим требуемое неравенство (38).

Неравенство (40) легко выводится из (38) с учетом того, что .

Теорема 10. Пусть уравнение (7) имеет решение при данной правой части и оператор имеет ограниченный обратный. Тогда погрешность приближенного решения для правой части может быть представлена в виде

, (42)

где - произвольный элемент.

Следствие 1. Если совпадает с сужением оператора на подпространство , то для погрешности верно представление

, . (43)

Следствие 2. Пусть , , где и - линейный операторы в нормированных пространствах и соответственно, а и - единичные операторы соответственно в и .

Если непрерывен в , непрерывен из пространства в и , то в условиях теоремы 10 погрешность может быть представлена в виде

; (44)

в частности, при

. ()

Следствие 3. Пусть , , - линейный оператор, такой, что , и существует ограниченный обратный , . Пусть , , где и - линейные операторы соответственно из в и из в . Тогда для погрешности приближенного решения верна формула

; (45)

если же , то

. ()

Доказательство. Так как , , то . Тогда для любого элемента имеем равенства

.

Тем самым представление (42) и, следовательно, равенство (43) доказаны.

Далее, в условиях следствия 2, тождество (42) принимает вид

. (46)

Выберем элемент из условия . В силу ясно, что . Подставив найденный элемент в (46) находим равенство

,

откуда непосредственно следует оценка (44).

Для доказательства следствия 3 в тождестве (42) возьмем элемент , Ясно, что . Тогда с учетом равенства из (42) находим

. (47)

Поскольку , то из (47) следует тождество (45).

Литература

1. Вайникко Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. - Тарту: Изд-во Тартус. Ун-та, 1970. - 192с.

2. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1986. - 232с.

3. Габдулхаев Б. Г. Некоторые воросы теории приближенных методов, I, II, IV// Изв. Вузов. Матем., 1968.

4. Габдулхаев Б. Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов, III// Годишник на Софийския ун-т, Матеем. Фак-т, 1968/69, т. 63. - София, 1970. Сю 39-59.

5. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. - М.: Наука, 1971. - 248с.

6. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. - М.: Наука, 1971. - 352с.

7. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1968. - 287с.

8. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206с.

9. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика//УМН, т. 3, вып. 6. - 1948. - с. 89-185.

10. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.:Физматгиз, 1959. - 684с.

11. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 744с.

12. Агачев Ю. Р., Валеева Р. Т. Общая теория приближенных методов анализа. - Казань: уч. пособие, 1998. - с. 5-35.

Размещено на Allbest.ru