Интегральное исчисление

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и т.д., с другой - из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

Можно поставить обратную задачу: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x) , которая удовлетворяла условию F?(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Отыскание функции по заданной её производной или дифференциалу и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по ее производной или дифференциалу приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

Приведём пример, с такого рода задачей мы встречаемся, когда по заданной скорости движения материальной точки v=f(t) требуется найти закон движения этой точки, то есть зависимость пройденного точкой пути s от времени t . В дифференциальном исчислении мы имели дело с обратной задачей. Там по заданному закону движения s=s(t) путем дифференцирования функции s(t) мы находили скорость v этого движения, то есть v(t)=s?(t). Следовательно, в поставленной выше задаче мы должны по данной функции v=f(t) восстановить функцию s=s(t), для которой f(t) является производной.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x)=f(x).

Таким образом, функция s(t)- переменный путь - есть первообразная для скорости v=f(t).

Пример 1.

Функция sin x является первообразной для функции cos x на всей оси Ох, так как при любом значении х мы будем иметь: (sin x)?=cos x.

Пример 2.

является первообразной для функции , так как .

По геометрическому смыслу производной F'(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=F(х) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(х) -- значит найти такую кривую у=F(х), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(х) заданной функции в этой точке (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

Для заданной функции f(х) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции , и вообще , где С --некоторое число, являются первообразными для функции f(х)=х2. Аналогично в общем случае, если F(х) -- некоторая первообразная для f(х), то, поскольку (Fх)+ С)'= F'(x)=f(x), функции вида F(х)+ С, где С -- произвольное число, также являются первообразными для f(х).

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая у=F(х), удовлетворяющая условию F'(x)=tg б=f(х), то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 1.1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида F(х)+С все первообразные для функции f(х). Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F1 (х) и F2 (х) -- первообразные для функции f(х) на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство

F2 (х)= F1 (x)+ С.

Поскольку (F2(x)-F1(x))'=F'2 (x)-F' 1 (х)=f(х)-f(х)=0, то, по следствию из теоремы Лагранжа (см. § 8.1), найдется такое число С, что F2 (х)- F1 (х)= С или F2 (х)=F1 (х)+ С

Из данной теоремы следует, что, если F(х) -- первообразная для функции f(х), то выражение вида F(х)+С, где С -- произвольное число, задает все возможные первообразные для f(х).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается f(x) dx, где -знак интеграла, f(х) -- подынтегральная функция, f(x)dx -- подынтегральное выражение, а переменная х - переменной интегрирования.

Итак по определению,

f(x) dx=F(x)+C (1.1)

где F(х) -- некоторая первообразная для f(х), С -- произвольная постоянная.

Таким образом, неопределённый интеграл от какой-нибудь функции представляет собой общий вид всех первообразных для этой функции.

Формула (1.1) показывает, что если известна какая-нибудь первообразная функция для f(x), то тем самым известен ее неопределенный интеграл, и, следовательно, задача отыскания какой-нибудь определенной первообразной для f(x) равносильна задаче отыскания ее неопределенного интеграла.

В этой связи естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) , заданной на некотором промежутке, существует первообразная F(x) (а значит и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Однако если f(x) непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл). В случае разрывной функции речь будет идти лишь об интегрировании ее в одном из промежутков непрерывности.

Например, функция имеет разрыв только при х=0. Поэтому промежутками непрерывности для неё будут (0, +?) и (-?, 0). В первом из них одной из первообразных для является ln(x). Следовательно,

Однако для х из промежутка (-?, 0) эта формула уже лишена смысла (так как ln(x) при х<0 не определён) . В этом случае одной из первообразных для будет уже не ln(x), а ln(-x), ибо

И, стало, быть,

Объединяя оба случая, мы приходим к формуле:

Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называют интегрированием.

Поскольку интегрирование - обратное действие по отношению к дифференцированию, то благодаря этому проверка правильности результата интегрирования осуществляется дифференцированием последовательного: дифференцирование должно дать подынтегральную функцию.

Пример 3.

Проверить, что

Действительно, Следовательно, интеграл взят верно.

Вернёмся теперь к поставленной в начале механической задаче: к определению пройденного пути s по заданной скорости движения v=f(t). Так как скорость движущейся точки есть производная от пути по времени, то задача сводится к отысканию первообразной для функции v=f(t) . Следовательно,

Пусть для определенности нам дано, что скорость движения точки пропорционально времени t , то есть и v=at, где а - коэффициент пропорциональности. Тогда согласно формуле мы имеем:

Где С - произвольная постоянная. Мы получили бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Эта неопределенность объясняется тем, что мы не фиксировали того момента времени t , от которого отсчитывается пройденный путь s . Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину s= в какой-нибудь начальный момент времени t= - это так называемые начальные значения. Пусть, например, нам известно, что в начальный момент времени t=0 путь s=0. Тогда, полагая в равенстве t=0, s=0, находим 0=0+С, откуда С=0. Следовательно, искомый закон движения точки выражается формулой .

Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь .

Пусть дана в промежутке [а, b] непрерывная функция у=f(х), принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рассмотрим фигуру ABCD ,

ограниченную кривой у = f(x), двумя ординатами х = а и х = b и отрезком оси х ; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры AMND, заключенной между начальной ординатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [a, b] значению х. При изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому x отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеций AMND является некоторой функцией от х; обозначим ее через Р(х).

Поставим себе сначала задачей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Дх; тогда площадь Р(х) получит приращение ДР.

Обозначим через m и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [х,х + Дх] и сравним площадь ДР с площадями прямоугольников, построенных на основании Дх и имеющих высоты т и М. Очевидно, Дх<ДР<М Дх, откуда



Если Дх>0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться к f(x), а тогда и

Таким образом, мы приходим к теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а): производная от переменной площади P(x) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(x). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции у = f(x). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х = а. Поэтому, если известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x),

P(x) = F(x) + C,

то постоянную С легко определить, положив здесь х = а

О - F(a) +С,

так что C=-F(a).

Окончательно

P(x)=F(x)-F(a).

В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD нужно взять х =b:

Р = F(b) - F(a).

В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной параболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х ;

так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f(x) = ax2 легко найти первообразную: F(x) = Эта функция как раз и обращается в 0 при х=0, так что

Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой.

Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.

Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [а, b] функция f(x), всегда можно представить себе первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую иллюстрацию доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано.

2. Свойства неопределенного интеграла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(2.1)

Дифференцируя левую и правую часть равенства (2.1) , получаем:

интеграл первообразная функция производная

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: т.е. (2.2)

По определению дифференциала и свойству 1 имеем

3.Неопределенного интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

, (2.3)

где С - произвольное число

Рассматривая функцию F(х) как первообразную для некоторой функции f(х), можно записать

и на основании (2.2) дифференциал неопределенного интеграла f(x)dx=dF(x), откуда

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нах ождения неопределённого интеграла и дифференциала взаимнообратны ( знаки d и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если б=const?0 , то

(2.4)

где б-- некоторое число.

Найдем производную функции :

(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что g(x)=С и значит . Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в окончательной записи свойства 4 постоянную С можно опустить.

5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

(2.5)

Действительно, пусть F(x) и G(x) - первообразные для функции f(x) и g(x):

Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функции f(x)±g(x). Следовательно,

Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

3. Таблица основных интегралов

Приведём таблицу основных интегралов. Таблица интегралов вытекает непосредственно из определения неопределённого интеграла и таблицы производных.

1.		11.	=, а?0
2.	=	12.	=
3.	=	13.	=
4.	=,а>0, а?1	14.	=
5.	=	15.
6.	=	16.
7.	=	17.
8.	=, -а<х<а, а>0	18.
9.	=, а?0	19.
10.	=, а?0	20.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования, то все табличные интегралы имеют место для любой переменной.

Процесс нахождения первообразной сводится к преобразованию подынтегральной функции к табличному виду.

Простейшие интегралы могут быть найдены путем разложения подынтегральной функции на слагаемые. В состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому обычно при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования.

4. Примеры нахождения интегралов

Существуют целые классы интегралов, которые в зависимости от постоянных сомножителей или показателей степеней могут быть найдены по обобщенным формулам интегрирования. Приведем некоторые из них.

1.

где P(х) -- целый относительно х многочлен.

2. ;

3. ;

4.

где n -- любое вещественное число п?- 1; т = 1,2,3,...

5. ;

6. e ;

7. ;

8. ;

9. Если обозначить

 (n = 1,2, 3,...), то

;

10. ;

11. ;

12. (n=1,2,…);

13. (п=1,2,…);

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

1.1. Найти интегралы:

a) ;

б) ;

в) ;

r) ;

д) ;

е)

Решение.

а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами

;

Проверка:

т. е. производная равна подынтегральной функции.

б) Внесем первый множитель в скобки и представим интеграл в виде разности двух интегралов

в) Сделаем следующие преобразования

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу



д) Заменим корни отрицательными степенями и представим интеграл в виде разности двух интегралов

е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригонометрическая единица

1 = sin2 х + cos2 х, тогда

1.2. Найти интегралы:

a) ;

б) ;

в);

г) ;

д)

Решение.

а) Представим 9 как 32 и воспользуемся табличным интегралом (14), где а =3

б) Приведем подынтегральную функцию к виду и воспользуемся табличным интегралом (8)

в) Воспользуемся табличным интегралом (10)

г) Объединим множители в подынтегральной функции и воспользуемся табличным интегралом (4)

д) Преобразуем следующим образом

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения. 1.3. Используя метод разложения, найти интегралы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Решение. Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции. В задачах а) и б) воспользуемся соответствующими формулами сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

а)

(см. табличные интегралы (2) и (3)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.

б)

в) Преобразуя подынтегральную функцию, получим

(см. табличный интеграл (6)).

г) Выделяя из дроби целую часть, получим

Тогда

(см. табличный интеграл (9)).

Литература

1. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: В 3 т.: Т. 1..-- СПб.: Политехника, 2003.-- 703 е.: ил.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов-М.: ЮНИТИ, 2004-471с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов.-4-е изд. Стер.-М.: Высшая школа. 1998.-479с.: ил.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3т.: Т. 2..-810с.

Размещено на Allbest.ru