Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Алтайская Государственная Педагогическая Академия”

Факультет математики и информатики

Свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в четырехмерном пространстве

Выполнила: студентка

ОЗО ФМиИ 4 курса

Нидодел Светлана Викторовна

Проверил: Дудкин Анатолий Александрович

Барнаул 2010



Введение

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике и математике.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор - с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: «Вектором называется всякий параллельный перенос». Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом называется направленным отрезком или вектором. Атанасян Л.С. «геометрия 7-9 классы» - М.1990г.

Цель исследования: рассмотреть свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в двухмерном, трехмерном, четырехмерном и n-мерном пространствах.

Предмет исследования: свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса.

Объект исследования: особенности свойств векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса.

Гипотеза исследования: скалярные произведения двух векторов прямоугольного симплекса с общим началом, не являвшимся вершиной прямых углов, и с концами в любых двух вершинах симплекса равны.

Задачи курсовой работы:

1. Изучить научную литературу по данной проблеме исследования;

2. Провести исследование с целью проверки гипотезы;

3. Провести сравнительный анализ свойств векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в двухмерном, трехмерном, четырехмерном и n-мерном пространствах.

Методы исследования: решение задачи на доказательство в двухмерном, трехмерном, четырехмерном и n-мерном пространствах.



Глава 1. Симплекс

§1 Симплекс, его грани, ребра, вершины

Рассмотрим в Е4 4 геометрические фигуры - выпуклые оболочки пары точек, тройки точек, четверки точек, пятерки точек.

Первая фигура отрезок, вторая - треугольник, третья - тетраэдр. Но в Е4 максимальное число точек в общем расположении равно 5ти. Так получается один из простейших видов многогранников в Е4, именуемый симплексом.

Определение: Пусть А1, А2, А3, А4, А5 - 5 точек в общем расположении в Е4. Симплексом с вершинами в этих точках называется их выпуклая оболочка. Обозначают симплекс через его вершины: А1А2А3А4А5, а иногда С4.

Определение: Отрезок называют симплексом размерности 1 (обозначают С1);

треугольник - симплексом размерности 2 (обозначают С2);

тетраэдр - симплексом размерности 3 (обозначают С3);

симплекс С4 - симплексом размерности 4 (в Е4 его еще называют гиперсимплексом).

Число вершин каждого симплекса на 1 больше, чем его размерность. Всякую точку пространства можно считать симплексом, размерности 0 (С0).

Теорема: Пусть в пространстве Е4 даны 5 точек и 4 вектора с общим началом в одной из данных точек и с концами в остальных 4Х точках. Эти 4 вектора образуют базис пространства тогда и только тогда, когда данные точки являются вершинами некоторого гиперсимплекса в Е4.

Определение: Пусть дан симплекс А1А2А3А4А5. Рассмотрим какие-нибудь 4 его вершины; например, все вершины, кроме А5. Выпуклая оболочка этих 4 вершин тетраэдр А1А2АЗА4. Его называют гипергранью симплекса

А1 А2А3А4А5, противолежащей вершины А5.

Очевидно, симплекс С4 имеет 5 гиперграней (столько сколько вершин). Определение: Каждый тетраэдр имеет грани, ребра. Грани и ребра любой гиперграни симплекса называют также гранями и ребрами самого симплекса.

Отрезок, соединяющий любые две вершины симплекса - его ребро, а всякий треугольник, образованный ребрами симплекса - грань симплекса.

Определение: Симплекс называется прямоугольным, если все ребра, исходящие из некоторой его вершины, попарно перпендикулярны. Эту вершину называют вершиной прямых углов.

Строить прямоугольный симплекс удобно, имея в распоряжении прямоугольную систему координат. Можно в начале координат расположить вершину А0, а на положительных полуосях - остальные вершины симплекса. Тогда из вершины А0 будут исходить попарно перпендикулярные ребра симплекса, расположенные на осях координат. На «школьной» плоскости у симплекса С2 таких ребра 2. В«школьном» пространстве их 3 у симплекса СЗ. В пространстве Е4 их 4 у симплекса С4.

У прямоугольного симплекса С4 при одной из вершин попарно перпендикулярны 4 ребра (на рисунке - при вершине А0). При вершине А0 получится шесть прямых углов между ребрами симплекса. Дудкин А.А. «Справочник по началам многомерной евклидовой геометрии» -БГПУ 2008г.

§2. Свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в двухмерном евклидовом пространстве

Двухмерное евклидово пространство называют «школьную» плоскость (систему координат).

Определение. Вектором в двухмерном евклидовом пространстве называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если , , то вектор АВ имеет координаты .

Вектор в координатном пространстве Oxy, может быть представлен в виде

,

где двойка называется координатами вектора. Векторы - единичные векторы, направленные в положительную сторону координатных осей Ox и Oy, соответственно. Длиной вектора называется число .

Свойства векторов:

10. Суммой векторов а и b с координатами ах, ау и bх, bу называется вектор с с координатами ах + вх, ау + ву, т.е. а (ах; ау) + b (bх;bу) = с (ах + bх; ау + bу).

а) а + b = b + а (коммутативность): Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример, а и b - векторы.

Пусть вектор ОА = а, вектор ОВ = b (рис 1).

1. Построим параллелограмм ОАСВ: АС II ОВ, ВС II ОА.

2.Вектор а = ОА = ВС, b = ОВ = АС, т.к. параллелограмм.

3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + b = b + а. ч.т.д.(все это векторы)

б) a + (b +c) = (a + b) + c (ассоциативность): Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = b и от точки B - вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС (рис 3).

(а + b ) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС, а + (b + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,



откуда и следует равенство а + ( b + с ) = (а + b) + с.

20. Разность двух векторов и определяется по формуле , где - вектор той же длины, что и вектор , но противоположно направленный. Чтобы найти вектор-разность нужно отложить векторы и из общей точки, соединить концы векторов вектором, направленным от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (то есть от к ) (рис 2). Построенный вектор и будет искомой разностью.

30. а + 0 = а (нулевой вектор): Пусть даны произвольный вектор а(ах; ау) и вектор 0(0,0). Тогда а(ах; ау) + 0(0х,0у) = с(ах + 0х ; ау + 0у) = с(ах; ау) = а(ах; ау)

40. Для каждого вектора а, существует противоположный ему вектор а1 такой, что а + а1 = 0: Пусть даны вектор а(ах; ау) и вектор 0(0,0). Существует вектор а1 противоположный данному вектору а(ах; ау) с координатами:

0(0,0) - а(ах; ау) = а1(0 - ах; 0 - ау) = а1(- ах; - ау).

50. Произведением ла вектора а(ах; ау) на вещественное число л (скаляр) называется вектор b, такой, что

1) |b|=|л|*|a|;

2) вектор b параллелен вектору а;

3) векторы а и b имеют одинаковое (противоположное) направление, если л > 0 (л <0).

а) л(ма)=(лм)а (ассоциативность), где м и л -вещественные числа, а а - вектор: Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину |м|*|л|*|a|. Кроме того, они параллельны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением вектора а, если л и м одного знака, и противоположно направлены вектору а, если л и м имеют разные знаки. Если же л или м равны нулю, то обе части равенства равны нулю.



б) л(а + b) = ла + лb (л + м)а = ла + ма (дистрибутивность)

Построим прямоугольный симплекс OAB, где векторы ОА = а и ОВ = b. Построим далее другой прямоугольный симплекс SPQ, где SP = лa и SQ = лb. Так как стороны SP, PQ симплекса SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB симплекса OAB, то эти симплексы подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне

OB и отношение их длин также равно |л|. Ясно, далее, что ОВ и SQ одинаково направлены, если л > 0. Отсюда следует, что SQ = лOB. Но ОВ = а + b и SQ = ла + лb, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы, стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности, параллельны. Допустим сначала, что знаки л и м одинаковы. Тогда векторы ла и ма направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е.

|л|*|а| + |м|*|а|. Но |лб| + |ма| = (|л| + |м|)*|а| = |л + м|*|а|

и следовательно, в этом случае векторы (л + м)а и ла + ма равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора а, если общий знак л и м положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки л и м различны, и для определенности будем считать |л| > |м|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее |лб + ма| = |лб| - |ма|.



|лб| - |ма| = |л|*|б| - |м|*|а| = (|л| - |м|)*а = |л + м|*|а|.

Следовательно, и в этом случае длина вектора ла + ма равна длине вектора (л + м)а. Очевидно, что

оба эти вектора направлены так же, как лб. Если же |л| = |м| и знаки л и м противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор а или оба скаляра одновременно.

1". Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством:

,

где - угол между векторами и . Если , то .

Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле:

.

Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид: , или , а условие их коллинеарности: , или .

Свойства скалярного произведения:



1) ;

2) ;

3) ;

4) , причем . Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. «Геометрия 8-9 классы» - М.1995г.

§3. Свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в трехмерном евклидовом пространстве

Трехмерное евклидово пространство называют школьной декартовой системой координат («школьное» пространство).

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если , , то вектор имеет координаты .

Вектор в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

,

где тройка называется координатами вектора. Векторы - единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число .

Свойства векторов в трехмерном евклидовом пространстве аналогичны свойствам векторов в двухмерном евклидовом пространстве, только добавляется третья координата. В трехмерном евклидовом пространстве добавляются две операции: векторное произведение и смешанное произведение

2". Векторное произведение.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (другое обозначение ), который:

а) имеет длину , где - угол между векторами и ;

б) перпендикулярен векторам и () (то есть, перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и );

в) направлен так, что векторы , , образуют правую тройку векторов, то есть из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис.4).

Координаты векторного произведения вектора на вектор определяются по формуле:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения:



1) ;

2) ;

3) ;

4) и коллинеарны.

3". Смешанное произведение

Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение вектора на вектор :

.

Если то смешанное произведение можно вычислить по формуле:

.

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак;

2) ;

3) ;

4) компланарны . Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. «Геометрия 8-9 классы» - М.1995г.



§4. Свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в четырехмерном евклидовом пространстве

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если , , то вектор имеет координаты .

Вектор в координатном пространстве Oxyzt, может быть представлен в виде

,

где четверка называется координатами вектора. Векторы - единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy, Oz и Оt, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число .

Свойства векторов в четырехмерном евклидовом пространстве аналогичны свойствам векторов в трехмерном евклидовом пространстве, только добавляется четвертая координата. В четырехмерном евклидовом пространстве сохраняются операции: скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение.

§5. Свойства векторов, задаваемых ребрами прямоугольного симплекса в n-мерном евклидовом пространстве

симплекс вектор пространство четырехмерный

Определение: n-мерным евклидовым пространством Еn называют множество элементов двух родов, именуемых точками и векторами, и удовлетворяющих следующим требованиям:

1)все векторы образуют n-мерное векторное евклидово пространство W";

2) каждой упорядоченной паре точек А, В поставлен в соответствие вектор, обозначаемый АВ, причем

а) для любой точки М и любого вектора с существует такая точка Х, что МХ= с (в этом случае говорят, что вектор с отложен от точки М),

б) для любых точек А, В, С выполняется векторное равенство АВ + ВС + СА = 0 (оно равносильно векторному равенству АВ + ВС = АС, называемому правилом треугольника для сложения векторов);

в) если АВ = 0, то точки А и В совпадают.

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если , , то вектор имеет координаты .

Вектор в координатном пространстве Oxyzt…n, может быть представлен в виде , где называется координатами вектора. Векторы - единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy, Oz, Оt, …, Оn, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число . . Дудкин А.А. «Справочник по началам многомерной евклидовой геометрии» -БГПУ 2008г.

Свойства векторов в n-мерном евклидовом пространстве аналогичны свойствам векторов в четырехмерном евклидовом пространстве, только добавляется n - координат. В n-мерном евклидовом пространстве сохраняются операции: скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение.



Глава 2. Исследование

Задача: Пусть А - конец катета а - прямоугольного симплекса Сn, причем А не является вершиной прямых углов. Докажите, что скалярное произведение двух векторов с общим началом в точке А и с концом в любых двух вершинах симплекса равно а2.

Доказательство:

І.В двухмерном евклидовом пространстве

Пусть дан симплекс С2. Введем систему координат:

А(0,а), С(0,0), В(x,0). Тогда векторы

а

Скалярное произведение находится по формуле

.

Зная координаты векторов, получим

.

Что и требовалось доказать!

ІІ.В трехмерном евклидовом пространстве

Пусть дан симплекс С3. Введем систему координат: А(0,а,0), О(0,0,0), С(x,0,0), D(0,0,z). Тогда векторы

y

А

Скалярное произведение находится по формуле

a .

Зная координаты векторов, получим

Отсюда следует, что

.

Что и требовалось доказать!

ІІІ. В четырехмерном евклидовом пространстве

Пусть дан симплекс С4. Введем систему координат: A(0,a,0,0);

C(x,0,0,0); D(0,0,z,0); B(0,0,0,t); О(0,0,0,0).

Тогда векторы равны:



Скалярное произведение находится по z формуле

.

Зная координаты векторов, получим

Отсюда следует, что

.

Что и требовалось доказать!

ІV. В n-мерном евклидовом пространстве

Пусть дан симплекс Сn. Введем систему координат: О(0,0,0,0,0,…,0); С(x,0,0,0,0,…,0); А(0,a,0,0,0,…,0); D(0,0,z,0,0,…,0); B(0,0,0,t,0,..0) и так далее W(0,0,0,0,0,…,n). Тогда векторы:

-------------------------------------------------------------------



Скалярное произведение находится по формуле

.

Зная координаты векторов, получим

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------

Отсюда следует, что

.

Что и требовалось доказать.



Заключение

Мы рассмотрели доказательство одной задачи в разных пространствах: в двухмерном, в трехмерном, в четырехмерном и в n-мерном пространствах.

Оказалось, что в двухмерном пространстве скалярное произведение двух векторов с общим началом в точке А и с концом в любых двух вершинах симплекса равно а2.

В трехмерном пространстве скалярное произведение двух векторов с общим началом в точке А и с концом в любых двух вершинах симплекса равно а2.

В четырехмерном пространстве скалярное произведение двух векторов с общим началом в точке А и с концом в любых двух вершинах симплекса равно а2.

В n-мерном пространстве скалярное произведение двух векторов с общим началом в точке А и с концом в любых двух вершинах симплекса также равно а2.

Значит, наша гипотеза верна во всех пространствах.



Список литературы

1. Дудкин А.А. «Справочник по началам многомерной евклидовой геометрии» -БГПУ 2008г.

2. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11 классы» - М.1995г.

3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. «Геометрия 8-9 классы» - М.1995г.

4.Атанасян Л.С. «геометрия 7-9 классы» - М.1990г.

Размещено на Allbest.ru