Випадкові величини
Вивчення поняття випадкової і дискретної випадкової величин, що приймають ізольовані один від одного значення, які можна перерахувати. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення і дисперсії для неперервних випадкових величин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 23.03.2011 |
| Размер файла | 71,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Випадкові величини
Випадковою величиною є величина, яка внаслідок досліду може приймати те або інше значення, невідомо заздалегідь, яке саме.
Дискретною випадковою величиною є випадкова величина, що приймає окремі ізольовані один від одного значення, які можна перерахувати.
Неперервною випадковою величиною є випадкова величина, можливі значення якої неперервно заповнюють якийсь проміжок.
Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, що їм відповідають.
Закон розподілу може мати різні форми. Форми законів розподілу для дискретних випадкових величин: а) ряд розподілу:
|
........ |
........ |
|||||
|
........ |
........ |
,
де - можливі значення випадкової величини ; - ймовірності, що їм відповідають.
б) багатокутник розподілу;
в) функція розподілу .
Форми законів розподілу для неперервних випадкових величин:
а) функція розподілу ;
б) щільність розподілу ймовірностей .
Функція розподілу для дискретних випадкових величин виражається формулою:
Функція розподілу для неперервних випадкових величин виражається через щільність розподілу за формулою:
.
Ймовірність попадання випадкової величини на даний проміжок:
.
Основними числовими характеристиками випадкових величин є:
- математичне сподівання ; - дисперсія
;
- середнє квадратичне відхилення
.
Для дискретних випадкових величин розрахункові формули для знаходження математичного сподівання та дисперсії мають вигляд:
,
.
Для неперервних випадкових величин розрахункові формули для знаходження математичного сподівання та дисперсії мають вигляд:
,
.
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать інтервалу , то розрахункові формули мають вигляд:
.
Приклад 1. Ряд розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд:
|
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
||
|
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.3 |
0.1 |
Побудувати багатокутник розподілу. Визначити закон розподілу у вигляді функції розподілу . Побудувати функцію розподілу. Знайти математичне сподівання , дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини . Визначити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал від -5 до 3, 4.
Розв'язок.
Багатокутник розподілу є графічним способом завдання дискретної випадкової величини у вигляді (рис. 1).
Рисунок 1 - Багатокутник розподілу
Функція розподілу або інтегральна функція розподілу (рис. 2) є аналітичним способом завдання випадкової величини :
Математичне сподівання для дискретної випадкової величини визначається за формулою:
.
Для нашої випадкової величини знаходимо:
.
Рисунок 2 - Функція розподілу
Дисперсія випадкової величини :
.
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини :
.
Ймовірність попадання випадкової величини в якийсь інтервал від до може бути визначена за формулою:
Для нашої випадкової величини :
Приклад 2. Неперервна випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти щільність розподілу ймовірностей , визначити значення постійної. Знайти математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення випадкової величини. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал від 3 до 4.
Розв'язок.
За визначенням щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини є перша похідна від функції розподілу: .
Знаходимо:
Постійну величину визначаємо за властивістю щільності функції розподілу, яку можна записати так:
У нашому випадку:
.
Враховуючи отримане значення коефіцієнта, вирази для функції розподілу і щільності розподілу приймуть остаточний вигляд:
Значення можна визначити також з визначення математичного сподівання:
Для випадкової величини , розподіленої в інтервалі , знаходимо:
Дисперсію можна визначити за однією з рівносильних формул:
або .
Використовуючи формули для неперервної випадкової величини в інтервалі (2,4) і підставляючи значення , маємо:
Середньоквадратичне відхилення характеризує розсіяння значень випадкової величини відносно математичного сподівання.
Для випадкової величини:
.
Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначається за однією з формул:
Користуючись першою формулою, знаходимо:
тоді:
.
Користуючись другою формулою , знаходимо:
.
Приклад 3.
Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу:
Визначити значення постійної. Знайти функцію розподілу ймовірностей . Знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення випадкової величини. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал від 0.5 до 1.
Розв'язок.
Постійну величину а визначаємо за властивістю щільності функції розподілу:
.
Враховуючи отримане значення коефіцієнта а, вираз для функції щільності розподілу має вигляд:
Функція розподілу виражається через щільність розподілу за формулою:
.
Якщо , знаходимо:
.
Якщо , знаходимо:
.
Якщо , знаходимо:
.
Вираз для функції розподілу має вигляд:
Знайдемо математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення випадкової величини:
випадковий дискретній дисперсія математичний
;
;
.
Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначається:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Визначення ймовірності виходу приладу з ладу. Розв’язок задачі з використанням інтегральної формули Бернуллі та формулу Пуассона. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, дисперсії, функції розподілу випадкової величини.
контрольная работа [84,2 K], добавлен 23.09.2014Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
курсовая работа [105,2 K], добавлен 09.07.2009Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.
реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011Визначення кількості сполучень при дослідженні ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини. Функція розподілу, знаходження середнього квадратичного відхилення. Визначення щільності розподілу ймовірностей. Закон неперервної випадкової величини.
контрольная работа [71,3 K], добавлен 13.03.2015Імовірність несплати податку для кожного підприємця. Випадкова величина в інтервалі. Ряд розподілу добового попиту на певний продукт. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Біноміальний закон розподілу, математичне сподівання величини.
контрольная работа [152,5 K], добавлен 16.07.2010Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
реферат [151,8 K], добавлен 16.02.2011
