Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧУО Минский Институт Управления

Контролируемая самостоятельная работа №2

по дисциплине: “Вычислительные методы и методы оптимизации в управлении”

Тема: “ Интерполирование сплайнами”

Выполнил: студент 4 курса

гр. 71201с

Золоторевич А.А.

Преподаватель: Табунов В.А.

Минск 2010

Интерполирование сплайнами

Пусть на интервале [a,b] задана сетка и значения функции в ее узлах. Кубическим сплайном (сплайн-функцией), соответствующим сетке и функции f(xi), называется функция S(x) удовлетворяющая следующим условиям:

· S(x) при , i=1,2,...n, является кубическим полиномом

· S(x), S'(x), S''(x) - непрерывны на [a,b]

· S(xi) = f(xi).

Если, кроме перечисленного, функция S(x) удовлетворяет условию S'(x) = S''(x) =0, то она является естественным кубическим сплайном.

Сходимость сплайн-интерполяции

Интерполирование сплайнами является сходящимся процессом для непрерывной функции f(x). Оценка погрешности интерполяции ||r(x)|| = ||S(x) - f(xi)|| зависит как от свойств гладкости f(x), так и от свойств сетки . Так, в случае равномерной сетки для погрешности интерполирования функции f(x), имеющей непрерывные производные до 4-й включительно, справедливы следующие оценки:

где и - равномерная норма. Отсюда ясно, что при , т.е. при , интерполяционный процесс сходятся равномерно для f(x), f'(x), f''(x).

Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Стирлинга и др. при использовании большого числа узлов интерполяции на всем отрезке [a, b] часто приводят к плохому приближению из-за накопления погрешностей в процессе вычислений [2]. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязательно приводит к повышению точности. Для снижения погрешностей весь отрезок [a, b] разбивается на частичные отрезки и на каждом из них функциюзаменяют приближенно полиномом невысокой степени. Это называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Один из способов интерполирования на всем отрезке [a, b] является интерполирование сплайнами.

Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, определенная на отрезке [a, b] и имеющая на этом отрезке некоторое количество непрерывных производных. Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции - в сходимости и устойчивости вычислительного процесса.

Рассмотрим один из наиболее распространенных в практике случаев - интерполирование функции кубическим сплайном. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция. Введем разбиение отрезка:

и обозначим , .

Сплайном, соответствующим данной функциии узлам интерполяции (6) называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом отрезке , функция является кубическим многочленом;

2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b] ;

3)

Третье условие называется условием интерполирования. Сплайн, определяемый условиями 1) - 3), называется интерполяционным кубическим сплайном.

Рассмотрим способ построения кубического сплайна [2].

На каждом из отрезков , будем искать сплайн-функцию в виде полинома третьей степени:

где искомые коэффициенты.

Продифференцируем (7) трижды по х :

откуда следует

Из условия интерполирования 3) получаем:

Кроме того, будем считать .

Из условий непрерывности функции вытекает:

Отсюда с учетом (7) получим:

Обозначиви опуская промежуточные выкладки [2], окончательно получим систему уравнений для определения коэффициентов:

В силу трехдиагональности матрицы коэффициентов система (9) имеет единственное решение [2]. Найдя коэффициенты , остальные коэффициенты определим по явным формулам:

Таким образом, существует и найден единственный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям 1) - 3) .

Интерполяция различными видами сплайнов

Рассмотрим следующую проблему: интерполяцию функции f(x)=sin(x) на интервале [-р/2,+р/2]. Мы используем равномерную сетку с N узлами и четыре различных типа сплайнов:

· сплайн Катмулла-Рома;

· кубический сплайн с естественными граничными условиями;

· кубический сплайн, завершающийся параболой;

· кубический сплайн с точными граничными условиями (известно точное значение производной в граничных точках).

Исследуем зависимость погрешности от числа узлов, варьируя N в диапазоне 10...100. В результате мы получим следующий график:

В данном случае лучшим выбором является кубический сплайн с точными граничными условиями. Если значение производной в узловых точках неизвестно, то лучшим вариантом будет сплайн, завершающийся параболой. Два прочих варианта - сплайн Катмулла-Рома и кубический сплайн с естественными граничными условиями - дают значительно большую ошибку.

Этот вывод верен и для большинства других задач. Если вы знаете производную на границе, лучше использовать её. Если нет - используйте сплайн, завершающийся параболой.

сплайн интерполяция кубический

Сплайн-интерполяция

Интерполирование посредством сплайнов, т. е. построение интерполяционного сплайна, принимающего в заданных точках {xi}заданные значения {f(xi)}, i=0, 1, . . ., n. Обычно удовлетворяют дополнительным условиям в концевых точках. Так, для кубического сплайна к-рый склеен на [ а, b] из кубических многочленов и имеет непрерывную 2-ю производную, требуют, чтобы и, кроме того, задают по одному условию в концевых точках, напр. и или и Если f(xi) - значения (b-a )-периодической функции, то требуют, чтобы сплайн был также (b-а )-периодическим.

Для полиномиальных сплайнов степени 2k+l число дополнительных условий в каждой из точек а и b увеличивается до k. Для и. с. степени 2k обычно узлы сплайна (точки разрыва 2k-й производной) выбираются посредине между точками {xi} и задается еще по kусловий в точках а к b. Например, существуют такие последовательности сеток

для интерполяционный процесс сходится для любой непрерывной функции, если

Многие процессы дают тот же порядок приближении, что и наилучшие приближения. Более того, при некоторых классов дифференцируемых функций погрешность не превосходит поперечника соответствующего класса дает решение некоторых вариационных задач. Например, при достаточно общих дополнительных условиях в точках а и b удовлетворяет соотношению:

Из этого соотношения следует существование и единственность и. с. нечетной степени, а также простейшие результаты о сходимости:

i=0,1,..., т-1,где константа с i,т зависит только от i и m и

Для нек-рых классов дифференцируемых функций последовательность и. с. сходится к интерполируемой функции на любой последовательности сеток для к-рой напр., это имеет место в случае (2).

Сплайн - функция определенная на отрезке [a, b],совпадающая на частичных отрезках [ х i, xi+1], образованных сеткой а=x0<x1<. . .. . . <xn=b с нек-рыми алгебраическими многочленами степени не выше т, и имеющая на [ а, b]непрерывную ( т-1)-ю производную. Для С. справедливо представление:

где с k - действительные числа, Р т-1 (х) - многочлен степени не выше ( т-1) и Точки называются узлами С. Если С. имеет на [ а, b]непрерывную ( т-k )-ю производную а ( т-k+1)-я производная в узлах разрывная, то говорят, что он имеет дефект k.

Наряду с введенными выше (полиномиальными сплайнами) рассматриваются более общие (L-cплайны), которые L-склеиваются.

Размещено на http://www.allbest.ru/