Основы математического анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение ф-ии. Основные св-ва. Преобразование графиков

Определение: пусть даны 2 множества А и В

Функция-это соответствие между этими множ-вами при котором каждому мн-ву А сопоставляется единственный эл-т мн-ва В.

A-обл-ть определения ф-ии

-область значений.

-отображение (на).

-отобр-е (в).

Пример:

Свойства функции.

1)ограниченность.

Пусть ф-я ограниченна на х, если

График ф-ии-это мн-во точек плоскости координаты которых х и

2)Четность или нечетность

()

-четная если

График четной ф-ии симметричен оси OY

Ф-я является нечетной если для любого ().

3)Переодичность функции.

()

Переодические ф-ии это функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

(Например, sin х и cos x)

4)Преобразование графиков.

Пусть задан график ф-ии тогда график:

А) -может быть получен параллельным переносом вдоль оси Y

если -вверх

-вниз

-может быть получен путем растяжения вдоль оси Y в K раз.

Б)Если -растяжение

Если -сжатие.

Если -график отображается симметрично оси ох.

В) -график может быть получен параллельным переносом вдоль оси ох.

Если -перенос влево.

Если -вправо.

(На модуль А едениц)

Г) -график получен путем растяжения вдоль оси ох.

Если -сжатие графика

Если -растяж-е.

(в м раз)

Если переодическая с периодом Т то ф-я

Тоже переодич-я

При -график симметрично отображ-ся относительно оси оу.

Основные элементарные ф-ии.

1)степенная ф-я.

Если показатель степени -- целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x > 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе нуль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

А) Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При a = 1 получается функция y = kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Б) Графики функций вида y = x ? n, где n -- натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a = ? 1 получается функция называемая обратной пропорциональной зависимостью.

В) Если то функция есть арифметический корень степени n.

1)К основным свойствам степенной функции y = x a при a > 0 относятся:

Область определения функции ? промежуток (0; +?).

Область значений функции ? промежуток (0; +?).

Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 < ar2 .

График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

2)К основным свойствам степенной функции y = x a при a < 0 относятся: Область определения функции ? промежуток (0; +?).

Область значений функции ? промежуток (0; +?).

Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 > ar2 .

2)Показательная ф-я

если

Показательная функция -- математическая функция

Определение показательной функции

Пусть a -- неотрицательное вещественное число, x -- рациональное число:

тогда определяется по следующим правилам.

Если x > 0, то

Если x = 0, то

Если x < 0, то

Свойства

3)Логарифмическая функция.

При

4)Тригонометрические ф-ии

Графики функций: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x



Определение

Элементарные ф-ии -это ф-ии которые получены из основных элементарных ф-ий применением арифметич-их операций и взятие функции от функции. Обратно-тригонометрические функции.

Функция arcsin

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

при

при

Свойства функции arcsin

(функция является нечётной)

при x = 0.

при



Функция arccos

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей.

Получение функции arccos

Дана функция y = cosx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения -- [0;р]. На этом отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;р] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cosx на отрезке [0;р] относительно прямой y = x.

Функция arctg

Арктангенсом числа m называется такое значение угла б, для которого



Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой

Функция является строго возрастающей.

Свойства функции arctg

Функция arcctg

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого

непрерывна и ограничена на всей своей числовой

является строго убывающей.

Свойства функции arcctg

(график функции центрально-симметричен относительно точки )

при любых x.

2. Асимптоты. Исследование функций

Асимптота-Это прямая,которая сколь угодно близко приближается к графику ф-ии.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Вертикальной асимптотой графика функции

называется вертикальная прямая

если или

при каком-либо из условий:

,,

Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка а принадлежала области определения функции однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:

или

Где

Прямая ---наклонная асимптота

(К=0 асимптота горизонтальная)

-наклонная асимптота

Делим на

Общая схема исследования функции.

1)найти обл-ть определения.

2)Проверить ф-ю на четность и нечетность,переодичность.

3)Найти точку пересечения с осями Ох и Оу.

4)Найти промежутки монотонности и точки экстремума(находим производную и приравниваем к нулю).

5)Направление выпуклости и точки перегиба(находим 2 производную и приравниваем к нулю).

6)Находим асимптоты.

7)Построим график ф-ии.

3. Последовательность, предел последовательности. Предел и арифметика

Числовая последов-ть -это соответствие при котором каждому натуральному числу сопоставляется единственное вещественное число.

Примеры последов-тей

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,

1, v2, v3, 2, v5, v6, v7, 2v2,

2, 0, -2, -4, -6, -8, -10, -12,

Определение

Предел равен а если для любого сколь угодно малого найдется начиная с которого все эл-ты последовательности отличаются от а по абсолютной величине меньше чем на . при



Определение Последов-ть .Если последов-ть имеет конечный предел то она наз-ся сходящаяся а если не имеет предела то наз-ся расходящаяся.

Пример1 при

Для любого

Пусть и произвольно,тогда

Свойства сходящихся последов-тей.

1)вся сходящаяся последов-ть -ограничена.

Док-во:пусть дана послед-ть

Доказать что

Пусть и произвольное,тогда ,то

М=min

M=max

2)Всякая сходящаяся последов-ть имеет единственный предел.

Пусть

Так как то

Так как то

и.

Получим противоречие.

3)Предел константы =самой константе.

А)

Б)

Док-во

По 1 пункту

3)Модуль разности не превосходит суммы модулей

4)Модуль разности больше или равен разности модулей.

Предел и арифметика.

Пусть даны 2 послед-ти и

 при

,,то

1)

2)

3) .

Док-во

1)требуется доказать

Пусть и произвольное

1)Так как ,то и

.

2)так как ,то

-искомый.

Док-во.

и произвольно и

4. Предел функций. Эквивалентные определения. Эквивалентные ф-ии

Пусть ф-я определена и

,если

(это определение по Коши)

Для любой сколь угодно малой окресности точки А на оси у,найдется окресность точки так что для любого х их этой окресности находится в полосе.

1) при

2) при

3) при

ТЕОРЕМА 7.

Предел сущ-ет тогда и только тогда когда существует односторонние пределы равных друг другу и равные числу А.

Определение по ГЕЙНЕ.

Предел при ,если



Теорема 8Эквивалентность предела ф-ии.

Определения ф-ии по Коши и по Гейне эквивалентны.

1)Докажем что из опред-я по Коши следует определение по Гейне.

Док-во.

Пусть произвольно, и

Пусть и произвольно,то из определения по Коши:

Для этого найдется N

,тогда

,получили

,получили определение по Гейне.

2)Докажем Гейне---Коши(наоборот).

Теорема 9 ПРЕДЕЛ И АРИФМЕТИКА.

ПУСТЬ ДАНЫ 2 Ф-ИИ и

то

1)

2)

3)

Док-во 3) по Гейне

Пусть ,произвольно,при

Так как то (при )

Так как то (при )

По теореме 1

Теорема 10 Лемма о 2 ментах

Пусть даны 3 ф-ии

тогда при

Аналогично теореме 9 со ссылкой на теорему3

Теорема 11.

1)Сумма конечного числа бесконечно малой ф-ии это бесконечно малая ф-я.

2)Произведение ограниченной ф-ии на бесконечно малую-это бесконечно малая ф-я.

Пусть -бесконечно малые ф-ии при

Они эквивалентные,~

,при

-БМ более высокого порядка чем

,при

Из этого следует Утверждение

Пусть ~~и,

5. Предел и неравенство. Лемма о 2 милиционерах

Теорема-Предел и неравенства. Пусть даны 2 послед-ти и

и

1)если

2)если ,то

.

Док-во…………

1) рассмотрим

А)так как ,то , .

Б)так как ,то

-искомый.

Действительно, пусть и произвольно,то .

Пусть даны последов-ти ,,

,

,то ,при .

Пусть и произвольно,

Т.к ,то ,где .

Т.к ,то,где

.

Положим

Действительно,пусть

И произвольно, тогда

,

,при .(это и есть док-во леммы).

6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства. Монотонные последов-ти

Последов-ть -наз-ся бесконечно малой величиной если её предел =0

Утверждение Пусть дана послед-ть ,

при,тогда -бесконечно малая величина.

Док-во

и

Вывод

Всякую сходящуюся послед-ть можно представить в виде суммы бесконечно малой величины и константы

Определение

Послед-ть -наз-ся бесконечно большой если предел этой послед-ти равен бесконечности.

-бесконечно большая если



СВОЙСТВА

1)Обратная к бесконечно малой величине,это бесконечно большая.

2)Обратная к ББ величине,этобесконечно малая. .

3)произведение ограниченной послед-ти на бесконечно малую это бесконечно малая величина.

4)Сумма огр-ой послед-ти и бесконечно большой величины это бесконечно большая величина. .

Отступление.

Пусть

Определение

Х-ограничено сверху если

М-верхняя граница м-нижняя граница.

Х определено снизу если

Множество наз-ся ограниченным-если оно ограниченно сверху и с низу.

Наименьшее из верхних границ множества наз-ся точная верхняя грань или supremum

SUPX=a,если

1)

2) где

Определение

Наибольшее из нижних границ множ-ва наз-ся точная нижняя грань или infinum

Infx=0,если

1) где

2) где

Лемма:Всякое бесконечно-ограниченное мн-во имеет точную верхнюю и точную нижнюю границу.

Определение

-внутр точка Х,если существует

Окрестность этой точки,содержащаяся в виде множ-ва.

Определение

-перед точка Х,если

,

Пересечение любой выколотой окресности этой точки не пусто. -предельная точка.

Определение

Множество Х наз-ся открытым,если все его точки внутренние.

Определение

Множ-во Х наз-ся замкнутым,если оно содержит все свои предельные точки.

Лемма Больцано-Веерштрасса.

Всякое бесконечно-ограниченное мн-во имеет хотя бы одну предельную точку.

Монотонные последовательности.

Определение

Послед-ть возрастает,если

Последов-ть

убывает,если

ТЕОРЕМА 5.

Всякая монотонная ограниченная последов-ть сходится.

Док-во.

Пусть послед-ть монотонно возрастает

R -бесконечна и опред.

По лемме ,

Тоесть

Пусть и произвольно

То

-искомый

Определение

наз-ся фундаментальной,если

ТЕОРЕМА 6(Критерий Коши).

Последов-ть сходится тогда и только тогда когда она явл-ся фундаментальной.

сход -фунд-я.

Определение

Пусть дана и

Элементы последов-ти взятые с указанными номерами образуют подпоследовательности.

7. Первый и второй замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется предел

при

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела

и докажем, что каждый из них равен 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы).

В тригонометрическом круге (радиуса с центром О построим центральный угол , равный х , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью Обозначим точку пересечения луча с углом наклона х,с окружностью буквой , а с вертикальной касательной - буквой ; через Т обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Пустьплощадь треугольника

площадь кругового сектора а площадь треугольникаТогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точкиравна а вертикальнаяэто высота треугольника).так что

Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом х равнатак что

Из треугольниканаходим, что



Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на)

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней частитакже будет равен 1. Итак, осталось доказать, что

Сперва заметим, что

так какравняется длине дуги окружности

, которая, очевидно, длиннее хорды

Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

приполучаем, что

Простая замена переменной показывает, что и

Теперь заметим, что

Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел

Числозаданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число

часто называют основанием натуральных логарифмов.

Док-во 2 предела по Гейне

Пусть известно

Определение это

1)Пусть произвольная и

и выполняется следующее неравенство

(+1)

,возводим в степень ,получаем

получаем

2)Пусть произвольно и Рассмотрим



РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Числитель и зн-ль делим на х в наибольшей степени

А)

б),тогда числитель и знаменатель делим на

В)

Таблица эквивалентности

при

Возможность и эффективность использования информации обусловливаются такими основными ее потребительскими показателями качества, как репрезентативность, содержательность, достаточность, доступность, актуальность, своевременность, точность, достоверность, устойчивость. Репрезентативность информации связана с правильностью ее отбора и формирования в целях адекватного отражения свойств объекта. Достаточность информации означает, что она содержит минимальный, но достаточный для принятия правильного решения состав. Доступность информации восприятию пользователя обеспечивается выполнением соответствующих процедур ее получения и преобразования. Актуальность информации определяется степенью сохранения ценности информации для управления в момент ее использования. Своевременность информации означает ее поступление не позже заранее назначенного момента времени. Точность информации определяется степенью близости получаемой информации к реальному состоянию объекта, процесса, явления и т.п. Достоверность информации определяется ее свойством отражать реально существующие объекты с необходимой точностью. Устойчивость информации отражает ее способность реагировать на изменения исходных данных без нарушения необходимой точности.

Важным понятием при работе с информацией является классификация объектов. Классификация -- система распределения объектов (предметов, явлений, процессов, понятий) по классам в соответствии с определенным признаком. Под объектом понимается любой предмет, процесс, явление материального или нематериального свойства. Свойства информационного объекта определяются информационными параметрами, называемыми реквизитами. Реквизиты представляются либо числовыми данными, например вес, стоимость, год, либо признаками, например цвет, марка машины, фамилия. Иерархическая система классификации

* исходное множество элементов составляет 0-й уровень и делится в зависимости от выбранного классификационного признака на классы (группировки), которые образуют 1-й уровень;

* каждый класс 1 -го уровня в соответствии со своим, характерным для него классификационным признаком делится на подклассы, которые образуют 2-й уровень;

* каждый класс 2-го уровня аналогично делится на группы, которые образуют 3-й уровень, и т.д. Фасетная система классификации в отличие от иерархической позволяет выбирать признаки классификации независимо как друг от друга, так и от семантического содержания классифицируемого объекта. Дескрипторная система классификации Для организации поиска информации, для ведения тезаурусов (словарей) эффективно используется дескрипторная (описательная) система классификации, язык которой приближается к естественному языку описания информационных объектов. Особенно широко она используется в библиотечной системе поиска.

Система кодирования применяется для замены названия объекта на условное обозначение (код) в целях обеспечения удобной и более эффективной обработки информации. Код строится на базе алфавита, состоящего из букв, цифр и других символов. Код характеризуется: длинной, структурой. Классификационное кодирование применяется после проведения классификации объектов. Различают последовательное и параллельное кодирование. Последовательное сначала записывается код группировки 1-го уровня, затем код группировки 2-го уровня и т.д. Параллельное все фасеты кодируются независимо друг от друга; Регистрационное кодирование используется для однозначной идентификации объектов и не требует предварительной классификации объектов. Различают порядковую и серийно-порядковую систему. Порядковая система кодирования предполагает последовательную нумерацию объектов числами натурального ряда Серийно-порядковая система кодирования предусматривает предварительное выделение групп объектов, которые составляют серию, а затем в каждой серии производится порядковая нумерация объектного ряда.

Информация -- сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности, неполноты знаний.

Всякий информационный процесс может осуществляться лишь при наличии языка, описывающего объекты и отношения между ними. Тогда в дальнейшем нас будут интересовать совокупности предметов, каждый из которых имеет имя и вполне определенные связи между предметами. Это множество мы называем предметной областью. Предметная область отражает уровень познания человека окружающего мира и самого себя. Поэтому она постоянно меняется. При передаче информации количество информации, получаемой из сообщения, зависит от имеющихся предварительных знаний (семантический аспект -- содержание, смысл).

Чтобы понять (декодировать) сообщение необходимо знать код в котором это сообщение передано (синтаксический аспект). Для того, чтобы сообщение было понятно необходимо

Одной из существенных проблем современного мира является передача информации на большие расстояния. Это может быть информация из отдельных банков данных. Этот обмен информацией осуществляется с помощью средств телекоммуникации. Она может быть однонаправленная и двунаправленная (с обратной связью). Однонаправленная: телевидение, телетекст, радио эфир, телетайп. Двунаправленная: электронная почта, средства интернета.

Информационное общество -- общество, в котором большинство работающих занято производством, хранением, переработкой и реализацией информации, особенно высшей ее формы -- знаний.

Революции:

1)изобретение письменности

2) изобретение книгопечатания

3) изобретение электричества

4) изобретение микропроцессорной технологии и появление персонального компьютера.

Образование больших объемов информации определяется:

1. Чрезвычайно быстрым ростом числа документов.

2. Постоянно увеличивается числом периодических изданий.

3. Появлением разнообразных данных записываемых на магнитные носители. В результате возникает информационный кризис.

Его проявления:

1. Противоречия между ограниченными возможностями человека по восприятию и переработки информации и огромными потоками хранящейся информации.

2. Существует большое количество избыточной информации в обществе, которая препятствует быстрому извлечению полезной информации;

Возникают социальные барьеры которые препятствуют распространению информации

Громадный информационный потенциал, накопленный в мире, но люди не могут им воспользоваться. Возникла необходимость выхода общества из кризиса. Внедрение ЭВМ, других средств переработки и передачи информации в различные сферы деятельности, послужили началом нового эволюционного процесса в развитии человеческого общества, названного информатизацией.

Информатизация общества -- организованный социально-экономический и научно-технический процесс создания оптимальных условий для удовлетворения информационных потребностей и реализации прав граждан, органов государственной власти, органов местного самоуправления, организации общественных объединений на основе формирования и использования информационных ресурсов.

Информационные ресурсы -- отдельные документы.

Результат любой информационной деятельности -- создание информационного продукта -- совокупности данных, сформированных производителем.

Базы данных:

1. Библиографические

2.Небиблиографические

Доступ к базам данных:

1. дистанционный

2. непосредственный.

Принципы создания компьютерных языков:

-- логическое программирование;

-- функциональное программирование;-- объектно-ориентированное программирование;

-- процедурное программирование.

Логическое программирование (“Логика + управление = программа” Ковальски). Логические высказывания могут быть верными или ложными. PROLOG (program in logic) 2)Функциональное программирование: функция в математике -- отображение множества величин -- области определения функции -- в множестве значений функций. Язык: ЛИСП (LISP). 3) Объектно-ориентированное программирование: Принцип программирования основан на формализации описания объектов подход к обработке информации, который опирается на формализованное описание объектов. 4) Процедурное программирование (возникло на заре программирования): с этим стилем программирования связано все развитие вычислительной техники

1940 -- американская ЭВМ (назначение -- сложные математические расчеты). БСМ6, Эльбрус -- Россия 1980 г. -- персональные компьютеры (возможность -- быстрое произведение математических расчетов; выполнение сложных технологических процессов). -- Software -- программное обеспечение. -- Hardware -- техническое обеспечение. -- Интеллектуальное обеспечение (усиление компьютером интеллекта человека).

Hardware:-- процессор;-- клавиатура;-- дисплей;-- дисководы (жесткие диски и дискеты м/д) Интеллектуальное обеспечение -- совокупность интеллектуальных методов приемов и технологий обеспечивающих решение задач данной предметной области при помощи компьютера.

Существенным элементом интеллектуального обеспечения является формализация и наличие интеллектуальных интерфейсов на всех этапах решения задачи.

Система -- любой объект, который одновременно рассматривается и как единое целое, и как совокупность разнородных элементов, объединенная для достижения поставленной цели (производство, услуги).

Информационная система -- взаимосвязанная совокупность средств, методов и персонала, используемых для обработки, хранения и выдачи информации для достижения поставленной цели (обучение оказанию услуг и производству). 1950 -- 1960 Бумажный поток расчетных документов -- ­ скорости обработки Информационные системы обработки расчетных документов -- упрощение процедуры расчетов 1970 -- 1970 Помощь в подготовке отчетов -- ­ процесса подготовки отчетных документов Управленческие информационные системы (годовой баланс) 1970 -- 1980 Управленческий контроль реализации -- выработка оптимальных решений Системы поддержки принятия решений, управленческие системы для высшего звена 1980 -- 2000 Информация -- стратегический ресурс, обеспечивающий конкурентное преимущество -- выживание и процветание

Основные процессы в информационной системе:

1) вывод информации из внешних и внутренних источников;

2) образование входной информации и представление ее в удобном виде;

3) вывод информации. СВОЙСТВА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

-- информационная система может быть проанализирована, на основе общих принципов построения системы;

-- информационная система является динамической и развивающейся;

-- при построении информационной системы необходимо использовать системный подход;

-- информационную систему следует воспринимать как человеко-машинную (средства обеспечивающие взаимодействие с компьютером):

Информационное обеспечение -- совокупность в единой системе классификации и координирования информации, унифицированных систем документации, схем информационных потоков циркулирующих в организации, а также методологии построения баз данных. Функциональное обеспечение -- взаимосвязанная система задач и функций.

Организационное обеспечение -- система взаимосвязанной ответственности за процессы, выполняющиеся в системе. Техническое обеспечение -- комплекс технических средств, предназначенных для работы с системой (компьютеры, устройства сбора, накопления и обработки данных, линии связи). Организационное обеспечение -- совокупность методов и средств регламентирующих взаимодействие специалистов с техническими средствами и между собой в процессе разработки и эксплуатации информационной системы.

Математическое и программное обеспечение -- совокупность математических методов, моделей, алгоритмов и программ для реализации задач информационной системы, а также нормального функционирования комплекса технических средств. Правовое обеспечение -- совокупность правовых норм определяющих создание, юридический статус и функционирование информационной системы, регламентирующих порядок получения, преобразования и использования информации. Формализованная (структурированная) задача -- задача в которой известны все ее элементы и взаимосвязи между ними.

При ее разработке необходимо создать структуру управления организации. Для этого существует набор управленческих функций:

-- организационная;

-- функция планирования;

-- учетная;

-- аналитическая;

-- контрольная;

-- стимулирование или мотивационная;

-- функция принятия решения.

Под управлением понимают обеспечение поставленной цели при условии реализации выше перечисленных функций.

Функции информационной системы

Производственные информационные системы -- планирование объема работ и разработка календарных планов; оперативный контроль и управление производством; анализ работы оборудования; прогнозирование продаж; управление продажами; рекомендации по производству новой продукции; анализ и установление цены; учет заказов.

Финансовые и учетные информационные системы -- управление портфелем заказов; управление кредитной политикой; разработка финансового плана; финансовый анализ и прогнозирования; контроль бюджета; бухучет и расчет зарплаты.

Кадровые системы -- анализ и прогнозирование потребностей в трудовых ресурсах; ведение архивов, записей о персонале, анализ и планирование подготовки кадров.

Предметные системы -- мониторинг окружающей среды, прогнозо-диагностические и стратегические задачи.

I. По характеру использования информации; -- информационно-поисковые системы ввод, систематизация и хранение информации по запросу пользователя (справочные); -- информационно-решающие системы операции по переработки информации по определенному алгоритму: управляющие -- вырабатывают на основе которой человек принимает решение; советующие -- вырабатывают информацию которая принимается человеком к сведению и не превращается немедленно в серию конкретных действий (переработка знаний -- экспертные системы); -- ситуационные центры (4 в России).

II. По сфере применения: --организационного управления -- автоматизация функций управленческого персонала; --управления техническими процессами -- автоматизация функций проточных линий, изготовление микросхем, поддерживание технологических процессов в промышленности).

--автоматизированного проектирования -- автоматизация функций инженеров, конструкторов и т.д., при создании новой техники и технологий -- интегрированные (корпоративные) информационные системы -- автоматизация всех функций предприятия, их создание требует системного подхода с позиции цели и критериев результата.

1. Информационные технологии обработки данных; 2. Информационные технологии управления; 3. Автоматизация оффиса; 4. Информационные технологии принятия решений; 5. Информационные технологии экспертных систем. 1. Предназначенный для решения хорошо структурированных (формализованных) задач, по которым имеются исходные данные и известны алгоритмы их обработки (система расчетов зт.) 2. Ее щелью является удовлетворение информационных потребностей всех лиц и всех фирм имеющих дело с принятием решения. 3. Исторически автоматизация началась на производстве, а затем распространилась на офис -- с целью автоматизации рутинной работы. 4. Системы ППР появились усилиями американских ученых в конце 70-х начале 80-х годов, чему способствовало широкое распространение персональных компьютеров, стандартных пакетов прикладных программ, а также успехи разработки систем искусственного интеллекта. 5.

Экспертные системы основаны на использовании искусственного интеллекта -- способности информационной системы к таким действиям, которые назывались бы интеллектуальными, если бы они исходили от человека.

Информационная технология -- процесс, использующий совокупность средств и методов сбора, обработки и передачи данных (первичной информации) для получения информации нового качества о состоянии объекта, процесса или явления (информационного продукта). Цель информационной технологии -- производство информации для ее анализа человеком и принятия на его основе решения по выполнению какого-либо действия. Три основных принципа новой (компьютерной) информационной технологии:

* интерактивный (диалоговый) режим работы с компьютером;

* интегрированность (стыковка, взаимосвязь) с другими программными продуктами;

* гибкость процесса изменения как данных, так и постановок задач.

Информационная технология обработки данных предназначена для решения хорошо структурированных задач, по которым имеются необходимые входные данные и известны алгоритмы и другие стандартные процедуры их обработки. Основные компоненты С б ор данных. По мере того как фирма производит продукцию или услуги, каждое ее действие сопровождается соответствующими записями данных. Обычно действия фирмы, затрагивающие внешнее окружение, выделяются особо как операции, производимые фирмой. Обработка данных. Для создания из поступающих данных информации, отражающей деятельность фирмы, Создание отчетов (документов). В информационной технологии обработки данных необходимо создавать документы для руководства и работников фирмы, а также для внешних партнеров. При этом документы могут создаваться как по запросу или в связи с проведенной фирмой операцией, так и периодически в конце каждого месяца, квартала или года.

Целью информационной технологии управления является удовлетворение информационных потребностей всех без исключения сотрудников фирмы, имеющих дело с принятием решений. Эта технология ориентирована на работу в среде информационной системы управления и используется при худшей структурированности решаемых задач, если их сравнивать с задачами, решаемыми с помощью информационной технологии обработки данных. ИС управления идеально подходят для удовлетворения сходных информационных потребностей работников различных функциональных подсистем (подразделений) или уровней управления фирмой. Поставляемая ими информация содержит сведения о прошлом, настоящем и вероятном будущем фирмы. Эта информация имеет вид регулярных или специальных управленческих отчетов. Основные компоненты информационной технологии управления показаны на рис.. Входная информация поступает из систем операционного уровня. Выходная информация формируется в виде управленческих отчетов в удобном для принятия решения виде.

Автоматизация офиса призвана не заменить существующую традиционную систему коммуникации персонала), а лишь дополнить ее. Основные компоненты База данных. Текстовый процессор. Это вид прикладного программного обеспечения, предназначенный для создания и обработки текстовых документов. Электронная почта. Аудиопочта. Табличный процессор. Электронный календарь. Компьютерные конференции и телеконференции. Видеотекст. Хранение изображений. Аудиоконференции. Видеоконференции. Факсимильная связь. Офисные автоматизированные технологии используются управленцами, специалистами, секретарями и конторскими служащими, особенно они привлекательны для группового решения проблем.

Главной особенностью информационной технологии поддержки принятия решений является качественно новый метод организации взаимодействия человека и компьютера. Выработка решения, что является основной целью этой технологии, происходит в результате итерационного процесса (рис. 3.15), в котором участвуют: * система поддержки принятия решений в роли вычислительного звена и объекта управления; * человек как управляющее звено, задающее входные данные и оценивающее полученный результат вычислений на компьютере. В состав системы поддержки принятия решений входят три главных компонента: база данных, база моделей и программная подсистема, которая состоит из системы управления базой данных (СУБД), системы управления базой моделей (СУБМ) и системы управления интерфейсом между пользователем и компьютером.

Основную идею н е йр окибернетики можно сформулировать следующим образом. Единственный объект, способный мыслить, -- это человеческий мозг. Поэтому любое "мыслящее" устройство должно каким-то образом воспроизводить его структуру. В настоящее время используются три подхода к созданию нейросетей:

* аппаратный -- создание специальных компьютеров, плат расширения, наборов микросхем, реализующих все необходимые алгоритмы;

* программный -- создание программ и инструментариев, рассчитанных на высокопроизводительные компьютеры. Сети создаются в памяти компьютера, всю работу выполняют его собственные процессоры;

* гибридный -- комбинация первых двух. Часть вычислений выполняют специальные Искусственный интеллект -- это одно из направлений информатики, цель которого разработка аппаратно-программных средств, позволяющих пользователю-непрограммисту ставить и решать свои задачи, традиционно считающиеся интеллектуальными, общаясь с ЭВМ на ограниченном подмножестве естественного языка.

Данные -- это отдельные факты, характеризующие объекты, процессы и явления в предметной области, а также их свойства. Знания -- это выявленные закономерности предметной области (принципы, связи, законы), позволяющие решать задачи в этой области. Часто используются такие определения знаний: знания -- это хорошо структурированные данные, или данные о данных, или метаданные. Знания могут быть классифицированы по следующим категориям:

* поверхностные

* глубинные

Продукционная модель, или модель, основанная на правилах, позволяет представить знания в виде предложений типа: Если (условие), то (действие). При использовании продукционной модели база знаний состоит из набора правил. Термин семантическая означает смысловая, а сама семантика -- это наука, устанавливающая отношения между символами и объектами, которые они обозначают, т.е. наука, определяющая смысл знаков. Семантическая сеть -- это ориентированный граф, вершины которого -- понятия, а дуги -- отношения между ними. Фрейм. как структура знаний для восприятия пространственных сцен. Формальные логические модели Традиционно в представлении знаний выделяют формальные логические модели, основанные на классическом исчислении предикатов I порядка, когда предметная область или задача описывается в виде набора аксиом.

Наибольший прогресс среди компьютерных информационных систем отмечен в области разработки экспертных систем, основанных на использовании искусственного интеллекта. Основными компонентами информационной технологии, используемой в экспертной системе, являются: интерфейс пользователя, база знаний, интерпретатор, модуль создания системы.

1. Классификация по решаемой задаче Интерпретация данных. Это одна из традиционных задач для экспертных систем. Диагностика. Под диагностикой понимается обнаружение неисправности в некоторой системе. Мониторинг. Основная задача мониторинга -- непрерывная интерпретация данных в реальном масштабе времени и сигнализация о выходе тех или иных параметров за допустимые пределы. Проектирование. Прогнозирование. Прогнозирующие системы логически выводят вероятные следствия из заданных ситуаций. Планирование. Обучение.

2. Классификация по связи с реальным временем

3. Классификация по типу ЭВМ

4. Классификация по степени интеграции с другими программами

8. Определение производной в точке, её геометрический и физический смысл

Tgц(?x)=

При x>х? секущая поворачивается и в придел. Положении превращается в касательную.

Касат.- это предельное положение секущей

так как Tg?? непр.

(угловой коэф.касат.)

Произв. В точке - это угловой коэф. Касательной к графику фун-ий этой точки

Секущая: =

Yсек=f(x?)(x-x?)

Y кас=f(x?)+f?(x?)(x-x?)

Нормаль- это прямая перпен. касательной

Yнор=f(x?)- (x-x?)

Лемма Ферма

Пусть f(x) определена на Х и х?- внутр. точка Х, х?-т.экстр., тогда f?(x?) не существует или =0

Док-во:

x?=max

f?(x?),тогда теорема доказана

2)f?(x?) требуется доказать f?(x?)=0

f?(x?)=

f?(x?)=

f?(x?)=f?(x?)=f?(x?)=0 ч.т.д.

Геом. Смысл

В точках экс. Касательная либо отсутствует либо горизонтальна.

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) непрер. На [a;b]

2) f(x) диф-на на (a;b)

3)f(a)=f(b)

Тогда

Док-во:

M=min f(x) [a;b]

M=max f(x) [a;b]

Так как f(x) непрер., то по теореме вейштрасса

x?x?Є[a;b] : f(x?)=m f(x?)=M

1)m=M F(x)=const=с

Тогда х[a;b] f?(x)=0

n-это любая точка интервала [a;b]

2)m<M

Так как f(a)=f(b), То х? или х?Є(a;b)

Пусть x?Є(a;b) x?=min

Теорема Лангранжа

Пусть 1)f(x) неопр. На [a;b]

2) f(x) деф-на на (а;b)

Тогда n(a;b) f?(n)=

На интервале есть точка точка косательная

К графику фун-ий в которой парал. Секущей

Док-во:

Рассм. Ц(х)=f(x)-

Ц(x)= неопр. На [a;b] как разность непрер. Фун-ий

ц?(х)=f?(x)-

Ц(x) диф-на на (a;b)

Ц(a)=f(a)-=0

Ц(b)=0

По т.Ролле существует т. n(a;b)

(n)=0

f?(n)= ч.т.д.

Замечание: другие формы записи теоремы 1)f(b)-f(a)=f(n)*(b-a) 2)f(x?)-f(x?)=f?(n)*(x?-x?) 3)f(x?+?x)-f(x?)=f?(n)*(?x)

Теорема Коши

Пусть 1)f(x), g(x) непр. На [a;b]

2) (x), g(x) диф. На (a;b)

3)g(b)?g(a) * xg?(x)?0

Тогда nЄ(a;b)

=

Док-во:

Рассм. F(x)=f(x)-

?? подберем так, что бы f(a)=f(b)

F(a)-??g(a)=f(b)-??g(b)

??(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)

??=

F неопред. На [a;b]

f?(x)=f?(x)-??*g?(x)>f(x) диф. (a;b)

тогда по теореме Ролля

n(a;b) f?(n)=0 f?(n)-??g?(n)=0

??== ч.т.д.

9. Производная ф-ии заданной параметрически. Вычисление производной обратной ф-ии

t

Пусть f(t) - имеет обратную, т.е. t=t(x),тогда y=y(t)=y(t(x))

Пусть y(t)и x(t) - диффер, тогда

Вычисление производной обратной ф-ии

Пусть f(x) определена на Х У-обл.её знаний.

Если это соотв-на взаимнооднозначно

y

Тогда можно опр-ть обратную ф-ию (x)

Графики обратных ф-ий симметричны относит. прямой у=х. Теорема: Пусть f(x) имеет обратную (х), тогда производная обрат. ф-ии

(=

Пример: пусть у=sinx>x=arcsiny

(arcsiny)?= ===

=

10. Определение дифференциала и его инвариантность

график функция неравенство предел

Пусть f(x) дифф. в x?

?f(x?)=f?(x?)?x+0(?x)

?x=dx

Опр: Дифференциал-это главное линейная часть прирац. ф-ии

Df(x?)=f?(x?)*dx

f?(x?)=tg??

tgd*dx=f?(x?)dx

Дифференциал-это приращение ординаты касательной к значению ф-ии в х?

?f(x?)=df(x?)

F(x)-f(x?)=df(x?)

F(x)=f(x?)+df(x?)

Инвариатность

Выражение 1 го диф-ла не зависит от того явл. Ли х независ переменой или ф-ией.

Док-во:1) х-независ. перемен.

Df(x)=f?(x)dx

2) x=x(f) (фун-ия пер-ой t)

F(x)=f(x(t))=ц(t)

Df(x)=dц(t)=dц?(t)*dt=f?(x(t))*x?(t)* dt=f?(x)dx

Df(x)=f?(x)dx

11. Производные и дифференциалы высоких порядков

Пусть f(x) диф-на на (а,b). Для любого x

- фун-ия опр-на (а,b)

Опр: вторая производная- это производная от первой производной

Опр:производная n-ого порядка-это производная от производной (n-1) порядка

Свойства:

1)константу можно выносить за знак ой n-производной

Пусть f(x)=c*u(x), то

2) Пусть f(x)= u(x)+v(x), то

+

3) Пусть f(x)=u(x)*v(x

f?=u?v+uv?

f??=u??*v+2u?*v?+u*v??

-формула лейбенса

функци от t

== *

12. Правило Лопиталя

Th1. 1-ое правило

Пусть

1)F(x) g(x) диф. На (x?,х?+h)

2)f(x)>0, g(x)>0

3), тогда

Тогда

=

Замечание Th справедлива

1)На интервале (х?-h,x?) и х>х?-0

2)на (х?-h,x?+h) и х>х?

3)х?=

Th2. 2-ое правило

Пусть

1)F(x) g(x) диф. На (x?,х?+h)

2)f(x)>, g(x)>

3)

Тогда

=

Замечание аналогично

13. Поведение фун-ий и знак произв

Пусть f(x) диф-на на (a;b)

1)f(x)=const <=>

2) f(x)=возр. <=>

3) f(x)=убав. <=>

Док-во:

1) очевидно

Пусть х?,х?

F(x?)-f(x?)=f?(n)*(x?-x?)=0

F(x?)=f(x?) -> f(x)=с постоянна

Ч.т.д.

2)-> f(x) - возрастает

(a;b) x?<x? f(x?) f(x?)

Пусть х?- произв. точка (a;b)

f?(x?)=

так как

ч.т.д.

<- Пусть

X? x? (a;b) и x?<x?

F(x?)=f(x?) = f?(n)(x?-x?)

F(x?) f(x?) ч.т.д.

3) -> f(x) убывает

Док-во аналогично пункту 2

20)Достаточные условия экстремума

Пусть f(x) диф. На (x?-h,x?+h) и f?(x?)=0 тогда

1)

f?(x)>0 , x?- точка минимума

2)

f?(x)<0 , x?- точка max

3)

f?(x)0 , то в т.x? экстрем. Нет

Док-во

1)

А) х

F(x)-f(x?)=f?(n)(x-x?)>0

F(x)>f(x?)

Б) х(х?, х?+h)

F(x)-f(x?)=f?(n)(x-x?)>0

F(x)>f(x?)

Ч.т.д.

2) Док-во: аналогично

3)х f?(x)

Пусть х(x?-h,x?) и произв. F(x)-f(x?)=f?(n)(x-x?)

F(x)

Рассм. х(x?;x?+h) f(x)-f(x=f(n)(x-x?)

В точке х? экстрем. Нет Th 2-ое дост. Усл.

Пусть f(x) n раз диф. в х?

f?(x?)=f??(x?)=…=(x?)=0

если

1)n-четное число, то в т.x? экст. Есть

А)(x?)>0, x?- min

Б)(x?)<0, x?- max

2) n- не четное число, то в т.x? экст. Нет

Найти наиб, наименю значение фун-ий на отрезке

1)найти точки подозрит. На экстр. F(x)=0 и оставим те, которые пренадл. Отрезку

2)вычислись значение фун-ий в этих точках и на концах отрезка

3)выбрать из этих чисел наибольшее наименьшее

14. Выпуклость ф-ий. Точки перегиба

Рассмотрим [x?;x?] и x [x?;x?]

?? 01

x?-x=??(x?-x?)

-x=??x?-??x?-x?

X=??x?+(1-??)x?

<- Пусть х=??х?+(1-??)х? , то

хх?+(1-??)х?=х?

а с другой стороны

х1-??)х?=х?

х - икс принадлежит отрезку

Утв: х 0

2) отрезок на плоскости

(??х?+(1-??)х?;??у?+(1-??)у?)

Выпуклое множеств:

Множество Х называется выпуклым, если отрез.соедин. любые 2 его точки лежит внутри

15. Правила вычисления произв

1) производная константы=0

F(x)=с,

Х f?(x?)=k=tg0=0

2) константу можно выносить за знак производной

Пусть f(x)диференц. в х?, тогда n(x)=c*f(x) тоже диференц. в х? и n?(x?)=c*f?(x?)

Док-во:

f?(x?)==

=

С * =

с*f?(x?)

3)Пусть f(x)=u(x)+v(x), a u(x) и v(x) - дифер. в х?, тогда f(x)- диф. в х? и f?(x?)= u?(x?)+v?(x?)

Док-во: f?(x?)=

=+=

u?(x?)+v?(x?)

4)Пусть f(x)=u(x)*v(x)

f?(x)=u?(x)*v(x)+u(x)*v?(x)

5)f(x)=

f?(x)=

6)Производная суперпозиции (сложная)

F?(x?)=g?(f(x?)*f?(x?)

Размещено на Allbest.ru