Бесконечно малые и большие функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x>1, так как(см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx - бесконечно малая при x>0.

3. f(x) = ln (1+x)- бесконечно малая при x>0.

4. f(x) = 1/x- бесконечно малая при x>?.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x>aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины б(x): f (x)=b+ б(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+б(x), где a(x) - бесконечно малая при x>a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+б(x) следует |f(x) - b|=| б|. Но так как a(x) - бесконечно малая, то при произвольном е найдется д - окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |б(x)|<е. Тогда |f(x) - b|< е. А это и значит, что .

2. Если , то при любом е>0 для всех х из некоторой д - окрестность точки a будет |f(x) - b|< е. Но если обозначимf(x) - b= б, то |б(x)|<е, а это значит, что a - бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=б(x)+в(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом е>0 найдется д>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x - a|<д, выполняется |f(x)|< е.

Итак, зафиксируем произвольное число е>0. Так как по условию теоремы б(x) - бесконечно малая функция, то найдется такое д₁>0, что при |x - a|<д₁ имеем |б(x)|< е/2. Аналогично, так как в(x) - бесконечно малая, то найдется такое д₂>0, что при |x - a|<д₂ имеем | в(x)|< е/2.

Возьмем д=min{ д₁, д₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса дбудет выполняться каждое из неравенств |б(x)|< е/2 и | в(x)|< е/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| б(x)+в(x)| ? |б(x)| + | в(x)| < е/2 + е/2= е,

т.е. |f(x)|<е, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x>a (или при x>?) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|?M.Кроме того, так как a(x) - бесконечно малая функция при x>a, то для произвольного е>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |б(x)|< е/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | бf|< е/M= е. А это и значит, что af - бесконечно малая. Для случая x>? доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции б(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x>a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x>a.

Доказательство. Возьмем произвольное число е>0 и покажем, что при некоторомд>0 (зависящим от е) при всех x, для которых |x - a|<д, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) - бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) - бесконечно большая функция при x>a, то найдется д>0 такое, что как только |x - a|<д, так |f(x)|>1/ е. Но тогда для тех же x.

Примеры.

1. Ясно, что при x>+?функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция - бесконечно малая при x>+?, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x>a (или x>?) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x>+?, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A? 0

.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть.Тогда f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x), где б и в - бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (б(x) + в(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а б(x) + в(x) - функция бесконечно малая, то

.

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) и

fg = (b + б)(c + в) = bc + (bв + cб + бв).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bв + c б + бв на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример..

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x), где б, в - бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²?0.

Примеры.

1. .

2. .

3. Рассмотрим . При x>1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x>1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)?f(x)? v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x>a (или x>?), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 - М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x>a (или x>?) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y?0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b?0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y - b|?|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x>a. Но тогда y не стремится к пределу b при x>a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)? g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b?c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ?0, следовательно, по теореме 5 , или .

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x>a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x>a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют b пределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x>aслева, если каково бы ни было положительное число е, найдется такое число д (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x>a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x>a справа, если каково бы ни было положительное число е, найдется такое число д (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом

предел бесконечный малый функция

Найдем пределы функции f(x) при x>3. Очевидно, , а .

2.

3. .

4. .

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность .

1. .

2. .

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x³ - 6x² + 11x- 6, то при делении получим

3.

4.

5. .

II. Неопределенность .

1. .

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

2. .

3. .

4. .

При вычислении предела воспользовались равенством,если x<0.

Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .

III. Неопределенность 0 ?.

.

IV. Неопределенность ? -?.

1.

2.

3. .

Размещено на Allbest.ru