Размещено на http://www.allbest.ru/

ФУНКЦИИ

Основные понятия

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость - одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть _ некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число , обозначаемое . Тогда говорят, что на множестве задана функция и записывают: или Чаще используют более простую терминологию: задана функция , .

Множество называют областью определения функции . Множество называют множеством значений функции . При этом называют независимой переменной или аргументом функции, - зависимой переменной или значением функции, а - характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву (, , , и т.д.). Частное значение функции при записывается как .

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции.

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости называется геометрическое место точек , координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

· Функция называется четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство . Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;

· Функция называется нечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство . Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций - функция четная;

· Нулями функции называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;

· Функция называется периодической, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство . Число называют периодом этой функции;

· Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. . Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;

· Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу (вертикальная асимптота);

· Функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения . Функция называется ограниченной, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения ;

· Функция называется обратной по отношению к , если при подстановке её вместо аргумента получается тождественное равенство: ;

· Если каждому значению переменной соответствует одно значение переменной , то называется однозначной функцией от ; если хотя бы некоторым значениям переменной соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений , то называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от .

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел , то множество значений функции будет счетным и каждому номеру ставится в соответствие число . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число - общим или -м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером , т.е. указанием формулы ее _го члена .

Пример. Последовательность может быть задана формулой: .

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее -го члена.

Пример. Последовательность _ это последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается .

Пусть и _ две последовательности.

Суммой последовательностей и называют последовательность , где , т.е. .

Разностью этих последовательностей называют последовательность , где , т.е. .

Если и _ постоянные, то последовательность , называют линейной комбинацией последовательностей и , т.е.

.

Произведением последовательностей и называют последовательность с -м членом , т.е. .

Если , то можно определить частное .

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей и называются их алгебраическими композициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и , где . Тогда , т.е. последовательность имеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны .

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности . Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности , то новую последовательность называют остатком.

Последовательность ограничена сверху (снизу), если множество ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .

Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .

Пример. .

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство выполняется для , такого, что , что определение сходимости выполняется для числа . Значит, .

Иными словами означает, что все члены последовательности с достаточно большими номерами мало отличается от числа , т.е. начиная с некоторого номера (при ) элементы последовательности находятся в интервале , который называется -окрестностью точки .

Последовательность , предел которой равен нулю (, или при ) называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

· Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

· Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где - постоянная; - бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то ;

4. При любых постоянных и ;

5. ;

6. Если , и , то ;

7. Если , то ;

8. Если и , то ;

9. Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

возрастающей, если ;

строго возрастающей, если ;

убывающей, если ;

строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой (, при ), если такое, что при .

Говорят, что предел последовательности равен , если для такое, что выполняется неравенство: .

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

1. , где

2.

Покажем, что

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для простоты примем, что (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины и с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Площади треугольников , и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда , и после деления на , получим , а для обратных величин . Так как при последовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности , справедливо равенство .

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что , а . Тогда:

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же , а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:



.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел:

,

который обозначается (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков , где . Если при этом , то последовательности и имеют равные пределы: .

Теорема Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности к конечному пределу означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Коши.

Критерий Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда такое, что выполняется неравенство: .

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию , определенную на множестве . Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел , все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые в не входят.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при .

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей , стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности , если существует предел соответствующих последовательностей , то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая предел при , ограничена в некоторой окрестности точки . Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

· Если - есть постоянная функция, то ;

· Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда ;

· Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

· Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

· Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии);

· Если и существуют , и , то .

Односторонние пределы

В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что , то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке . Если же считать, что и , то получают односторонний предел слева или левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции , изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: и .



Правосторонний предел обозначают символом , левосторонний _ символом . Таким образом:

.

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .

Для того, чтобы у функции в точке существовал двусторонний предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и функции в точке , и эти пределы были равны между собой: .

Пример.

Пример.

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке , можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону или . В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции при равен , если для существует такое, что для , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . Аналогично, при , если для существует такое, что для , , выполняется неравенство .

Если функция , где и есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной функций и ).

Пример 3. , поскольку для выполнено неравенство , если только

Пример 4.

.

Пример 5.

.

Бесконечные пределы

Функция называется бесконечно малой при (или , или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство .

При () функция называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е. .

Теорема: Если функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: .

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа и бесконечно малой величины : то число является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

· Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

· Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;

· Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при (или , или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство .

При () функция называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. .

Свойства бесконечно больших величин:

· Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;

· Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

· Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при () то функция есть бесконечно большая величина при ().

Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при () то функция есть бесконечно малая величина при ().

Сравнение бесконечно малых величин:

· Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. ;

· Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е.;

· Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е.;

· Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. .

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Если и , то

Если и при а для близких к (т.е. ограничена в окрестности точки ), то .

Пример 8. , т.к. , а

Пример 9. т.к. и при .

Непрерывность функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке Пусть . Функция называется непрерывной в точке , если

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция , определенная на интервале называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция , определенная на отрезке () называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано-Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку , где , , т.е. .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Отметим, прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены.
К основным элементарным функциям относятся:

1. Постоянная функция . Область определения ;

2. Идентичная функция . Область определения ;

3. Одночлен , ;

4. Многочлен , ;

5. Рациональная функция , где и _ многочлены. Функция определена при всех , кроме корней многочлена ;

6. Степенная функция . Если , то функция определена, по крайней мере, на . При определена, по крайней мере, на . (При некоторых степенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функция имеет область определения . Функция определена на );

7. Показательная функция , , . Определена на ;

8. Логарифмическая функция , , . Определена на ;

9. Синус , косинус определены на . Эти функции являются периодическими с периодом , т.е. , для любого из ;

10. Арксинус и арккосинус определены на .

Если и _ непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций будет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

функция последовательность предел сходимость гейне

Непрерывность композиции

Пусть задана функция , со значениями в , и на множестве определена функция со значениями в . Тогда для любого можно вычислить , на можно определить функцию со значениями в по правилу: . Говорят, что функция есть композиция функций и и обозначают . (Функцию называют также сложной функцией).

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке . Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример 14. Функция непрерывна на , как композиция непрерывных функций и , поскольку такая композиция определена для .

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

и существуют;

и конечны;

;

.

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке .

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Размещено на Allbest.ru