Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Основные понятия

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и , соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть - число жителей региона в момент времени . Прирост населения за промежуток времени равен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е. . Обозначим . Полученное уравнение можно записать в виде . Если перейти к пределу при , получается уравнение . Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса , где - постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные различных порядков по . Такие уравнения называют дифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения го порядка следующий:

где - некоторая функция переменных при , причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить , и отдельные производные порядков ниже чем . Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

где - некоторая функция переменной.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

Всякая функция , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называется решением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение - значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального исчисления - отыскание функции , производная которой равна данной непрерывной функции - сводится к простейшему дифференциальному уравнению .

Общее решение этого уравнения есть функция , где произвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции , можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Так как , то отсюда следует . Интегрируя последнее равенство, получим

.

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и , т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое содержит столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение задано в неявном виде , то оно обычно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Решениями этого уравнения будут функции и , т.к. и . Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция , где и - произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить , а , то полученная функция является частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример. Показать, что функция есть решение уравнения .

В самом деле, и .

Следовательно:

что и требовалось показать.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

где _ аргумент; _ неизвестная функция.

Наиболее простым является дифференциальное уравнение, разрешенное относительно : .

Иногда уравнение первого порядка записывается в форме:

.

Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т.е. .

Решение, заданное неявно, т.е. в виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Показать, что уравнение , определяющее , как неявную функцию от , есть интеграл дифференциального уравнения .

Дифференцируя данное уравнение, найдем :

.

Подставив в дифференциальное уравнение, получим тождество:

.

3. Дифференциальные уравнения семейства кривых

Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением . Фиксируя значение параметра , получают конкретную линию данного семейства. Например, уравнение определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси . Придавая параметру значения, получают параболы .

Дифференцируя уравнение семейства линий по (считая функцией от ): и исключая параметр , приходят к дифференциальному уравнению вида , которому удовлетворяет любая линия данного семейства.

Пример. Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку . Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра . Так как искомая окружность проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя , получим . Искомое уравнение имеет вид: .

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по : или .

4. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения . График функции называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в той же точке.

Если через обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке и положительным направлением оси , то , а , следовательно, . Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение равносильно заданию в области определения функции поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. . Пример. Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

5. Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию .

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку . Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример. Найти:

· семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;

· кривую этого семейства, проходящую через точку .

Решение.

Дифференциальное уравнение искомого семейства или .

Проинтегрировав обе части равенства, получим: , откуда _ уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение , соответствующее начальным значениям: , т.е. .

Следовательно, _ искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение -го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначить через , через ,…, через , получим систему дифференциальных уравнений:



Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке , т.е. это просто начальные условия исходного уравнения -го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функция будет искомым частным решением исходного уравнения -го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример. Решить систему двух уравнений первого порядка:

Решение. Продифференцировав первое уравнение, получим . Подставим в него из второго уравнения, получим . Общее решение этого уравнения имеет вид . Используя первое уравнение, получаем , и исходная система решена.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:

,

которую коротко можно записать в векторной форме .

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию , которая является решением системы уравнений и .

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения -го порядка , которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

;

;

;

;

;

,

получится эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка:



Задача Коши для уравнения -го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнения для данных значений:

Точки и называются начальными условиями, их можно записать также в виде и .

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области функция и ее частная производная

непрерывны. Тогда через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область , но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.

Если функции и их частные производные по непрерывны в -мерной области , то через каждую точку области проходит единственное в области решение системы дифференциальных уравнений:

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.

6. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде , то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых и . После этого разделим обе части уравнения на и получим уравнение:

, в котором переменные разделены.

Общим интегралом уравнения будет:

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку.

Общим интегралом будет или .

Полагая в нем , находим, что . Искомой интегральной кривой будет .

Пример. Найти общий интеграл .

Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на : .

Почленно интегрируя, получим:

;

;

.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информацию человек из общего числа потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени число знающих о продукции людей равно . Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению:

.

Здесь - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента :

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа . Полагая , получим равенство:

,

из которого определим функцию

: .

Здесь . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что и положить где , то можно найти значение константы . Логистичеcкая функция примет вид:

.



На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях . Здесь величина условно принималась за 1, а величина бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

7. Однородные дифференциальные уравнения

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени , если все члены его имеют один и тот же порядок , т.е. для каждого члена выполняется условие .

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументы и однородного многочлена степени заменить пропорциональными величинами и , то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени , т.е. . Так, для приведенного выше полинома:

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция называется однородной функцией степени (или -го измерения), если для любого числа имеет место тождество .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных и - однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или . Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим .

При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно, также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным тогда и только тогда, когда является однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду .

Подстановка , где новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , то и . Подставляя в уравнение, получим:, т.е. или .

После интегрирования подставим вместо и получим общий интеграл данного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

.

Положив в нем и , получим уравнение с разделяющимися переменными: .

Разделяем переменные: .

Интегрируя и подставляя вместо , получим общий интеграл исходного уравнения:

;

;

.

8. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида:

где и непрерывные функции от называется линейным, в частности, уравнение называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются: , и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства: .

Для того чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от , т.е. положим , тогда .

Подставить значения и в уравнение (2):

.

После группировки получим:

Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е. . Для этого достаточно, чтобы было частным решением уравнения с разделяющимися переменными:

или .

Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению . Находим . Подставив в уравнение (2') значение , получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, или ,

общее решение которого . Следовательно, общим решением уравнения (2) будет

.

В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно , т.е. может быть приведено к виду: . Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные и меняют свои роли: считается аргументом, а _ неизвестной функцией.

Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Положим , тогда

.

Подставим и в данное уравнение:

;

Положим , или .

Проинтегрировав, получим частное решение при :

или .

При равенство (3) обратится в уравнение:

;

,

откуда и общим решением данного уравнения будет

.

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.

9. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

Для нахождения точного решения дифференциального уравнения первого порядка универсального метода не существует, поэтому большое значение приобретают приближенные методы решений дифференциальных уравнений.

Пусть на заданном отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка с непрерывной правой частью , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это значит, что для дифференциального уравнения нужно построить интегральную кривую , проходящую через точку . Из геометрического смысла производной следует, что в каждой точке интегральной кривой ее наклон (т.е. тангенс угла наклона касательной) удовлетворяет условию .

Поскольку правая часть дифференциального уравнения по предположению непрерывна, то можно считать, что на небольшом участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту кривую можно заменить ломаной линией.

Практически это делается следующим образом:

Отрезок разбивается на достаточно мелких частей , , …, . Длина го отрезка () для простоты предполагается одинаковой для всех отрезков, т.е.

.

Величина называется шагом процесса.

Кривая с вершинами заменяется ломаной линией с вершинами , где , и последовательными наклонами, которая называется полигоном Эйлера:

Расчетные формулы выглядят следующим образом:

Суть метода Эйлера - замена непрерывного процесса, описываемого дифференциальным уравнением на дискретный процесс, скорость протекания которого постоянна в пределах элементарного интервала разбиения и скачкообразно изменяется при переходе от одного интервала разбиения к другому.

Недостатки метода:

· Малая точность при значительном шаге , большой объем работы при малом шаге;

· Систематическое накопление ошибок.

Пример. Методом Эйлера на промежутке найти решение дифференциального уравнения , .

Выберем шаг . Результаты вычисления с точностью до 0,001 приведены в таблице:

0	1,000	1,000	0,100
0,1	1,100	1,200	0,120
0,2	1,220	1,420	0,142
0,3	1,362	1,662	0,166
0,4	1,528	1,928	0,193
0,5	1,721

Таким образом, . Поскольку уравнение линейное, несложно найти точное решение: ; отсюда .

10. Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной

.

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Геометрически общее решение представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров и . Вообще говоря, через каждую точку плоскости проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы из семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую, недостаточно указать точку , через которую проходит эта кривая, нужно указать еще и направление, в котором кривая проходит через эту точку, т.е. задать тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке с положительным направлением оси .

11. Задача Коши

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где _ заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример. Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений: .

Следовательно, , и искомое решение: .

12. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не решается аналитически, однако, в некоторых случаях, дифференциальные уравнения второго порядка определенных типов решаются с применением операции неопределенного интегрирования.

Тип I.

Интегрируя, получим .

Интегрируя еще раз, окончательно получим

,

где и - произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.

Тип II. .

Положим, . Отсюда, рассматривая как функцию от , будем иметь:

.

Следовательно, уравнение примет вид . Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

 или .

Так как , то . Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, получим:

.

Тип III. .

Положим , тогда . Уравнение примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Определив из этого уравнения величину , путем вторичного интегрирования, можно найти и .

13. Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

I. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е. уравнение имеет вид . Полагая и , получим дифференциальное уравнение первого порядка

, где роль независимой переменной играет .

II. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е. уравнение имеет вид . Полагая и , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией .

14. Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентами и .

Предположим, что и - частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.

Определение. Два решения и называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа и не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. .

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и называются линейно независимыми. Иными словами, если функции и линейно независимы и выполняется тождество , то числа и одновременно равны нулю.

Очевидно, решения и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. (или наоборот), где - постоянный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения, легко получить общее решение этого уравнения.

Теорема. Если и - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид , где и - произвольные конечные постоянные величины.

15. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , где и - некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде , где - постоянное число, которое необходимо определить. Дифференцируя , получаем и . Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

.

Множитель отличен от нуля, поэтому можно разделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение , из которого можно определить значения параметра . Уравнение называется характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Для построения характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные , и функцию заменить на соответствующие степени параметра , рассматривая при этом функцию как производную нулевого порядка.

Теорема. Если и _ частные решения уравнения

, то

есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения равны

.

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

1. , тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня и . При эти функции являются линейно-независимыми. Действительно, если допустить обратное, то должно выполняться соотношение , где хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля. Следовательно, можно получить тождество , что противоречит здравому смыслу, поскольку левая часть равенства изменяется с изменением , в то время как правая часть постоянна. Таким образом, общее решение для этого случая имеет вид

.

2. , тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень . Поэтому частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид . Всякое другое частное решение линейно независимое с будет иметь вид , где - некоторая функция от , не являющаяся тождественно постоянной. В результате дифференцирования получаем:

Подставляя , и в исходное уравнение после сокращения на общий множитель , получим или . Поскольку, по условию , получаем . Отсюда и , где и - произвольные постоянные. Следовательно, . Поскольку, является частным решением и постоянные и являются произвольными, можно принять и , при этом .

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: .

3. , тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . В этом случае частные решения дифференциального уравнения будут иметь вид и , а общее - .

Корни характеристического уравнения	Частные решения	Общее решение
Действительные
Действительные
Комплексно-сопряженные

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому _ частные решения этого уравнения, тогда _ общее решение данного уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Корни характеристического уравнения _ действительные и равные: , поэтому частные решения _ . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .

уравнение дифференциальный линейный

16. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , где и - данные постоянные числа и - известная функция от .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Доказательство. Пусть есть общее решение уравнения , а - некоторое частное решение уравнения . Если подставить решения в соответствующие исходные уравнения получим: и . Складывая почленно, приходим к равенству: . Отсюда ясно, что функция будет общим решением уравнения , поскольку оно содержит две независимые произвольные постоянные и .

Поскольку решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами рассматривалось ранее, то необходимо только указать способ нахождения частного решения .

I. Правая часть уравнения является показательной функцией . Тогда частное решение также ищется в виде показательной функции , где - неопределенный коэффициент. Отсюда, и . Подставив в исходное уравнение и сократив на , получим .

Возможны два случая:

· не является корнем характеристического уравнения, т.е. , тогда и, следовательно, ;

· Если - простой корень, то решение следует искать в виде ; если - кратный корень, то решение следует искать в виде .

II. Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом . Тогда частное решение этого уравнения ищется также в форме тригонометрического полинома , где и - неопределенные коэффициенты. Дифференцируя получим:

; .

Подставив в исходное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при тригонометрических функциях должны быть равны между собой:

Из этой системы и определяются коэффициенты и . Эта система несовместна только в том случае, когда , (т.е. когда - корни характеристического уравнения). Тогда частное решение следует искать в виде .

III. Правая часть уравнения является полиномом, например, второй степени .

Тогда частное решение также следует искать в форме полинома второй степени . В результате дифференцирования получим , . Подставляя , и в исходное уравнение приходим к тождеству:



.

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны, то для определения коэффициентов , и получается система:

Если , то из этой системы для коэффициентов , и получаются вполне определенные значения. Частное значение в этом случае также будет вполне определено.

Если (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система уравнений несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение следует искать в виде . Эта задача решается аналогично, если является полиномом какой-нибудь другой степени.

17. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида:

Если , то уравнение называется однородным. В противном случае, если тождество не выполняется, уравнение называется неоднородным.

Для более компактной записи введем обозначение:

Свойства решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

1. Для любых функций и

;

2. Для любого числа и функции ;

3. Если , , …, - решения однородного дифференциального уравнения, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, то для любых чисел , , …, функция является решением неоднородного уравнения.

Для построения общего решения линейного дифференциального уравнения необходимо обобщить понятие линейной независимости на систему функций.

Определение. Система функций , , …, называется линейно независимой на множестве , если тождественное равенство имеет единственно возможное решение .

Предположим, что функции , , …, непрерывны и имеют непрерывные производные до го порядка включительно на множестве .

Тогда определитель:

называется определителем Вронского.

Известно, что определитель Вронского, составленный из решений линейного однородного дифференциального уравнения, обладает следующим свойством.

Теорема. Определитель Вронского для решений линейного однородного дифференциального уравнения тождественно равен нулю, когда решения линейно зависимы и не равен нулю ни в одной точке, когда решения линейно независимы на множестве .

Теорема. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где , , …, - решения однородного дифференциального уравнения, - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Линейно независимая система решений , , …, линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

Размещено на Allbest.ru