Модули гладкости типа Якоби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Допущена к защите

Зав. кафедрой__________ А. Р. Миротин

«___»_______________2010 г.

МОДУЛИ ГЛАДКОСТИ ТИПА ЯКОБИ

Дипломная работа

Исполнитель:

Студентка группы М-52 Татаринова Людмила Александровна

Научный руководитель: Казимиров Григорий Николаевич

к.ф.-м. наук доцент

Рецензент: Якубович Оксана Владимировна

к.ф.-м. наук доцент

Гомель 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОБОБЩЁННОГО МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ

2.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБОБЩЁННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ И

К-ФУНКЦИОНАЛОВ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОБОБЩЁННОГО МОДУЛЯ

ГЛАДКОСТИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ

Для 2- периодических функций хорошо известны прямая и обратная теоремы теории приближений, которые можно записать в виде неравенств:

, (1)

где - наилучшее приближение непрерывной ( р = +) или интегрируемой в р - й степени (1 р <+) функции f(x) при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше, чем n-1 в метрике , к - й модуль гладкости f(x) в метрике и положительные постоянные и не зависят от f и n (n) .

При рассмотрении непериодических функций уже не удаётся получить такие же связи, как неравенства (1), между модулями гладкости функции и её наилучшими приближениями алгебраическими многочленами. Однако в дальнейшем выяснилось, что аналоги неравенств (1) имеют место тогда, когда обычный модуль гладкости заменён обобщённым модулем гладкости (см. например [2]). В частности такие обобщённые модули гладкости могут определяться при помощи операторов обобщенного сдвига.

2. Будем говорить, что f(x), если < функции f(x) измерима на отрезке [-1,1] и , а для р= функция f(x) непрерывна на отрезке [-1,1] и .

Будем также говорить, что f(x) , если



причём

.

Для f(x) и данных чисел и введём оператор обобщённого сдвига по правилу:

1) Для

2) для

3) для

4) для

где

ЛЕММА 1. Пусть заданы числа р, , такие, что 1 р <+, . Пусть числа и выбраны по правилу: если , то = и при р=1.

Тогда , где положительная постоянная С не зависит от f и t .

ЛЕММА 2. Пусть и

.

Тогда

Доказательство: пусть

,

,

сделаем замену переменных

Тогда

Лемма 2. доказана.

ЛЕММА 3. Если функция имеет абсолютную непрерывную 2к-1 (к=1,2,…) производную на каждом отрезке [a,b](-1,1), тогда при фиксированном hR функция также имеет абсолютную непрерывную 2к-1 производную на каждом отрезке [c,d](-1,1).

Доказательство: пусть . Выберем произвольный отрезок [c,d](-1,1). На нём имеем:

а) к=1,

Пусть

абсолютно непрерывна на [c,d]. Так как по Теореме Лагранжа о среднем

, то при любых . Тогда по Теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла при фиксированном h на отрезке [c,d] существует конечная производная



В силу абсолютной непрерывности на [c,d] также абсолютно непрерывна на [c,d].

б) к>1, , к=2

.

Таким образом также абсолютно непрерывна на [c,d] и воспользовавшись как и в случае а) Теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим , что абсолютно непрерывна на [c,d] и в этом случае.

Для произвольного доказывается индукцией по к.

Через обозначим множество таких функций g(x), что g(x) имеет абсолютно непрерывную 2к-1 производную на каждом отрезке [a,b] (-1,1) и ,

Где

Пусть

Тогда . Действительно,

сделав замену переменной имеем

и

, где .

ЛЕММА 4.пусть . Тогда для почти всех и для любых

а)

где

б) , где

.

Доказательство: а) предположим

тогда фиксируя и применяя l=1 (*) имеем:

(**)

Из предположения следует (замена x=cos), что

Поэтому

(***)

Из (**) и (***) следует равенство2)а)

2)б) поскольку в равенстве 2)а) произвольные числа, то пологая

получаем равенство 2)б).

Лемма 4. доказана.

ЛЕММА 5. Пусть заданы числа такие, что . Пусть числа выбраны по правилу:

при p=1,

при ,

при . Тогда если , то .

Доказательство:

1)р=1, ,если

2),

если

3) , ,если

Лемма 5. доказана.

ЛЕММА 6.

Пусть . Тогда для выполняются равенства:

1)

2)

Доказательство: пусть сначала g(x) - бесконечно дифференцируемая и равна нулю вне некоторого конечного отрезка . Тогда равенства 1) и 2) следует из Леммы 4.

В случае, когда g(x) произвольная функция из они доказываются также как и лемма 4.

Лемма 6. доказана.

ЛЕММА 7. Пусть заданы числа такие, что . Пусть числа выбраны по правилу:

если , то и при р=1,

при ,

при ,

Тогда для справедливо неравенство:

, где положительная постоянная С не зависит от g(x) и .

ЛЕММА 8. Пусть и , тогда

ЛЕММА 9.

и

.

ЛЕММА 10. Пусть и выбраны по правилу Леммы 7. Тогда для и выполняется равенство:

.

ЛЕММА 11.Пусть , выбраны по правилу Леммы 7. Тогда, если , то

.

2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБОБЩЁННЫХ МОДУЛЕЙ

ГЛАДКОСТИ И К-ФУНКЦИОНАЛОВ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ

ТЕОРЕМЫ

ТЕОРЕМА 1. Пусть заданы числа такие, что .

Пусть числа выбраны по правилу:

Если , то и при р=1,

при

при .

Тогда для справедливы неравенства:

,

где положительные постоянные и не зависят от f и .

Доказательство:

Для любой функции . По Лемме 1

,

где положительная постоянная не зависит от .

Если , то в силу Леммы 7

где положительная постоянная не зависит от

Поэтому

Для доказательства правого неравенства рассмотрим функцию

,

где .

Так как имеем 2к-1 абсолютную непрерывную производную на каждом , то применяя Теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, обобщённое неравенство Минковского и Лемму1 имеем для l=2,3,… и при

Так как представляет собой сумму произведений

, то

И применяя Лемму 11 имеем

поскольку для

где положительные постоянные не зависят от h, то

где .

Таким образом для

Пусть

тогда

, а для имеем

И так для любого

Теорема 1 доказана.

ЛЕММА 12. Пусть и , тогда

ТЕОРЕМА 2. Пусть даны числа , такие , что . Пусть числа выбраны по правилу Теоремы 1.

Тогда для справедливы неравенства:

,

где положительные постоянные и не зависят от f и n .

Доказательство: пусть .

Для функции можем записать

по следствию

Переходя к точной нижней грани по всем

Получим

по Теореме 1

Таким образом первое неравенство Теоремы 2 доказано.

Докажем второе.

Пусть алгебраический многочлен наилучшего приближения для степени не выше, чем n-1.

Пусть

.

Из Теоремы 1 следует , что

(1)

Так как

,

то используя неравенство Минковского



где многочлен степени n-1 , которое сразу следует из Леммы 14, получаем

Отсюда с учётом (1) имеем модуль гладкости теорема

.

Теорема 2 доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены некоторые обобщённые модули гладкости типа Якоби и доказательства прямой и обратно теорем теории приближений и вычислены обобщённые модули гладкости некоторых не периодических функций.

Данная работа может быть использована для углубленного изучения материала на спецкурсах.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Казимиров, Г.Н. О уравнениях Джексона для к-го обобщённого модуля гладкости [Текст] / Г.Н. Казимиров; МГУ им. Ломоносова М.В. - М., 1994. -41с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 25.11.94, №3054-В94.

2. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ [Текст] : учеб. Пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 1. / Л.Д. Кудрявцев. - М. : Высшая школа, 1970. - 483 с.

3. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций [Текст] : учеб. Пособие для физико-математических специальностей / И.П. Натансон. - М. : Гостехтериоиздат., 1949. - 588 с.

4. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной [Текст] : учеб. Пособие для физико-математических специальностей / И.П. Натансон. - М. : Гостехтериоиздат., 1974. - 858 с.

5. Стечкин, С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций [Текст] / С.Б. Стечкин. - М. : АН СССР. - 1951. - Т.19. - 219 - 242 с.

6. Качмаж, С. Теория ортогональных рядов [Текст] : учеб. Пособие для физико-математических специальностей / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. - М., 1958. - 500 с.

7. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] : учеб. Пособие для вузов / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М. : Высшая школа, 1989. - 582 с.

Размещено на Allbest.ru