Неравенство Коши-Буняковского и его приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

на тему:

«Неравенство Коши-Буняковского и его приложения»

Тула - 2007

Оглавление

1. Введение

2. Евклидово пространство

2.1 Определение евклидова пространства

2.2 Длина вектора. Угол между векторами

3. Неравенство Коши-Буняковского

4. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

5. Примеры применения скалярного произведения векторов

6. Список литературы

1. Введение

коши буяновский неравенство вектор

Коши Огюстен Луи (1789--1857) -- знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши -- разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Линейная алгебра достигла в 19 веке большого расцвета. В 20 веке алгебраические исследования приобрели очень большую популярность и алгебра заняла в математике весьма почетное место. В этот период возникают многие новые разделы алгебры. Во всех частях алгебры работают крупные ученые, внесшие серьезный вклад в науку, в ряде стран возникают большие алгебраические школы. Однако настоящий расцвет алгебраических исследований в нашей стране начался лишь после Великой Октябрьской революции. Эти исследования захватывают почти все разделы современной алгебраической науки.

Изучение систем линейных уравнений потребовало введение и изучение многомерных (так называемых векторных и линейных) пространств. Это понятие является чисто математическим, даже в основном алгебраическим, и служит важным орудием во многих математических исследованиях, а также в физике и механике.

2. Евклидово пространство

2.1 Определение евклидова пространства.

В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения.

С помощью этих операций можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т.д.

Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения векторов и т.д. Ввести эти понятия проще всего следующим образом.

Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически.

В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию.

Определение 2.1 Будем говорить, что в вещественном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим через причем это соответствие обладает следующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам):

1 , т.е. скалярное произведение симметрично.

2

3 (дистрибутивность скалярного произведения).

4 Скалярное произведение вектора с самим собой неотрицательно:, и обращается в нуль, лишь если

Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1-4, мы называем евклидовым.

Пример 1. Под векторами пространства мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства (пример 1 1). Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверить, что аксиомы 1-4 действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю.

2. Векторами пространства мы назовем всякую систему действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определим так (пример 2 1):

где

Скалярное произведение векторов и определим формулой

Легко проверить, что аксиомы 1-3 действительно выполнены. Аксиома 4 также справедлива, так как и только при .

3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2.

Вектор по-прежнему определим как совокупность действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей . Скалярное произведение векторов и определим формулой

Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу , чтобы выражение, определяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что аксиомы 2 и 3 выполнены для всякой матрицы . Для того чтобы была выполнена аксиома 1, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно и , необходимо и достаточно, чтобы

т.е. чтобы матрица была симметричной.

Аксиома 4 требует, чтобы выражение

было неотрицательно для любых и обращалось в нуль, лишь если .

Однородный многочлен (``квадратичная форма''), определяемый формулой (3), называется положительно определенным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль, лишь когда все равны нулю. Аксиома 4 требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Итак, всякая матрица задает скалярное произведение, определяемое формулой (1), если только эта матрица симметрична [условие (2)] и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная.

Если в качестве матрицы взять единичную матрицу, т.е. положить и , то скалярное произведение примет вид

и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2.

4. Векторами пространства мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале ; скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 1-4 выполнены.

5. Будем считать векторами многочлены от степени не выше . Скалярное произведение двух многочленов определим как и в предыдущем примере:

Аксиомы 1-4 проверяются как и в примере 4.

2.2 Длина вектора. Угол между векторами

Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2.2 Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число

Длину вектора будем обозначать через .

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов ``угол между векторами'', нам уже известен, то этим предписывается следующее

Определение 2.3 Углом между векторами и мы назовем число

т.е. положим

Векторы называются ортогональными, если угол между ними равен , т.е. если

3. Неравенство Коши-Буняковского

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой

Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что

или, что то же самое, что

т.е.

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор , где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 скалярного произведения

т.е. для любого

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство

Доказательство.

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) , то

т.е. , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.)

4. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

В рассматриваемых ниже примерах используется векторное неравенство Коши - Буняковского и его следствие

| · | || · || , (I)

· || · || , (II)

Заметим, что знак «=» достигается а) в неравенстве (I), если векторы и коллинеарны; б) в неравенстве (II), если векторы и сонаправлены.

Пусть векторы и и v имеют координаты: (х1, у1, z1), (x2, y2, z2). Тогда неравенства (I) и (II) примут вид:

(I)

(II)

Из неравенств(I) и (II) в том случае, когда имеет место знак «=», следует, что = , где 0, что эквивалентно системе

x1 = x2,

y1 = y2,

z1 = z2, (III)

Перейдем теперь к решению примеров

Пример 1. Решить систему уравнений.

Решение. На первый взгляд может показаться, что данная система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано далее, система (1)-(2) имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: и . Тогда

Так как и , то

Учитывая (3) и (4), имеем: и*е= \и\ * \е\

Следовательно, на основании (3) x=y=z , а с учетом (1) получаем, что х=у=z=

Ответ: (1/3, 1/3, 1/3).

Пример 2. Решить систему уравнений

(5)(6)

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим (x2, y2, z2) и (1; 2; 2). Тогда очевидно, что || = 1, || = и || · || = . Из (6) следует, что · =. Получается · > || · ||, что невозможно. Следовательно, система (5) - (6) решений не имеет.

Пример 3. Решить систему уравнений

(1) (2)(3)

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одно переменное было, равно нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения (1) на х2у2z2 , мы получаем систему, равносильную данной.

(1,а)(2)(3)

Рассмотрим векторы (, , ), (x, 2y, z).

Тогда · = 12. Из (1,a) и (2) следует, что || = 4 и || = 3. Таким образом,

· = || · ||. (4)

Из (4) на основании (III) следует, что

= = ,

откуда y2 = и z2 =. Тогда из уравнения (2) имеем:

x2 + + = 9,

откуда х = ± . При этом y = ± и z = ± .

Из полученных значений х, у и z составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнений (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3).

Проверкой убеждаемся, что только две тройки и удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями данной системы.

Покажем теперь применение неравенств (I) и (II) при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для произвольных чисел а, b и с справедливо неравенство:

a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c). (1)

Решение. Введем векторы: (ab, bc, ca) и (ас, аb, bс). Для них имеем:

· = а2bс + аb2c + abс2 = abc(a + b + c), (2)

· = а2b2 + b2c + a2с2. (3)

Из (2) и (3) на основании (II) следует (1).

Пример 5. Доказать, что если а, b, с и d - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

Решение. Введем векторы (, ) и (, ). Тогда

· =

На основании (II) имеем

Покажем далее применение векторного неравенства Коши - Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 6. Доказать, что если

x2 + y2 2, (1)

то

|x + y| 2,

Решение. Введем векторы: (х, у) и (1, 1). Тогда

· = x + y,

|| = и = (2)

На основании (I), учитывая (1) и (2), имеем |x + y| 2.

Пример 7. Доказать, что если

xy + yz + zx = 1,(1)

то

x2 + y2 + z2 1.

Решение. Введем векторы (х, у, z) и (y, z, x). Тогда

· = xy + yz + zx,

|| = || =

На основании (II) имеем:

xy + yz + zx x2 + y2 + z2.

Учитывая (1), получаем, что

x2 + y2 + z2 1.

В заключение покажем применение векторного неравенства Коши - Буняковского при отыскании экстремумов.

Пример 8. Найти наибольшее значение функции

y = (1)

Решение. Функция (1) определена для -7 х 11.

Рассмотрим векторы: () и (1, 1). Тогда

· = ,

|| = и || =, || · || = 6.

На основании (II) имеем

(2)

Из (2) следует, что max y = 6. Это наибольшее значение достигается,

[-7; 11]

если векторы и коллинеарны. При этом

откуда х = 2.

Итак, ymax = y(2) = 6,

Пример 9. Найти наибольшее значение функции

(1)

Решение. Функция (1) определена при всех х R. Введем векторы:

и (1, 1).

Тогда

· =

|| = и || =, || · || = 4.

На основании (II) имеем:

Итак, max y=4, что реализуется при , откуда cos2x=, x=, где .

5. Примеры применения скалярного произведения векторов

В общем случае скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними. Так как , а cos , то (1). Поэтому, если даны векторы x=(x; y) и y=(x; y), то и и следовательно, (2).

Аналогично для трехмерного пространства:

Пример. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях а, при которых определена его левая часть.

Доказательство:

Рассмотрим векторы (1;1;1) и (). Из (3) следует, что

6. Список литературы

1. Беккенбах, Э., Беллман, Р., Неравенства - Москва: Мир, 1965

2. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры - Москва: Наука, 1975

3. Куроин, А.Г. Курс высшей алгебры - Москва: Наука, 1975

4. Журнал «Математика в школе» 1991г. №2

Размещено на Allbest.ru