Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Вильямсская средняя общеобразовательная школа №3

РЕФЕРАТ

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ТЕТРАЭДРА

Автор работы:

Варданян Мариам Вачагановна

Ученица 11 класса

Консультант: Дуднакова Л.И.

Ст. Кировская, 2010



Оглавление

1. Введение

2. Тетраэдр, его медианы и бимедианы

3. Параллелепипед, описанный около тетраэдра. Объем тетраэдра

4. Ортоцентрический тетраэдр

5. Равногранный тетраэдр

6. Правильный тетраэдр

7. Тетраэдр в технике

8. Тетраэдр в химии

9. Наука и техника

10. Заключение

11. Использованная литература



1. Введение

Геометрия тетраэдра не менее богата и интересна, чем геометрия его плоского собрата - треугольника: многие свойства тетраэдра аналогичны некоторым свойствам треугольника.

В тетраэдре, как и в треугольнике, имеются медианы и высоты, однако в тетраэдре есть еще и их пространственные аналоги -- бимедианы и бивысоты. При этом в любом тетраэдре, как и в любом треугольнике, медианы пересекаются в одной точке, которая, по аналогии с треугольником, называется центроидом тетраэдра. Оказывается, что в этой точке пересекаются не только медианы, но и бимедианы тетраэдра.

Не во всяком тетраэдре все четыре его высоты пересекаются в одной точке. И все-таки существует целый класс тетраэдров, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Такие тетраэдры называют ортоцентрическими, а точку, общую всем высотам этого тетраэдра, называют его ортоцентром.

Если условно считать грани тетраэдра его «сторонами», то пространственным аналогом равностороннего треугольника является тетраэдр, все грани которого -- равные треугольники. Такой тетраэдр называют равногранным. Частным случаем равногранного тетраэдра является правильный тетраэдр.

В данной работе исследуются различные свойства сначала любого тетраэдра, а затем -- ортоцентрического и равногранного.

В работе использовались:

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. М.Аксенова, 2004.

Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин, 1985.

Элементарная геометрия. Т.2. - М.: МЦНМО,2006

Геометрия 11кл. Потоскуев Е.В., Л.И. Звавич, 2006

http://www.cultinso.ru

Актуальность темы: тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики ограниченно. Исследование этой темы способствует развитию абстрактного и логического мышления у учащихся. Позволяет расширить свои знания по теме.

Цель исследования состоит в углубленном изучении заявленной темы. Установить и доказать свойства нескольких видов тетраэдра.

При решении поставленной задачи применяла следующие методы исследования:

-анализ литературы по проблеме исследования;

-анализ применения предмета исследования в других областях науки;

-применение теоретических знаний в решении стереометрических задач.



2.Тетраэдр, его медианы и бимедианы

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром («тетраэдр» по-гречески означает «четырехгранник»). Тетраэдр -- это многогранник с наименьшим числом гранен. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид. Тетраэдр с основанием AВС и вершиной Р обозначают РАВС (рис. 1).

Отрезки, соединяющие вершину тетраэдра с вершинами его основания, называются боковыми ребрами тетраэдра.

А С

D E

Рис. 1

Перпендикуляр, опушенный из вершины тетраэдра на плоскость его основания, называется высотой тетраэдра. Длину этого перпендикуляра также называют высотой тетраэдра.

В тетраэдре различают плоские углы при его вершине и двугранные углы при его ребрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точка пересечения его медиан) противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра.

Докажем следующую теорему.

Все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.

Доказательство. Проведем доказательство этой теоремы с помощью векторов. Пусть H₁,H_2, Н₃, H₄,-- центроиды граней соответственно AВС, АВР, ВСР, АСР; М -- точка, делящая медиану РН₁ тетраэдра РАВС в отношении РМ: МН₁= 3:1 (рис. 2). Тогда РМ: РН₁ = 3:4, откуда

РМ =3/4РH₁

Для любой точки О пространства и центроида H₁ грани AВС выполняется

OH₁=1/3(ОА + ОВ + ОС).

Тогда

ом=ор+рм=ор+3/4рн₁=ор+3/5он₁-3/4ор=1/4OP+3/4Ч1/3(OA+OB+OC)= =1/4(OA+OB+OC+OP)

Рис. 2

Аналогично доказывается, что для точек К, Т и F, делящих медианы СH₂, АН₃ ,ВН₄ тетраэдра в отношении 3:1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется

ОК = ОТ = ОF = ОМ = 1/4(ОА + ОВ + ОС + ОР).

Это означает, что точки М, К, Т и F совпадают, т.е. все четыре медианы РН₁, СН₂, АН₃ и ВH₄ тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

Точка пересечения медиан тетраэдра называется центроидом тетраэдра.

Отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется бимедианой тетраэдра.

Докажем теорему о свойстве бимедиан тетраэдра.

Все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Доказательство. Пусть точки Т, К, L, F, N, H--середины ребер соответственно АВ, ВC, СА, РА, РВ, РС тетраэдра РАВС (рис. 3). Тогда отрезки FК, ТН и NL -- бимедианы данного тетраэдра. Докажем, что середины всех этих трех отрезков совпадают.

Так как FН и ТК-- средние линии треугольников соответственно АРС и АВС, то FН || АС,

FН = 1/2АС и ТК || АС, ТК = 1/2АС, откуда FН=ТК и FН||ТК. Это означает, что четырехугольник ТКНF -- параллелограмм, а бимедианы FК и ТН данного тетраэдра являются диагоналями этого параллелограмма, поэтому они точкой М их пересечения делятся пополам.

Аналогично FN=КL и FN||КL (как средние линии треугольников РАB и САВ). Значит, четырехугольник LКNF -- параллелограмм, и его диагонали, которыми являются бимедианы FК и LN данного тетраэдра, делятся точкой их пересечения пополам. Пусть М₁ = FКLN.

Так как серединой отрезка FК является точка М и любой отрезок имеет лишь одну середину, то точка M₁ совпадает с точкой М. Это означает, что точка М является серединой и отрезка LN. Таким образом, в точке М пересекаются все три бимедианы тетраэдра РАВС и делятся этой точкой пополам. Теорема доказана.

Точка пересечения медиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его бимедиан.

Доказательство. Пусть отрезок КF -- бимедиана тетраэдра РАВС; H₁, Н₂ -- центроиды его граней соответственно AВС и РВС; М--точка пересечения его медиан АН₂ и РН₁ (рис. 4).

Так как AH₁: H₁К = РН₂ : Н₂К =2:1, то в плоскости АРК по теореме Фалеса H₁H₂ || АР. Значит, АРН₂Н₁ -- трапеция, диагоналями которой служат медианы АН₂ и РH₁ данного тетраэдра. По теореме о четырех точках трапеции точка К пересечения продолжений боковых сторон AH₁ и РН₂ трапеции АРН₂Н₁, точка М пересечения ее диагоналей АН₂ и PH₁ середины О и F ее оснований H₁H₂ и АР лежат на одной прямой. Это означает, что точка М пересечения медиан тетраэдра РАВС лежит на его бимедиане КF.

Рис. 4



Далее, так как H₁H₂||AP и AH₁: Н₁K = РН₂: Н₂К= 2:1, то треугольники КH₁Н₂ и КАР гомотетичны (К -- центр гомотетии), при этом

КН₂ : КР = 1 : 3 => КО : КF = 1 : 3 => КО = 1/3КF.

Гомотетичными являются и треугольники MH₁H₂ и МРА (М -- центр гомотетии), при этом МН₂ : МА = 1 : 3 => Н₂М : Н₂A =1:4.

Значит, ОМ: ОF = 1:4 => МО = 1/4ОF. Поэтому КМ = КО + ОМ = 1/2ОF + 1/4ОF = 3/4ОF.

А так как АH₁=2/3АК и H₁H₂ || АР, то ОF=2/3КF. Тогда КМ = 3/4ОF = 1/2КF

Это означает, что точка М -- середина бимедианы КF тетраэдра. Вследствие того, что середины всех трех бимедиан тетраэдра совпадают, приходим к выводу: точка М пересечения всех медиан тетраэдра РАВС (центроид тетраэдра РАВС) является общей серединой всех бимедиан этого тетраэдра, что и требовалось доказать.

Центроида тетраэдра обладает ещё одним замечательным свойством.

Пусть М -- центроид тетраэдра РАВС; S₁ , S₂ ,S₃ и S₄ -- площади его граней соответственно РВС, РСА, РАВ и АВС; h₁ , h₂ , h₃ и h₄ - его высоты, проведенные соответственно к этим граням. Тогда для объема V этого тетраэдра справедливо:

V= 1/3·S₁·h₁ = 1/3· S₂ ·h₂ = 1/3· S₃ ·h₃ = 1/3· S₄ ·h₄

Тетраэдры РАВС и МАВС имеют общее основание треугольник АВС. А так как МН₁=1/4 РН₁ (см. рис. 4), то h₄¹=1/4h₄ , где h₄¹ --высота тетраэдра МАВС, проведенная из вершины М. Это означает, что объем тетраэдра МАВС равен



1/3· S₄ ·(1/4h₄)=1/4(1/3·S₄·h₄)=1/4V т.е. V_MABC=1/4V_PABC

Аналогично рассуждая, получим:

V_MABC=V_MPAB=V_MPBC=V_MPAC=1/4V_PABC

Это означает, что тетраэдр РАВС разбивается на 4 равновеликих тетраэдра МАBС, МРАВ, МРВС, МРАС, для которых центроид М тетраэдра РАВС является общей вершиной, а основаниями этих тетраэдров служат грани данного тетраэдра. (Для сравнения: треугольник АВС разбивается на три равновеликих треугольника МАВ, МВС и МАС, для которых центроид М является общей вершиной, а их основаниями служат стороны данного треугольника.)

3. Параллелепипед, описанный около тетраэдра. Объем тетраэдра

параллелепипед тетраэдр медиана

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр А₁С₁ВD. Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, параллельную другой прямой. Проведем через каждое ребро данного тетраэдра плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведенные три пары параллельных плоскостей при взаимном пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 5), который называется описанным около данного тетраэдра А₁С₁ВD. Ребра данного тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, а середины ребер тетраэдра -- центрами этих граней. Но отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, тетраэдра -- это его бимедианы. Отсюда следует, что все бимедианы тетраэдра проходят через центр О параллелепипеда и делятся этим центром пополам. Это означает, что центр параллелепипеда, описанного около тетраэдра, совпадает с центроидом данного тетраэдра.

Параллельные грани АВСD и А₁В₁С₁D₁ этого параллелепипеда содержат скрещивающиеся ребра A₁С₁ и ВD данного тетраэдра А₁С₁ВD. Это означает, что расстояние между основаниями АВСD и A₁B₁C₁D₁ параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ равно его высоте h и равно расстоянию между скрещивающимися ребрами А₁С₁ и ВD тетраэдра А₁С₁ВD.

Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ можно разбить на 5 тетраэдров -- данный тетраэдр А₁С₁ВD и еще четыре тетраэдра: А₁АВD; ВВ₁А₁С₁; С₁СВD; DD₁А₁С₁. Объем каждого из четырех последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания АВСD, т.е. одной шестой части объема V полученного параллелепипеда.

Рис. 5

V_A1C1BD=V-4*1/6*V=1/3*V =1/3h*S_ABCD= 1/3h*(1/2AC*BD*sinц) = 1/6H*A₁C₁*BD*sin ц

где ц -- угол между диагоналями АС и ВD параллелограмма AВСD. А так как AС || A₁С₁, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A₁С₁ и BD тетраэдра А₁С₁ ВD также равна ц.

Мы получили: V_A1C1BD=1/6h*А₁С₁*BD*sinц

Объем тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между прямыми, содержащими эти ребра.



4. Ортоцентрический тетраэдр

Тетраэдр, все четыре высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим тетраэдром. Точка, принадлежащая всем четырем его высотам, называется ортоцентром этого тетраэдра.

Существование ортоцентрического тетраэдра

Рассмотрим тетраэдр РАВС, у которого основанием является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, а ребро АР перпендикулярно плоскости АВС (рис. 6). По теореме о трех перпендикулярах РС + ВС, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ВС + (АРС). Это означает, что ВС -- высота данного тетраэдра. Высотой данного тетраэдра является и ребро РА, которое скрещивается с высотой ВС (по признаку скрещивающихся прямых). Таким образом, мы построили тетраэдр, высоты которого не пересекаются в одной точке.

Р

Рис. 6.

Теперь рассмотрим тетраэдр -- МАВС (рис. 7), основанием которого является правильный треугольник, а точка М равноудалена от всех вершин его основания. Пусть МO, АТ и СЕ -высоты тетраэдра, проведенные из вершин Р, А и С на грани АВС, МВС и МАВ соответственно (четвертая высота ВО тетраэдра на рисунке не изображена).



Рис. 7

Покажем, что все четыре высоты этого тетраэдра пересекаются в одной точке. Так как МА = МВ = МС, то ОА = 0В = ОС (как проекции равных наклонных), значит, точка О -- основание высоты тетраэдра -- является центром правильного треугольника AВС; боковые грани МАВ, МВС и МАС -- равные равнобедренные треугольники, поэтому их медианы МР, МК и МF равны (отрезок МF на рисунке не изображен). Тогда треугольник ОМК = ОМР (по катету и гипотенузе), откуда угол ОКМ = ОРМ. Это, в свою очередь, означает, что треугольник АТК = СЕP (по гипотенузе и острому углу), откуда ТК = РЕ и АТ = СЕ.

Вследствие АК + ВС, МК + ВС, имеем:

ВС перпендикулярно (АМК) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), следовательно, (АМК) + (МВС) и (АМК) + (АВС) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Тогда высота АТ лежит в плоскости АМК, и ТМК= (АМК) ? (МВС). Аналогично ЕМР=(СМР) ? (МАВ), О АК = (AMK) ? (АВС).

Пусть высоты МО и АТ данного тетраэдра пересекаются в точке Н. Тогда из подобия прямоугольных треугольников АОН и АТК получаем:

AO/AT = AH/AK = OH/TK (1)



Допустим, что высоты МО и СЕ пересекаются в некоторой точке L, отличной от Н. Тогда из подобия прямоугольных треугольников СОL и СЕР следует:

CO/CE = CL/CP = OL/EP (2)

Из (1) и (2), учитывая ТК= РЕ, получаем ОН = ОL, откуда точка L совпадает с точкой Н. Это означает, что высоты МО, АТ и СЕ пересекаются в одной точке Н. Аналогично можно доказать, что и высота ВD тетраэдра проходит через точку H, т.е. все четыре высоты тетраэдра МАВС пересекаются в одной точке Н.

Таким образом, мы доказали, что существуют тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке.

Ортоцентрический тетраэдр можно построить и таким образом. Взять в качестве основания тетраэдра любой треугольник АВС и построить его ортоцентр Н. На прямой, проведенной через ортоцентр Я перпендикулярно плоскости АВС, выбрать любую точку Р. Тогда тетраэдр РАВС -ортоцентрический.

Свойства ортоцентрического тетраэдра

В ортоцентрическом тетраэдре противоположные ребра в каждой из трех пар взаимно перпендикулярны.

Доказательство. Пусть дан ортоцентрический тетраэдр РАВС, высоты РН, АК, ВТ и СМ которого пересекаются в точке О (рис. 8). Докажем, что ребра АР и ВС перпендикулярны. Р



Рис. 8

Высота АК тетраэдра перпендикулярна грани РВС, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, АК перпендикулярна ВС. Аналогично РН + (АВС) => РН + ВС. А так как высоты АК и РН пересекаются, то ВС + (АРН) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), откуда ВС + АР (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Аналогично можно доказать, что в данном тетраэдре АВ +СР, АС + ВР.

Из этой теоремы получаем ряд следствий.

1°. Основания высот ортоцентрического тетраэдра являются ортоцентрами его граней.

Доказательство. Покажем, что в ортоцентрическом тетраэдре РАВС основание H его высоты РН является ортоцентром грани АВС (см. рис. 8).

Обозначим АF = (АРН) ? (АВС), при этом Н АF. Так как плоскость АРН проходит через высоту РН к грани АВС тетраэдра, то (АРН) +(АВС) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Это означает, что прямая АF является ортогональной проекцией прямой АР на плоскость АВС. А так как АР + ВС, то по теореме о трех перпендикулярах АF + ВС, откуда АF -- высота треугольника АВС, причем H АF.

Далее, плоскость СРН перпендикулярна плоскости АВС, поэтому прямая СL = (СРН) ? (АВС) является ортогональной проекцией прямой СР на плоскость АВС. А так как СР + А В, то по теореме о трех перпендикулярах СL + АВ, значит, СL является высотой треугольника ЛВС и проходит через Н.

Таким образом, точка Н -- основание высоты РН данного тетраэдра РАВС -- является ортоцентром грани АВС.

Аналогично можно доказать, что точки К, М и Т являются центроидами граней соответственно ВСР, АВР и АСР.

2°. В ортоцентрическом тетраэдре равны суммы квадратов длин пар противоположных ребер.

Доказательство. Докажем, что в ортоцентрическом тетраэдре РАВС (см. рис. 8) выполняются равенства

АР² + ВС² = АВ² + РС² = АС² + ВР².

Так как ВС + (АРF), то ВС + АF и ВС + РF, где АF и РF -- высоты треугольников соответственно AВС и РВС. Тогда имеем:

в прямоугольном треугольнике АВF: АВ² = ВF² + АF²;

в прямоугольном треугольнике СРF: СР² = РF² + СF².

После сложения двух последних равенств получаем:

АВ² + СР² = ВF² + АF² + РF² + СF² = (АF² + СFR²) + (ВF² + РF²).

Так как треугольники АСF и ВРF являются прямоугольными с гипотенузами соответственно АС и ВР, то АF² + СР² = АС² и ВF² + РF² = ВР².

Следовательно: АВ² + СР² = АС² + ВР².

Аналогично можно доказать, что АВ² + СР² = ВС² + АР². Таким образом, приходим к выводу:

АВ² + СР² = АС² + ВР² = ВС² + АР², что и требовалось доказать.

3°. В ортоцентрическом тетраэдре все бимедианы равны.

Доказательство. Пусть HМ, КТ и ЕF -бимедианы ортоцентрического тетраэдра РАВС (рис. 9). Докажем, что HМ = КТ.

Точки М и К -- середины ребер РС и ВС, поэтому МК-- средняя линия треугольника РВС, значит, МК || ВР и МК = 0,5РВ. Аналогично в треугольнике АРВ имеем: ТН¦ВР и ТН = 0,5РВ.

Рис. 9

Тогда ТН¦МК и ТН = МК, откуда ТМКН -параллелограмм, стороны которого параллельны взаимно перпендикулярным ребрам АС и ВР данного тетраэдра. Это означает, что параллелограмм ТМКН является прямоугольником. А так как бимедианы МН и КТ являются диагоналями этого прямоугольника, то они равны, т.е. МН = КТ.

Аналогично можно доказать, что КТ = FЕ. В результате получим: МН = КТ = ЕF, что и требовалось доказать.

Справедливы и обратные утверждения.

Тетраэдр является ортоцентрическим, если:

а противоположные ребра тетраэдра в каждой из трех пар взаимно перпендикулярны;

б) основания высот тетраэдра являются ортоцентрами его граней;

в) равны суммы квадратов длин пар противоположных ребер тетраэдра;

г) все бимедианы тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр РАВС, в вершине Р которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра РА, РВ, РС, называют прямоугольным, или прямым. Очевидно, вершина Р является ортоцентром этого тетраэдра. Прямоугольные треугольники РАВ, РВС и РАС -- прямоугольные грани тетраэдра РАВС -- называют его «катетами», а треугольник АВС -- его «гипотенузой».

5. Равногранный тетраэдр

Правильный (равносторонний) треугольник -треугольник, все стороны которого равны. А что такое «сторона» тетраэдра? Если в качестве «сторон» тетраэдра принять его ребра, то стереометрическим аналогом правильного треугольника становится правильный тетраэдр. Но если в качестве «сторон» тетраэдра принять его грани, то мы получим тетраэдр с равными гранями -- равногранный тетраэдр.

Тетраэдр, все грани которого равные треугольники, называется равногранным.

Мы упоминали выше о правильном тетраэдре -тетраэдре, все грани которого -- равные правильные треугольники. Непосредственно из определения этого тетраэдра следует, что он является равногранным. На первый взгляд кажется, что равногранный тетраэдр -- это только правильный тетраэдр, и никакой другой. Оказывается, существуют равногранные тетраэдры, гранями которых служат равные, но не равносторонние треугольники.

Остановлюсь подробнее на изучении свойств равногранного тетраэдра.

Существование равногранного тетраэдра

Чтобы убедиться в существовании равногранного тетраэдра, отличного от правильного, проделаем следующее. Возьмем остроугольный неравносторонний треугольник Р₁Р₂Р₃ и проведем его средние линии АВ, ВС и АС (рис. 10, а). Получим:

AВС = СР₁А = Р₂СВ = ВАР₃.



Если теперь перегнуть треугольник Р₁Р₂Р₃ по средним линиям и вращать треугольники АВР₃, ВСР₂, АСР₁ вокруг этих линий до совмещения вершин Р₁, Р₂,Р₃, в одну точку Р то получим Равногранный тетраэдр РАВС (рис. 10, б), все четыре грани которого -- равные, но не равносторонние треугольники. Таким образом, мы доказали существование равногранного тетраэдра.

Свойства равногранного тетраэдра

Становится интересным: какими же специфическими свойствами обладают равногранные тетраэдры? В чем же примечательность равногранных тетраэдров, коль скоро их выделяют в специальный класс?

Рассмотрим некоторые из таких свойств равногранного тетраэдра.

Рис. 10

Теорема. В равногранном тетраэдре противоположные ребра попарно равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АРС и ВРС -- две грани равногранного тетраэдра РАВС (рис. 10, б). Из равенства этих треугольников следует либо АР = ВР и АС = ВС, либо АР=ВС и АС=ВР.

Если AP=BP и AC=BC, то треугольники АВР и ABС -- равнобедренные с общим основанием АB, а так как эти треугольники еще и равны, то АС = ВС = АР = ВР. Тогда из равенства ABР = ВРС следует АВ = РС. Таким образом, получили: АС = ВР, ВС =АР, АВ = РС.

Если АР = ВС и АС = ВР, то из равенства АВР = ACB следует АВ = СР. Теорема доказана.

Докажите самостоятельно обратное утверждение. Тетраэдр, у которого противоположные ребра попарно равны, является равногранным.

Все высоты равногранного тетраэдра равны.

Доказательство. Пусть h₁, h₂, h₃ и h₄ - высоты данного равногранного тетраэдра РАВС, проведенные ко всем четырем его граням. Так как равные фигуры имеют равные площади, то площади всех граней данного тетраэдра равны. Обозначим через S -- площадь каждой грани нашего тетраэдра.

Мы знаем, что для объема V пирамиды имеет место формула

V =1/3 S h

где S -- площадь основания пирамиды, h -- ее высота, проведенная к этому основанию.

Так как за основание тетраэдра может быть принята любая его грань, то

V = 1/3 ·S ·h₁ = 1/3· S ·h₂ = 1/3 ·S ·h₃ = 1/3· S ·h₄

откуда следует: h₁ = h₂ = h₃ = h₄, что и требовалось доказать.

Два двугранных угла тетраэдра будем называть противоположными, если ребра этих углов содержат противоположные ребра тетраэдра.

Противоположные двугранные углы равногранного тетраэдра равны.

Доказательство. Пусть дан равногранный тетраэдр МАВС. Докажем, что двугранные углы А(ВС)М и С(АМ)В равны.

Обозначим: МО и СН -- высоты тетраэдра, проведенные к граням соответственно AВС и АВМ; МК и СР -- высоты граней соответственно ВСМ и АСМ(рис. 11).

По теореме о трех перпендикулярах НР перпендикулярен АМ, ОК перпендикулярно ВС, значит, угол ОКМ -- линейный угол двугранного угла при ребре ВС, а угол СPH -линейный угол двугранного угла при ребре АМ.

М

Так как AМС = ВМС и АМ = ВС, то СР = МК (как высоты равных треугольников, проведенные к равным сторонам). Учитывая, что МО = СН (как высоты тетраэдра), приходим к выводу: треугольник СРН = МОК, откуда угол СРН = ОКМ. Значит, равны и двугранные углы А(ВС)М и С(АМ)В.

Аналогично можно доказать равенство других противоположных двугранных углов данного равногранного тетраэдра.

Все плоские углы равногранного тетраэдра острые.

Доказательство. Пусть дан Равногранный тетраэдр МАВС. Для доказательства теоремы применим метод от противного.

Допустим, угол АСВ -- тупой. Построим треугольник АВР, равный треугольнику АВМ, причем АР = АМ, ВР = ВМ (рис. 12). Так как АР = АМ = ВС и ВР = ВМ = АС, то четырехугольник АРВС является параллелограммом. В этом параллелограмме угол АСB -- тупой, значит, угол САР -- острый, поэтому АВ > СР. Из равенства треугольников АВР и АВМ следует КМ -- КР (как медианы равных треугольников, проведенные к равным сторонам). Тогда получаем:

АВ > СР = СК + КР = СК + КМ > СМ, т.е. АВ > СМ, что противоречит условию АВ = СМ (на основании теоремы 6). Полученное противоречие приводит к выводу: наше допущение неверно, значит, все плоские углы равногранного тетраэдра -- острые. Теорема доказана.

Рис. 12

Бимедианы равногранного тетраэдра являются общими серединными перпендикулярами соответствующих им пар противоположных ребер.

Доказательство. Докажем эту теорему векторным методом.

Пусть точка К -- середина ребра АВ, точка H -- середина ребра РС равногранного тетраэдра РАВС (рис. 13). Тогда для произвольной точки О пространства имеем:

20К = ОА + ОВ, 2OH = ОР + ОС, откуда

2KH=2(OH-OK) = OP+OC-OA-OB=AP+BC.

Тогда

4KH·AB=2(AP+BC)·AB=2AP·AB+2BC·AB=2AP·AB-2BC·BA. (*)



Рис. 13

Заметим, что 2АР* АВ = 2АР*АВ*соsа, АР и АВ длины векторов соответственно АР и АВ, а -- угол между ними; 2ВС*ВА = 2ВС*ВА* cosв, BC и ВА длины векторов соответственно ВС и В А, в -- угол между ними.

Тогда по теореме косинусов находим в треугольнике АВР: 2АР*АВ*со8а = АР² + АВ² - ВР²; в треугольнике АВС: --2ВС * ВА * cosв = АС² - ВС² - ВА².

После подстановки в (*) вместо 2АР-АВ-2ВС-ВА их полученные выражения, учитывая, что АР = ВС, ВР = АС, получаем:

4КН * АВ = АР² + АВ² - ВР² + АС² - ВС²- ВА²= О,

откуда КН перпендикулярен АВ. Это означает, что бимедиана КН перпендикулярна ребру АВ.

Аналогично можно доказать, что КН перпендикулярен СР. Таким образом, бимедиана КН равногранного тетраэдра РАВС является общим серединным перпендикуляром его скрещивающихся ребер АВ и РС.

Таким же свойством обладают и две другие бимедианы данного тетраэдра. Теорема доказана.

Справедлива обратная теорема.

Если бимедианы тетраэдра являются серединными перпендикулярами пар его скрещивающихся ребер, то этот тетраэдр равногранный.

Доказательство. Пусть ТМ -- серединный перпендикуляр противоположных ребер АР и ВС тетраэдра РАВС (рис. 13). При симметрии относительно прямой ТМ точка А отображается на Р, точка С -- на В, значит, ребро АС -на ребро ВР. А так как при симметрии длина отрезка сохраняется, то АС = В Р.

Аналогично, используя симметрии относительно бимедиан КН и ЕF, убеждаемся, что АВ = СР, АР = ВС. Это означает, что данный тетраэдр -- Равногранный, что и требовалось доказать.

Бивысотой тетраэдра называется отрезок, являющийся общим серединным перпендикуляром двух его противоположных ребер.

Из теорем 10 и 11 следует: для того, чтобы тетраэдр был равногранным, необходимо и достаточно, чтобы его бимедианы были бивысотами.

Используя теоремы 10 и 11, рассмотрим вопрос о параллелепипеде, описанном около данного равногранного тетраэдра РТМ₁Н₁ (рис. 14).

Ребра данного тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда MTHPM₁T₁H₁P₁, а середины АиВ, С и D, KиЕ ребер тетраэдра -- центрами этих граней. Но отрезок АВ, соединяющий середины противоположных ребер М₁Р и ТН₁ тетраэдра РТМ₁H₁, перпендикулярен каждому из этих ребер. А так как М₁Р || T₁H, то AB перпендикулярен T₁H, поэтому бимедиана АВ перпендикулярна грани THH₁T₁, (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), значит, и параллельной ей грани МРР₁M₁.



Аналогично бимедиана СD данного тетраэдра перпендикулярна граням МТНР и M₁T₁H₁P₁, а бимедиана КЕ -- граням МТТ₁М₁ и НРР₁Н₁ Сказанное означает, что параллелепипед, описанный около равногранного тетраэдра, является прямоугольным.

6. Правильный тетраэдр

Правильным тетраэдром называется тетраэдр, все грани которого -- равные правильные треугольники (рис. 15). Правильный тетраэдр является и ортоцентрическим, и равногранным, поэтому он обладает всеми свойствами каждого из этих тетраэдров. Это означает, что в правильном тетраэдре:

все его боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы: все боковые грани правильного тетраэдра образуют с плоскостью основания равные двугранные углы. Пусть ребро АВ правильного тетраэдра МАВС (рис. 16) равно а, значит, ОВ =av3/3. Тогда в прямоугольном треугольнике МВО:

Рис. 16

Далее ОК = av3/6 МК =av3/2 поэтому в прямоугольном треугольнике МОК находим:



Cosб=OK/MK=av3/6:av3/2=1/3=>б=arccos1/3

Так как гранями правильного тетраэдра являются равные правильные треугольники, то все двугранные углы правильного тетраэдра равны.

Площадь одной грани нашего правильного траэдра равна a²v3/4 значит, площадь его полной поверхности равна 4·a²v3/4=a² v3

Используем формулу

V_A1C1BD=1/6 * h* A₁C₁*BD*sinф

для вычисления объема тетраэдра. Так как ребра правильного тетраэдра равны а, противоположные ребра взаимно перпендикулярны, а расстояние между ними равно av2/2 то объем V правильного тетраэдра равен:

Рис. 17

Можно доказать, что параллелепипед, описанный около правильного тетраэдра, является кубом (рис. 17).

Правильный Тетраэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Треугольник
Вершин
Рёбер
Граней
Граней при вершине
Длина ребра
Площадь полной поверхности
Объём
Высота
Радиус вписанной сферы
Радиус описанной сферы

7. Тетраэдры в технике

· Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т.д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

· Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.



8. Тетраэдры в химии

Новейший этап развития химии характеризуется быстрой разработкой пространственных представлений о строении вещества, стереохимических концепций. Ещё в 1874-75 Ж. А. Ле Бель и Вант-Гофф высказали предположение, что 4 атома или радикала, связанные с атомом углерода, расположены не в одной плоскости, а в пространстве, по вершинам тетраэдра, в центре которого находится атом углерода. В связи с этим было расширено представление об изомерии, установлено несколько её видов и были заложены основы стереохимии. Для многих молекул были определены их стабильные пространственные конфигурации; в дальнейшем исследователи установили лабильные конформации молекул, возникающие в результате некоторого затруднения свободного вращения атомных групп вокруг простых связей.

В структурах силиката (силикаты природные (от лат. silex -- кремень), класс наиболее распространённых минералов; природные химические соединения с комплексным кремнекислородным радикалом.)установлено значительное число различных типов цепочек, лент, сеток и каркасов из тетраэдров.



Основные типы связи кремнекислородных радикалов: 1 -- изолированные тетраэдры [SiO₄]^4- с октаэдрами Mg, Fe, Ca; 2 -- группы [Si₂O₇]^6- из двух тетраэдров; 3 -- шестерные кольца [Si₃O₉]^6-; 4 -- цепочки [SiO₃]^2-; 5 -- ленты [Si₄O₁₁]^6-; 6 -- слои из шестерных колец [Si₄O₁₀]^4-.

По составу тетраэдрических радикалов различаются простые силикаты с кремнекислородным радикалом [SiO₄]^4- и сложные силикаты, в которых вместе с [SiO₄]^4- присутствуют тетраэдрические группы алюминия (алюмосиликаты), бериллия (бериллосиликаты), бора (боросиликаты), титана (титаносиликаты), циркония (цирконосиликаты), урана (ураносиликаты). Наряду с этим выделяются силикаты Al, Be, Ti, Zr, в которых эти элементы играют роль таких же катионов, как Mg, Fe и др., соединяясь с кремнекислородными тетраэдрами не вершинами, а ребрами или через вершины, поделенные между двумя тетраэдрами.

9. Наука и техника

История научных открытий в XXI веке. Новости космонавтики. Исследования в астрономии, физике, химии, биологии

Установлен новый рекорд по плотной упаковке тетраэдров

Математики установили новый рекорд плотности упаковки тетраэдров. Статья ученых вышла в журнале Nature, а ее краткое изложение приводится в пресс-релизе на сайте Университета Кента, сотрудники которого принимали участие в работе.

Задача плотной упаковки -- одна из старейших нерешенных математических задач. Простейшая ее формулировка следующая: фиксированный регион пространства необходимо заполнить как можно большим по объему количеством фигур. При этом отношение занимаемого фигурами объема к исходному и называется плотностью упаковки.

В рамках нового исследования ученые занимались упаковкой простейших многогранников тетраэдров. В результате математиками удалось добиться плотности 0,8503. Это значительное продвижение поскольку предыдущий рекорд, установленный в Принстонском университете также в 2009 году, составлял 0,782. При этом рекорд перед ним, установленный в 2006 году, составлял 0,778.

Для работы исследователи использовали компьютерное моделирование. Сначала они генерировали случайное расположение тетраэдров в большом объеме, после чего начинали его сжимать. При этом поведение тетраэдров рассчитывалось, как если бы они были твердыми телами. Проделав подобную операцию достаточное число раз, исследователи получили рекордную упаковку.

Ученые подчеркивают, что помимо рекорда им удалось установить замечательную вещь -- их упаковка представляет собой квазикристалл. Квазикристаллом называют твердые тела, обладающие фиксированной решеткой с симметричными ячейками, однако не имеющие периодичной глобальной структуры. Подобные материалы, получаемые в лабораториях, отличаются необычными свойствами.



10.Заключение

— исследования позволили установить важнейшие свойства ортоцентрического, равногранного и правильного тетраэдров (20 новых понятий и свойств). Поскольку эти исследования проводились мною впервые, все полученные результаты обладают для меня научной новизной.

— Для правильного тетраэдра составлена таблица всех необходимых элементов.

— Познакомилась частично с применением тетраэдров в других областях.



11. Литература

Понарин Я.П. Элементарная геометрия: Т. 2. - М.: МЦНМО, 2006.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 Кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2006.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11 Кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2006.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11 Кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. -- М.: Дрофа, 2006.

М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.

А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.

Размещено на Allbest.ru