Напомним основные понятия и формулы

Определение. Функция y=f(x), x(a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x(a,b), если для каждого x(a,b) выполняется равенство

F(x)=f(x)

Замечание. Если f(x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C также является первообразной для f(x).

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается

Имеют место свойства

1. ;

2. Если С=Const, то ;

3. .

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого говорят «множество всех первообразных».

Приведем таблицу неопределенных интегралов

;

;

;

; в частности, ;

;

;

;

.

Пример 1. Найти первообразную для функции , проходящую через точку М(2;4).

Решение

Множество всех первообразных функции есть неопределенный интеграл . Вычислим его, используя свойства интеграла 1 и 2. Имеем:

.

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть y=x³-2x+C, где С - произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.

4=2³-22+С С=4-8+4; С=0.

Ответ: F(x)=x³-2x - искомая первообразная.

Нахождение площадей плоских фигур

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)>0) прямыми x=a; x=b; y=0, равна разности значений первообразной для функции

y=f(x) в точках b и a:

S=F(b)-F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) - некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)-F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

Равенство

называется формулой Ньютона - Лейбница

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций y=f(x); y=g(x) (f(x)>g(x)) и прямыми x=a; x=b, то ее площадь равна:

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y=-x²+6x-5; y=-x²+4x-3; y=3x-15.

Решение. Изобразим указанные линии

y=-x²+6x-5 - парабола с вершиной С₁(3;4), ветви которой направлены вниз; точки пересечения с осью Ox: (1;0), (5;0).

y=-x²+4x-3 - парабола с вершиной С₂(2;1), ветви которой направлены вниз; точки пересечения с осью Ox: (1;0), (3;0).

y=3x-15 - прямая, однозначно определяемая двумя точками, например, (5;0), (4;-3).

Данную криволинейную трапецию удобно разбить на две области (это не единственный способ разбиения)

Заметим, что точку х=4 нашли, как абсциссу точки пересечения графиков функций

y=-x²+4x-3 и y=3x-15.

Имеем

S=S₁+S₂,

(кв. ед.);

(кв. ед.)

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Пример 3. В какой точке графика функции y=x²+1 надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y=0, x=0, x=1 трапецию наибольшей площади

Решение

Пусть M₀(x₀,y₀) - точка графика функции y=x²+1, в которой проведена искомая касательная.

Найдем уравнение касательной y=y₀+f(x₀)(x-x₀).

Имеем:

Поэтому .

Найдем площадь трапеции ОАВС.

Далее, А - точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому

B - точка пересечения касательной с прямой x=1

.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

S(x)=-x²+x+1 на отрезке [0;1].

Найдем S(x)=-2x+1. Найдем критическую точку из условия S(x)=0 x=.

Найдем

Видим, что функция достигает наибольшего значения при

x=

Найдем

.

Ответ: касательную надо провести в точке

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить

а)

б) .

Решение

а) - равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Преобразуем

верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1.

Поэтому

.

Ответ: .

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками

.

Имеем: .

.

Ответ: .

Контрольное задание

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико математической школы.

Найти первообразную функции y=f(x), проходящую через точку M₀(x₀,y₀).

М8.11.1. f(x)=1+cosx+cos2x, M₀(0;1)

М8.11.2. f(x)=3cosx-2sinx, M₀

М8.11.3. f(x)= , M₀(0;3)

Найти площадь фигуры. Ограниченной линиями (М8.11.4.- М8.11.9.)

М8.11.4. y=-3x²-2, x=1, x=2, y=-1

М8.11.5. y=4x-x², y=0

М8.11.6. y=x²-2x+3, x+y=5

М8.11.7. y=x², y=x

М8.11.8. y=0,5x²-2x+2, касательными к ней в точках A, B(4;2)

М8.11.9. y=-9x-59, параболой y=3x²+ax+1, если известно, что касательная к параболе в точке x=-2 составляет с осью Ox угол величиной arctg6.

М8.11.10. Найти а, если известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=3x³+2x, x=a, y=0, равна единице.

М8.11.11. Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной параболой y=x²+2x-3 и прямой y=kx+1.

Исходя из геометрического смысла интеграла вычислить

М8.11.12.;

М8.11.13.;

М8.11.14.