20

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет

имени Е.А. Букетова

Математический факультет

Кафедра: «Алгебра, мат. логики и

геометрии имени Т.Г. Мустафина»

Допущена к защите

Зав. кафедрой, к.ф. - м.н.

_________К.Ж. Жетписов

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема: «Суммирование значений функции Эйлера»

специальность: 0101 - математика

СтудентВ.А. Воробей

Научный руководитель,

старший преподавательВ.П.Бобровский

Караганда 2007

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

1.1 Числовые функции. Их определения и примеры

1.2 Мультипликативные числовые функции

1.3 Функция Мебиуса. Суммирования числовых функций

ГЛАВА II. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

2.1 Определение функции Эйлера и ее основные свойства

2.2 Некоторые суммы, связанные с функцией Эйлера

ГЛАВА III. ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЕЙ ЭЙЛЕРА

3.1 Суммирование значений функций Эйлера. Теорема Мертенса и ее уточнение. W - результат

3.2 Проблемы Кармайкла, Лемера, Эрдеша и другие задачи, связанные с функцией j(n). Обзор результатов

3.3 Нелинейные задачи о функции Эйлера

ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Работа относится к теории мультипликативных функций. Теория мультипликативных функций настолько многообразна и богата результатами, что нет возможности в рамках одной работы охватить все результаты, если даже речь идет о классических задачах, поэтому в работе подробно рассматриваются результаты суммирования известной функции Эйлера (n) выражающей количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.

В первой главе даны необходимые определения и свойства мультипликативных функций и методы их суммирования.

Во второй главе подробно рассмотрены функции Эйлера и Мебиуса, их связи с другими мультипликативными функциями и особенности суммирования значений функции Эйлера.

Задача об определении средних значений функций натурального аргумента является замечательным наследием классиков и их завещанием.

Гаусс, в частности, установил асимптотическую формулу

где r(n) -количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов, а Дирихле доказал, что

де (n) - количество натуральных делителей n,

- постоянная Эйлера

Вороной Г.Ф. улучшил остаточный член в этой формуле. Его мемуары [11], в котором он получил оценку

Послужил отправным пунктом исследований асимптотического поведения различных числовых функций. В частности, эта работа оказала большое влияние на формирование методов, развитых в первых теоретике числовых работах нашего выдающегося современника Виноградова И.М. Оценка этой функции имеет чрезвычайно большое значение в теории чисел и рассматривается как одна из центральных ее задач.

Начиная с Дирихле, Вороного и вплоть до нашего времени исследованию этой функции посвящено очень большое число работ.

Развитие задач о суммировании значений арифметически функций шло по двум направлениям.

1. Основанный на работе Вороного Г.Ф. [11], метод получения для классических функций теории чисел сумматорных формул с возможно более точными остаточными членами с применением современных методов тригонометрических сумм [5; 6; 20; 25; 30; 57]. Примером работ такого сорта может служить теорема Мертенса о сумматорной формуле для функции (n) [гл. III, th 3.1].

2. Создание как можно более общих теорем, относящихся к суммированию функций натурального аргумента. Теоремы этого вида, как правило, посвящены взаимоотношению функций f(n) и Ф(n) связанных соотношением:

f(n)=Ф(d)

Начало работ в этом направлении положено Винтнером А. [8], имеется

целый ряд результатов, обобщающих идею Винтнера А. [18,46].

Глава 3 работы непосредственно связана с сумированием значений функции Эйлера. Здесь воспроизведен классический результат Мертенса.

И даны его уточнения, полученные с помощью метода тригонометрических сумм.

В настоящее время на основе работ Коробова Н.М. получена следующая оценка:

Известен также - результат в задаче Дирихле о суммировании функции Эйлера (Теорема 3.3).

Интерес представляет сумма значений Эйлера, аргументы которой являются членами арифметической прогрессии.

Асимптотическая формула для такой суммы дается в Теореме 3.4.

Значительное место в главе 3 отведено обзору современных результатов, тем или иным образом связанных со свойствами функции Эйлера. Сюда относятся результаты Романова Н.П. о рядах

Эрдема о суммах функции (n)/n по отрезку натурального ряда, о нелинейных задачах функции Эйлера, о представлении натурального числа суммами слагаемых специального вида и различного рода равенства, связанных со значениями функции Эйлера, группирующимися около гипотезы Кармайкла

В конце главы 3 приведены результаты подсчета разностей между

На основе этих результатов высказан ряд гипотез о проведении функции Ф(x)

В главе 4 сделана подборка элементарных задач, связанных со свойствами функции Эйлера, которые могут быть использованы в школе на факультативных занятиях и на кружках.

ГЛАВА I. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

1.1 Числовые функции. Их определения и примеры

Числовыми функциями называют функции натурального аргумента. Такие функции в теории чисел занимают заметное место.

Рассмотрим для примера две следующие функции, определенные для всех вещественных значений x:

1. Целую часть от x, обозначенную символом [x], представляющую собой наибольшее целое число, не превосходящее x..

2. Дробную часть от x, обозначенную символом {x}, представляющую собой разность x-[x] между x и целой частью от x.

Функция [x] очень часто применяется в теории чисел. Известно, например, следующее разложение в ряд Фурье

x-[x]-

которое используется в методе тригонометрических сумм.

Из других приложений функции [x] можно указать на задачу о нахождении асимтотических формул для количества точек с целочисленными координатами замкнутых областях.

1.2 Мультипликативные числовые функции

В аналитической теории чисел большое значение имеют так называемые мультипликативные функции.

Функция ?(n) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

1. Эта функция определена для всех целых положительных n и не равна нулю по меньшей мере при одном таком n.

2. Для любых положительных взаимно простых n₁ и n₂ имеем:

? =(n1n2)= ? (n1) ? (n2)

Большое количество задач аналитической теории чисел связано с суммированием мультипликативных функций. Для решений этих задач разработан глубокий аналитический аппарат.

Рассмотрим сначала некоторые общие свойства мультипликативных функций.

Теорема 1.1. Для всякой мультипликативной функции ? (n)

имеем ? (1)=1

Действительно, пусть ? (n₀) не равно нулю.

Находим ? (n₀)= ? (n₀ 1)= ? (n₀) ? (1)

1= ? (1)

Свойство второе мультипликативной функции распространяется и на случай k2 попарно простых чисел n₁, n₂,…, n_k

Действительно, имеем

? (n₁ n₂ n₃…n_k)= ? (n₁)

? (n₂ n₃…n_k)= ? (n₁)Q(n₂) ? (n₃…n_k)=…= ? (n₁) ? (n₂)… ? (n_k)

В частности находим:

? (1.1)

Теорема 1.2. Всегда можно построить некоторую мультипликативную функцию ? (n), если положив ? (1)=1 и назначив произвольно значения для ? (p²), отвечающих положительным степеням простых чисел, в общем случае определим эту функцию равенством (1.1.).

Действительно, если n= представлено в виде произведения n₁n₂ двух взаимно простых чисел n₁ и n₂ , то справедливо тождество

? (n)= ? (n1)(n2),

левая часть которого является произведением чисел ? , отвечающих всем сомножителям вида числа n, а правая часть является тем же произведением, но разбитых на два взаимно простых произведения, одно из которых ? =(n₁) является произведением чисел ? , отвечающих всем сомножителям вида числа n₁, другое же ?(n₂) является произведением чисел ?, отвечающих всем сомножителям вида числа n₂.

Теорема1.3. Произведение ? (n)= ? ₁(n) ? ₂(n)

Двух мультипликативных функций ? ₁(n) и ? ₂(n) также является мультипликативной функцией.

Действительно. Имеем ? (1)= ? ₁(1) ? ₂(1)=1

Кроме того, при (n₁ n₂)=1, находим

? (n1 n2)= ? 1(n1 n2) ? 2(n1 n2)= ? 1(n1) ? 2(n2) ? 1(n1) ? 2(n2)=

= ? 1(n1) ? 2(n2) ? 1(n2) ? 2(n2)= ? (n1) ? (n2)

Доказанная теорема обобщается и на случай любого числа k2 мультипликативных функций

? ₁(n), ? ₂(n), ? ₃(n)… ? _k(n)

Действительно, пользуясь ею последовательно убедимся в мультипликативности произведений:

? ₁(n), ? ₂(n), ? ₃(n)=( ? ₁(n) ? ₂(n)) ? ₃(n)

? ₁(n) ? ₂(n) ? ₃(n) ? ₄(n)= (? ₁(n) ? ₂(n) ? ₃(n)) ? ₄(n)

? ₁(n) ? ₂(n)… ? _k-1(n) ? _k(n)=( ? ₁(n) ? ₂(n)… ? _k-1(n)) ? _k(n)

1.3 Функция Мебиуса. Суммирования числовых функций

В этом параграфе займемся задачей о суммировании мультипликативных функций. Свойства мультипликативных функций позволяют, в случае их суммирования получать хорошие результаты.

Обозначим через сумму, распространенную на все делители d числа n. Имеет место следующее предложение:

Теорема 1.4. Пусть ?(n) - мультипликативная функция и n= - каноническое разложение числа n.

Тогда будем иметь:

? (d)=(1+ ? (p₁)+ ? ()+…+? ()…(1+ ? (p_k)+ ? ()+…+? ()

В случае n=1 правая часть считается равной 1.Чтобы доказать это тождество раскроем скобки в его правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

? ()? ()…? ()=(…)

0, ₁, 0₂₂,…, 0_kk

Числа же являющиеся аргументами мультипликативной функцией есть делители числа n.

Теорема 1.5. При ? (n)=n^s тождество (2) примет вид:

d^s=(1+++…+).

В частности при s=1 левая часть данного тождества представит сумму делителей s(n) числа n.

Упрощая левую часть получим:

S(n)=

Функция Мебиуса - мультипликативная функция определенная равенствами:

(p)=-1, (p²)=0, если 1

Из этого определения, в частности следует, что

а) если в каноническом разложении n= числа n по меньшей мере один из показателей ₁…₂ превосходит 1 ( если n делится на квадрат отличный от 1 ), то имеем (n)=0

б) в противном случае, т.е. в случае если каноническое разложение числа имеет вид n=p₁…p_k имеет: (n)=(-1)^k

Теорема 1.6. Пусть ?(n) мультипликативная функция и n= каноническое разложение числа. Тогда имеем

(d) ? (d)=(1- ? (p₁))…(1- ? (p_k)

(в случае правую часть считаем равной 1)

Действительно функция ?₁(n)=(n) ?(n), как произведение мультипликативных функций (n) и ?(n), сама является мультипликативной. Применяя к ней тождество (2) и имея в виду, что ?₁(p)=- ?(p) и что ?₁(p²)=0, если 1, мы и убедимся в справедливости нашего убеждения.

Теорема 1.7. Полагая ?(n)=1 из а) получим

(d)= 0, если n1 (* *)

1, если n=1

Доказательство:

1. При n=1 сумма равна (1) по определению

2. Если n1, то E каноническое разложение n= . Для любого делителя содержащего хотя бы одно простое число в степени больше чем первая (d)=0. Поэтому в сумме (* *) можно оставить только делители произведения p₁…p_s, т.е,

(d)= (d)= (1)+ (pi)+ (pi pj)+…=

=1-c_s¹+s_s²-…+(-1)₃ c_s^s=1-1=0

Полагая ? (n)=, получим

если n>1

1, если n=1 (***)

Теорема 1.8. Пусть целым положительным ?= ?₁… ? _n отвечают любые вещественные или комплексные f=f₁…f_n. Тогда обозначая символом S_d^/

сумму значений x, отвечающих значениям ?, кратным d, будем иметь

S^/=(d) Sd,

где d пробегают целые положительные числа, делящие хотя бы одно значение ?.

Действительно, на основании предыдущей теоремы имеем:

S^/=f₁(d)+…+x_n (d)

Собирая же вместе члены с одними и теми же значениями d_n вынося при этом (d) за скобки, в скобках, получим сумму тех и только тех значений x , которые отвечают значениям ?, кратным d т.е. как раз получим сумму S_d, Формулу ( 1.4.) называют формулой обращения Мебиуса.

С функцией Мебиуса, в частности, с формулой обращения Мебиуса связаны методы решета в аналитической теории чисел. Свойства функции Мебиуса выраженное последней теоремой, позволяет использовать ее в качестве разрывного множителя, который отсеивает слагаемые определенного вида. Из указанной теоремы следует и формула обращения Мебиуса [5,63]

Теорема 1.9. Если Q(k)= f(d) для натурального k, то

f(n)= (d)Q(d/d), n=1.2…

и наоборот.

ГЛАВА II. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

2.1 Определение функции Эйлера и ее основные свойства

Функция Эйлера (n) определяется для всех целых положительных n и представляет собою число чисел ряда

0,1,…n-1(2.1.)

взаимно простых с n

Теорема2.1. пусть n=…(2.2.)

- каноническое разложение числа n, тогда имеем

(n)n=… (2.3.)

или также

(n)n=(- ) (-)…(-) (2.4.)

в частности будем иметь

(p²)= p²- p^-1, (p)=p-1 (2.5.)

Действительно, применим теорему 1.8. При этом числа ?, f определим так: пусть x пробегают числа ряда (2.1) каждому значению x приведен в соответствие число ? =(x, n) и числа x=1.

Тогда S^/ обратится в число значений =(x, n), равных 1 , т.е. в (n). А S_d

Обратится в число значений =(x, n) кратных d.

Но (x,n) может быть кратным d, лишь при условии, что d -делитель числа n .При наличии этого условия S_d обратится в число значений x, кратных d, т.е. в .

Поэтому

(n)= (d) (2.6.)

Откуда ввиду (***) следует формула (2.3.), а из последней в виду (2.2.)

Следует формула (2.4.)

Мультипликативность функции Эйлера и ее связь с другими мультипликативными Функциями.

Теорема 2.2. (n) - мультипликативна, т.е.

(n₁n₂) = (n₁)(n₂), при (n₁,n₂) = 1

Дадим два доказательства этой теореме:

1. Пусть x приобретает значение ₁, ₂,…, _(n2), образующие приведенную систему вычетов по модулю n₂, а y приобретает значения S₁, S₂,…, S_(n1), образующие приведенную систему вычетов по n₁ модулю . Составим всевозможные числа вида n_{11 +}n₂s_j, соответствующие размещенным парам _j s_j, число таких чисел будет равна

(n₁) (n₂)

С другой стороны поскольку (n₁,n₂) = 1 , эти числа образуют приведенную систему вычетов по модулю n₁ n₂, т.е. число таких чисел должно равняться (n₁ n₂).Произведение (n₁) (n₂) и (n₁ n₂) выражают одну и ту же величину, т.е.

 (n₁n₂)= (n₁) (n₂)

2. Составим таблицу:

1,2,3,…,

n₂+1,n₂+2,n₂+3,…, 2 n₂

2n₂+1,2n₂+2,2n₂+3,…, 3 n₂(2.7)

…………………………………………

(n₁-1) n₂+1, (n₁-1) n₂+2, (n₁-1) n₂+3,…, n₁ n₂

и определим число чисел в этой таблице, взаимно простых с n₁ n₂

(kn₂+, n₂)=1,

тогда и только тогда, когда (, n₂)=1

Таким образом, числа взаимно простые с n₂, а тем более с n₁ n₂ могут быть только в столбцах номерами , такими что (, n₂)=1, где 1 n₂ число таких столбцов по определению равно (n₂).

Каждый такой столбец состоит из чисел:

, n₂+, 2n₂+,…, (n₁-1) n₂+ (2.8.)

т.е. из чисел вида n₂x+, где пробегает полную систему вычетов по модулю n. Поскольку (n₁ n₂)=1, то числа (2.8.) образуют также полную систему вычетов по модулю n. И следовательно в (2.8.) содержится (n₁) чисел, взаимно простых с n₂. Мы имеем таким образом, в таблице (2.7.) (n₂) столбцов чисел, взаимно простых с n₂, причем каждый такой столбец содержит (n₁) чисел, взаимно простых с n₁. Если число взаимно с n₂ и с n₁, то оно взаимно просто с n₁ n₂. Таким образом, таблица (2.7.) содержит (n₁) (n₂) чисел, взаимно простых с n₁ n₂.

С другой стороны эта таблица содержит все числа от 1 до n₁ n₂ и таким образом в ней (n₁ n₂) чисел, взаимно простых с n₁ n₂, т.е.

(n₁) (n₂)= (n₁ n₂)

Теорема 2.3. При n1 (n)=n

Знак p\n означает здесь то, что множители произведения берутся при всевозможных простых делителях числа n. Доказательство: Любое n1

можно представить в канонической форме

n=

и тогда

(n)= ( p₁-1)…(p_s-1)=

= …=n

2.2 Некоторые суммы, связанные с функцией Эйлера

Теорема 2.4.

4(d)=m

Суммирование в левой части производится по всем положительным делителям числа m.

Доказательство: обозначим нашу сумму значение, которой очевидно зависит от m, через F(m), так что

F(m) 4(d)

Доказательство: разобьем на три части.

С начала докажем, что F(m) - мультипликативная функция, затем вычислим F(m) при m=p², и наконец докажем что F(m)=m

1. Пусть (n₁, n₂)=1, тогда для любых б/n₁ будет (б, б^/)=1, так что применяя правила умножения суммы на сумму получаем

F(n₁)F(n₂)=

=(б) (б^/)=(б) (б^/)=(б б^/)

Полученная сумма равна (б)

Действительно, произведение б б^/, б/n₁ , б/n₂ очевидно, равно некоторому определенному делителю произведения n₁ n_2.С другой стороны, если взять некоторый делитель произведения n₁ n₂ , то мы имеем для данного d вполне определенное представление в виде d=б б^/ , где б/n₁, б/n₂

Равенство (б б^/)=(б)

Непосредственно следует из того, что между разными слагаемыми левой и правой частей можно установить взаимно однозначное соответствие сопоставляя

(bb^/)(b), если bb^/=d, б/n₁, б^//n₂

Таким образом получаем:

F=(n₁ n₂)= (n₁ n₂)=F(n₁) F(n₂)

2. Пусть m=p², тогда

F(p²)= (b)= (1)+ (p)+ (p²)+…+ (p²)=

=1+(p-1)+( p²-p)+…+( p²- p^-1)= p²

3. Пусть m=p₁¹ p₂²…p_s^s - каноническое разложение m. Тогда

F(m)=F(p11)F(p22)…F(pss)= p11 p22… pss=m

В дальнейшем нам, кроме того потребуется оценка следующей суммы.

Теорема 2.5.

, (2.9)

где c- некоторая постоянная.

Доказательство: Заменяя под интегральную функцию ее наибольшим и наименьшим значениями получаем:

так что

Из сходимости ряда , согласно известному признаку сравнения рядов, следует сходимость ряда m₁+m₂+… через C₂ сумму этого ряда получаем: где m_k=

C= (2.10)

Если в сумме (2.10) взять члены начиная с (N+1) , то

так что

C=

Таким образом соотношение ( 2.9.) доказано для целых значений.

Пусть [x]=x-Q, где 0Q1 тогда

ln[x]=ln(x-Q)=lnx+ln=lnx+0

 ln[x]+c+0= ln[x]+c+0

Число C называют постоянной Эйлера.

Из (2.9.) следует, что

C= (2.11)

Вычисляя [1] дают, что C=0,57715…

Формальное применение теоремы 1 4 ( тождество Эйлера [20]) для

Мультипликативных функций позволяет получить ряд Дирихле, где коэффициентами этого ряда C_n являются значения функции Эйлера

(n), который выражается через известную дзета-функцию

Эйлера-Римана.

=(s)= , s1

Именно имеем

, s2 (*)

Формула (*) следует из равенства

=

в силу равенства ( 2.3.)

ГЛАВА III. ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ,

СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЕЙ ЭЙЛЕРА

3.1 Суммирование значений функций Эйлера. Теорема Мертенса и ее

уточнение. - результат

Метод производящих функций - основной аппарат асимторического распределения простых чисел.

Этот метод заключается в построении некоторой, подходящим образом построенной, производящей функции F(s), которая разлагается в ряд Дирихле т.е. в ряд вида

F(s)= , (3.1)

где C(n) - некоторая числовая функция.

Производящая функция F(s) определяет так называемую сумматорную функцию Ф(x), которая появляется естественным образом, как сумма первых [x] коэффициентов C(n) в разложении производящей функции F(s) в ряд Дирихле. Оценивая сумматорную функцию и обращая формулу (1) с помощью тождества Абеля (формулы частного суммирования), получают результат относительно оценки F(s)

Сумматорная формула для функции Эйлера была рассмотрена еще в прошлом веке Ф. Мертенсом [34].

Докажем следующее предложение [63].

Теорема 3.1. При

Доказательство: Обращаем формулы

является формула (3.2)

Пользуясь (3.2) получаем:

m=0 (mod d)

Значение функции (m) равно числу точек с целыми положительными координатами на гиперболе xy=m, т.е. числу решений уравнения xy=m

в целых положительных числах x,y.

Действительно, для каждого делителя d числа m пара представляет собой решение этого уравнения и наоборот, каждое решение этого уравнения xy=m в положительных числах x,y - определяет в качестве значений x, некоторый вполне определенный делитель d. Поскольку кривые xy=m при разных m не имеют общих точек, то придавая m значения 1,2…N, получим, что сумма

(1)+(2)+…+(N),

равна общему числу точек с целыми положительными координатами в области xyN, x0, y0.

Число таких точек обозначим S(N), тогда получаем

(1)+(2)+…+(N)=

где C - постоянная Эйлера.

т. е. действительно



Так как вместе с d величина b= также пробегает все положительные делители числа m, то

m=0 (mod d) (3.3)

Заменяя m=sd, видим, что когда m пробегает значение, кратные d и меньше , чем N величина S пробегает целые значения от 1 до наибольшего целого числа, не превосходящего , т.е. до , и таким образом

m=0 (mod d) (3.4.)

, так что

отличаются от на величину, по модулю меньшую чем 1 т.е.

=+0(1), +1=

где каждое 0(1) по модулю меньше чем 1

Итак, учитывая (3.4.) получаем:

Заменяя теперь и +1 на +0(1), (|0(1)|1)

Имеем:

+O(NlnN)=

Воспользовались здесь тем, что ввиду следующей оценки

где C - постоянная Эйлера

и тем, что

у нас получилось

s1

а согласно теореме, что при действительной

получаем

Деля полученное для выражение на N, приходим к равенству, что

что и требовалось доказать.

Замечание: С помощью применения оценок тригонометрических сумм А.3

Вальфиш [2] и А.И. Салтыков [49] доказали нетривиальный результат: при любом E0

Сформулируем теорему П.Эрдеша о суммах функции (n)/n по отрезку натурального ряда.

Теорема 3.2. Пусть g(n)/ln ln ln n ?. Тогда

Приведем результат сумматорной функции для (n) из работы С.Пиллэ и С.Човла [39]

Теорема 3.3. Справедливо неравенство

Доказательство: обозначим

E(N)=

Обозначим через Р (a,b) произведение всех простых чисел лежащих между a и b. Через N₀ обозначим наименьшее положительное решение системы сравнений

N0(mod2),

N+10(mod P (2,2³)),

N+30(mod P(2³, )),

N+2k-10(mod P()).

Очевидно, что N₀ есть четное число.

Поскольку модули в системе сравнений взаимно просты, то N₀ меньше, чем произведение модулей, т.е.

N₀P(1, ),

Откуда

ln N₀

то так как

то c₁ln ln ln N₀ k

Далее, N₀ +2k+1делится на некоторое простое p , поэтому N₀ +2k+1

Это дает kC₂ln ln N_0. По формуле Мертенса

Значит и при

где f - абсолютная постоянная

(3.5)

Теперь

E(N₀ +2k)-E(N₀)=

Пусть t - четное число. Так как для четных чисел

то

Если t - нечетное число из множества 2f+1, 2f+3,…2k-1 (при kf+1)

то, так как (при S=(t-1)/2), P(/N₀+t

учитывая (3.5) имеем

Для t=1,2,…,2f воспользуемся неравенством

Продолжаем выкладку

E(N₀ +2k)-E(N₀)=

Отсюда и из оценок для

Получаем E(N₀ +2k)-E(N₀)=

+f(2N₀+2f+1)+(k-f)(2N₀+2k+2f+1).

Так как f=0(1), то

E(N₀ +2k)-E(N₀)= N₀k+0(N₀)+0(k²).

но 0 и k=0(ln ln ln N₀)

Откуда следует, что

| E(N₀ +2k)-E(N₀)|C₃ N₀k+0(N₀)+0(ln ln ln N₀)²

C₄ N₀ ln ln ln N₀+0(N₀),

где C₃ и C₄- положительные постоянные

Значит,

max| E(N₀ +2k)|, |E(N₀)|

если

max| E(N₀ +2k)|, |E(N₀)|= |E(N₀)|

то теорема доказана.

Пусть max(| E(N₀ +2k)|, |E(N₀)|)= |E(N₀+2k)|

Обозначая N₀+2k=, получаем

E()ln ln ln

Теорема доказана и в этом случае. Большой интерес представляют суммы значений Эйлера распространенные по натуральным числам, являющимся членами некоторой арифметической прогрессии mb(mod k)

Результат такого суммирования отражает следующая теорема:

Теорема 3.4. Пусть k целое, k2, b - целое, (k, b) = С

Справедлива оценка

Где обозначено

Константа в символе О абсолютная.

Доказательство:

=

Внутренняя сумма будет непустой лишь для /c, ибо из dx-ky=b =>

что =(d,k)/b.

Итак,

=



Два условия (l, ) = I и (l, ^k/) = I можно заменить одним (l, k) =I

Ясно, что

Поэтому

что и требовалось доказать.

Одно тождество, связанное с суммой Н.П.Романова.

Н.П.Романов в одной из своих работ [48] изучал суммы следующего вида

где (m) - функция Мангольда, которая задается следующим равенством

lnp, если m=p^k

(m)= 0, если mp^k

с этой суммой связано следующее тождество:

(3.6)

3.2 Проблемы Кармайкла, Лемера, Эрдеша и другие задачи, связанные

с функцией (n). Обзор результатов

Помимо классических задач о суммитовании функция Эйлера имеет многочисленные и разнообразные применения в теории чисел, как в элементарной постановке, так и в аналитической части.

Например, функция Эйлера тесно связана с представлением натуральных чисел в виде суммы слагаемых вида x(x+1) (x+2)… (x+n- 1 ) . В работе В.П. Волошина [10] за счет подсчета постоянных в оценке известных сумм Вейля [26] по методу А.А. Карацубы и с помощью новых оценок рациональных тригонометрических сумм [31] получена оценка для g((n)) - наименьшего целого c с условием, что всякое N1 представлено в форме

N=

Полученный результат имеет следующий вид:

g((n))5nlnn+nlnlnn+8n, для n12.

Заметное место в теории функции Эйлера занимают результаты, касающиеся соотношений между значениями функции Эйлера при различных аргументах.

В работе Т.Венкаторамана [3] исследуются числа вида

_p(n) =(n) + (n₁) + … + 1 ,

где (n) =n₁; (n₁) =n₂+ …

с условием _p (n) =n.

В работе этого же автора [4] формируются различные обобщения тождества

и

На вычеты к-ой степени. Натуральное число n называется совершенным тотнентным числом, если

₁ (n) + ₂(n) +… + _k(n)=n,

где

₁(n) =(n) ; _i(n) = ( _i-1(n)).-

итерации функции Эйлера, k - наименьший индекс, такой что

_k(n) = 1. Например, числа : 46791, 140.103 -совершенные тотнентные числа.

В работе [36] доказан ряд достаточных признаков совершенных тотнентных чисел.

Существует проблема, до сих пор еще не решенная, существования таких чисел N для которых (N)(M), для всех NM. Доказано, [17], что каково бы ни было N10⁷⁷

Найдется по крайней мере одно такое MN, что (M) = (N).

В работе [32] доказано, что уравнение (n+k) =2(n), при любом натуральном k, имеет по крайней мере одно натуральное решение n, но с другой стороны, доказано [33], что существует бесконечно много простых p, для которых уравнение (x) = 2ⁿp не имеет решений не при каком натуральном n.

Ряд работ различных авторов посвещены соотношению чисел (n) и n-1

Пусть N(x)=N{n:nx, (n)/n-1}

В работе Померанца [42] показано, что

N(x)=0((lnlnx)).

Вообще, неизвестно, существует ли составное n, для которого (n)\(n-1).

Этот вопрос носит название проблемы Лемера . В [41] содержится ряд результатов, касающихся обобщению проблемы Лемера на случай n, для которых (n)\(n-1).

Относительно проблемы Лемера известно следующее [27]: если n-составное число и (n)\(n-1), то число простых делителей w(n)14. Это уточняет результаты Льювенса и Кискора [23] : w(n)13. В [27] доказывается также, что в этом предположении n10²⁰, что ставит под сомнение положительный ответ в проблеме Лемера.

Современное состояние проблемы Лемера.

Пусть S_M - множество всех целых n0, для которых имеет место равенство

M(n)=n-1

Доказано [44], что если n S_M, M4, n0 (mod3),

То w(n)5334.

Улучшая соответствующий результат Суббарао и Прасада.

Более определена задача о числе b_m целых положительных чисел n, для которых (n)=m.

Доказано [12], что для любого положительного b3-2 множества целых чисел m0, с условием бесконечно. b_mm^b.

Первоначальные результаты в этом направлении принадлежат П.Эрдешу. Результат Эрдеша следующий :

Пусть N(m) - число целых n, для которых (n)=m

Тогда для бесконечно многих m выполняется неравенство N(m)m^c с некоторым постоянным C.

Пусть C - верхняя точная граница постоянных С помощью уточнения теоремы Бруна-Титчмарша принадлежащего Хооли доказано [43], что

C1-

Этот результат используя новый результат Иванца [43] в теореме Бруна-Титчмарша, можно улучшать, доведя его до следующего: C0,55655

Для числа V(x) различных значений, принимаемых функцией Эйлера и не превосходящих x, найдено ограничение снизу:

V(x)C(x)lxp{A(lnlnln x)²}

с некоторыми абсолютными постоянными A,C, существование которых доказано.

Интересен подобный результат для итерации функции Эйлера. Пусть V₂(x) - число натуральных чисел m, не превосходящих x и являющихся значениями итерации функции Эйлера: m=( (n)), для некоторого n. Доказано [62], что существует A0, что

Еще более определенные результаты получены для функции F(x) - количества целых m таких, что (m)x

Здесь решение задачи доведено до асимптотической формулы.

Например, элементарным методом [37], показано, что

F(x)=C(x)+0(xlnx).

В 1972г. Бойтман методами комплексного анализа доказал, что

F(x)=C(x)+0(xlxp(-C(lnx)^a)).

Обобщение этой задачи следующее. Положим F(n) равный сумме

числа jn, jn, для которых (j)(n). Относительно F(n)

доказано [16] следующее: (j) (n).

1) существует функция h=h(t), для которой

2) имеет непрерывную функцию распределения;

3) где =(2) (3) (6).

4) h(t) имеет минимум в точке t=n₀, h(n₀)h₀

0,473n₀ 0,475; 0,321n₀ 0,324

5) пусть {n_k} - последовательность натуральных чисел, с условием: для всех nn_k выполняется неравенство F(n)F(n_k), тогда для E0

n_k+1-n_k , при k;

6) при n, h₀x

В этой же работе приводятся некоторые результаты для произвольной функции (n) вместо (n).

В работе [35] указан следующий результат.

Пусть F - множество целых чисел n1, обладающих свойством

(m) (n) , если mn

Доказано, что каждое простое число делит некоторый элемент F, и,

Что отношение последовательности элементов из F приближается к 1.

Автор работы [24] без использования теоремы о неравенстве нулю функции ( 1+it) показал , что

где

и E₁(n)=

в части - результата E₁ (N) =()

Для улитарного аналога *(n) функции Эйлера известен следующий результат Коэна:

(*)

Авторы работы [50] улучшили остаточный член до

J(N N(lnlnN))

В работе [22] исследуется мультипликативный аналог функции Ф(N)

S(N)(1) (2)… (N)= (n)

Кармайклом выдвинута следующая гипотеза :

число решений уравнения (x) =n не равно единицы ни для какого n. Эту гипотезу можно сформулировать следующим образом:

пусть N₁ - наименьшее число n, для которого уравнение (x)=n имеет ровно одно решение, тогда ( гипотеза Кармайкла )

N₁(x)=+

то есть таких n не существует.

В работе [40], в связи с гипотезой Кармайкла , доказано одно достаточное условие для того, чтобы n₀ обладало свойством

(n) (n₀), при всех n n₀

Если из (p-1)/ (n₀) следует, что p²/n, то n₀-такое число. Гипотеза Кармайкла теперь трансформируется в следующую:

Чисел n₀, с таким условием, не существует. В [15] рассмотрен частный случай n0(mod8), в [21] изучается аналог проблемы Кармайкла для функции

т.е. изучается уравнение *(x) =n (*^.*).

Доказано, что если n - нечетное число, то это уравнение имеет единственное решение. Кроме того в [21] содержится большое количество утверждений для нечетного и относительного количества решений уравнений (* *)

До сих пор не доказана также гипотеза, выдвинутая Эрдешем и Серпинским ( 1955 г.) : натуральных чисел не имеющих вида n-(n) - бесконечно много.

В работе одного из авторов гипотезы [60] доказано, что натуральные числа n, не имеющие вида (n)-n, имеют положительную асимтотическую плотность.

Известна следующая гипотеза Эрдеша: для любого k существует k последовательных чисел n,n+1,…, n+k-1, таких, что

(n) =(n+ 1 ) = …=(n+k- 1 )

В работе [60] относительно этой гипотезы Эрдеша, приведены численные исследования.

Интересна задача об исследовании функций X_E(N) -количества изменений знака функции E(t) в интервале 1t N и N_l(N) -количества изменений знака на целых числах n, 1n N. В работе [38] показано, что

X_E(N)=CN+(N), N

аналогичные результаты справедливы и для функции _k(n).

В асимтотических формулах для некоторых функций связанных с (n) и (n) , прослеживается определенная аналогия, поэтому особый интерес имеют задачи, связанные с совместным изучением указанных функций. В работе [19] сравниваются по величине функции ((n)) и ((n)). В [52] доказано, что всякое число 1 является предельной точкой последовательности (n)/ (n). Существует ряд обобщений функции Эйлера [58], [13] и их оценок « в среднем». В работе [51] по натуральным a,m,s строятся числа m_s, для которых

a^(ms)+sa^s(mod m),

обобщая известную теорему Эйлера.

3.3 Нелинейные задачи о функции Эйлера

Остановимся кратко на нелинейных задачах Эйлера.

Обозначим

S_N=

Теорема 3.5 При N

S_N=

Доказательство: мы имеем

Обозначим через L(d) количество решений сравнения

x²+1(mod d) c 1xd

S_N=

Как известно, L(d) есть мультипликативная функция, и

L( 2 ) = 1 , L( 2 ) =0 , при 2

L(p)= 2 , p1 (mod 4 ) , при любом

L(p)= 0 , p3 (mod 4 ) , при любом

Из этих равенств следует, что L(d)(d).

Поэтому

мы имеем

Далее

Это дает

=О

И так,

В силу выражений для L(p²)

Что и требовалось установить.

В работе В.Шварца [59] доказана общая теорема, из которой выведено такое следствие.

Теорема 3.6. Пусть f(n) - полином с целыми коэффициентами и с отличным от нуля дискриминантом; предположим, что наибольший делитель его коэффициентов равен 1.

Предположим, что f(n)0 для n0

Обозначим через L(d) - количество решений сравнения

f(n)(mod d)

При N имеет место асимототическая формула

Где C0 - постоянная.

Проведем подсчет среднего значения функции ln

Мы имеем

По формуле Мертенса

Ряд мажорируется сходящимся рядом и поэтому сходится.

Таким образом:

где

так как p_nnlnn, то

И так:

В работе Н.Гафурова [14] решается следующая задача:

Пусть a, k, l - фиксированные натуральные числа,

S_l (T, a, k)=

Индукцией по l доказывается, что при T

S_l (T, a, k)=p(k)f(a, k, l)+О

де f - явно выписываемая функция.

p(k) - число решений сравнения V²-a(mod k) постоянные входящие в символ O ,не зависят от k.

В [9] получены следующие результаты:

Для четного n4(k-1) или нечетного n2 (k-1 ).

(n^k)+((n+1)^k)2n^k

для nk(k+ 1 ) :

((n+l)²) (k+1)n²

ЛИТЕРАТУРА

1. Бухштаб А.А. - теория чисел. - «Просвещение», 1996 г.

2. Вальфиш А.З. (Walfist Azn). Weylsche Exponentialsummen in der neuexen Zahlentheorie, Deutsch. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.

3. Венкатарамен Т. (Venkataramen T.) Perfect totcent number. - Math. Stud., 1975, 43, №1-2, 178.

4. Венкатарамен Т. (Venkataramen T.) A note on the generalization an arithmetic function in K-th powen vesidue. - Math. Stud., 1974 (1975), 42, №1-4, 101-102.

5. Виноградов И.М. - Основы теории чисел - «Наука» 1981

6. Виноградов И.М. - Особые варианты метода тригонометрических сумм - «Наука». 1976.

7. Виноградов И.М. - Метод тригонометрических сумм в аналитической теории чисел. - «Наука» 1971.

8. Винтер А. (Winter A.) The theoy of measure in arithmetical semi-groups - Baltomove, 1944.

9. Войтеч Л. (Vojtech L.) On some problems in the clementury theory of numbers. - Acta Fac. rerum natyr. Univ comen Math., 1975, 32, 47-67.

10. Волошин В.П. Представление натуральных чисел суммой слагаемых вида x(x+1)…(x+n+1) - Моск. Гос. Инст-т. М., 1982, 15 с.

11. Вороной Г.Ф. Об одной задаче из теории асимптотической функции - Г.Ф. Вороной, Собрание сочинений, т П, Изд-во АН СССР, 1952, 6-49.

12. Вулдридж Р. (Wooldridge R.) Valnes taken many times by Euler's phi-function. - Proc. Amer. Math. Soc., 1979, 76, №2, 229-284.

13. Гаша П.Г. (Garcia P.G.) Ligh S/A/ generalization of Euler's -functoon. - Fibonacci Quart., 1983, 21, №1б 26-28.

14. Гафуров Н. О сумме значений функции Эйлера квадратичных полиномов - Исслед. по мат., Душанбе, 1977, 207-214.

15. Гроссвальд (Grosswald Emil) Contvi bution to the theory of Euler's functoon (x). - Bull. Amer. Soc., 1973, 79, №2, 337-341.

16. Диамонд Х.Г. (Diamond H.G.), Эрдеш П. (Erdos P.) A measure of the nonmonotonicity of the Euer phi-fynction. - Cacif. J. Math., 1978, 77, №1, 83-101.

17. Доннелли Х. (Donnelly H.) On a problem concevring Euler's phi-functoon. - Amer. Math. Mon., 1973, 80, №9, 1029-1031.

18. Дроздова А.А. Фрейман Г.А. Оценки некоторых арифметических функций, Учен. зап. Елабуж. гос. пед. инс-та 3, 1958, 160-165.

19. Ива ди Жирош. Свойство арифметических функций и . - Caraky, 1977, 29, №1, 65-67.

20. Ингам А.Е. Распределение простых чисел, ОНТИ, 1936.

21. Исмаил М. (Jsmail M.), Суббарао М.В. (Subbarao M.V.). Unitary analogue of Cartichael's problem. - Judian J. Math., 1976, 18, №1,

49-55.

22. Кастальдо П. (Castaldo P.) J numeri di Smith. - Archimede, 1974, 26,

23. Кишер М.(Kishore Masuo) On the number of distinct prime factors of n for which ?(?)n-1-Nienw arch wisk, 1977, 25, №1, 48-53.

24. Кодека (Codeca), Паоло (Paolo). Anote on Eulers ?-function.-Avk. Mat., 1981, 19, №2, 261-263.

25. Коробов Н.М. Оценки тригонометрических сумм и их приложения - Успехи матем наук 13(1958)№4, 185-192.

26. Коробов Н.М. Оценки сумм Вейля и распределение простых чисел-ДАН СССР, 123, 1(1958), 28-31.

27. Кохен Г.Л. (Cohen G.L.), Хагис П. (Hagis P) Jr on the number of prime factors of ? ik(?¦(n-1).-Nieuw arch. Wisk, 1980, 28, №2, 177-185.

28. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел - Просвещение, 1970.

29.Ландау Е. (Landau E Einfuhrung in die elementare und analytiche Theorie der algebraichen Zahlen und der ideale.-NewYork, II (1936), 242-245.

30 Левин Б.В., Файплейб А.С. Об одном методе суммирования мультипликативных функций- ИАН. Сер.матем. 31 №3, 1967, 697-710.

31. Ло-Кен-Хуа. Аддитивная теория простых чисел. Труды. Мат института им.В.А.Стклова т.22 стр 1-179,1947.

32.Маковский (Makowski A) On the equation ?(m+k)=2?(m)-Elem Math.

1974, 29, №1, 13.

33.Мендельсон Н. (Mendelsohn N. S.) The equation ?(k)=k-Math. Mag, 1976, №1, 37-39.

34 Мертенс Ф.(Mertens F), Uber einige asimtotishe Gesetze der Zahlentheorie.-J.reine und angef. Math, №4, 1874, 289-338.

35.Мессер Д.В.(Masser D.W.) Шин П. (Shin P) On sparsely totient numbers.-Pacif.J.Math., 1986, 121, №2, 407-426.

36. Мохен А.Л. (Mohan A.L.), S.D. Perfect totient numbers. - Lect., Motes., Math., 1982, 938, 101-105.

37. Николас (Nikolas J.) - L. Distribution des Valenrs de la fonction d' Euler. - Euseign. Math.,1984, 30, №3-4, 331-338.

38. Петерманн (Petermann Y.) - F.S. Changes of sign of crror ferms related fo Euer's function aud to duisov functions. - Comment math. helv., 1986, 61, №1, 84-101.

39. Пиллэ С.Е. Човла (Pilai S.S., Chowla S.) On the error terms in some asymptotie formular in the theory of numbers J, - J. London, Math, Soc. №5, №918, 1930, 85-101.

40. Померанц К. (Pomerance C.) On Carmichael's conjecture. - Proc. Amev. Math. Soc., 1974, 43, №2, 297-299.

41. Померанц К. (Pomerance C.) On composite n for which u(n)|(n-1), II-Pacif. J. Math., 1977, 69, №1, 177-186.

42. Померанц К. (Pomerance C.) On composite n for which u(n)|(n-1). - Acta arethm., 1976, 28, №4, 387-389.

43. Померанц К. (Pomerance C.) Popular valuer of Euer's function. - Mathematika (Gr. Brit), 1980, 27, №1, 84-89.

44. Празад В. (Prasad V.), Сива Рама (Siva Rama), Рангамма М. (Rangamma M.) On composite n statistying a problem of Lehmer. - Juchian J. Pare aud Appl. Math., 1985, 16. №2, 1244-1248.

45. Пахар К. Распределение простых чисел - Мир, 1968 г.

46. Рамануджан (Ramanujan S.) Collected Papers, Cambridge Univ. press., 1927.

47. Риджер (Rieger G.J.) Ein Heibronn. - Satz fur keftenbruche mit ungeraden Teilnennern. - Math. Nachr., 1981, 101, 295-307.

48. Романов Н.П. К вопросу о распределении простых чисел - Матем. сб. 23(65) №2, 1948, 259-278.

49. Салтыков А.И. О О функции Эйлера. Вестник Москов. ун-та, СССР - Матем. мех., №6, 1960, 34-50.

50. Сита Рама Чандра Рао (Sita Rama chandra Rao R.), Сарьянарайяна (Surjanarayana D.) On and . - Proc. Amer. Math. Soc., 1973, 41, №1, 61-66.

51. Смарандеш (Smarandeche F.) O gereralizare a teoremei Euer neberitoore la congrnente. - Bull. Univ. Brasov, 1981, 23, 7-12 (Рум.)

52. Сомайджулу (Somayajulu B.S.K.R) The seguence (n) (n). - Math. Stud., 1977, 45, №1, 52-54.

53. Серпинский (Sirpinski W.) Sur une formule donnant tous les nombres premiaers, C.R., 1952, 235.

54. Тонковю Гонков О средней длине конечных ценных дробей - Math. Balkan., 1974, №4, 617-629.

55. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Наука 1970, т.3.

56. Хаусман (Hausman M.) An uppev limit property the Euler function. - Can. Vath. Bull., 1980, 23, №3, 375, 377.

57. Хуа-Логен (Hya L.K.) Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. - Мир, М. 1964.

58. Чидембересвеми (Chidambaraswamy J.) Ситарамахапдрарао (Sitaramachandrarao R.) On the error terms, of . - Publ math, 1985, 32, №3-4, 139-144.

59. Шварц В. (Schwarz W.) Uber die Summe und verwandte Probleme, Monatst, 1962, 43-54.

60. Эрдеш (Erdos P.) Uber die Zahlen der Form (n)-n und n-(n). - Elen. Math., 1973, 28, №4, 83-86.

61. Эрдеш (Erdos P.), Хелл (Hall R.R.) Distinct Valnes of Euer's -function. - Mathematika (Gr. Brit) - 1976, 23, №1, 1-3.

62. Эрдеш (Erdos P.), Хелл (Hall R.R.) Euer's ф-function and its iterates. - Mathematika (Gr. Brit), 1977, 24, №2, 173-177.

63. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел, Науак, 1971.