Метод математической индукции

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Содержание

Вступление

1. Полная и неполная индукция

2. Принцип математической индукции

3. Метод математической индукции. Решение примеров

Заключение

Список использованной литературы

Вступление

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно

Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает. А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно.

1. Полная и неполная индукция

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=1 ²

1+3=4=2 ²

1+3+5=9=3 ²

1+3+5+7=16=4 ²

1+3+5+7+9=25=5 ²

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n ²

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n ²

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n ² ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

2. Принцип математической индукции. Решение примеров

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) Ю А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k) Ю A(k+1)

ПРИМЕР 1

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n ² .  

Решение:

1) Имеем n=1=1 ² . Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно

2) Докажем, что А(k) Ю A(k+1)

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е

1+3+5+…+(2k-1)=k ²

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) ² В самом деле,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k ² +2k+1=(k+1) ²

Итак, А(k) Ю А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого n О N

ПРИМЕР 2

Доказать, что

1+х+х ² +х ³ +…+х ⁿ =(х ⁿ⁺¹ -1)/(х-1), где х № 1

Решение:

1) При n=1 получаем

1+х=(х ² -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k,

1+х+х ² +х ³ +…+х ^k =(х ^k+1 -1)/(х-1)

Докажем, что тогда выполняется равенство

1+х+х ² +х ³ +…+х ^k +x ^k+1 =(x ^k+2 -1)/(х-1) В самом деле

1+х+х ² +x ³ +…+х ^k +x ^k+1 =(1+x+x ² +x ³ +…+x ^k )+x ^k+1 =

=(x ^k+1 -1)/(x-1)+x ^k+1 =(x ^k+2 -1)/(x-1)

Итак, А(k) Ю A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n

ПРИМЕР 3

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2

Решение: 1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике

А ₃ =3(3-3)/2=0 диагоналей; А ₂ А(3) истинно

2) Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике имеет А ₁ ся А _k =k(k-3)/2 диагоналей. А _k Докажем, что тогда в выпуклом А _k+1 (k+1)-угольнике число диагоналей А _k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Пусть А ₁ А ₂ А ₃ …A _k A _k+1 -выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A ₁ A _k . Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A ₁ A ₂ …A _k , прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А _k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А ₁ А _k

Таким образом,

G _k+1 =G _k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Итак, А(k) Ю A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

ПРИМЕР 4

Доказать, что при любом n справедливо утверждение:

1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² =n(n+1)(2n+1)/6

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

Х ₁ =1 ² =1(1+1)(2+1)/6=1

Значит, при n=1 утверждение верно

2) Предположим, что n=k

Х _k =k ² =k(k+1)(2k+1)/6

3) Рассмотрим данное утвержде-ние при n=k+1

X _k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X _k+1 =1 ² +2 ² +3 ² +…+k ² +(k+1) ² =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) ²

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) ² )/6=(k+1)(k(2k+1)+

+6(k+1))/6=(k+1)(2k ² +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

+2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого натурального n

ПРИМЕР 5

Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:

1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ =n ² (n+1) ² /4

Решение: 1) Пусть n=1

Тогда Х ₁ =1 ³ =1 ² (1+1) ² /4=1. Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=k

X _k =k ² (k+1) ² /4

3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е

Х _k+1 =(k+1) ² (k+2) ² /4. X _k+1 =1 ³ +2 ³ +…+k ³ +(k+1) ³ =k ² (k+1) ² /4+(k+1) ³ =(k ² (k++1) ² +4(k+1) ³ )/4=(k+1) ² (k ² +4k+4)/4=(k+1) ² (k+2) ² /4

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n

ПРИМЕР 6

Доказать, что

((2 ³ +1)/(2 ³ -1)) ґ ((3 ³ +1)/(3 ³ -1)) ґ … ґ ((n ³ +1)/(n ³ -1))=3n(n+1)/2(n ² +n+1), где n>2

Решение: 1) При n=2 тождество выглядит:

(2 ³ +1)/(2 ³ -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 ² +2+1), т.е. оно верно

2) Предположим, что выражение верно при n=k

(2 ³ +1)/(2 ³ -1) ґ … ґ (k ³ +1)/(k ³ -1)=3k(k+1)/2(k ² +k+1)

3) Докажем верность выражения при n=k+1

(((2 ³ +1)/(2 ³ -1)) ґ … ґ ((k ³ +1)/(k ³ -1))) ґ (((k+1) ³ +

+1)/((k+1) ³ -1))=(3k(k+1)/2(k ² +k+1)) ґ ((k+2)((k+

+1) ² -(k+1)+1)/k((k+1) ² +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) ² +(k+1)+1)

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого n>2

ПРИМЕР 7

Доказать, что

1 ³ -2 ³ +3 ³ -4 ³ +…+(2n-1) ³ -(2n) ³ =-n ² (4n+3) для любого натурального n

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

1 ³ -2 ³ =-1 ³ (4+3); -7=-7

2) Предположим, что n=k, тогда

1 ³ -2 ³ +3 ³ -4 ³ +…+(2k-1) ³ -(2k) ³ =-k ² (4k+3)

3) Докажем истинность этого утверждения при n=k+1

(1 ³ -2 ³ +…+(2k-1) ³ -(2k) ³ )+(2k+1) ³ -(2k+2) ³ =-k ² (4k+3)+

+(2k+1) ³ -(2k+2) ³ =-(k+1) ³ (4(k+1)+3)

Доказана и справедливость равенства при n=k+1, следовательно утверждение верно для любого натурального n.

ПРИМЕР 8

Доказать верность тождества

(1 ² /1 ґ 3)+(2 ² /3 ґ 5)+…+(n ² /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) для любого натурального n

Решение:

1) При n=1 тождество верно 1 ² /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)

2) Предположим, что при n=k

(1 ² /1 ґ 3)+…+(k ² /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)

3) Докажем, что тождество верно при n=k+1

(1 ² /1 ґ 3)+…+(k ² /(2k-1)(2k+1))+(k+1) ² /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1)/2(2k+1))+((k+1) ² /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2)+((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)/2(2(k+1)+1)

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n.

ПРИМЕР 9

Доказать, что (11 ⁿ⁺² +12 ²ⁿ⁺¹ ) делится на 133 без остатка

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

11 ³ +12 ³ =(11+12)(11 ² -132+12 ² )=23 ґ 133

Но (23 ґ 133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно; А(1) истинно.

2) Предположим, что (11 ^k+2 +12 ^2k+1 ) делится на 133 без остатка

3) Докажем, что в таком случае (11 ^k+3 +12 ^2k+3 ) делится на 133 без остатка. В самом деле

11 ^k+3 +12 ^2л+3 =11 ґ 11 ^k+2 +12 ^{2 ґ} 12 ^2k+1 =11 ґ 11 ^k+2 +

+(11+133) ґ 12 ^2k+1 =11(11 ^k+2 +12 ^2k+1 )+133 ґ 12 ^2k+1

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей выступает 133. Итак, А(k) Ю А(k+1). В силу метода математической индукции утверждение доказано

ПРИМЕР 10

Доказать, что при любом n 7 ⁿ -1 делится на 6 без остатка

Решение:

1) Пусть n=1, тогда Х ₁ =7 ¹ -1=6 де-лится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно

2) Предположим, что при n=k 7 ^k -1 делится на 6 без остатка

3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1

X _k+1 =7 ^k+1 -1=7 ґ 7 ^k -7+6=7(7 ^k -1)+6

Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 ^k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7 ⁿ -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 11

Доказать, что 3 ^3n-1 +2 ^4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда

Х ₁ =3 ^3-1 +2 ^4-3 =3 ² +2 ¹ =11 делится на 11 без остатка.

Значит, при n=1 утверждение верно

2) Предположим, что при n=k X _k =3 ^3k-1 +2 ^4k-3 делится на 11 без остатка

3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1

X _k+1 =3 ^3(k+1)-1 +2 ^4(k+1)-3 =3 ^3k+2 +2 ^4k+1 =3 ^{3 ґ} 3 ^3k-1 +2 ^{4 ґ} 2 ^4k-3 =

=27 ґ 3 ^3k-1 +16 ґ 2 ^4k-3 =(16+11) ґ 3 ^3k-1 +16 ґ 2 ^4k-3 =16 ґ 3 ^3k-1 +

+11 ґ 3 ^3k-1 +16 ґ 2 ^4k-3 =16(3 ^3k-1 +2 ^4k-3 )+11 ґ 3 ^3k-1

Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 3 ^3k-1 +2 ^4k-3 делится на 11 по предположению, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма делится на 11 без остатка при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 12

Доказать, что 11 ²ⁿ -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка

Решение:

1) Пусть n=1, тогда 11 ² -1=120 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно

2) Предположим, что при n=k 1 ^2k -1 делится на 6 без остатка

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1

11 ^2(k+1) -1=121 ґ 11 ^2k -1=120 ґ 11 ^2k +(11 ^2k -1)

Оба слагаемых делятся на 6 без остатка: первое содержит кратное 6-ти число 120, а второе делится на 6 без остатка по предположению. Значит и сумма делится на 6 без остатка. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 13

Доказать, что 3 ³ⁿ⁺³ -26n-27 при произвольном натуральном n делится на 26 ² (676) без остатка

Решение:

Предварительно докажем, что 3 ³ⁿ⁺³ -1 делится на 26 без остатка

1. При n=0

3 ³ -1=26 делится на 26

2. Предположим, что при n=k

3 ^3k+3 -1 делится на 26

3. Докажем, что утверждение верно при n=k+1

3 ^3k+6 -1=27 ґ 3 ^3k+3 -1=26 ґ 3 ^3л+3 +(3 ^3k+3 -1) -делится на 26

Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи

1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно

3 ³⁺³ -26-27=676

2) Предположим, что при n=k выражение 3 ^3k+3 -26k-27 делится на 26 ² без остатка

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1

3 ^3k+6 -26(k+1)-27=26(3 ^3k+3 -1)+(3 ^3k+3 -26k-27)

Оба слагаемых делятся на 26 ² ; первое делится на 26 ² , потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано

ПРИМЕР 14

Доказать, что если n>2 и х>0, то справедливо неравенство (1+х) ⁿ >1+n ґ х

Решение:

1) При n=2 неравенство справед-ливо, так как

(1+х) ² =1+2х+х ² >1+2х

Значит, А(2) истинно

2) Докажем, что А(k) Ю A(k+1), если k> 2. Предположим, что А(k) истинно, т.е., что справедливо неравенство

(1+х) ^k >1+k ґ x. (3)

Докажем, что тогда и А(k+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство

(1+x) ^k+1 >1+(k+1) ґ x

В самом деле, умножив обе части неравенства (3) на положительное число 1+х, получим

(1+x) ^k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x ² >1+(k+1) ґ x

В итоге получаем, что (1+х) ^k+1 >1+(k+1) ґ x

Итак, А(k) Ю A(k+1). На основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n> 2

ПРИМЕР 15

Доказать, что справедливо неравенство (1+a+a ² ) ^m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a ² при а> 0

Решение: 1) При m=1

(1+а+а ² ) ¹ > 1+а+(2/2) ґ а ² обе части равны

2) Предположим, что при m=k

(1+a+a ² ) ^k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a ²

3) Докажем, что при m=k+1 не-равенство верно

(1+a+a ² ) ^k+1 =(1+a+a ² )(1+a+a ² ) ^k >(1+a+a ² )(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a ² )=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a ² +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a ³ +(k(k+1)/2) ґ a ⁴ > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a ²

Мы доказали справедливость неравенства при m=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального m

ПРИМЕР 16

Доказать, что при n>6 справедливо неравенство 3 ⁿ >n ґ 2 ⁿ⁺¹

Решение:

Перепишем неравенство в виде (3/2) ⁿ >2n

1. При n=7 имеем 3 ⁷ /2 ⁷ =2187/128>14=2 ґ 7 неравенство верно

2. Предположим, что при n=k (3/2) ^k >2k

3) Докажем верность неравенства при n=k+1

3 ^k+1 /2 ^k+1 =(3 ^k /2 ^k ) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Так как k>7, последнее неравенство очевидно.

В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого натурального n

ПРИМЕР 17

Доказать, что при n>2 справедливо неравенство

1+(1/2 ² )+(1/3 ² )+…+(1/n ² )<1,7-(1/n)

Решение:

1) При n=3 неравенство верно

1+(1/2 ² )+(1/3 ² )=245/180<246/180=1,7-(1/3)

2. Предположим, что при n=k

1+(1/2 ² )+(1/3 ² )+…+(1/k ² )=1,7-(1/k)

3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1

(1+(1/2 ² )+…+(1/k ² ))+(1/(k+1) ² )<1,7-(1/k)+(1/(k+1) ² )

Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1) ² )<1,7-(1/k+1) Ы

Ы (1/(k+1) ² )+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) ² <1/k Ы

Ы k(k+2)<(k+1) ^{2 Ы} k ² +2k<k ² +2k+1

Последнее очевидно, а поэтому

1+(1/2 ² )+(1/3 ² )+…+(1/(k+1) ² )<1,7-(1/k+1)

В силу метода математической индукции неравенство доказано.

Заключение

В частности изучив метод математической индукции, я повысил свои знания в этой области математики, а также научился решать задачи, которые раньше были мне не под силу.

В основном это были логические и занимательные задачи, т.е. как раз те, которые повышают интерес к самой математике как к науке. Решение таких задач становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты всё новых любознательных. По-моему, это является основой любой науки.

Продолжая изучать метод математической индукции, я постараюсь научиться применять его не только в математике, но и в решении проблем физики, химии и самой жизни.

Список использованной литературы

1. МАТЕМАТИКА: ЛЕКЦИИ, ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЯ Учебное пособие / В.Г. Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И. Шабунин. ООО “Попурри” 1996

2. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА Учебное пособие / И.Т.Демидов, А.Н. Колмогоров, С.И. Шварцбург, О.С. Ивашев-Мусатов, Б.Е. Вейц.“Просвещение” 1975