- 13 -

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность - Менеджмент

Контрольная работа

по дисциплине: Высшая математика

Выполнил студент Ганин Д.Ю.

Студенческий билет № 1211

Группа № УП4-1-98/2

Москва, 1999 г.

Задание №1

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

Построить график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

Т.к. функции Q_S(P) и Q_D(P) - линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

,

из этой системы получаем:

,

тогда

,

значит координаты т.M.

Задание №3

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

Задание №4

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение числа:

Решение:

Ответ: Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Исследуйте функцию и постройте ее график:

Решение:

1. Область определения данной функции: .

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :

,

дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции.

На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).

Следовательно - точка максимума заданной функции .

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

,

дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда

Отсюда

, .

На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке производная >0, значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.

На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции .

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Задание №6

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

, ,

Решение:

Пусть - функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции :

, .

Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:

Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого введем обозначения:

, , ,

тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:

Ответ: и достигается при объемах выпуска и .