Розв'язування СЛАР методом квадратних коренів
Опис методу знаходження лінійних рівнянь, в яких матриця симетрична. Способи побудування симетричної матриці. Розв'язування СЛАР методом квадратних коренів. Проміжний та заключний контроль, введенням контрольних і рядкових сум у лінійному рівнянні.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 07.10.2010 |
| Размер файла | 90,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Розв'язування СЛАР методом квадратних коренів
МЕТОД КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ
Цей метод використовується для знаходження розв'язку лінійної системи рівнянь Ах = b, (2) в якій матриця А = (а) симетрична, тобто елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою: а = а (i, j = 1,2, …, n). Відомо, що симетричну матрицю А завжди можна подати у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць
А = ТґТ, (3)
де Т = ; Тґ = .
Якщо тепер перемножити матриці Тґ і Т, а потім прирівняти відповідні елементи матриць у рівності (3), то для знаходження елементів t
(i = 1, 2, …, n; j = i, i+1, …, n) матриці Т дістанемо систему рівнянь
(i = 1, 2, …, n; j = i+1, i+2, …, n; i j).
З цієї системи знаходимо послідовно елементи матриці Т (і Тґ). Маємо
(4)
З рівності (3) випливає, що система (2) рівносильна двом системам рівнянь з трикутними матрицями Тґy = b і Тx = y.
Розв'язавши систему Тґy = b з нижньою трикутною матрицею Тґ, знайдемо
(5)
Розв'язавши потім систему Тx = y з верхньою трикутною матрицею Т, знайдемо шуканий розв'язок системи (2)
(6)
Всі обчислення за формулами (4) - (6) доцільно виконувати за спеціальною схемою (табл. 1), в якій забезпечується проміжний і заключний контролі введенням контрольних і рядкових сум. У методі квадратних коренів, як і в методі Гауса, поряд з системою (2) одночасно розв'язують допоміжну систему
А= s. (7)
Таблиця 1
|
Крок перетворення |
Рядок |
Коефіцієнти при змінних |
Вільний член |
Контроль |
|||||
|
x |
x |
… |
x |
Контрольна сума |
Рядкова сума |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
n+2 |
n+3 |
n+4 |
n+5 |
|
|
1 |
1 |
a |
a |
a |
b |
s |
|||
|
2 |
a |
a |
b |
s |
|||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||
|
n |
a |
b |
s |
||||||
|
2 |
n+1 |
t |
t |
… |
t |
y |
z |
u |
|
|
n+2 |
t |
… |
t |
t |
z |
u |
|||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||
|
2n |
t |
y |
z |
u |
|||||
|
3 |
2n+1 |
1 |
x |
1+ x |
|||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||
|
3n-1 |
1 |
x |
1+ x |
||||||
|
3n |
1 |
x |
1+ x |
Системи (2) і (7) мають однакову матрицю коефіцієнтів А, але різні вільні члени: у системі (2) - це числа b (i = 1, 2, …, n), а в системы (7) - числа
s = (8)
Розв'язки цих систем зв'язані співвідношенням:
(9)
Оскільки система (7) рівносильна двом системам з трикутними матрицями Т?z = s i T = z, то елементи вектора z обчислюють за формулами
z, z, (1 < i n), (10)
а елементи вектора - за формулами
, , (1 < i n). (11)
Поточний контроль здійснюють порівнянням контрольних сум z (стовпець n+4), які обчислюють за формулами
u (і = 1,2,3 …, n). (12)
Якщо обчислення виконано правильно, то суми збігаються, або внаслідок округлення проміжних обчислень відрізняться між собою на 1-2 одиниці нижчого розряду. Всі проміжні обчислення доцільно виконувати з 1-2 запасними цифрами.
Заключний контроль можна здійснити двояко. Або перевірити виконання рівностей (9) або (і) обчислити нев'язки, підставивши знайдений розв'язок у систему (2).
Розрахункова таблиця 1 складається з трьох частин. У першій записано коефіцієнти і вільні члени системи(2), а також обчислені за формулами (8) контрольні суми s (рядкові суми можна не записувати, бо вони збігаються з контрольними); у другій знайдені за формулами(4) коефіцієнти t (i = 1, 2, …, n; j = i+1, і+2, …, n) матриці Т, обчислені за формулами (5) і (10) вектори y i z, а також обчислені за формулами (12) рядкові суми u (i = 1, 2, …, n); у третій - обчислені за формулами (6) і (11) вектори x і . Дві перші частини - це прямий хід, а третя - зворотній .
Завдання
Розв'язати систему лінійних рівнянь методом квадратних коренів з точністю до 0,001.
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
№11
№12
№13
№14
№15
№16
№17
№18
№19
№20
№21
№22
№23
№24
№25
№26
№27
№28
№29
№30 №31
№32
№33
№34
№35
№36
Зразок виконання завдання
Обчислення виконуються по такій схемі:
|
Коефіцієнти при невідомих |
Вільні члени |
|||||
|
x |
x |
x |
||||
|
4,25 -1,48 0,73 |
-1,48 1,73 -1,85 |
0,73 -1,85 1,93 |
1,44 2,73 -0,64 |
4,94 1,13 0,17 |
4,94 1,13 0,17 |
|
|
2,0516 |
-0,7179 1,1021 |
0,3541 -1,4480 0,5405і |
0,6985 2,9323 -6,2141і |
2,3962 2,5862 -5,6731і |
2,3963 2,5864 -5,6736і |
|
|
-2,0200 |
-12,4446 |
-11,4969 |
||||
|
-1,0199 |
-11,4436 |
-10,4960 |
Відповідь. х-2,020; х-12,445; х-11,497.
Подобные документы
Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 06.10.2012
