Динамические характеристики звеньев

Динамические характеристики звеньев

1. Идеальное усилительное (безинерционное) звено

Позиционные звенья - это такие звенья, в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t). Соответственно, переходная функция будет иметь вид

W(s)=k,

где N(s), L(s) - многочлены.

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy(t)=b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==k(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=21(t)

w(t)=2(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=k

W(j)=k (7)

W(j)=U()+jV()

U()=k

V()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A()=2

()=0

L()=20lg2

U()=2

V()=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но безинерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

2. Усилительное звено с запаздыванием

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy(t)=b_og(t-) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y(t)= g(t-)

y(t)=kg(t-) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-)=G(s)e^-s

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s) e^-s

W(s)= ke^-s (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==k(t-) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=21(t-)

w(t)=2(t-)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на =0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=k e^-s

W(j)=k e^-j =k(cos-jsin) (7)

W(j)=U()+jV()

U()=k cos

V()=-ksin

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()= (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lgk

3. Устойчивое апериодическое звено 1-го порядка

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T₁ p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T₁ =0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)=U()+jV()==-j

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctgT₁ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

4. Неустойчивое апериодическое звено 1-го порядка

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ - a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24, a_o=2, b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)=g(t)

T -y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T =0.62

h(t)=2 1(t)

w(t)=3.2e1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

W(j)==j=U()+jV()

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=arctgk - arctg

()=-arctg(-T) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

5. Апериодическое звено 2-го порядка

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂+a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588, a₁=50,4

a_o=120, b_o=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=,T₂²=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T₁>2T₂), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,42

2T₂=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p²+T₁ p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+T₁ sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== , где

T_3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k1(t) =

=k 1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j) ==

U()=

V()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()==..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=...............(9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

6. Колебательное (устойчивое) звено

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂+a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=,T₂²=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p²+2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s)+2T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=

Заменим в этом выражении

,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(2Tj - T²²+1)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg

7. Колебательное (неустойчивое) звено

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂- a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)=g(t)

-T₁ +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=,T₂²=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, - декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p² - 2Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s²Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y(s) - 2T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W(s)=

W(j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j)=

U()=

V()

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A()=W(j)

A()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

()=argW(j)

()=argk - arg(1 - 2Tj - T²²)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L()=20lg A()

L()=20lg