Построение разверток поверхностей

Федеральное агентство по образованию

Сарапульский политехнический институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет»

Кафедра «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты»

В помощь, изучающим дисциплину «Начертательная геометрия. Инженерная графика»

Методические указания

к расчетно-графической работе «Построение разверток поверхностей»

для студентов 1 курса

технологического направления 050500, специальности 151001

Сарапул, 2008

Методические указания предназначены для студентов, изучающих начертательную геометрию и выполняющих расчетно-графическую работу «Построение разверток поверхностей». В методических указаниях изложены основные правила построения разверток таких поверхностей, как: многогранники (пирамиды, призмы), тела вращения (конуса, цилиндры).

Составитель: Русинова Л.П.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры ТММСиИ № 83 от 25 декабря 2008 г.

Сарапульский политехнический институт, 2008г.

Содержание

1. Построение разверток поверхностей. Общие указания

2. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

2.1 Определение натуральной величины элементов поверхностей

2.2 Способ триангуляции. Построение развертки наклонного конуса

2.3 Построение развертки прямых пирамид

2.4 Построение развертки прямого кругового конуса

3. Развертки призматических и цилиндрических поверхностей

3.1 Способ нормального сечения. Построение полной развертки поверхностей треугольной призмы

3.2 Построение развертки боковой поверхности эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения

3.3 Построение развертки призмы правильной формы

3.4 Построение развертки прямого кругового цилиндра

4. Вопросы для самопроверки

Список литературы

1. Построение разверток поверхностей. Общие указания

При изготовлении различных конструкций и изделий из листового материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертывающимся, а полученную в результате развертывания поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры.

Разверткой поверхности тела называется фигура, полученная путем совмещения его поверхности с плоскостью.

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его граней.

Поверхность и ее развертку можно рассматривать как две геометрические фигуры, между точками которых установлено взаимно однозначное соответствие. При развертывании (и свертывании) поверхности непрерывность поверхности не нарушается, не изменяется расстояние между точками поверхности и соответственно длина отрезков линий, углы между пересекающимися линиями в точках их пересечения и величины площадей фигур на поверхностях.

Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым.

В практике возникает необходимость изготовления из листового железа не только развертывающихся плоскостей. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании конических и цилиндрических поверхностей общего вида в практике их аппроксимируют вписанными гранными поверхностями. В этом случае, чем больше граней содержит вписанная поверхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными.

Чтобы построить развертки неразвертывающихся поверхностей, эти поверхности разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.

2. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

2.1 Определение натуральной величины элементов поверхностей

При развертывании поверхности на плоскости каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке: линия поверхности переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизмеренными. Таким образом, процесс построения развертки сводится к отыскиванию натуральной (истинной) величины каждого элемента поверхности и изображению их на плоскости (рис. 1, 2).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Каждая боковая грань на развертке (рис. 3) строится как треугольник по трем сторонам. CS -- самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду по этому ребру.

Для нанесения на развертку точек D, Е и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Sum, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной части пирамиды нужно пристроить к ней треугольники АBС и DEF, дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

2.2 Способ триангуляции. Построение развертки наклонного конуса

На рис. 4 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии Sum. В этой плоскости лежит самая короткая образующая S-6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S-0 является осью симметрии развертки поверхности.

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 3. От оси симметрии S-0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две стороны равны истинным величинам образующих, а третья -- хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления.

Построенные на развертке точки О, 1, 2, ... соединяются. Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом

Рис. 4

2.3 Построение развертки прямых пирамид

Рис. 5

На рис. 5 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующая пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее проецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить сторону AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А, соответственно получим точку В и т. д. Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон, например АВ (рис. 5).

Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М2) проведем

горизонтальную линию до пересечения с ребрами A2S2 и B2S2. Получим точки 11 и 22. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2.

2.4 Построение развертки прямого кругового конуса

Рис. 6

На рис. 6 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса l на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки -- точку S, радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку. Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки M2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку M2. Расстояние от основания конуса до точки M2 по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

3. Развертки призматических и цилиндрических поверхностей

3.1 Способ нормального сечения. Построение полной развертки поверхностей треугольной призмы

Развертки призматических и цилиндрических поверхностей строят способом нормального сечения. Поверхность рассекают плоскостью, перпендикулярной ее образующим (ребрам), и определяют истинную величину нормального сечения. Линию нормального сечения развертывают в прямую. Тогда образующие (ребра) поверхности при развертке ее на плоскость располагаются перпендикулярно развертке линии нормального сечения, которую принимают за базу отсчета размеров образующих (ребер).

Рис.7

На рис. 7 построена полная развертка поверхностей треугольной призмы ABCDEF. Так как боковые ребра призмы BE, AD и CF параллельны плоскости П2, то они в истинную длину изображены на фронтальной плоскости проекций. Плоскость нормального сечения Sum(Sum2) является фронтально проецирующей. Нормальное сечение POR призмы построено в натуральную величину на плоскости П4, параллельной плоскости Sum и перпендикулярной плоскости П2. Линию нормального сечения разворачиваем в прямую и через точки Р, Q, R, и Р проводим прямые, перпендикулярные развертке линии нормального сечения. На каждом из построенных перпендикуляров откладывают по обе стороны от линии Р Р отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости П2 (до нормального сечения и после него). Отмечаем точки ребер на развертке A и D, C и F, B и E соединяем их отрезками прямых, которые

дают истинную величину сторон основания призмы. Присоединяя к развертке боковой поверхности призмы оба основания (треугольники А В С и DEТ), получаем полную развертку призмы. На развертку призмы нанесена точка М, принадлежащая грани призмы ACFD, с помощью вспомогательной

прямой, параллельной ребрам призмы и пересекающей нормальное сечение в точке 1.

3.2 Построение развертки боковой поверхности эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения

Рис. 8

На рис. 8 построена развертка боковой поверхности эллиптического цилиндра, в который для построения развертки вписана двенадцатиугольная призма. Поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии. Самая длинная образующая -- нулевая, самая короткая -- шестая, по ней и сделан разрез поверхности. Развертка -- фигура симметричная относительно нулевой образующей. Истинная величина половины нормального сечения поверхности плоскостью Sum построена на плоскости П4 -- эллипс. Разворачиваем дугу полуэллипса в прямую 0 -- 6с помощью хорд 04--14, ... 54 -- 64, заменяющих кривые участки эллипса. В точках 0, 1, ... 6 на развертке восстанавливаем перпендикуляры, по которым откладываем натуральную длину участков, образующих поверхности (до нормального сечения и после него), измеренную на плоскости П2. Концы отрезков соединяем плавными кривыми, которые являются разверткой оснований поверхности. С помощью седьмой образующей на развертку нанесена точка поверхности.

3.3 Построение развертки призмы правильной формы

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей значительно упрощается, если они представлены простыми прямыми фигурами.

Рис. 9

Для примера на рис. 9 приведена развертка трехгранной призмы правильной формы. Развертки ее строим, воспользовавшись тем, что ребра ее АА, ВВ, СС параллельны фронтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину, а нижнее ABC и верхнее А'В'С' основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и проецируются на нее в натуральную величину. Точка М на развертке трехгранной призмы строится обычным способом.

3.4 Построение развертки прямого кругового цилиндра

Рис 10

На рис. 10 приведен пример построения развертки прямого кругового цилиндра. Ее высота Н на фронтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину, а нижнее и верхнее основания параллельны горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину. В этом случае развертку цилиндрической поверхности строим с помощью хорд, соединяющих соседние точки деления окружности оснований, в который вписан правильный двенадцатиугольник. В этом случае цилиндрическая поверхность условно заменена поверхностью вписанной правильной двенадцатигранной призмы, и развертка цилиндрической поверхности построена способом триангуляции.

Положение точки М на развертке цилиндрической поверхности определяется обычным способом.

4. Вопросы для самопроверки

Что называется разверткой поверхности тела.

Что представляют собой развертки боковых поверхностей: а) прямой призмы; б) прямого кругового цилиндра; в) прямого кругового конуса

В чем заключается способ треугольников и способ нормального сечения.

С чего начинается построение развертки поверхности наклонной четырехугольной пирамиды SABCD

Каким способом строится развертка боковой поверхности эллиптического цилиндра.

Аналогично построению развертки, какой поверхности строится развертка боковой поверхности наклонного конуса.

Список литературы

1. Васильев В.Е., Начертательная геометрия. М.: Высш.шк., 2002

2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А., Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2008

3. Королев Ю.И., Начертательная геометрия: Учебник для вузов. - Спб.: Питер, 2007.

4. Соломонов К.Н., Бусыгина Е.Б., Чиченева О.Н. Начертательная геометрия: Учебник. - М.: МИСИС: ИНФРА-М, 2004.

5. Чекмарев А.А., Начертательная геометрия и черчение: - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002.