Математика в современном мире

Экзаменационные ответы по математике на зимней семестровой сессии БМТК

1 Роль математики в современном мире

Ответ: В педагогических исследованиях прикладная направленность математики, понимается как содержательная и методическая связь курса математики с практикой. Что предполагает формирование умений необходимых для решения средствами математики, практических задач.

2 Прикладная математика, процесс математического моделирования

Ответ: Прикладная математика это наука об оптимальном решении математических задач, возникающих вне математики.

3 Приближенное значение величины, округление по недостатку, по избытку, по правилу

Ответ: человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и вычислений являются числа.

Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой неточностью, характеризуют искомые величины, точные измерения невозможны, введу неточности измерительных приборов, Несовершенство наших органов зрения. Да и сами измерительные объекты, иногда не позволяют определить их величину точно.

Пусть результат измерения или вычисления величины «x», с некоторой точностью равен «a». Тогда «а» называется приближенным значением, или приближением величины «Х».

Причем если, а<x - с недостатком (или приближением снизу)

А если, а>x - с избытком (или приближением сверху)

4 Абсолютная погрешность приближения и ее граница

Ответ: Модуль разности точного и приближенного значения величины называется абсолютной погрешностью приближения.

Любое положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности, называется границей абсолютной погрешности.

5 Относительная погрешность приближения и ее граница

Ответ: Отношение абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения величины, называется относительной погрешностью приближения. Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.

6 Запись числа в стандартном виде

Ответ: В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. В обычном виде их записывать и выполнять над ними какие либо действия неудобно. Стандартным видом числа а называют его запись в виде а*10ⁿ, где 1<a<10 и n- целое число. Число n называется порядком числа а.Например: 125000=1,25*10⁵ ,0,000508=5,08*10^-4

7 Верные и сомнительные цифры, значащие цифры

Ответ: Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле слова, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда в котором записывается цифры m. Цифра m приближенного числа а называемся верной в строгом смысле если граница абсолютной погрешности числа не превосходит половины единица того разряда в котором записана цифра m.

Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно являются ли они верными, называются сомнительными.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры кроме нулей стоящих перед первой цифрой (слева на право), отличной от нуля.

8 Правило сложения и вычитания приближенных значений

Ответ: а) выбрать число, имеющее наименьшее количество десятичных знаков.

b) Другое число округлить на один десятичный знак больше выбранного.

С) Выполнить указанные действия сложения или вычитания.

d) Полученный результат округлить до количества десятичных знаков у числа выбранного в первом пункте

9 Правило умножения и деления приближенных значений

1) Выбрать число, имеющее наименьшее количество значащих чисел.

2) Другое число округлить на одну значащую цифру больше выбранного.

3) Выполнить указанные действия (умножение или деление)

4) Полученный результат округлить до количества значащих чисел у числа, выбранного в первом пункте.

10 Проценты. Нахождение процентов от числа, числа по ее процентам, процентного отношения двух чисел

Ответ:1. Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно это число разделить на 100% и умножить на количество процентов.

2. Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно процентную запись числа представить в виде дроби и данное число умножить на полученную дробь.

3. Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно данную часть числа умножить на сто и разделить на количество данных процентов.

4. Чтобы найти число по количеству его процентов нужно процентную запись числа представить в виде дроби и данную часть числа разделить на полученную дробь.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно первое число разделить на второе и полученный результат выразить в процентах (умножить на100).

11 Решение квадратных уравнений

Ответ: уравнение ax²+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b² -4ac и сравнить его с нулем. Если дискриминант положительный или равен 0, то воспользуемся формулой x=-b+

Если дискриминант отрицательный, то записать что нет корней.

Если b равно

12 Решение квадратных неравенств

Ответ: Для решения неравенств вида ax²+bx+c<0 или больше 0, поступают так: 1) находим дискриминант квадратного трех члена и выясняем имеет ли он корни,

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх (а больше 0) или вниз ( а меньше 0), если корней нет, то параболу изображают в верхней полуплоскости ( а больше 0) или нижней ( а меньше0).

3) Находят на оси х промежутки для которых точки параболы расположены выше оси х (ax²+bx+c>0) или ниже оси х (меньше 0)

13 Числовая функция и способы ее задания

Ответ: Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. Не зависимую переменную х называют аргументом, а у соответствующее числу х называют значением функции.

Чаще всего функция задают с помощью какой-либо формулы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то область определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которой эта формула имеет смысл.

Еще можно задать таблицей, графиком.

14 Свойства числовой функции (четность, нечетность, периодичность)

Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x)

график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция f нечетна, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функцию f называют переодической с периодом Т не равно 0, если для любого х из области определения значение этой функции в точках х, х-Т, х+Т равны f(x)=f(x-T)=f(x+T).

15 График функции, построение

Ответ: Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у=f(х), а х пробегает всю область определения функции f/.

Чтобы построить график нужно составить таблицу значений х и у и отметить их на координатной плоскости, соединить их

16 Смещение графиков вдоль осей ординат

Ответ: y=f(x)+a смещением его вдоль оси оу на а единиц вверх, если a>0 и вниз, если a<0.

17 Растяжение графика вдоль оси оу

Ответ: y=k*f (x) получается из графика функции, растяжением его вдоль оси оу в k раз, если k>1, и сжатие в 1 деленную на k раз, если k>0, но меньне1

18 Сжатие графика вдоль оси ох

Ответ: y=f(kx) получается из Графика функции f(x) сжатием его вдоль оси ох в k раз, если k>1 и растяжением в 1 деленную на k раз, если k>0 но меньше 1.

19 Отражение графика от оси ох

Ответ: График функции y=-f(x), получается из графика функции y=f(x) отражением его симметрично относительно оси х

20 Отражение графика от оси оу

Ответ: График функции y=f(-x), получается из графика функции y=f(x) отражением его симметрично относительно оси оу.

21 Построение графика функции, содержащий знак модуля

Ответ: график функции у=|f(x)| получается из графика у=f(x) отражением от оси ох тех частей графика, где функция принимает отрицательные значения.

График функции y=f(|x|) получается из графика функции у=f(x), получается так: строим график y=f(x) для положительных значений x(x>0) и отражением построенную часть графика симметрично оси оу

22 Обратная функция, теорема об обратной функции

Ответ: Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой

Замечание: Из определения обратной функции сразу следует, что если f обратима, а число «а» принадлежит области значения. Е (f), то уравнение f (x)=а имеет решение и притом только одно.

График функции f и обратной к ней функции «g» симметричны относительно прямой y=x

Если функция g-обратная к функции f, то функция g обратима и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят , что функции f и g взаимно обратны.

ТЕОРЕМА: Если функция f возрастает (или убывает) на промежутки I, то и обратная к f, также является возрастающей (соответственно убывающей)

23 Сложная функция

Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и пишут h(х)=g(f(x)).

24 Cхема исследования функции по графику

Ответ: 1) Области определения и значения

2) Четность или нечетность, переодичность

3) Координаты точек пересечения с осями ох и оу

4) Промежутки знакопостоянства

5) возрастание и убывание

6) Точки экстремума, вид экстремума и вычислить значение в этих точках

7) Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек не входящих в область определения (дополнительные точки).

25 Тригонометрические функции числового аргумента

Ответ: Синусом числа альфа называется ордината точки Р₂ полученный при повороте точки Р₀(1;0), на угол альфа

Косинусом числа называется абциса точки Р₂ , полученная при повороте точки Р₀(1;0) на угол

Тангенсом числа альфа называется отношение ординаты к абцисе точки Р₂, полученной при повороте точки Р₀(1;0), на угол альфа

26 Перевод градусной меры угла в радианную и наоборот

Ответ: Углом в один радиан называю центральный угол, которому соответствует длина дуги равная длине радиуса окружности.

рад=180 градусов

27 Основные тригонометрические тождества

Ответ:

2)

3)

4)

28 Знаки значений тригонометрических функций

Ответ: Sin cos tg*ctg

29 Таблица значений

Ответ:

30 Формулы сложения

Ответ1

31 Формулы двойного аргумента

Ответ:1)

32 Формулы половинного аргумента

Ответ: 1)

33 Формулы приведения

Ответ: Если в формуле содержатся углы при горизонтальном диаметре () то наименование функции не меняется. Если в формуле содержатся при вертикальном диаметре ( ) в наименовании функции меняется на сходный. Знак выражения, стоящий в первой части определяется по знаку выражения влевой части.

34 Формулы синусов и разности синусов (косинусов)

Ответ:1)

35 График функции у=sinx и его свойства

Ответ: Свойства графика у=sinx

1) D(sin)=(-;+)

2) нечетная функция (sin(-x)), переодическая (Т=)

3)

4)

5) возврастает при х

Убывает при х

6)

7) синусойда

36 График функции y=cosx и его свойства

Ответ: 1)

2) четная функция

3)

5) возврастает при

Убывает при

6)

7) синусоида

37 График функции y=tgx и его свойства

Ответ: 1)

2)

3)

4)

5) возрастает

убывает

6)

7)

38 График функции y=ctgx и его свойства

Ответ: : 1)

2)

3)

4)

5) возрастает

убывает

6)

7)

39 Функция y=arcsinx, ее график, свойства

Ответ: ст.62, спосить

40 Функция y=arccosx, ее график, свойства

Ответ:

41 Функция y=arctgx, ее график, свойства

Ответ:

42 Функция y=arcctgx, ее график, свойства

Ответ:

43 Решение уравнений sinx=a, частные случаи

Ответ: Уравнение sinx=a называют простейшим тригонометрическим уравнением

Sinx=a₁ |a|1 (-1a1)

X=(-1)ⁿ*arcsine+n, nz

Частные случаи:

1) sinx=0x=n; nz

2) sinx=1, x=n, nz

3) sinx=-1, x=-1, x=-n, nz

44 Решение уравнений cosx=a, частнае случаи

Ответ: : Уравнение cosx=a называют простейшим тригонометрическим уравнением.

Cosx=a, |a|1

x=arccosa+n, nz

Частнае случаи:

1. cosx=0,-x=n, nz

2. cosx=1, x=n, nz

3. cosx=1, x=n, nz

45 Решение уравнений tgx=a, ctg=a

Ответ: x=arctga+n, nz

x=arcctga+n, nz

46 Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным

Ответ:

47 Решение простейших тригонометрических неравенств

Ответ:

48 Стереометрия. Основные понятия, обозначения

Ответ: Стереометрия - раздел геометрии, в которой изучают свойства фигур в пространстве.

49 Аксиомы стереометрии

Ответ: А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.