1. Кривые на плоскости

1.1 Понятие кривой

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В различных областях науки кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством, как все непрямые и не ломаные линии и т.д.

В начертательной геометрии кривую линию рассматривают либо как закономерную или случайную траекторию точки, которая движется с изменением направления, либо как составной элемент - линию пересечения двух поверхностей (рис. 1,). На рис. 1 показана кривая как результат пересечения плоскости с цилиндрической поверхностью. Безусловно, эта кривая плоская.

рис 1.

Проекции незакономерной кривой строятся по проекциям дискретного (прерывистого) ряда ее точек. Кривая может иметь одну ветвь. Чертеж такой кривой будет вполне обратимым при наличии двух проекций.

Если же у пространственной кривой случайного вида две или более ветвей, то для обратимости чертежа задают проекции одной или более точек на кривой. Число точек зависит от числа ветвей - оно равно числу ветвей минус один. Эти точки устанавливают проекционную связь между проекциями ветвей кривой. Если закон перемещения точки может быть выражен аналитически в виде уравнения, то образующаяся при этом линия называется закономерной, в противном случае - незакономерной, или графической.

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного tTR , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-вектором.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) - действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения TR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).

Введём теперь термин «кривой». Его строгое определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R³ задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом {i, j, k}.

Определение 2. Множество ГR³ точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t = t₀ [a, b] параметра значения x(t₀), y(t₀), z(t₀) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r R³ : r = r(t), t[a, b] },

Г = {(x; y; z) R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t[a, b] }

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в пространстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t(a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z) R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) R² : x = x(t), y = y(t), t[a, b] }.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) R² : x = x, y = f(x), x[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответственно.

1.2 Кривизна плоской кривой

Длина дуги и её производная.

Дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M₀M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

Возьмём на кривой АВ точки M₀, M₁, M₂, … , M_i-1, M_i…, M_n-1, M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M, вписанную в дугу M₀ M. Обозначим длину этой ломаной линии через P_n.

Длиной дуги M₀M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной M_i-1 M_i , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M₀(x₀, y₀)- некоторая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину

дуги M₀M (рис.3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение x. Тогда дуга s получит приращение s = дл. MM₁. Пусть - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти , поступим следующим образом:

Из MM₁Q находим = (x)² +(y)². Умножим и разделим левую часть наs²:



Разделим все члены равенства на x²:

Найдём предел левой и правой частей при x0. Учитывая, что и , получим

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

или

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид: .

Кривизна

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через угол, образованный этими касательными, или - точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4 рис. 5

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4. Средней кривизной К_ср дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А₁В_{1 ,} хотя длины этих дуг равны между собой.

Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение 5. Кривизной К_а линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

1.3 Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M₁ с абсциссами x и x+x и обозначим через и + углы наклона этих касательных

(рис.6).

Длину дуги M₀M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M₀, обозначим через s; тогда s = M₀M₁ - M₀M, аs = MM_1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге MM₁ равен абсолютной величине разности углов и +, то есть равен .

Согласно определению средней кривизны кривой на участке MM₁ имеем

.

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги MM₁ стремится к нулю:

Так как величины и s зависят от x, то, следовательно, можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:

.

Чтобы выразить производную через функцию y=f(x), заметим, что и, следовательно .

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем

.

И так как , то

, и окончательно, так как , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

1.4 Радиус и круг кривизны

Определение 6. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. рис. 8

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты и центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(, ) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению . рис. 9

Далее, точка C(, ) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим , :

и так как , то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y^!!>0 и y^!!<0. Если y^!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, >y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае y^!!= y^!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

(1)

Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y^!!<0.

2. Алгебраические и трансцендентные кривые

Закономерные кривые линии делятся на алгебраические, определяемые алгебраическими уравнениями (эллипс, парабола, гипербола и др.), и трансцендентные, определяемые трансцендентными уравнениями (синусоида, циклоида, спираль Архимеда и др.).

Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение

f (xy)=0. Функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных х и у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.

Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п- й степени, называется алгебраической кривой п-го порядка.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п-го порядка не более чем в п точках.

Важной характеристикой алгебраической кривой является ее порядок (трансцендентные кривые порядка не имеют). С алгебраической точки зрения порядок кривой линии равен степени ее уравнения, с геометрической - наибольшему числу точек пересечения кривой с прямой линией для плоских кривых и с произвольной плоскостью для пространственных. В число точек пересечения включаются как действительные точки, так и совпавшие и мнимые. Например, эллипс - кривая второго порядка, имеет уравнение x²/a² + y²/b² = 1 второй степени, пересекается с прямой максимум в двух точках.
Прямую линию, имеющую уравнение первой степени ax + by + c = 0 (с произвольной прямой пересекается в одной точке), можно рассматривать как линию первого порядка. Кривыми второго порядка являются также окружность, парабола, гипербола. Примерами кривых третьего порядка могут служить строфоида, Декартов лист, циссоида; четвертого - лемниската Бернулли, кардиоида, улитка Паскаля .

Геометрия изучает кривые линии и различные операции с ними по их проекциям на комплексном чертеже. Построение проекций кривой линии сводится к построению проекций ряда ее точек. В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями. Кривая линия определяется двумя своими проекциями.

Например, (рис.10) циклоида - траектория движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности.

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными.

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

рис 10.

Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п. 

Синусоида - трансцендентная плоская кривая линия (рис.11), получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

Синусоида - график функции у=sin x, непрерывная кривая линия с периодом Т=2п.

рис 11.

Наряду с этим у трансцендентных кривых могут быть характерные точки, которых не существует у алгебраических кривых: точки прекращения, угловые точки (точки излома), асимптотические точки. Простейшими примерами трансцендентных кривых служат графики функций логарифмической, показательной тригонометрической, а также все спирали, циклоиды и т.п.

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае, как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

Особый интерес представляют окружность и цилиндрическая винтовая линии, каждая из которых является эталоном соответственно плоских и пространственных кривых линий.

Различны и способы задания кривых:

- Аналитический - кривая задана математическим уравнением;

- Графический - кривая задана визуально на носителе графической информации;

- Табличный - кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.

3. Класс алгебраической кривой

3.1 Парабола

Парабола - кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.12). При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М(xy) плоскости, расстояние FM которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию MN до определенной прямой АN - директрисы параболы;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид 

y²=2px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

рис 12.

3.2 Гипербола

Гипербола - множество точек М плоскости (рис.13) разность (по абсолютной величине) расстояний F₁M и F₂M, которых до двух определенных точек F₁ и F₂ этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна:

F₁M - F₂M=2а<2с

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния) называется центром гиперболы;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический 

х²/а² - у²/в²=1, в²=с² - а²,

где а и в длинны полуосей гиперболы.

рис 13.

3.3 Эллипс

Эллипс - множество точек М плоскости (рис.14), сумма расстояний МF₁ и МF₂ которых до двух определенных точек F₁ и F₂ (фокусов эллипса) постоянна

МF₁+МF₂=2а.

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния)называется центром эллипса;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид

х²/а²+у²/в²=1, 

где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F₁ и F₂ совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.



рис 14.

Рассмотренные плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений.

У некоторых плоских кривых линий расстояния точек их от двух или нескольких постоянных точек плоскости находятся в определенной для каждой кривой зависимости; такие постоянные точки называются фокусами кривой линии.

4. Преобразования кривых

1. Прикосновения преобразования, касательные, или контактные, преобразования, преобразования кривых на плоскости, при которых две касающиеся друг друга кривые преобразуются в две другие кривые, также касающиеся друг друга. П. п. определяются формулами:

X = f (х, у, у'); Y = ? (х, у, у'), (*)

где х, у -- координаты переменной точки кривой, a X, Y -- координаты переменной точки её образа. Для того чтобы формула (*) определяла П. п., Y' = dY/dX должно быть независимо от у'' = d²y/dx². Примером П. п. могут служить точечные преобразования, определяемые формулами: X = f (x, y); Y = ?(x, y), а также Лежандра преобразование.

П. п. применяются в теории дифференциальных уравнений и в дифференциальной геометрии.

2. Лежандра преобразование, частный случай прикосновения преобразований; имеет вид:

Х = у'(х), Y(X) = xy'(x) -- y(x), Y'(X) = x.

Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y'(X), y(x) = XY'(X)-Y(X), у'(х)=Х.

3. Контактное преобразование, преобразование кривых на плоскости (или поверхностей в пространстве), при котором касающиеся кривые (или поверхности) преобразуются в касающиеся же кривые (или поверхности).

5. Кривые 3-го порядка и кривые 4-го порядка

5.1 Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь:

	(2)

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 - искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 15)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = - а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту

у = -- х -- а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 15

2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t₁ , t₂ и t₃ параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t₁ , t₂ и t₃ параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M₁(t₁ ), M₂(t₂), М₃ (t₃) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M₁ (t₁) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t₂=t₁, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T₁. Условие (4) примет вид t₁² T₁= -1. Для касательных в точках М₂ и M₃ получим аналогичные соотношения t₂² T₂ = -1 и t₃² T₃ = -1. Перемножая эти три равенства, будем иметь

(t₁t₂t₃)²T₁T₂T₃ = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T₁T₂T₃ = -1, т. е. точки N₁(T₁), N₂(T₂) и N₃(T₃) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

5.2 Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды--кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 16).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Рис. 16

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс, имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс.

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ВСЕ= ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, NBE-- равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотношениях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины.

5.3.Кардиоида

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представлять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник AOO₁M будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру t. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) у через sin t. Сокращая полученное таким образом равенство на sin t, получим полярное уравнение кардиоиды



Рис. 17

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Паскаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпициклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмотренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль -- через точку их касания.

2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле

(4)

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпициклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициентом подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

(5)

Если длину дуги отсчитывать от точки А₁, диаметрально противоположной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

(6)

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

(7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

5.4 Астроида

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с модулем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические уравнения астроиды можно получить, полагая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:



Рис. 18

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 18)

Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:

(2)

Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду

(3)

Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляемый вид уравнения астроиды

(4)

Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклоидальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соотношения для астроиды:

1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды определяется по формуле

(5)

2) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле

(6)

длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R;

3) для получения натурального уравнения астроиды заметим предварительно, что если началом отсчета длины дуги полагать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = , то длина дуги определится формулой

(6)

исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды

4) эволюта астроиды есть также астроида, подобная данной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол /4 (рис.11)

5) площадь, ограниченная всей астроидой, равна объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105 R³

поверхность тела, образованного вращением астроиды, равна

6. Трансцендентные кривые

Большой интересный класс составляют трансцендентные кривые. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие кривые:

= Квадратриса. Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: . Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.

= Трактриса, кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:

.

= Цепная линия, кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах:

у = a = а (e^x/a + е^-х/a)/2.

= Циклоида (от греч. kykloeides -- кругообразный), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду, если она лежит внутри круга (r > а), -- укороченную циклоиду, если точка вне круга (r < а), -- удлинённую циклоиду. Две последние называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:

, .

Среди трансцендентных кривых особый класс составляют спирали (от греч. spйira, буквально -- витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали ? = f(?) таково, что f(? + 2?) > f(?) или f(? + 2?) < f(?) при всех ?. Из спиралей наиболее известны:

= Архимедова спираль, кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: ? = a?, где а -- постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

= Гиперболическая спираль, кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение

7. Эволюта и эвольвента

Если в точке M₁(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C₁(, ) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 7. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L₁ , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты и . Если же кривая задана параметрически x = (t), y = (t), то уравнения (2) дают параметрические уравнения эволюты.

Свойства эволюты

Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен . В силу уравнений (1)

, (3)

(4)

Получаем соотношение

.

Но y^! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M₁M₂ кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство.

Так как , где ds - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим

. (4)

Так как , то .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на , получим

.

Возведём в квадрат полученное равенство:

(5),

и сравнивая равенства (4), (5) находим

, откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости

Рис.18

, а.

Следовательно,

Пусть точка M₁ имеет абсциссу x₁, а M₂ - абсциссу x₂.

Применим теорему Коши к функциям s(x) и R(x) на отрезке [x_1, x₂]:

Где - число, заключённое между x₁ и x₂ .

Введём обозначения (рис. ): S(x₂) = s₂, s(x₁)= s₁, R(x₂)=R₂, R(x₁)=R₁

Тогда . Но это значит, что . Теорема доказана.

Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L.



(рис.19).

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L^! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L^!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L^!. Отсюда следует, что данная эволюта L^! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

Заключение

В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.

В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O₁ и O₂ (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ₁ и КМ₂ к эвольвентам Э₁ и Э₂ будут лежать на отрезке М₁М₂ общей касательной к окружностям радиусов R₁ и R₂ соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М₁М₂ (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М₁М₂.

Если угловая скорость ₂ ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость ₂R₂ движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость ₁ =₂R₂/R₁ ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацепление обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения ₁/₂ = R₂/R₁ зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O₁O₂, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное зацепление предложено математиком Л. Эилером.

Список использованной литературы

1.Бермант А. Ф., И. Г. Араманович, Краткий курс математического анализа, «Наука», 1966.

2.Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1973.

3.Демидович Б. П., Задачи и упражнения по математическому анализу, «Интеграл - пресс», 1997.

4.Иванова Е. Е, Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.

5.Ильин В. А., Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. 1, «Наука», 1982.

6. Пискунов Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, «Наука», 1985.

7. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. - М.; Высшая школа, 1974.

8. Савелов А.А. Плоские кривые: Справочное руководство. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

9. Сенигов Н. П. Гусятникова Т. В. Методика решения задач по начертательной геометрии. - Челябинск: 1983.

10. Фролов С. А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1983.