Обобщенный метод решения задач

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ РАСЧЁТНЫХ ЗАДАЧ

1. Расчетные задачи

Особое место в системе учебных задач занимают расчётные задачи, которые требуют как качественного анализа объектов, так и их количественного описания и преобразования (в методике преподавания математики их часто называют сюжетными или текстовыми).

Расчётные задачи -- самый распространённый вид задач в предметах естественнонаучного цикла. При их решении устанавливаются и анализируются функциональные зависимости между величинами, которые наиболее точно выражают взаимную связь и ресурсов для развития учащегося, планирует причинность явлений окружающего мира. Такие задачи широко используются в процессе обучения, в различного рода проверках (контрольные и экзаменационные работы в школе, вступительные экзамены в вузы и т. д.). Это придаёт умению решать расчётные задачи особую значимость.

За время обучения в школе учащиеся согласно некоторым исследованиям решают около пятнадцати тысяч различных задач, но многие из них так и не приобретают необходимых для этого умений. При традиционном обучении в процессе решения расчётных задач учащиеся испытывают определённые трудности.

Во-первых, учащиеся часто не умеют анализировать объект, представленный условием задачи, выделять связи и отношения между элементами объекта. Поэтому у них возникает неадекватное представление об объекте задачи, они не видят существенные характеристики объекта как целого, его внутренние и внешние отношения, через которые и можно выстроить цепочку связей и, соответственно, цепочку расчётов от данных величин к искомым. Неумение найти правильное решение расчётной задачи становится индикатором непонимания тех связей, отношений и взаимодействий, которые составляют количественно-качественную сущность объектов.

Во-вторых, трудности связаны с неумением определять тип математической модели, адекватной описываемой в условии задачи ситуации, и составлять такую модель. При этом решение расчётных задач превращается в подбор формул и подстановку в них значений имеющихся величин.

Причины этих трудностей кроются в следующем. Обучая школьников решать расчётные задачи, учителя обычно демонстрируют образцы решения на примере конкретных задач, а процессы осознания учащимися способа решения задач и его обобщение протекают без воздействия со стороны педагога. При объяснении задачи учителем остаётся скрытым способ поиска решения, а зачастую бывает неясна и необходимость самих рассуждений, так как объяснение сводится к показу готового результата. Методисты советуют учителям добиваться, чтобы учащиеся тщательно обдумывали задачу, анализировали её, однако содержание этих умственных действий не раскрывается. Иногда для такого анализа рекомендуют отдельные приёмы, однако эти указания обычно настолько неопределённы, что ни к каким действиям не ведут и остаются безрезультатными. Таким образом, у сильных учащихся процесс осознания способа решения происходит стихийно и даже в удачных случаях остаётся интуитивным и необобщённым. Слабые учащиеся воспроизводят образец деятельности учителя, не осознавая способ решения. При изменении сюжета задачи тем более условий, которое ведёт к нарушению порядка действий по сравнению с образцом, школьники часто не способны ре шить задачу.

И наконец, в-третьих, трудности при решении расчётных задач обусловлены неумением учащихся преобразовывать составленную модель средствами математики с целью получения результата (ответа). Итак, в качестве основных причин неумения школьников решать расчётные задачи при традиционном обучении можно назвать недооценку роли и отсутствие содержательного описания деятельности по анализу условий задачи, отсутствие системы ориентиров для проведения мотивированного поиска её решения, доминирование в процессе обучения демонстраций практического решения конкретных задач в ущерб формированию у школьников обобщённой деятельности по их решению.

Очевидные недостатки традиционного школьного обучения побудили нас к разработке методики формирования обобщённого умения учащихся решать расчётные задачи. Полагая, что для решения проблемы формирования умений решать учебные расчётные задач необходим подход, позволяющий раскрыть системное основание самой задачи, её структуру, мы применили принципы системного анализа к рассмотрению структурных особенностей отдельных видов задач, соотнесли между собой структуру задачи и способ сё решения и обнаружили, что именно структура задачи определяет выбор адекватного способа решения.

* выявить системную организацию учебной задачи и описать её структуру;

составить классификацию учебных расчётных задач по типам их структур;

разработать обобщённый метод решения расчётных задач -- выявить содержание, структуру и средства деятельности по решению задач при системном типе ориентировки;

предложить методику формирования ориентировочной основы умения решать расчётные задачи с помощью обобщённого метода.

2. СИСТЕМНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ РАСЧЁТНОЙ ЗАДАЧИ

Разработка программы обучения, предметом усвоения которой выступает обобщённый метод решения учебных расчётных задач на основе системного анализа их условий, потребовала специальной работы по системному анализу такого объекта, как учебная задача. Была проанализирована системная организация учебной задачи, выделены её структура и целостные свойства.

Системный анализ задачи предполагает выделение уровней строения исследуемой системы (задачной ситуации) и подсистем каждого уровня, элементов и системообразующих связей на каждом уровне, межуровневых связей. В качестве элементов в структуре задачи мы выделяем объекты и их параметры, описываемые в условии. В таком случае отношения между объектами и между их параметрами выступают как связи между элементами системы. Рассмотрим подробнее элементы, связи между ними и свойства тех и других в структуре учебной задачи.

Объекты, выделяемые в качестве элементов задачи, могут иметь различную форму организации -- задаваться в целостных характеристиках в виде нерасчленённой целостности (в условии описывается один объект) либо иметь сложное строение (в условии описывается структура объекта или несколько объектов, образующих более сложную систему). Так, в химических задачах объектом могут быть частица вещества, вещество, смесь веществ, химический процесс. Параметры объектов как элементы задачи характеризуются следующими свойствами:

известностью значений. Значения параметров объектов могут быть известными (они, в свою очередь, подразделяются на заданные условием задачи и справочные данные) и неизвестными (искомые значения и значения, не являющиеся требованием задачи);

достаточностью известных значений для поэтапного расчёта искомых (их, соответственно, может быть достаточно и недостаточно).

В химических задачах параметрами выступают физические величины, значения которых количественно описывают свойства химических объектов.

Системообразующими связями, определяющими структуру учебной задачи, являются отношения между объектами, которые в случае расчетной задачи выражаются в виде отношений между параметрами объектов. Эти отношения мы делим по типу связываемых параметров на однородные (связи между значениями одного и того же параметра, описывающими разные объекты), разнородные (связи между качественно различными параметрами, характеризующими один объект) и однородно-разнородные (комбинированные). Так, закон сохранения массы веществ в химической реакции (масса реагентов равна массе продуктов) будем считать однородным отношением, отношение между массой, объёмом и плотностью какого-либо вещества (р = m/V) -- разнородным, а отношение между молярной массой смеси, молярными массами компонентов смеси и их мольными долями однородно-разнородным. В химии, физике, математике эти отношения записывают в виде формул.

Отношения между параметрами объектов могут быть также классифицированы по их известности на известные и неизвестные. Кроме того, отношения подразделяют на общие для всех систем данной предметной области и специфические (могут быть как известными, так и искомыми). Так, отношение % между массовой долей элемента в соединении, относительной атомной массой элемента, относительной молекулярной массой вещества и числом атомов элемента в молекуле является справедливым для любых соединений, а отношение между числом атомов элементов в составе соединения специфично. Системная организация расчётной задачи наглядно представлена в табл. 1.

Таким образом, в каждой задаче особенности объектов, параметров объектов и отношений между ними задают свой вариант структуры задачи, которая, в свою очередь, определяет целостные свойства задачи -- тип структуры, возможность нахождения искомых величин, способ решения. Следует отметить, что предметный материал учебных задач влияет на их инвариантную структуру, поскольку форма организации, структура, свойства объектов, их параметров и связей могут различаться для задач, относящихся к разным областям знания. Однако независимо от предметной принадлежности учебных задач особенности их объектов, параметров объектов, отношений и их свойств будут определять структуру задач и способы их решения.

3. КЛАССИФИКАЦИЯ УЧЕБНЫХ РАСЧЁТНЫХ ЗАДАЧ ПО ТИПАМ ИХ СТРУКТУР

Выявлены варианты структур расчётных задач и составлена их классификация, фактически являющаяся классификацией расчётных химических задач по типу структуры, а также выделены способы, которые используются для составления математического описания при решении задач школьного уровня с разным типом структуры: поэтапный расчёт, произвольное присвоение значений, введение переменных и последовательный перебор [5, 6]. В основу классификации учебных задач были положены их структурные особенности, такие, как свойства объектов, свойства параметров объектов и отношений между ними. Для расчётных задач школьного уровня основаниями классификации выступают форма организации объекта, число известных однородных отношений между параметрами объекта, достаточность известных значений параметров для прямого расчёта искомых величин и характер искомого (вид отношения между параметрами).

Классификации расчётных химических задач -- форма организации объекта - делит задачи на две группы,- те, в которых объект задаётся в целостных характеристиках (без рассмотрения структуры), и те, в которых выделяется структура (состав) объекта.

Следующий критерий -- число известных отношений между однородными параметрами (физическими величинами). Для задач, содержащих описание структуры или состава объекта, возможны два варианта: а) известно одно отношение между однородными параметрами,- б) известно два (или более) таких отношения. Очевидно, что в случае рассмотрения объектов без выделения структуры отношений между однородными параметрами не существует.

Встречаются задачи, в условиях которых недостаточно известных значений физических величин для поэтапного арифметического расчёта искомых. Такие задачи либо принципиально нерешаемы, либо могут иметь решение при использовании специальных способов (внесение количественных ограничений, составление уравнения, систем уравнений, неравенств и т. д.). В некоторых случаях для определения возможности решения задачи важен характер искомого -- является оно отношением, содержащим разнородные величины, или нет.

Итак, с учётом всех критериев нами выделено всего семь типов расчетных химических задач (в рамках школьного курса) (табл. 2).

Тип 1. Объект задаётся в целостных характеристиках, отношений между однородными параметрами нет, известных значений физических величин достаточно для поэтапного расчета искомых. Задача решается методом поэтапного расчёта.

Тип 2. Объект задаётся в целостных характеристиках, отношений между однородными параметрами нет, известных значений физических величин недостаточно для поэтапного расчёта искомых. Задача не может быть решена.

Тип 3- Выделяется структура объекта, известно одно отношение между однородными параметрами, известных значений физических величин достаточно для поэтапного расчёта искомых. Задача решается методом поэтапного расчёта.

Тип 4- Выделяется структура объекта, известно одно отношение между однородными параметрами, известных значений физических величин недостаточно для поэтапного расчёта искомых, причём в качестве искомого выступает отношение, содержащее разнородные величины. Задача не может быть решена.

Тип 5. Выделяется структура объекта, известно одно отношение между однородными параметрами, известных значений физических величин недостаточно для поэтапного расчёта искомых, а в качестве искомого выступает отношение между однородными величинами. Возможность решения задачи зависит от её частных особенностей. Возможные способы решения задачи: поэтапный расчёт, произвольное присвоение значений, введение переменных, последовательный перебор.

Тип 6. Выделяется структура объекта, известны два (или более) отношения между однородными параметрами, известных значений физических величин достаточно для поэтапного расчёта искомых. Задача решается методом поэтапного расчёта.

Тип 7. Выделяется структура объекта, известны два (или более) отношения между однородными параметрами, известных значений физических величин недостаточно для поэтапного расчёта искомых. В таком случае возможность решения задачи зависит от её частных особенностей. Возможные способы решения задачи: поэтапный расчёт, произвольное присвоение значений, введение переменных, последовательный перебор.

По результатам представленной классификации был проведен анализ задач из различных учебников и задачников. Было обнаружено, что подавляющее большинство расчётных задач в задачниках школьного уровня - это задачи типов 1, 3 и 6, т. е. задачи, решаемые способом поэтапного расчёта. Задачи, не имеющие решения (типы 2 и 4), вообще не предлагаются в сборниках. Задачи же типов 5 и 7, решаемые способами произвольного присвоения значений, введения переменных и последовательного перебора, встречаются в задачниках школьного уровня редко, зато именно они (особенно типа 7) наиболее широко представлены в олимпиадных задачниках и пособиях для абитуриентов. Такие задачи традиционно считают задачами повышенной трудности и обычно предлагают при углублённом изучении химии, что делает разработку модели их решения наиболее актуальной.

4. СПОСОБЫ СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЗАДАННОЙ СИТУАЦИИ

Важнейшим компонентом деятельности по решению расчётных задач является деятельность создания математического описания заданной ситуации.

Для составления математического описания заданной ситуации в задачах с разным типом структуры можно использовать способы поэтапного расчёта, произвольного присвоения значений, введения переменных и последовательного перебора. Два из них (поэтапный расчёт и введение переменных) не имеют ограничений, т. е. могут использоваться всегда, а остальные два (произвольное присвоение значений и последовательный перебор) -- только при соблюдении определённых условий. Рассмотрим характер действий, соответствующий этим способам, и условия их применения.

4.1 Поэтапный расчёт

Условия применения. Применим при решении любой задачи.

Описание действий. Поэтапно произвести арифметический расчёт неизвестных значений величин по известным значениям других величин, связанных с первыми однородными или разнородными отношениями.

4.2 Произвольное присвоение значений

Условия применения. Способ может быть использован в том случае, если в условии не указаны значения величин, описывающих меру веществ(а) и имеющих размерность, а также если в отношениях между такими величинами, выраженных в виде суммы или разности, отсутствуют какие-либо числовые значения.

Если в задаче описаны объекты, имеющие между собой какие-либо отношения, способ можно применить при решении задачи один раз. Если же объекты не имеют между собой никаких отношений, способ можно применить один раз к каждому такому объекту.

Описание действий. Одной величине, характеризующей меру веществ(а) и имеющей размерность, присвоить произвольное, удобное для дальнейших расчётов значение.

4.3 Введение переменных

Условия применения. Применим при решении любой задачи.

Описание действий. Одно из значений физических величин обозначить буквой х (удобнее выбирать такие значения физических величин, которые связаны однородными отношениями). Выразить остальные величины через х. Далее:

а) для задач с 5-м типом структуры составить искомое однородное соотношение и сократить х;

б) для задач с 7-м типом структуры составить уравнение, выразив одну и ту же физическую величину двумя способами.

Если уравнение получается громоздким или его составить невозможно, ввести другие переменные (у, z и т. д.) и составить систему уравнений.

Если число уравнений:

а) больше или равно числу переменных, решить систему;

б) меньше числа переменных, попробовать выразить с помощью переменных искомую величину (в некоторых случаях при
невозможности вычислить значения переменных можно рассчитать их комбинацию, равную искомой величине).

Если отношения между физическими величинами выражаются в виде зависимостей, содержащих знаки «>», «<», «>», «<», составить неравенства или их систему и найти значение или диапазон значений искомых величин.

4.4 Последовательный перебор

Условия применения. Способ может быть использован в том случае, если в результате введения переменных получено одно уравнение или неравенство с двумя переменными такими, что одна принимает дискретные значения, а другая имеет ограниченную какими-либо условиями область допустимых значений.

Описание действий. Выразить величину, имеющую ограниченную область допустимых значений (первую) через величину, принимающую дискретные значения (вторую). Последовательно перебирать значения второй величины, рассчитывать соответствующие ей значения первой величины и проверять эти значения на предмет попадания в область допустимых значений. Если необходимо найти один ответ, перебор завершается после нахождения первой комбинации переменных, удовлетворяющей всем обозначенным критериям.

Последовательность использования данных способов составления математического описания задачной ситуации для расчётных задач с разным типом структуры можно представить в виде схемы.

Надо заметить, что в данной схеме, описывающей последовательность определения способов решения расчётной задачи, опущены некоторые детали. Так, способ введения переменных по-разному реализуется для задач с 5-м и 7-м типом структуры, что, соответственно, требует предварительного распознавания типа структуры и выполнения после этого различных действий.

5. ФОРМИРОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВОЧНОЙ ОСНОВЫ УМЕНИЯ РЕШАТЬ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННОГО МЕТОДА

На основе разработанного метода нами составлена программа деятельности для учащегося, включающая пять стадий: исследовательскую, планирования исполнительную, контрольно-оценочную и коррекционную.

Прохождение четырёх из них -- исследовательской, планирования, контрольно-оценочной и коррекционной -- обеспечивает формирование ориентировочной основы деятельности по решению расчётных задач.

На стадии исследования учащийся, выполняя программу, основанную на методе системного анализа и направляющую познавательное движение по объекту, открывает содержание предмета: выделяет из текста объекты анализа, их параметры, отношения между ними - и определяет особенности структуры задачи, тем самым строя предметное содержание образа и деятельности по его производству.

Учитывая, что предметное содержание образа должно ориентировать субъекта при решении задачи, следующей выступает стадия планирования, на которой учащийся разрабатывает план последовательного преобразования условий с целью поиска искомых значений характеристик объектов и отношений между ними. Такое планирование позволяет сделать вывод о принципиальной возможности решить задачу, определить её тип, выбрать способ (способы) решения, составить план этого решения и математическое описание задачной ситуации.

На исполнительной стадии производятся вычисления, обеспечивающие нахождение ответа по составленному описанию с помощью математических методов.

Следующая стадия формирования функциональной структуры ориентировочной основы умения -- контрольно-оценочная. Определяя соответствие продукта реализованного плана эталону, ученик оценивает решение. При наличии отклонений от нормативного образца анализирует ход решения с целью установления неправильно выполненной или пропущенной операции и на стадии коррекции устраняет допущенную ошибку.

Таким образом, в процессе ориентировочной деятельности происходит постадийное формирование исследовательской, планирующей, контрольно-оценочной и регуляторной функции и предметного содержания ориентировочной основы умения решать учебные задачи.

Для формирования ориентировочной основы умения решать задачи необходимо организовать не только построение её предметного содержания и функциональной структуры, но и интериоризацию ориентировочной деятельности -- её поэтапный перевод из внешней формы во внутреннюю. Такое изменение обеспечивается за счёт многократной организации деятельности решения сначала во внешнеречевой форме с опорой на учебную карту (схему ООД), затем в форме внутренней речи и в последнюю очередь -- без всякой опоры в умственной форме. Постадийное формирование предметного содержания и функциональной структуры ориентировочной деятельности и её интериоризация завершаются образованием ориентировочной основы деятельности как внутреннего регулятора сформированного умения.

Таким образом, в результате формирования ориентировочной основы умения решать расчётные задачи предложенным методом учащийся может выделить существенные (в рамках рассматриваемой ситуации) отношения в задаче, определить разновидность системы по типу структуры и выбрать чёткую последовательность действий для составления математического описания задачи с выделенным типом структуры для расчётных задач из разных учебных предметов. Использование обобщённого метода позволяет школьникам избежать трудностей при выборе объектов, установлении различных отношений в задаче и их адекватном математическом описании.

В результате у учащихся формируется ориентировочная основа деятельности системного анализа и решения учебных расчётных задач, развивается теоретическое мышление с системным типом ориентировки, повышается мотивация к изучению учебного предмета.

ЛИТЕРАТУРА

Решетова З.А. Системный подход и системный стиль научного мышления в современной науке // Формирование системного мышления в обучении. -- М., 2002. - С. 58-87.

Гальперин П.Я. Лекции по психологии. -- М., 2005.

Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. -- М., 1998.

Дерябина Н.Е. Виды системообразующих связей в химических системах // Химия в школе. -- 2007. -- № 4. -- С. 11-13.

Дерябина Н.Е. Системный подход к решению учебных расчётных задач (на материале школьного курса химии): Дисс.... канд. пед. наук. -- М., 1998.

6. Дерябина Н.Е., Решетова З.А. Новый подход к классификации и решению учебных расчётных задач.