Непрямий метод найменших квадратів оцінки параметрів системи двох регресій

1

Непрямий метод найменших квадратів оцінки параметрів системи двох регресій

Наведемо загальний вигляд системи одночасних рівнянь. Нехай - ендогенні змінні, - екзогенні змінні. Введемо блочні матриці В і Г виду:

; .

Тоді загальний вигляд системи одночасних рівнянь в матричній формі буде виглядати як

,

де ; ; .

Окрім регресійних рівнянь модель може складатися з тотожностей, які є алгебраїчними співвідношеннями між ендогенними змінними.

Якщо застосувати до рівнянь (1), (2) звичайний метод найменших квадратів, то одержимо неспроможні оцінки параметрів. Отже, оцінювання систем одночасних рівнянь потребує спеціальних методів, одним із яких є непрямий метод найменших квадратів.

За основу цього метода покладена проста ідея. Оскільки перепоною до застосування методу найменших квадратів є корельованість ендогенних змінних з випадковими членами, треба розрішити систему рівнянь відносно , так, щоб в правих частинах рівнянь залишались лише екзогенні змінні . Потім застосувати звичайний метод найменших квадратів до одержаних рівнянь і отримати оцінки деяких виразів від вихідних параметрів, із яких потім знайти оцінки і самих параметрів.

Така процедура називається непрямим методом найменших квадратів. Продемонструємо її на прикладі системи (1)-(2).

Задача № 1

У таблиці наведені статистичні дані для економічного показника та фактора . На основі цих даних:

побудувати діаграму розсіювання;

обчислити числові характеристики показника і фактора: середні значення, дисперсії, середні квадратичні відхилення, кореляційний момент та коефіцієнт кореляції;

записати рівняння лінійної регресії та знайти оцінки параметрів цього рівняння, побудувати лінію регресії;

використовуючи критерій Фішера з надійністю Р=0,95 оцінити адекватність прийнятої економетрічної моделі статистичним даним;

з надійністю Р=0,95 знайти надійні зони для параметрів регресії та розрахункових значень показника;

для заданого значення фактора обчислити прогнозне значення економічного показника та визначити його інтервали довіри;

знайти коефіцієнти еластичності для базисних даних та для прогнозного значення;

зробити економічний аналіз.

- витрати на непродовольчі товари у розрахунку на 1 чоловіка, грн.;

- сукупний доход в місяць, грн.

; ; ; .

Розв'язання

Складемо робочу таблицю:

По осі абсцис відкладемо значення фактора, а по осі ординат - значення показника і побудуємо діаграму розсіювання, дані спостереження позначивши точками:

Обчислимо числові характеристики показника і фактора.

Середні значення

; .

Дисперсії

; .

Середньоквадратичні відхилення

; .

Кореляційний момент (коваріація)

.

Коефіцієнт кореляції

.

Висновок: коефіцієнт кореляції дорівнює 0,924, що свідчить про наявність дуже сильного прямого зв'язку між витратами на непродовольчі товари в розрахунку на одного чоловіка і сукупним доходом у місяць.

Запишемо рівняння лінійної регресії залежності витрат на непродовольчі товари від сукупного доходу:

.

Точкові оцінки параметрів і одержимо, використовуючи метод найменших квадратів:

; .

Одержимо рівняння регресії, що визначає залежність показника від фактора :

.

Обчислимо значення регресії:

.

Побудуємо лінію регресії, зобразивши її у вигляді прямої:

Висновок: якщо сукупний дохід у місяць зросте на 1 грн., то за інших рівних умов витрати на непродовольчі товари в розрахунку на одного чоловіка збільшаться на 8,7 коп.

Зробимо оцінку статистичної якості одержаного рівняння регресії. Для цього обчислимо відхилення

.

Сума відхилень дорівнює нулю, отже, розрахунок виконано правильно.

Вибіркова дисперсія характеризує міру розсіювання значень показника біля значень регресії

.

Розрахуємо коефіцієнт детермінації:

.

Індекс кореляції

.

Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,8535, отже, достовірно 85,35% дисперсії економічного показника . Оскільки значення близьке до 1, то можна вважати, що побудована економетрічна модель адекватна даним спостереження і на її основі можна проводити економічний аналіз.

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю Р оцінимо адекватність прийнятої економетрічної моделі статистичним даним.

Розрахункове значення F-статистики обчислимо за формулою:

.

За таблицею F-розподілу Фішера для заданої довірчої ймовірності і числа ступенів вільності і знаходимо критичне значення F-статистики: .

Висновок: Оскільки , з надійністю 0,95 побудовану економетрічну модель можна вважати адекватною даним спостережень.

Визначимо надійні зони для параметрів регресії. Для цього розрахуємо величини:

;

.

Для і числа ступенів вільності знайдемо табличне значення критерію Стьюдента: .

Визначимо надійні зони розрахункових значень показника за формулою

, де .

Розрахунок надійних зон представимо в таблиці:

Обчислимо прогнозні значення показника

та визначимо довірчі межі прогнозних значень

.

Результати розрахунку представимо в таблиці:

Знайдемо коефіцієнти еластичності для базисних даних за формулою:

.

Підрахуємо коефіцієнт еластичності для прогнозних значень:

.

; ; ; .

Висновок: для прогнозного значення значення коефіцієнта еластичності дорівнює 0,66, отже, при зміні значення фактора на 1% показник змінюється на 0,66%.

Задача № 2

На основі статистичних даних для економічного показника та факторів Х1, Х2 побудувати рівняння багатофакторної лінійної регресії, оцінити загальну якість отриманої лінійної регресії за допомогою коефіцієнта детермінації, обчислити частинні коефіцієнти еластичності для базисних даних та дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.

Розв'язання:

Запишемо лінійну функцію попиту:

.

Для визначення , і складемо нормальну систему рівнянь у вигляді

Всі обчислення представимо в таблиці:

Після підстановки значень сум одержимо систему лінійних рівнянь

Для її розв'язку використаємо формули Крамера

; ;

; ;

; .

Тоді лінійна функція попиту на цукор прийме вигляд

.

Якість лінійної регресії оцінимо за допомогою коефіцієнта детермінації:

.

Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,9933, отже, достовірно 99,33% дисперсії економічного показника . Оскільки значення близьке до 1, то можна вважати, що побудована економетрична модель адекватна даним спостереження і на її основі можна проводити економічний аналіз.

Частинні коефіцієнти еластичності визначимо за формулами (див. два останніх стовпчики розрахункової таблиці):

; .

Висновок: При збільшення ціни на товар першої необхідності на 1% попит зменшується на 0,4-1,1%, а при збільшенні доходу на одиницю населення на 1% попит збільшується на 0,6-1,1%.

Література

Лук'яненко І.М., Краснікова Л.І.. Економетрика: Підручник. - К.: Товариство "Знання", КОО, 2004 - 494с.

Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Підручник. - Вид. 2-ге, допов. та перероб. - К.: КНЕУ, 2000 - 296с.

Толбатов Ю.А. Економетрика: Підручник для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. - К.: Четверта хвиля, 2007 - 320с.