Случайные величины

Министерство образования и науки Украины

Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко

Факультет физики и астрономии

Реферат

по математике

на тему:

Случайные величины

Выполнил: студент ІV курса

группа 105 В

Хоменко Игорь

Полтава, 2009

1. Случайные величины

Как было указано выше, в результате измерений мы можем получать различные значения измеряемого параметра. Таким образом, результат измерений может служить примером, так называемой случайной величины, т. е. величины, точное значение которой заранее нельзя предвидеть. Факт получения в эксперименте того или иного значения случайной величины является случайным событием. Совокупность всех значений, которые может принимать эта величина, образует полную группу событий. Эти события несовместны, так как одна и та же случайная величина не может одновременно, т. е. при одном измерении, иметь два различных значения.

Примером случайной величины может служить определяемая по формуле ИЛА) частота 3*{АУ появления некоторого события А в результате н испытаний. Ее величина может принимать одно из н + 1 дискретных значений О,

1. Подобные случайные величины называются дискретными. Строго говоря, как было указано выше, все встречающиеся в прикладных задачах случайные величины дискретны, так как любая из них может быть определена лишь с точностью до некоторого числа знаков. Однако при проведении вероятностных расчетов обычно вводят непрерывные случайные величины, могущие принимать любые значения на некотором заданном интервале и удовлетворяющие еще одному, указанному ниже условию. Это существенно облегчает решение ряда задач, так как позволяет использовать более простые (по сравнению с методами дискретной математики) методы непрерывной математики. Переход от дискретных к непрерывным случайным величинам оправдан в том случае, когда шаг дискретности мал и такой переход не влечет за собой заметных ошибок.. Исходя из этих соображений, мы в дальнейшем будем рассматривать результаты измерений как непрерывные случайные величины.

Характерной особенностью непрерывных случайных величин является то, что вероятность равенства такой величины некоторому заданному числу приходится считать равной нулю. Это следует из того, что в соответствии с равенством (1.3.1) сумма всех таких вероятностей равна единице, а число членов этой руммы бесконечно (точнее, образует несчетное бесконечное множество). Поэтому вероятноститого, что некоторая непрерывная случайная величина X принимает любое из заданных значений #, не могут служить характеристиками этой случайной величины. Вместо них используется так называемая функция распределения случайной величины X, определяемая равенством

где-- вероятность того, что случайная величина X меньше заданной величины х.

Укажем некоторые основные свойства этой функции.

1. Функция Fix) не убывает с возрастанием х. Действительно, если-- некоторые заданные числа, то

Это следует из того, что любая случайная величина не может быть меньше --«>, и всегда меньше +°°.

В ряде задач интерес представляет вероятность Р(х < того, что случайная величина X лежит в заданном интервалеОчевидно, что

Эта вероятность зависит не только от значения х, но и от длины Д#'рассматриваемого интервала. Величину

принято называть плотностью распределения случайной величины (если такой предел существует!)·

Теперь мы можем сформулировать понятие непрерывности случайной величины. А именно, случайную величину X принято называть непрерывной, если для всех значений существуют непрерывная функция Fix) и кусочно-непрерывная плотность fix) распределения этой величины. Заметим, что это определение отличается от принятого в математике определения непрерывной неслучайной функции, которое не требует существования производной от рассматриваемой функции,

Из зависимостей (1.5,2) и (1.5.3) непосредственно следует, что плотность распределения является производной от функции распределения, а функция распределения -- интегралом плотности. Иначе говоря,

Отсюда находим, что

Рассмотрим некоторые примеры распределений случайных величин.

1. Равномерное распределение, при котором случайная величина X с одинаковой вероятностью может принимать любое значение на интервале bt < X < 62, где ot < Ьг -- заданные числа. Получение значения X, лежащего внеуказанного интервала, невозможно. Функция Fix) плотность fix) этого распределения определяются выражениями.

2. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Функция и плотность этого распределения определяются выражениями

где а и у -- некоторые постоянные (их смысл будет указан в следующем параграфе), а ц(Я) и ФШ -- функции, определяемые выражениями

Функцию ФШ часто называют функцией Лапласа (заметим, что в литературе можно найти несколько различных определений функции Лапласа). Таблицы функций читатель найдет в конце этой книги,

Указанные выше распределения случайных величин часто используются на практике. На рис. 1.5.1 пунктиром изображены графики функцийдля равномерного распределения приТам же сплошными линиями изображены эти функции для нормально·* го распределения приИз рисунка видно, что графики* плотностей f(x) более наглядно показывают разницу между различными распределениями, чем графики соответствующих функций F(x).

Обоснованный выбор распределения, используемого при решении конкретной прикладной задачи, сопряжен со значительными трудностями. При анализе ошибок измерения их обычно рассматривают как нормально распределенные случайные величины. Теоретическим основанием этого служит так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей [7]. Согласно этой теореме при некоторых дополнительных условиях сумма большого числа независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Это утверждение фактически представляет собой группу соответствующих теорем, каждая из которых доказывается при своих условиях. По существу эти условия сводятся к требованию, чтобы в состав суммы не входили отдельные слагаемые, явно преобладающие над другими и распределенные не по нормальному закону. В подавляющем большинстве случаев практически не представляется возможным проверить соответствие конкретных ошибок измерений этим условиям. Поэтому на практике часто используются различные методы проверки соответствия фактического распределения нормальному на основе экспериментальных данных. Эти методы обычно базируются на построении так называемых гистограмм. При этом весь интервал возможных значений случайной величины ч разбивается на некоторое число равновеликих частей. Над каждой из них строится столбик, высота которого равна числу значений, лежащих в данной части. Совокупность таких столбиков и составляет гистограмму. Оценка соответствия фактического распределения рассматриваемому теоретическому производится на основе сравнения гистограммы с графиком плотности теоретического распределения. Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 2.4 на конкретном примере. Данные многочисленных экспериментов показывают, что во многих случаях фактические распределения результатов измерений и их ошибок близки к нормальным.

Однако следует отметить, что нормальное распределение часто используется при решении прикладных задач без должного обоснования. По этому поводу говорят, что практики считают нормальность распределения ошибок теоретически доказанной, а теоретики -- экспериментально установленным фактом. Поэтому и тех и других мало беспокоит обоснование возможности использования этого распределения в конкретных случаях. Такой подход может привести к ошибкам, так как в действительности распределение результатов измерений не всегда близко к нормальному.

Помимо указанных выше распределений случайных событий нам понадобится в дальнейшем так называемое распределение Лапласа, плотность которого определяется выражением

2. Числовые характеристики случайных величин

Функция или плотность распределения некоторой случайной величины являются наиболее полными вероятностными характеристиками этой величины. Однако ими не всегда удобно пользоваться по следующим причинам:

-- при решении различных задач оптимизации значительно удобнее пользоваться числовыми, а не функциональными характеристиками;

-- во многих задачах функция и плотность распределения не могут быть определены достаточно точно.

В связи с этим при решении многих теоретических и прикладных задач широко используются различные числовые характеристики случайных величин. Рассмотрим некоторые из них.

1. Математическое ожидание E(X) случайной величины X, определяемое выражением

где fix) -- плотность распределения величины X. Так как согласно равенству (1.5.5)

--уп

то выражение (1.6.1) можно рассматривать- как среднее взвешенное из BGex возможных значений X. При этом в качестве веса используется плотность распределения. В связи с этим математическое ожидание иногда называют средневероятным значением рассматриваемой величины. Пользуясь зависимостями (1.5.5) -- (1.5.9), можно показать, что для рассмотренных выше распределений случайной величины X математическое ожидание Е(%) имеет следующие значения:

2. Дисперсия случайной величины X, определяемая выражением

и представляющая собой математическое ожидание квадрата отклонения рассматриваемой случайной величины X от ее математического ожидания Е(Х).

Из приведенного выражения видно, что дисперсия характеризует разброс фактических значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Ниже приводятся у значения дисперсий для рассмотренных распределений случайных величин:

1

Заметим, что использование дисперсии D(X) на практике неудобно, так как ее размерность отличается от размерности рассматриваемой случайной величины X. Поэтому вместо D(X) часто используют так называемое стандартное (среднее квадратическое) отклонение у(Ч), определяемое выражением

и имеющее ту же размерность, что и X.

Из (1.6.3), (1.6.5) и (1.6.6) видно, что параметры а и у нормального распределения (1.5.7) представляют собой соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение рассматриваемой случайной величины.

3. Математическое ожидание в2(Ч) квадрата случайной величины X, определяемое выражением

Пользуясь равенствами (1.6.1), (1.6.2), (1.6.4) и (1.6.7), легко показать, что между рассмотренными числовыми характеристиками имеет место простое соотношение

Введение указанных числовых характеристик имеет смысл лишь в тех случаях, когда входящие в соответствующие выражения (1.6.1), (1.6.4) и (1.6.7) несобственные интегралы сходятся. Существуют примеры плотностей fix), удовлетворяющих условию (1.6.2), для которых такая сходимость не имеет места.

На практике величины Е(Х) и о(Х) обычно определяются экспериментально по данным статистических испытаний. При этом их принимают равными соответствующим средним статистическим значениям [13]

где п -- число статистических испытаний,

-- полученные в результате этих испытаний значения X.

3. Характеристики точности

Как было указано выше, примером случайной величины может служить получаемое по данным эксперимента значение X некоторого физического параметра X. Оно может быть найдено либо непосредственным измерением, либо путем математической обработки данных нескольких (во многих случаях 4 -- большого числа) различных измерений. Обозначим через ошибку этого измерения. Здесь X -- неизвестное нам точное значение рассматриваемой величины.

Для того чтобы охарактеризовать точность найденного значения X, надо каким-то образом охарактеризовать неизвестную ошибку о этой величины. Для этой цели обычно используются некоторые численные характеристики точности.

В простейших случаях такой характеристикой служит максимально возможное значение модуля ошибки о, т. е. величина 6юах, удовлетворяющая условию

где 1 -- любое возможное значение ошибки величины X.

Такой способ оценки точности обычно используется на производстве. Так, если нам нужно изготовить в одном месте валик, а в другом -- просверлить отверстие, в которое этот валик должен входить, то разность между измеренными значениями диаметров отверстия и валика должна не превосходить суммы максимальных ошибок измерений обоих диаметров и величины минимального допустимого зазора между рассматриваемыми деталями.

Однако в более сложных случаях использование такой характеристики сопряжено с большими неудобствами, так как приводит к очень грубым оценкам точности. Покажем это для случая, когда ошибка о распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, а = 0и заданным стандартным отклонением у, и определим, с какой вероятностьюможно ожидать того, что модуль ошибки о не превзойдет некоторой величины Д.

Из определения (1.5.1) функции распределения Fix) вытекает, что для любой непрерывной случайной величины f следует

Отсюда, пользуясь выражением (1.5.7) для функции нормального распределения, находим, что при а = О справедливо

Далее, из выражения (1.5.8) для следует, что . Поэтому

Таким образом, вероятность того, что зависит только от отношения к величине Д к среднему квадратическому значению у ошибки о.

В таблице 1.7.1 помещены вычисленные по формуле (1.7.3) значения в зависимости от величины

при нормальном распределении ошибок и а = 0.

Таблица 1.7.1. Зависимость вероятностиот величины &=Д/у при нормальном (с а=0) и произвольном распределениях ошибок о

Из таблицы видно, что при нормальном распределении ошибок о величина быстро убывает с увеличением к. Так, при в среднем лишь в 3 случаях из 1000 можно ожидать того, что При это будет иметь место в 6 случаях из 100000, а прислучаях из 10000 000! Таким образом, привероятностьблизка к вероятности погибнуть в транспортной катастрофе на улицах города со многомиллионным населением в течение ближайших нескольких дней. Как известно, подобной вероятностью большинство людей в обыденной жизни пренебрегают!

Исходя из приведенных выше соображений, на практике обычно пренебрегают редкой возможностью появления очень больших ошибок о ив качестве максимального значения Д модуля о принимают величину, для которой вероятность достаточно велика. Эту вероятность обычно называют надежностью принятого максимального значения Д ошибки о и обозначают через . При этом возможны следующие два подхода к оценке точности рассматриваемой величины X:

задаются некоторой надежностью (Д), и в качестве характеристики точности используют соответствующее значениемаксимальной ошибки;

задаются величиной Д максимальной ошибки и характеризуют точность соответствующей надежностью До сих пор мы исходили из допущения о нормальности распределения ошибок |. Если отказаться от этого допущения, то можно для определения зависимости #{Д) воспользоваться известным неравенством Чебышева:

справедливым при любом распределении ошибок о [7]. Здесь у -- стандартное отклонение о, называемое обычно средней квадратической ошибкой.

В последней строке таблицы 1.7.1 приведены полученные при помощи этого неравенства минимальные значения надежности #(Д), соответствующие определенным образом выбранному наихудшему с рассматриваемой точки зрения распределению ошибок о. Из таблицы 'видно, что переход от нормального распределения к. произвольному может существенно (на несколько порядков) ухудшить зависимость

Из зависимостей (1.7.3) и (1.7.4) видно, что как при нормальном, так и при произвольном распределении величины о максимальная ошибка Д определяется выражением,

где коэффициент к зависит от принятой надежности . Поэтому при решении прикладных задач в, качестве характеристики точности обычно используют среднюю квадратическую ошибку. При необходимости оценить соответствующее максимальное значение ошибки Д пользуются равенством (1.7.5). При этом в большинстве задач полагают к = 3, что для нормального распределения ошибок соответствует надежности #(Д) « 0,997.

При выводе зависимости (1.7.5) мы предполагаем, что математическое ожидание ошибки

Если это условие не выполняется, но величина известна, то можно всегда перейти к случаю справедливости равенства (1.7.6) путем замены измеренного значения X величинойw Действительно, ошибка этой величины , а математическое ожидание этой ошибки

Однако во многих задачах точное значение неизвестно, а может быть указана лишь верхняя граница т его модуля, удовлетворяющая неравенству

В этом случае исключить влияние математического ожидания ошибки не представляется возможным. Для учета этого влияния при решении прикладных задач часто прибегают к одному из следующих двух приемов:

Добавляют величину т к вычисляемой по формуле (1.7.5) максимальной ошибке и. определяют последнюю выражением

Пользуясь зависимостью (1.6.8), находят максимальное значение Ртах математического ожидания квадрата ошибки о:

и определяют максимальную ошибку Д по формуле, аналогичной зависимости (1.7.5),

При этом в обоих случаях определение коэффициента к для заданной надежности #(Д) производится описанным выше способом (для нормального и произвольного распределений ошибок).

Формулы (1.7.8) и (1.7.10) являются приближенными и дают, вообще говоря, завышенное значение максимальной ошибки Д при заданной ее надежности Я (или заниженное значение Я при заданном Д); Точная зависимость между Я и Д в рассматриваемых условиях для нормального и произвольного распределений ошибок о дана в [4].

Рассмотрим в качестве примера задачу определения некоторого параметра X, представляющего собой сумму з величинПри этом все Хг измеряются и находятся их измеренные значения Х{, по которымвычисляется соответствующая величина

Требуется охарактеризовать ошибку найденной величины в предположении, что все ошибки о = величин Х{ удовлетворяют неравенству

(1.7.11) где-- заданное число»

Таким образом, мы нашли основные числовые характеристики ошибки о величины X. Постараемся теперь от этих характеристик перейти к ожидаемым максимальным значениям этой ошибки. Для этого воспользуемся центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение суммарной ошибки о при большем з близко к нормальному. Основываясь на этом, будем в дальнейшем полагать, что ошибка о приближенно распределена по нормальному закону. Из зависимостей следует, что основные параметры этого распределения

Пользуясь приведенными выше результатами и принимая к = 3, находим, что с надежностью З = 0,997 осуществляется неравенство

Из этой зависимости видно, что при большом числе з можно с незначительным риском существенно уменьшить определяемое правой частью неравенства (1.7.13) значение максимума модуля ошибки . Так, при и = 100 оно уменьшается примерно в шесть раз.

Следует отметить, что переход от неравенства (1.7.13) к неравенству (1.7.17) обоснован лишь при некоторых дополнительных допущениях об ошибках о<. Основными из них являются:

симметричность распределений величин |< относительно точки приводящая к равенству нулю математических ожиданий этих ошибок;

взаимная независимость ошибок о*, приводящая к их частичному взаимному исключению при суммировании по формуле (1.7.12).

Вопрос о влиянии возможных отклонений от этих допущений при оценке точности решений аналогичных задач рассмотрен в следующей главе. При этом оказывается, что даже малые отклонения от принятых допущений могут при большом числе з существенно ухудшить точность конечного результата. Таким образом, здесь, как и всюду в мире, ничего не дается само собой: для существенного уменьшения максимального значения ошибки о нужны дополнительные сведения об ошибках.

Использованная литература

1. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? Эльясберг П.Е.--М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.--208 с,