Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0?0 такие, что выполняется условие

|f(t)|<Me ^S0t

Рассмотрим функцию f(t)?e^-pt , где р - комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me ^S0t

В случае если a>S₀ имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S₀ интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) ? F(p),

где F(p) - изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции ?? t???и???t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций ?₀(t), sin (t), cos (t).

Определение:

называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

интегрируя по частям получим :

т.е.

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а - константа

Таким образом :

и

Свойства линейности изображения

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если ,

то ,

где

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p) является изображением функции e^-?t f(t) (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений

F(p)	f(t)	F(p)	f(p)
	1

Изображение производных.

Теорема.

Если , то справедливо выражение :

(1)

Доказательство :

(2)

(3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

Если x(0)=0 и x'(0)=0

Предположим, что x(t) - решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.

Изображающее уравнение

Теорема о интегрировании оригинала

Пусть находится в области оригиналов, ,

тогда также оригинал,

а его изображение

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений

Пусть - функция оригинал, которая имеет изображение

и также оригинал,

а - является сходящимся интегралом,

тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ? в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

(1)

Свертка обозначается следующим образом :

(1')

Равенства (1) и (1') идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

Теорема о умножении изображений

Пусть и ,

тогда произведение изображений

представляется сверткой оригиналов .

Доказательство

Пусть изображение свертки

(1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ? входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F₂(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса

Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) - аналитические функции в области изображений, такие, что

,

тогда

.

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

(2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

- Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

где s - некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения

Пусть F(p) - изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде

,

k - постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы :

Вторая теорема разложения.

Если изображение представляется дробно-рациональной функцией

.

Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ?₁, ?₂, …, ? _n соответствующий кратности k₁, k₂, …, k_n , при этом k₁+ k₂ +…+ k_n = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

(3)

Например :

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

(1)

На f(t) наложены условия :

f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? )

f(t)?? 0 , t ? (- ? ;0)

При M, S₀ >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me ^S0t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

(2)

Формула (2) - двустороннее преобразование Лапласа

Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n - действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

(4)

(5)

и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

Должна быть определена на промежутке (-? ; ? ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

Функция абсолютно интегрируема :

,

это условие выполняется, если

|f(t)|<Me ^S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции :

f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

т.к.

Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) ? 0, t<0

(6)

Обозначим

Очевидно, что

(6')

Функция (6) называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

Вычисление интеграла (5)

Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

(7)

F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, ? (u) - фазовый угол.

В алгебраической форме :

F(iu) = a(u) +ib(u)

(8)

(9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол ? (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :

откуда

,

Далее

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью F₁(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F₂(iu?) абсолютно интегрируемой функции.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/