Интеграл и его применение

Курсовая работа по математике

ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Оглавление

Введение

§1. История интегрального исчисления

§2. Определение и свойства интеграла

§3. Криволинейная трапеция

§4. Набор стандартных картинок

§5. Применение интеграла

Заключение

Литература

Введение

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.

§1. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики--интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»:

F(x) = f(x)dx

-- начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

b

А f(x)dx

a

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768--1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 -- ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа

(3.10/71<<3.1/7),

нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод -- метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S = f(x)dx

a<x<b

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме -- нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571--1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Рис 1.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598--1647) и Э.Торричелли (1608--1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения

y = f(x) и y=f(x)+c

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b--а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b - а)

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой

у = хn,

где п -- целое (т.е по существу вывел формулу

 хndx = (1/n+1)хn+1),

и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630--1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона -- Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801--1862), В.Я.Буняковский (1804--1889), П.Л.Чебышев (1821--1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826--1866), французского математика Г.Дарбу (1842--1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838--1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875--1941) и А. Данжуа (1884--1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894--1959).

§2. Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид

F(x)+C,

где CR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается f(x)dx.

f(x)dx = F(x)+C, где F(x)

- некоторая первообразная на промежутке J.

f - подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

( f(x)dx) = f(x)dx,

f(x)dx = F(x)+C, где F (x) = f(x)

( f(x)dx) = (F(x)+C) = f(x)

f (x)dx = f(x)+C

- из определения

k f (x)dx = k f(x)dx

если k - постоянная и

F (x)=f(x),

k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k f(x)dx

( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = f(x)dx + g(x)dx +...+ h(x)dx

( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = [F (x)+G (x)+...+H (x)]dx =

= [F(x)+G(x)+...+H(x)] dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= f(x)dx + g(x)dx +...+ h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1.

Пусть

3x2-1=t (t0),

возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

xdx=dt/6

2. sin x cos 3x dx = - t3dt = + C

Пусть

cos x = t

-sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры:

sin 3x cos x dx = 1/2 (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ? cos 2x + C



Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v(x)

u'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)

Проинтегрируем обе части

u'(x)v(x)dx= (u(x)v(x))'dx - u(x)v'(x)dx

u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - u(x)v'(x)dx

Пример:

x cos (x) dx = x dsin x = x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + C

x = u(x)cos x = v'(x)

§3. Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, x[a;b].

Доказать:

S = F(b) - F(a), где F(x)

- первообразная f(x).

Доказательство:

	1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому x[a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат. Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D( f ) = D(S) = [a;b]

S'(x0)= lim( S(x0+x) - S(x0) / x ),

При

x0

S - прямоугольник

x0 со сторонами x и f(x0)

S'(x0) = lim(x f(x0) /x) = lim f(x0)=f(x0)

т.к. x0 точка, то

S(x) - x0 x0

первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной

S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = -Fa

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

II.

	1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Шаг разбиения x=(b-a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)x+f(x1)x+...+f(xn))x= n = lim x(f(x0)+f(x1)+...+f(xn)) При n получим, что Sтр= x(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

b

Sтр= f(x)dx

A

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a -- нижний предел интегрирования;

b -- верхний.

Формула Ньютона-Лейбница

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F - первообразная для b на [a;b], то

b

f(x)dx = F(b)-F(a)

a

b b

f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)

a a

§4. Набор стандартных картинок

	Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)0. Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCDA'B'CD b S(ABCD)=S(A'B'CD) = -f(x)dx a
	b b S= f(x)dx = g(x)dx a a
	c b S = (f(x)-g(x))dx+(g(x)-f(x))dx a c
	f(x) f(x)+m g(x)g(x)+m b S= (f(x)+m-g(x)-m)dx = a b = (f(x)- g(x))dx a Если на отрезке [a;b] f(x)g(x), то площадь между этими графиками равна b ((f(x)-g(x))dx a
	Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные b b b S= f(x)dx - g(x)dx = (f(x)-g(x))dx a a a
	b b S= f(x)dx + g(x)dx a a

§5. Применение интеграла

I. В физике

Работа силы

(A=FScos, cos 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

d(m2/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины

x = (b - a)/n.

Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом [a;x1] работа силы на этом отрезке равна

f(a)(x1-a).

Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке --

f(xn-1)(b-xn-1).

Следовательно работа на [a;b] равна:

А An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n

b

А = lim [(b-a)/n] ( f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (по определению)

n a

Пример 1:

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой -F(s) упругость пружины при её сжатии, то

l/2

Eп = A= - (-F(s)) dx

0

Из курса механики известно, что

F(s)= -Cs.

Отсюда находим

l/2 l/2

Еп= - (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

0 0

Ответ: Cl2/8.

Пример 2:

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Решение:

Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна

X=kx.

Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда

(Дж)

Ответ: A=0,08 Дж

Пример 3:

С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.

Решение:

y

0

Высота тетраэдра

м,

объем тетраэдра

м3.

Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен

(Дж)

Теперь найдем работу Ai при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна , а вес тетраэдра:



Следовательно,

(Дж)

Отсюда A=A0+A1=7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж

Ответ: A=9,31 (Дж).

Пример 4:

Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом б и ее большая сторона находится на глубине h?

Решение: Площадь выделенной на глубине x полоски равна . Следовательно, элемент силы давления (с-плотность жидкости). Отсюда находим

Ответ:

P=

Координаты центра масс

Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |axb; 0yf(x)} и функция

y=f(x)

непрерывна на [a;b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Пример 1:

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

	Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M xm=0 Функция, описывающая полукруг имеет вид: y = (R2-x2) Пусть S = R2/2 -- площадь полукруга, тогда

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Ответ: M(0; 4R/3 ).

Пример 2:

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.

Решение:

В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от р/2 до 0, поэтому

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=рab, получим

Ответ:

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время

T= t2-t1 (t2>t1)

прошла путь S, то

t2

S = (t)dt.

t1

В геометрии

Объём -- количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле -- объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём -- это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

n

x0,

SkSk+1,

а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n называется интегралом

V = S(x)dx,

где S(x) - сечение плоскости, проходящей через выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1) Выбрать удобным способом ось ОХ.

2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5) Составить интеграл.

6) Вычислив интеграл, найти объем.

Пример 1:

Найти объем трехосного эллипса

Решение:

Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс

с полуосями

и

Найдем площадь этого сечения

Найдем объем эллипса:



Ответ:

Пример 2:

Найти объем тела, в основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием a. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента.

Решение:

Имеем,

Выразим площадь поперечного сечения как функцию от z, для чего предварительно найдем уравнение параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников, а именно:

т.е.

.

Положим

,

тогда уравнение параболы в системе координат uKv примет вид

.

Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела:

или

Таким образом,

Ответ:

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч = r2

Sсеч(x)= f 2(x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y' = f'(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), x[a;b] можно найти по формуле:

Пример 1:

Найти длину дуги кривой

от x=0 до x=1 (y?0)

Решение:

Дифференцируя уравнение кривой, найдем

.

Таким образом,

.

Ответ:

Заключение

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

Литература

А.П.Савина. Толковый математический словарь. Основные термины/ М.: Русский язык, 1989.

Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу/ М.: Высшая школа, 1964.

И.В.Савельев, Курс общей физики, том 1/ М.: 1982.

Л.Д. Кудрявцев. “Курс математического анализа”, том 1/ М.: Высшая школа, 1988.

Н.Я. Виленкин. “Задачник по курсу математического анализа”/ М.:, Просвещение, 1971.

Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и математический анализ/ М.: 1993.

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1/ М.: Оникс 21 век, 2003.