Найпростіші дії з матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком на А називається матриця розміру :

Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць

розміру є матриця

такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру і матрицю А розміру

(1)

Розглянемо лінійні перетворення , , які можна подати у вигляді

.

Виключаючи змінні , знаходимо лінійне перетворення , яке можна записати так:

.

Позначивши

, (2)

подамо це лінійне перетворення у вигляді

,

Або

..............................................

Останню систему зручно записувати у векторній формі , де матриця С розміру має вигляд

(3)

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А:С=ВА.

Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої .

Лінійний n-вимірний простір

План

1. Лінійний n-вимірний векторний простір

2. Базис

3. Власні значення та власні вектори матриць

Векторний простір

Означення. Упорядкована сукупність m дійсних чисел називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

.

Числа називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

Вектор, утворений транспортуванням вектора а, позначається так: .

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення. Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і позначається .

Векторні простори , , можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, ..., 0), або так само, як число нуль - знаком 0. Вектор -а = (-а₁ , -а₂, ..., -а_m) називається протилежним вектору а = (а₁ , а₂, ..., а_m).

На прямій , площині та у тривимірному просторі вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1)

Рис. 1

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець - із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)

Рис. 2

Вектор , де - деяке число, паралельний вектору а і має довжину ; напрям його при той самий, що й вектора а, при - протилежний напряму а.

Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

Добутком числа (скляра) на вектор а називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора а:

.

Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

2. Означення: Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:

можна розглянути як базис простору .

Розглянемо дві системи векторів:

(2)

(3)

Система векторів (3) лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожен з них є лінійною комбінацією системи (2). Тобто .

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв'язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю

,

то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов'язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

має базис:

(4)

Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що

(5)

тобто вектор - є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (5) єдиний для вектора .

Нехай в просторі задано два базиси

(6)

(7)

Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді

(8)

Означення: Матрицю , стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е'.

Якщо розглянути дві матриці е і е', стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е' базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді

. (9)

З другого боку, якщо T' - матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність

(10)

Використовуючи (9) і (10) маємо:

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в задано два базиси (6) і (7) з матрицею переходу Зв'язок між координатами довільного вектора в цих двох базисах дає формула:

(11)

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т^-1 одержимо рівність

(12)

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е'.

Власні числа і власні вектори матриці.

Нехай деяка квадратна матриця розмірності з дійсними елементами, - деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е - одинична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.

Поліном n-го степеня || називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок: лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що лінійне перетворення характеризується набором власних чисел, які в подальшому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці А.

Розглянемо лінійне перетворення в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор в вектор пропорційний самому вектору , тобто:

(1)

Такий вектор будемо називати власним вектором перетворення , а - власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення , в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Будемо вважати, що лінійне перетворення має такий характеристичний поліном, що всі його корені дійсні і різні між собою. Тобто, розв'язавши рівняння n-го порядку || = 0 будемо мати n-різних дійсних коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення дійсного лінійного простору має простий спектр.

Кожному власному числу , відповідає свій власний вектор. Власних векторів у цьому випадку буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів, їх можна розглядати як базис , в якому матриця лінійного перетворення А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.

Розв'язання лінійних рівнянь методом Гауса

Метод Гауса розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

(1)

до трикутного вигляду

; (2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт а_11. Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова а_11.

За допомогою першого рівняння виключимо х₁ із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

х₁ х₂ ... х_n 1

Іноді вводять контрольний стовпець що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а₁₁, позначимо

Далі перший рядок множимо послідовно на а₂₁ і віднімаємо від другого рядка, множимо на а₃₁ і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х₁ х₂ ... х_n 1

Для невідомих , маємо систему n-1 рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х₂ з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х₁ х₂ х₃ ... х_n 1

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х₁ х₂ х₃ ... х_n-1 х_n 1

Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи . Запишемо відповідну систему рівнянь:



Цю систему розв'язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить х_n і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають х_n-1, і т.д.