Системы счисления (нумерация) - совокупность способов обозначения натуральных чисел.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бoльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бoльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бoльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бoльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 - 1, XL = 40, т е. 50 - 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы - до 16 в.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C - 200, Л - 30, А - 1).

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда - числа 12 - «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе - гросс - встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «...укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Когда пишут какое-либо число, то под ним подразумевают запись в наиболее распространенной в повседневной жизни десятичной системе счисления. В других случаях, когда используются иные системы счисления, к цифровым символам дописывают специальные знаки, например, шестидесятеричная система счисления: градусы, минуты, секунды в обозначении углов или часы, минуты, секунды в обозначении времени.

Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные. К непозиционным относится римская система счисления, когда значение записи определяется множеством специальных символов (I, V, X, L, C, M …) и их комбинаций, да еще с учетом, с какой стороны один символ добавляется к другому. В позиционных системах счисления набор символов (алфавит) ограничен и определяет основание системы: два символа (0 и 1) - двоичная система, три символа - троичная, восемь символов - восмеричная, десять символов - десятичная и т.д. Вес (значение) символа при этом определяется его позицией в числе. Таким образом, записывая число 157, подразумевают значение 1*10² + 5*10¹ + 7*10⁰, иначе говоря, одна сотня плюс пять десятков плюс семь единиц. Эта же запись могла изображать число в восмеричной системе счисления (по крайней мере, символы соответствуют алфавиту системы от 0 до 7), тогда значение числа получилось бы 1*8² + 5*8¹ + 7*8⁰, что соответствует значению 111 в десятичной системе счисления. По этой причине, когда система счисления однозначно не определена, основание системы счисления дописывают к числу в виде индекса 157₈.

Компьютерная техника преимущественно построена и работает на основе двоичной системы счисления, поскольку это соответствует наиболее простой реализации систем хранения и передачи информации (например, для двух символов алфавита системы один может соответствовать наличию физического сигнала: импульс света, импульс электрического тока, намагниченность материала и т.п., а другой - отсутствию).

В двоичной системе счисления минимальное количество информации можно запомнить или передать с помощью одного двоичного разряда (0 или 1). При этом не надо считать, что одна переданная единица не несет никакой полезной нагрузки. Единица может представлять собой двоичный код какой-нибудь команды или состояния какого-либо объекта и, например, соответствовать команде «включить» или «выключить» какое-либо устройство, соответствовать ответу «истина» или «ложь» на какой-либо запрос и т.п. Такая минимальная единица информации получила наименование бит (англ. сокр. bit - binary digit - двоичный разряд).

Теперь запишем полученное двоичное число от последнего символа к первому: 10011011.

Преобразование двоичного числа в десятичное можно произвести сложением десятичных значений разрядов с учетов символов этих разрядов:

1*128 + 0*64 + 0*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 128+16+8+2+1 = 159.

Если закодировать в двоичном виде все символы, необходимые для хранения и отображения разнообразной информации, то понадобится достаточно объемный алфавит: символы букв (прописные и строчные), цифры, знаки математических операций, разделительные символы, скобки, специальные символы (команды) и т.д. С учетом хотя бы двух языков (например, латиница и кириллица) различных символов оказывается более 200, поэтому была принята кодировочная таблица в 256 символов, соответствующая 8-разрядному двоичному коду (ASCI - American Standard Code for Information Interchange - Американский стандартный код для обмена информацией). Поэтому любой символ, вводимый в компьютер с клавиатуры или другим способом кодируется и запоминается в виде 8-разрядного двоичного кода. С этой точки зрения 8-разрядный двоичный код является минимальной единицей ввода и хранения информации в компьютере (меньше одного символа пользователь не вводит) и она получила собственное наименование - байт (byte). Отметим, что байт соответствует 8-разрядному двоичному коду и значит он равен 8 битам информации. Поскольку обе единицы начинаются с одной буквы, при сокращении единиц биты будем обозначать малой буквой, а байты - большой.

Более крупные информационные единицы (как к биту, так и к байту) также кратны двоичному основанию (хотя часто их воспринимают как десятичные - тысяча, миллион, миллиард и т.п.):

1 Кило (1К) = 2¹⁰ = 1 024

1 Мега (1М) = 2²⁰ = 1 048 576

1 Гига (1Г) = 2³⁰ = 1 073 741 824

1 Тера (1Т) = 2⁴⁰ = 1 099 511 627 776

Поскольку минимальной единицей в компьютере принят байт, то все слова, передаваемые по шинам компьютера и обрабатываемые его процессором формируются кратно байту (и опять же кратно степени двоичного основания): 2 байта (16 бит), 4 байта (32 бита), 8 байт (64 бита) и т.д. Для компактного отображения байта используется 16-ричная система счисления. Шестнадцать различных кодов как раз соответствуют слову из четырех двоичных разрядов (половина байта), так что для отображения байта понадобится два символа 16-ричной системы счисления (получится двухразрядное слово).

Поскольку компьютерная техника работает на основе двоичной системы счисления, то за минимальную единицу информации выбран один двоичный разряд - бит (bit). Каждый вводимый и хранимый символ в компьютере преобразуется с помощью соответствующих кодировочных таблиц и представляется 8-разрядным двоичным кодом, поэтому данная минимальная единица хранения получила собственное наименование - байт (byte). Более крупные информационные единицы (как к биту, так и к байту) также кратны двоичному основанию (хотя часто их воспринимают как десятичные - тысяча, миллион, миллиард и т.п.):

1 Кило (1К) = 210 = 1 024

1 Мега (1М) = 220 = 1024 K = 1 048 576

1 Гига (1Г) = 230 = 1024 M = 1 073 741 824

1 Тера (1Т) = 240 = 1024 Г = 1 099 511 627 776

2. Позиционные и непозиционные системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки.

Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бoльшая цифра соответствует бoльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

3. Позиционные системы счисления

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как

x = a_n·pⁿ +a_{n - 1}·pⁿ-¹ + a₁·p¹ + a₀·p⁰,

где a_n...a₀ - цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035₁₀=1·10³ + 0·10² + 3·10¹ + 5·10⁰;

1010₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

4. Перевод из одной системы счисления в другую