Применение производных к исследованию функций и построению графиков

Лекция № 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее

значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если

x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-?, a), (c, +?) - убывает;

(a, b) - постоянная;

(b, c) - возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)? 0.

2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)? 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

Доказательство.

1.Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Дx. Тогда если Дx>0, то x<x+Дx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Дx), то есть f(x+Дx) - f(x)>0. Но тогда и

Аналогично, если Дx<0, то x>x+Дx и значит f(x+Дx)-f(x)<0, а

Переходя в этом равенстве к пределу при Дx>0, получим

, то есть f '(x)?0.

2.Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x ? (a,b). Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁ < x₂. Нужно доказать, что f(x₁)< f(x₂). По теореме Лагранжа существует такое число c ? (x₁, x₂), что . По условию f '(x)>0, x₁ - x₂>0? , а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga?0, а значит f '(x)?0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 - для возрастания или f '(x)<0 - для убывания.

Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

1. . Область определения заданной функции

D(y) = (-?; 0)?(0; +?).

.

Следовательно, f(x) - убывает на (-?; 0) и (0; +?).

2. 

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

Итак, f(x) - убывает на (-?; -1] и [1; +?), возрастает на отрезке [-1; 1].

3.  

.

Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +?)