Комплексні числа

Реферат

на тему:

Комплексні числа і дії над ними

Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов'язані своїм народженням цілком реальній задачі - задача розв'язання рівняння третього степеня.

Корені рівняння :

(1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

,

де D=(

Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1.Але якщо б ми розв'язали це рівняння за формулою Кардано . то отримали б :

Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам 16-17ст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося що вони не мають реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків 17-18 ст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

(1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У 18 столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

(1.3)

де -постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де -константа, -час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

(1.4),

де - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1796 році зумів найти відповідь на геометричне питання: при яких натуральних значеннях можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв'язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел

Протягом довгого часу комплексні числа вводились з допомогою такого твердження: «рівняння немає коренів, корінь з не існує. Позначимо цей вираз через і будемо розглядати числа виду , де -дійсні числа». В 1933 році ірландський математик У.Р. Гамільтон пояснив, що таке комплексні числа. Його підхід до побудови теорії комплексних чисел можна подати так. Розглянемо всі можливі пари звичайних чисел взятих у визначеному порядку. Кожну таку упорядковану пару називають комплексним числом. Для запису комплексного числа можна запропонувати кілька способів: . В математиці прийнято позначати (1.5). Значок застосовується для того, щоб як-небудь відрізняти одне звичайне число з пари від другого. Знак не говорить про додавання, він тільки вказує на те що ми об'єднуємо два дійсних числа в щось єдине. Для цього позначимо (1.5) деякою буквою z: (1.6). Перше дійсне число, яке входить в цю пару(число ), називається дійсною частиною числа , і позначають так: . Друге дійсне число із пари (1.6) (число ) називається уявною частиною комплексного числа і позначають . По даному визначенню уявна частина будь-якого комплексного числа - це завжди деяке дійсне число. Щоб пару (1.6) можна було вважати числами, потрібно попередньо означити правила їх порівняння та арифметичні дії над ними Введемо для комплексних чисел такі закони.

Закон 1. Два комплексні числа вважаються рівними в тому випадку, якщо вони мають однакові дійсні і уявні частини:

Закон 2. Додавати, віднімати і множити комплексні числа потрібно так, як многочлени відносно змінної ; при цьому потрібно враховувати що

Якщо то

Закон 3. Ділення комплексних чисел можна визначити як дію, обернену до множення: ділення комплексного числа на число називається число , таке що .Тоді можна записати що .

Закон 4. Комплексні числа скорочено можна записати так:.

Комплексні числа виду називають дійсними, а числа виду - чисто уявними; число 0 - єдине комплексне число, яке одночасно являється і дійсним і чисто уявним.

Комплексні числа виду , де часто називають уявними. Закони 1-4 забезпечують для комплексних чисел збереження основних законів арифметики для дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає такого числа , яке задовольняє нерівність . В той же час рівність показує, що серед комплексних чисел корінь такого рівняння існує. Таким числом являється . Легко показати, що другим коренем такого рівняння є число (). Запишемо формули для натуральних степенів числа : .

Ділення комплексних чисел

Частка двох комплексних чисел знаходиться як розв'язок рівняння

(1.7)

Якщо , , то , то рівняння (1.7) можна переписати у вигляді :

(1.8)

або .

Для знаходження дійсної та уявної частини отримаємо таку систему з двох рівнянь з двома невідомими:

(1.9)

Розв'язуючи цю систему, легко знайти ,, а отже і число . Отже, ми отримали, що ділення на будь-яке комплексне число, відмінне від нуля, завжди є можливим і при цьому однозначним.

Означення: два комплексні числа, у яких дійсні частини рівні, а уявні являють собою протилежні числа, називаються спряженими.

Число спряжене до числа позначають . Якщо , то .

Означення: модулем комплексного числа називається невід'ємне число , яке задається формулою , і позначають .

Отже .

Твердження: для будь-якого комплексного числа справедлива рівність , тобто добуток двох спряжених комплексних чисел завжди являється дійсним невід'ємним числом і рівний квадрату їх модуля.

Для знаходження частки від ділення двох комплексних чисел достатньо записати цю частку у вигляді дробу, а потім помножити її чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника. Обчисливши отримане рівняння легко відділити дійсну і уявну частини. Тобто: .

Для знаходження числа, спряженого до результату якої-небудь арифметичної операції над комплексними числами, достатньо спочатку опустити знак спряження на кожне із чисел даної операції, а потім над отриманими спряженими числами виконувати вказану операцію.

Зауваження 1: сума двох спряжених чисел - завжди дійсне число, а їх різниця - чисто уявне число.

Зауваження 2: вираз “число - дійсне” рівносильний формулі , а вираз “число - чисто уявне” - формулі .