5

Курсова робота

Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії

План

І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування 3

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел 3

1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел 5

1.3. Ділення комплексних чисел 6

1.4. Комплексні координати точок і векторів 8

1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа 9

1.6. Геометричний зміст модуля різниці 10

1.7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування 10

1.8. Показникова форма комплексного числа 13

1.9. Комплексний множник як оператор 14

1.10. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні

числа і центр мас 17

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії 20

2.1. Прямі на комплексній площині 20

2.2 Коло на комплексній площині

2.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного

кола 22

2.4. Геометричні застосування визначників з комплексним

елементами 23

2.5. Корені з комплексних чисел 24

2.6. Уявні числа і плоскі многокутники 26

2.6.1. Побудова правильних многокутників 28

2.6.2. Уявні числа і площа многокутника 32

Література 34

І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов'язані своїм народженням цілком реальній задачі - задача розв'язання рівняння третього степеня.

Корені рівняння:

(1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

,

де D=(

Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1.Але якщо б ми розв'язали це рівняння за формулою Кардано, то отримали б :

Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам 16-17ст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося що вони не мають реального змісту. Г.В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків 17-18 ст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

(1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У 18 столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

(1.3)

де - постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де - константа, - час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

(1.4),

де - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1796році зумів найти відповідь на геометричне питання: при яких натуральних значеннях можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв'язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел

Протягом довгого часу комплексні числа вводились з допомогою такого твердження: «рівняння немає коренів, корінь з не існує. Позначимо цей вираз через і будемо розглядати числа виду , де - дійсні числа». В 1933 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив, що таке комплексні числа. Його підхід до побудови теорії комплексних чисел можна подати так. Розглянемо всі можливі пари звичайних чисел взятих у визначеному порядку. Кожну таку упорядковану пару називають комплексним числом. Для запису комплексного числа можна запропонувати кілька способів: . В математиці прийнято позначати (1.5). Значок застосовується для того, щоб як-небудь відрізняти одне звичайне число з пари від другого. Знак не говорить про додавання, він тільки вказує на те що ми об'єднуємо два дійсних числа в щось єдине. Для цього позначимо (1.5) деякою буквою z: (1.6). Перше дійсне число, яке входить в цю пару(число ), називається дійсною частиною числа , і позначають так: . Друге дійсне число із пари (1.6) (число ) називається уявною частиною комплексного числа і позначають . По даному визначенню уявна частина будь-якого комплексного числа - це завжди деяке дійсне число. Щоб пару (1.6) можна було вважати числами, потрібно попередньо означити правила їх порівняння та арифметичні дії над ними Введемо для комплексних чисел такі закони.

Закон 1. Два комплексні числа вважаються рівними в тому випадку, якщо вони мають однакові дійсні і уявні частини:

Закон 2. Додавати, віднімати і множити комплексні числа потрібно так, як многочлени відносно змінної ; при цьому потрібно враховувати що

Якщо то

Закон 3. Ділення комплексних чисел можна визначити як дію, обернену до множення: ділення комплексного числа на число називається число , таке що .Тоді можна записати що .

Закон 4. Комплексні числа скорочено можна записати так:.

Комплексні числа виду називають дійсними, а числа виду - чисто уявними; число 0 - єдине комплексне число, яке одночасно являється і дійсним і чисто уявним.

Комплексні числа виду , де часто називають уявними. Закони 1-4 забезпечують для комплексних чисел збереження основних законів арифметики для дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає такого числа , яке задовольняє нерівність . В той же час рівність показує, що серед комплексних чисел корінь такого рівняння існує. Таким числом являється . Легко показати, що другим коренем такого рівняння є число (). Запишемо формули для натуральних степенів числа : .

1.3. Ділення комплексних чисел

Частка двох комплексних чисел знаходиться як розв'язок рівняння

(1.7)

Якщо , , то , то рівняння (1.7) можна переписати у вигляді :

(1.8)

або .

Для знаходження дійсної та уявної частини отримаємо таку систему з двох рівнянь з двома невідомими:

(1.9)

Розв'язуючи цю систему, легко знайти ,, а отже і число . Отже, ми отримали, що ділення на будь-яке комплексне число, відмінне від нуля, завжди є можливим і при цьому однозначним.

Означення: два комплексні числа, у яких дійсні частини рівні, а уявні являють собою протилежні числа, називаються спряженими.

Число спряжене до числа позначають . Якщо , то .

Означення: модулем комплексного числа називається невід'ємне число , яке задається формулою , і позначають .

Отже .

Твердження: для будь-якого комплексного числа справедлива рівність , тобто добуток двох спряжених комплексних чисел завжди являється дійсним невід'ємним числом і рівний квадрату їх модуля.

Для знаходження частки від ділення двох комплексних чисел достатньо записати цю частку у вигляді дробу, а потім помножити її чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника. Обчисливши отримане рівняння легко відділити дійсну і уявну частини. Тобто: .

Для знаходження числа, спряженого до результату якої-небудь арифметичної операції над комплексними числами, достатньо спочатку опустити знак спряження на кожне із чисел даної операції, а потім над отриманими спряженими числами виконувати вказану операцію.

Зауваження 1: сума двох спряжених чисел - завжди дійсне число, а їх різниця - чисто уявне число.

Зауваження 2: вираз “число - дійсне” рівносильний формулі , а вираз “число - чисто уявне” - формулі .

1.4. Комплексні координати точок і векторів

Візьмемо на площині декартову систему координат (мал.1). Нехай Z- деяка точка на площині. Її положення визначається двома дійсними числами . Поставимо у відповідність точці Z комплексне число . Це комплексне число будемо називати комплексною координатою точки Z. І на оборот, кожному комплексному числу на декартовій площині відповідає визначена точка Z. Враховуючи це, можна сказати, що комплексне число - це точка на площині.

Точки осі абсцис і тільки вони, мають своїми комплексними координатами дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі ординат і тільки вони мають своїми координатами чисто уявні числа. Тому вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для наочного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою площиною і позначають буквою C. Комплексною координатою початку координат O являється число нуль. В зв'язку з цим початок координат називають нульовою точкою комплексної площини.

Виберемо на координатній площині який-небудь вектор . Розглянемо рівний йому вектор з початком в нульовій точці. Нехай кінець цього вектора має комплексну координату . Тоді число будемо називати комплексною координатою вектора . Звідси бачимо, що: 1) рівні вектори мають одну і ту ж комплексну координату; 2) комплексна координата вектора з початком в початку координат співпадає з координатою його кінця. Можна сказати так: якщо проекція деякого, розміщеного на декартовій площині, вектора на вісь абсцис рівна , а його проекція на вісь ординат рівна , то комплексною координатою вектора називається число . Справедливі такі твердження:

- 1.При додаванні векторів їх комплексні координати додаються;

- 2.Комплексна координата напрямленого відрізка рівна різниці між комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його початку;

- 3.Комплексна координата середини рівна пів сумі комплексних координат його кінців;

1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа

З кожним комплексним числом пов'язане поняття його модуля і аргументу. Якщо - комплексна координата вектора , то модулем цього числа називається модуль . Кут нахилу вектора до додатного напряму осі називається аргументом числа . У кожного комплексного числа відмінного від нуля, є безліч аргументів. Будь-які два із них відрізняються між собою на число, кратне . Аргумент , який знаходиться на проміжку , називається головним значенням аргументу і позначається . Точніше, - це той із аргументів числа , який задовольняє нерівність .

Нехай який-небудь із аргументів числа , а число , , тоді , . Звідси випливає тригонометрична форма комплексного числа.

.

Якщо відомо про числа і , що їх модулі рівні і , а числа і є їх аргументами, то рівність має місце тільки при , де . Іншими словами, два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне .

1.5. Геометричний зміст модуля різниці

Нехай і - дві точки на комплексній площині, які мають комплексні координати відповідно і . Розглянемо вектор і позначимо його комплексну координату через . , відповідно . Але - це довжина вектора . Тому число геометрично можна тлумачити як відстань між точками з комплексними координатами і .

Твердження 1: модуль суми двох комплексних чисел і не перевищує суми модулів цих чисел: .

Твердження 2: для будь-яких комплексних чисел і справедлива рівність .

Теорема Ейлера: сума квадратів сторін будь-якого плоского чотирикутника більша суми квадратів його діагоналей на чотири квадрати відрізка, який сполучає середини діагоналей.

Звідси випливає, що якщо в плоскому чотирикутнику сума квадратів діагоналей рівна сумі квадратів всіх його сторін, то чотирикутник - паралелограм.

1.6. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування

Справедлива рівність . (1.10)

Формулу (1) називають формулою Ейлера. Виконуються такі властивості

, (1.11)

(1.12)

(1.13)

Покажемо це .

Отже, формула (1.11) вірна для будь-яких і . Поставивши в (1.11) , отримаємо: , а звідси випливає, що , тобто формула (1.12).

Для доведення формули (1.13) для будь-яких натуральних скористаємося методом математичної індукції. При формула (1.13) є очевидною. Нехай вона має місце для : . Покажемо, що формула (1.13) справедлива для :

.

Отже, формула (1.13) справедлива для будь-якого натурального . Нехай - ціле від'ємне число, тобто , де - натуральне число.

Отже формула (1.13) справедлива для будь-якого . Її називають формулою Муавра. Відома інша форма запису: . З формули Ейлера випливає дві формули які виражають і через уявні експоненти:

. (1.14)

Додаючи формули (1.10) і (1.14) отримаємо:

,

які рівносильні формулам: , .

Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв'язувати різні задачі, яки пов'язані з тригонометричними функціями. Їх можна використовувати при обчисленні різних тригонометричних сум, з якими доводиться зустрічатися в різних прикладних дисциплінах. Загальний принцип обчислення таких сум полягає в тому, що дану дійсну суму замінюють деякою комплексною сумою, яку обчислюють за допомогою використання формул суми членів геометричної прогресії.

Наприклад: Обчислити суму: , де

,

.

За формулами Ейлера і Муавра маємо:

Обчислимо за формулою суми членів геометричної прогресії: .

Для того щоб знайти і достатньо з виділити дійсну і уявну частину.

Отже, , .

Формули Ейлера можна використовувати також при вивченні коливальних процесів. Розглянемо два гармонічні коливання точки з одною частотою :

де - амплітуди коливань, а - початкові фази.

Покажемо, що при додаванні гармонічних коливань отримаємо гармонічне коливання з такою ж частотою .

Цю суму можна розглянути як уявну частину комплексного суми , тобто .

Запишемо комплексне число в показниковій формі : =. Тоді . Отже, - частота гармонічного коливання , - його амплітуда.

Позначимо різницю початкових фаз через . Обчислимо амплітуду отриманого гармонічного коливання. Враховуючи, що , отримаємо: Дана формула показує, що максимальна амплітуда результуючого коливання рівна (при ) , тобто тоді коли початкові фази в двох коливаннях однакові. Якщо і , то при додаванні коливань точка залишиться в стані спокою.

1.8. Показникова форма комплексного числа

Ми розглядали тригонометричну форму запису комплексного числа: .

Формула Ейлера дозволяє записати комплексне число в компактній формі: , де - аргумент числа, а - його модуль. Це так звана показникова форма запису комплексного числа. Для отримання показникової форми запису комплексного числа не потрібно попередньо записувати його в тригонометричній формі.

Якщо маємо показникову форму запису комплексного числа, то можна вказати його модуль і аргумент.

Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох комплексних чисел, відмінних від нуля.

Нехай Запишемо кожний із множників в показниковій формі: , . Тоді .

Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є справедливе для будь-якої кількості множників.

В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Нехай тепер .

Записавши множники в показниковій формі отримаємо: .

Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

1.9. Комплексний множник як оператор

Нехай маємо на площині деякий вектор (мал.2), а - його комплексна координата. Повернемо цей вектор навколо його початку на кут (проти годинникової стрілки, якщо >0 , або за годинниковою стрілкою, якщо <0) і розтягнемо в разів (якщо то відбудеться стискання). В результаті отримаємо вектор , з комплексною координатою .

Виникає питання: як виражається число через числа ?

Нехай . Очевидно, що , -один із аргументів числа . Тому . Позначимо і отримаємо, що .

Отже, якщо вектор повернути на кут і розтягнути в разів то це означає що його комплексну координату потрібно помножити на деяке комплексне число . І навпаки, якщо комплексну координату деякого вектора помножити на комплексне число , то отримане число буде представляти собою комплексну координату вектора , який буде отриманий з вектора шляхом повороту і розтягу.

Можна сказати так: кожний комплексний множник () можна геометрично трактувати як оператор повороту і розтягу, який переводить вектор з координатою в вектор з координатою . Отриманий висновок справджується і втому випадку, якщо початок вектора не співпадає з початком координат.

Якщо , то комплексне число являє собою оператор повороту. Наприклад, комплексне число являє собою поворот на радіан.

Твердження: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді коли відношення їх комплексних координат є дійсним числом (до того ж додатнє, якщо вектори спів напрямлені, і від'ємне , якщо вектори протилежно напрямлені ).

Дійсно, якщо вектори , мають комплексні координати , і є спів напрямлені (мал.3) , то (з точністю до числа, кратного ), і ; якщо протилежно напрямлені (мал.4), то (з точністю до числа, кратного ), і .

Якщо вектори не колінеарні, то і число не є дійсним.

Задача: на сторонах трикутника (мал.5)

побудовані квадрати, які не мають спільних внутрішніх точок з трикутником, і позначимо центри їх мас через . Довести справедливість співвідношень:; .

Доведення: виберемо в площині трикутника декартову систему координат . Комплексні координати точок і вектори відповідно будемо позначати через . Виразимо і через . Маємо, що , . Для знаходження відмітимо середину відрізка і позначимо її комплексну координату через . Вектор має комплексну координату . Вектор можна отримати із вектора поворотом на кут радіан, тому комплексна координата вектора рівна . Тоді .

Аналогічно отримуємо, що

,

.

Обчислимо , .

Звідси видно, що . Це означає, що при повороті вектора на кут проти годинникової стрілки отримаємо вектор , причому =. В такому випадку , .

1.10. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні числа і центр мас

Застосування комплексних чисел спрощує розв'язування складних задач на побудову (з допомогою циркуля і лінійки). Суть цього методу полягає в тому, що ми зводимо задачу до побудови якої-небудь точки, а комплексну координату цієї точки виражаємо формулою через величини, які можна вважати відомими. По отриманій формулі будуємо шукану точку. Цей метод доцільно застосовувати в задачах, де мова йде про повороти.

Нехай на площині вибрано декілька точок (мал.6) і в кожній точці поміщені маси . Матеріальні точки, які виникли в результаті визначимо так:. Центром мас цієї системи матеріальних точок називається така точка, для якої справедлива векторна рівність:

. (1.15)

Виберемо на площині декартову систему координат, тоді точки отримують комплексні координати, які позначимо буквами . Вектори мають комплексні координати , а рівність (1.15) рівносильна рівності:

(1.16)

звідки отримуємо формулу для комплексної координати центра мас:

(1.17)

Із формул (1.16)-(1.17) випливають важливі властивості центра мас:

1.Кожна система матеріальних точок з ненульовою сумарною масою має центр мас і до того ж єдиний.

2.Центр двох додатних мас розміщений на відрізку, який з'єднує ці матеріальні точки, і його положення задовольняє таке правило: . Якщо маси не рівні, то центр двох мас ближче до більшої з них.

3.Якщо в системі матеріальних точок

(1.18)

відібрати декілька матеріальних точок

(1.19)

і зосередити їх сумарну масу в їх центр мас , то від цього положення центра мас всієї системи (1.18) не зміниться. Іншими словами система матеріальних точок

(1.20)

має той же центр мас, що й система (1.18).

Як для механіки, так і для геометрії, важливою є теорема Лагранжа про моменти інерції. Нехай на площині є матеріальна точка і точка . Ейлер назвав моментом інерції матеріальної точки відносно точки величину ,а моментом інерції системи матеріальних точок відносно точки : . Виявляється, що, якщо відомий момент інерції системи матеріальних точок (1.18) відносно її центра мас, то легко знайти її момент інерції відносно будь-якої іншої точки .

Теорема Лагранжа. Момент інерції системи матеріальних точок

відносно точки може бути виражений через момент інерції тієї ж системи відносно її центра мас за формулою , де - сумарна маса системи (1.19), тобто .

Доведення. Для конкретності обмежимося випадком трьох матеріальних точок, які лежать в одній площині. Виберемо на площині декартову систему координат. Нехай точки мають комплексні координати . Тоді

, (1.21)

, (1.22)

.

Оскільки

(1.23)

то .

Аналогічно:

,

.

Додаючи почленно останні три рівності і враховуючи рівності (1.17), (1.21)-(1.22), отримаємо: .

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії

2.1. Прямі на комплексній площині

На комплексній площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

, де . (2.1)

Не важко записати те ж рівняння прямої в комплексній формі. Для цього достатньо ввести комплексну змінну . Відомо, що , . Тоді (2.1) можна записати у вигляді:

.

Позначимо комплексне число через . Тоді , і рівняння прямої буде мати вигляд:

, (2.2)

де - комплексне число, , а - дійсне. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки . Дійсно, при будь-якому виборі точки на прямій вектори і колінеарні, тому відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом, звідки:

. (2.3)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Напишемо рівняння прямої , яка проходить через дану точку і паралельно заданому вектору , який заданий своєю комплексною координатою (мал.7). Тоді при будь-якому виборі точки на прямій вектор колінеарний вектору , відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки прямої задовольняє умову . Це і буде шукане рівняння прямої. Число є уявне, і його можна записати у вигляді , де - дійсна константа. Отримаємо:

. (2.4)

Рівнянням вигляду (2.4) може бути задана будь-яка пряма. При цьому - кут нахилу прямої до дійсної осі. Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно вектору , де - нульова точка (мал.8). Нехай - точка цієї прямої. Тоді вектор колінеарний вектору з комплексною координатою . Тому - дійсне число і, відповідно, рівне спряженому до нього числу: , тобто . Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Щоб знайти комплексну координату точки перетину двох прямих і , потрібно розв'язати систему з двох рівнянь і знайти , або .

2.2 Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R - це множина усіх тих точок Z, для яких відстань CZ дорівнює R, тобто

(2.5)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.5) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

(2.6)

де б - комплексне число, г - дійсне. Однак рівняння вигляду (2.6) не при кожному г задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.6) записати так:

(2.7)

а це рівняння задає коло лише за умові, що . При рівнянню (2.6) задовольняє лише одна точка , а при - жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.7), тобто зовсім не існує точок, що задовольняють умові (2.6).

Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола Г, що проходить через три дані точки Z₁, Z₂, Z₃. Виведемо це рівняння. Точки Z₁ іZ₂ (мал. 9) поділяють коло на дуги Г' і Г". Нехай Г' - та з них, що виникає при русі від Z₁ до Z₂ у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Будемо вважати, що Г' - дуга, що не містить точку Z₃, - а дуга Г" містить Z₃. Радіаyну міру дуги Г' позначимо через 2ц. Тоді , і вектор може бути отриманий з вектора поворотом на кут ц з наступним розтягом. Тому

(2.8)

де t - дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка лежить на дузі Г", маємо аналогічна рівність:

(2.9)

де t, - додатне число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г', то кут Z₁ZZ₂ - містить р-ц радіан, причому проходиться в від'ємному напрямку (мал. 10). Тому

(2.10)

де t₂ - додатне число.

З (2.8) і (2.9) - (2.10) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

(2.11)

Це і є рівняння кола, що проходить через три задані точки Z₁, Z₂, Z₃. У тому випадку, коли точки Z₁, Z₂, Z₃ лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.11) має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

2.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола

Одиничним колом в комплексному аналізі прийнято називати коло, у якого центром є нульова точка (початок координат), а довжина радіуса рівна одиниці. На ньому, очевидно, розташовані ті і тільки ті точки площини, чиї комплексні координати z задовольняють умову . Цю умову можна переписати так:, тобто , або . Таким чином, для координати z точки одиничного кола (і тільки для координати такої точки) число спряжене співпадає з оберненим числом .

Якщо ми маємо на площині будь-яке коло щ з центром у деякій точці О и радіуса R, то можна вибрати декартову систему координат так, щоб початком координат був центр О цього кола. Тоді координати z точок кола будуть задаватися умовою , або . Тому викладення, зв'язані з такими колами, теж прості. При необхідності можемо від такого кола перейти до одиничного за допомогою гомотетії з центром у точці О. Аналітично це означає заміну змінних: .

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв'язані з колом з центром у нульовій точці.

2.4. Геометричні застосування визначників з комплексним елементами

Рішення деяких геометричних задач значно спрощується, якщо скористатися визначниками третього порядку. Визначники (їх також називають детермінантами) були уперше введені Г.В.Лейбніцем у зв'язку з розв'язанням систем лінійних рівнянь. Нехай потрібно розв'язати систему двох рівнянь (з дійсними чи комплексними коефіцієнтами):

(2.12)

Одержимо (якщо ):

,

Розв'язок буде, і притому єдиний, якщо . Вираз називають визначником другого порядку і записують так:

'

Розв'язок системи (2.12) можна записати так:

Під визначником, третього порядку

приймають такий многочлен: .

Таке визначення зручне для розв'язання системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

(2.13)

Виявляється, що якщо визначник

то розв'язок системи єдиний і він може бути отриманий за формулою:

, ,

де

.

При d1=d2=d3=0 система (2.13) здобуває вид:

(2.14)

Таку систему називають однорідною. Вона завжди має розв'язок (трійка чисел х=0, у=0, z=0), що називається тривіальним, або нульовим. Іноді тривіальний розв'язок системи (2.14) є єдиним. Однак є однорідні системи рівнянь, у яких, крім тривіального, існують і інші рішення. Така, наприклад, система х_у=0, у-z=0, z-х=0 (одне з її нетривіальних рішень: 7, 7, 7).

2.5. Корені з комплексних чисел

Коренем п-го степеня (п - натуральне число) з комплексного числа z називають кожне таке комплексне число щ, для якого виконується рівність . Той факт, що комплексне число щ є коренем n-го степеня з комплексного числа z, записують так:

Враховуючи, наприклад, що і²=-1, і ми можемо сказати, що значеннями кореня квадратного з числа -1 є комплексні числа i і -i. Цей приклад, зокрема, свідчить про те, що корінь п-го степеня з комплексного числа визначається неоднозначно. Виникає питання: скільки різних значень має корінь п-го степеня з комплексного числа z і як усі вони можуть бути обчислені?

Формули Єйлера і Муавра дозволяють отримати просте правило для добування кореня з комплексного числа. Нехай , , (ц- аргумент числа z) і нехай , (, б-аргумент числа щ). Рівність можна записати так: . Зіставляючи модулі й аргументи обох частин останньої рівності, записуємо:

(2.15)

(2.16)

де k -- деяке ціле число.

Із (2.15) випливає, що (у правій частині записаний +арифметичний корінь п-го степеня з числа r, так що -додатне число). А з (2.16) одержуємо: , де k -- ціле число. Легко перевірити, що при будь-якім цілому числі k число задовольняє умові , тобто щ являється одним зі значень кореня п-го степеня з числа z. Отже, безліч усіх чисел, що є коренями п-го степеня з числа z, задається формулою:

(2.17)

де k - будь-яке ціле число.

Формулу (2.17) можна записати так (у тригонометричній формі):

(2.18)

Скільки ж різних значень кореня п-го степеня з числа z одержимо по формулі (2.17) при всеможливих цілих значеннях k? Виявляється, тільки п (при ). Дійсно, підставляючи у формулу (2.17) замість k цілі числа 0, 1, 2, ..., п-1, можна переконатися, що всі одержувані при цьому значення кореня n-го степеня являють собою числа з попарно різними аргументами, що відрізняються один від одного менше, ніж на 2р, і зображуються попарно різними векторами, а отже, різні. Якщо ж k приймає будь-яке інше ціле значення, то його можна представити у виді де q-ціле число, а р--одно з чисел 0, 1, 2, ,п-1. Тоді:

Тому відповідному обраному значенню k значення збігається з одним з раніше отриманих (при k=0, 1, 2,..., n-1) значень кореня п-го степеня із числа z.

Отже, корінь п-го степеня з комплексного числа має п різних значень, які можуть бути обчислені по формулі (2.17) або (2.18) при k=0, 1, ..., n- 1.

2.6. Уявні числа і плоскі многокутники

2.6.1 Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, шестикутників з допомогою циркуля і лінійки було відомо грецьким геометрам ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому це не удалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу розв'язання цієї за дачі. Питання про побудову правильного семикутника був вирішений у 1796 р. німецьким математиком К. Ф. Гауссом. Більш того Гаусс одержав теорему, що дозволяє для кожного натурального числа п сказати, чи можна циркулем і лінійкою побудувати правильний п-кутник чи така побудова неможлива. Проблему побудови правильних многокутників Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел

Будемо вважати, що п - просте число. Зрозуміло, що побудова правильного п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти будь-яке коло щ, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці, розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну координату. Зокрема, точка Z₀ перетину кола з додатною віссю осі абсцис буде мати координату z₀=1. Правильний п-кутник, що має Z₀ однією зі своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Z_k, з комплексними координатами:

(k=1,2,...,п-1)

Усі ці числа - відмінні від одиниці корені рівняння тобто корені рівняння

(2.19)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними координатами z_k (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені рівняння (2.19). Тому рівняння (2.19) називають рівнянням поділу кола. Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного п_кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

Якщо п - просте число, то послідовно підносячи в натуральні степені будь-якій, не рівний одиниці, корінь рівняння , можна знайти всі корені п_го степеня з одиниці. Геометрично це означає, що якщо крім вершини Z₀ побудована на колі яка-небудь одна вершина Z_k, то, відкладаючи послідовно по колу п-2 рази дугу Z₀Z_k. одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при простому п) питання про можливість побудови за допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній площині який-небудь корінь рівняння (2.19) поділу кола.

Розглянемо три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

(2.20)

З'ясуємо, чи можливо побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння (2.20)

(2.21)

Покладемо

(2.22)

де під z розуміємо число (2.21). Тоді:

(2.23)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.20), те воно задовольняє і рівнянню

(2.24)

У силу (2.22) маємо і рівняння (2.24) здобуває вид:

Із (2.23) видно, що нас цікавлять додатні корені цього рівняння . Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.21). Тим самим не тільки встановлена можливість побудови правильного п'ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

, або

Нехай z- який-небудь його корінь. Покладемо тоді легко знайти, що , і ми приводимо рівняння до виду:

(2.25)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.25) не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки.

3) Нехай п=17.

У цьому випадку задача зводиться до побудови відрізка До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі співвідношення:

(2.26)

Позначимо:

,

.

Зі співвідношення (2.26) ясно, що . З іншого боку, виходячи з того, що , неважко встановити, що .Отже г₁ та г₂ - корені квадратного рівняння г²+г-4=0, так що .Ці корені можна легко побудувати (по абсолютній величині). Щоб відрізнити один корінь від іншого, помітимо, що . Це число - від'ємне, так що

Маючи величини г₁ і г₂, можна побудувати величини: , , та . Дійсно, , , так що в₁ і в₂ - корені рівняння а, отже:

Тому що

то

,

Точно так само можна показати, що

,

Позначимо , . Тоді , , так що величини б₁ і б₂ є коренями рівняння:

тобто

Тому що

,

то і відповідно

Вважаючи, що в₁ і в₂ уже побудовано, відмітимо, що циркуль і лінійка дозволяють тепер побудувати відрізок довжини .

Проводячи аналогічні міркування, К.Ф.Гаусс у 1796 р. довів теорему: побудова правильного п-угольника за допомогою циркуля і лінійки можливо в тому, і тільки в тому випадку, коли число п може бути представлене у виді де попарно різні прості числа виду , а число m - ціле ненегативне.

Зокрема, якщо п - просте число, то для побудови правильного п-кутника за допомогою циркуля і лінійки необхідно і досить, щоб число п мало вид .

2.6.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні)

Надалі ми скористаємося декількома зауваженнями, що легко перевіряються.

I. Уявна частина суми декількох комплексних чисел дорівнює сумі уявних частин доданків.

II. Нехай р и q -- два яких-небудь комплексних числа, Ф и Ш - їхні аргументи. Тоді

(2.27)

Дійсно, легко підрахувати, що

;

звідси випливає рівність (2.27).

III. Нехай розташований на комплексній площині; р и q - комплексні координати векторів і , причому . Тоді площа трикутника OPQ (будемо її позначати: (OPQ)) зв'язана з числами р и q залежністю:

(2.28)

Для доказу досить у (2.27) покласти , і врахувати, що тоді права частина в (2.27) -- це подвоєна площа .

IV. Нехай у вектори , і мають відповідно комплексні координати р, q і m, причому . Тоді

(2.29)

Справді, нехай q - комплексна координата вектора . Тоді

Література

1. Балк М. Б., Виленкин Н. Я., Петров В. А. Математический анализ. Теория аналитических функций.- М.: Просвещение, 1985.- 160 с.

2. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках.- М.: Наука, 1985.- 191 с.

3. Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано.- М.: Знание, 1980.- 191 с.

4. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.- М.: Наука, 1973.- 144 с.

5. Кострикин А. И. Введение в алгебру.- М.: Наука, 1977.- 495 с.

6. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения.- М.: Наука, 1979.- 56 с.

7. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций.- М.: Просвещение, 1977.- 320 с.

8. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел.- М.: Наука, 1986.- 117 с.

9. Яглом И. М. Комплексные числа и их применения в геометрии.- М.: Физматгиз, 1963.- 192 с.