Компенсация погрешности измерения фрактальной размерности при оценке механического состояния материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Компенсация погрешности измерения фрактальной размерности при оценке механического состояния материалов

Напрюшкин А.А.

Кибиткин В.В.

При циклическом нагружении материал элементов конструкций под действием внешних сил деформируется, в нем происходит постепенное накопление повреждений и образование усталостных трещин. Как правило, существует однозначная взаимосвязь между деформацией материала и его механическим состоянием. Деформация всегда сопровождается изменением рельефа поверхности элемента конструкции, и, следовательно, его изображения в принципе позволяют оценить остаточный ресурс. Преимущество фрактального подхода заключается в слабой зависимости результата оценки фрактальной размерности (ФР) от поворотов камеры, условий освещения и оптического увеличения.

В работе были разработаны компьютерные программы расчета ФР методами треугольных призм, «box counting» (BC), вариаций, вариограмм, изаритм, итерационных покрытий, Пентланда и вероятностным методом и, а также созданы искусственные поверхности методами Фурье фильтрации, смещения средней точки и угловых смещений. Значения ФР задавались в диапазоне с шагом . Для каждого наперед заданного значения ФР создавали 10 модельных изображений и затем вычисляли среднее значение. Размер изображений составлял 512512 пикселей при 256 градациях серого. трещина фрактальный размерность рельеф

Критерием качества как метода измерения ФР, так и алгоритма генерации будем считать условие (1):

.

Из рис. 1 видно, что требованию (1) не удовлетворяет ни один из методов измерения ФР. Зависимости для метода генерации угловых смещений (рис.1,в) имеют -образную форму и не соответствуют условию линейности. В методе смещения средней точки (рис. 1,б) два метода (BC, вариационнный) также не соответствуют условию линейности. Наиболее качественным выглядит метод генерации Фурье фильтрации (рис.1,а), где условие линейности выполняется практически для всех методов измерения ФР. Значения ФР, полученные данным методом, и будем считать наперед заданными точными значениями .

Видно, что одни методы завышают реальные значения ФР (например, вариограмм), другие занижают (например, вариационный), однако все они могут быть аппроксимированы линейной зависимостью(2).

,

где - некоторые константы, относится к методу измерения ФР. Идеальная зависимость, отражающая равенство измеренного тем или иным методом значения ФР искусственной поверхности с наперед заданным значением , имеет вид (1). Для получения истинного значения ФР изображения каждую из прямых (рис. 1,а) приведем к виду (1) путем линейного преобразования

.

В этом случае каждая прямая будет приблизительно соответствовать условию (1). Значения будем называть скорректированными значениями фрактальной размерности.

Реальные изображения всегда измеряются с некоторой погрешностью. Смоделируем влияние мультипликативной погрешности измерения яркости изображения (пиксельного значения) на его значение фрактальной размерности.

Рис. 1. Средние значения ФР , рассчитанные методами Фурье фильтрации (а), смещения средней точки (б) и угловых смещений (в).

Каждую точку изображения (пиксель) с координатами можно рассматривать как амплитуду поверхности двумерного объекта, которая содержит ошибку (4).

,

где .

Здесь истинные значения сигнала, т.е. без погрешности, функция нормального распределения с математическим ожиданием, равным и дисперсией . Будем считать, что систематическая ошибка равна нулю, а плотность вероятности описывается нормальным законом распределения. Размах погрешности связан с дисперсией правилом шести сигма.

Обнаружено, что с ростом возрастают значения фрактальной размерности, а разные методы измерений обладают различной чувствительностью к этой погрешности.

Каждую зависимость для методов треугольных призм и изаритм аппроксимировали плоскостью методом наименьших квадратов в диапазоне , который обычно встречается в эксперименте. Это позволило получить систему линейных алгебраических уравнений

,

,

где , скорректированные значения ФР, рассчитанные методами треугольных призм и изаритм, соответственно.

Решая систему уравнений (6)(7), можно найти как истинное значение фрактальной размерности реального изображения , так и уровень мультипликативной погрешности:

,

.

Таким образом, линейные преобразования позволяют согласовать результаты измерений фрактальной размерности двумерного объекта, полученные различными методами, а совместное применение двух методов измерения ФР дает возможность на основе рассмотренного подхода существенно снизить влияние мультипликативной погрешности и оценить ее уровень.

Применение рассмотренных выше преобразований позволяет повысить точность измерения фрактальной размерности и чувствительность к изменению рельефа поверхности циклически нагруженного материала.

Работа поддержана грантом РФФИ №07-08-00060.

Размещено на Allbest.ru