Зубчатые механизмы

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Зубчатые механизмы



Зубчатые механизмы являются наиболее употребительными в технике. Такие механизмы лежат в основе конструкции почти всех передаточных механизмов, используемых в машинах. Вот наиболее общее определение этих механизмов: в зубчатом механизме движение передается посредством специальных выступов на звеньях, сменяющих друг друга в процессе работы; эти выступы называются зубьями, а звенья - зубчатыми колесами. Существует исключение - одно из звеньев зубчато-реечного механизма является зубчатой рейкой. Но большинство звеньев зубчатых механизмов - это зубчатые колеса, как правило, круглые, хотя и существуют зубчатые механизмы с некруглыми колесами [1], [2].

Различают два вида зубчатых механизмов: с неподвижными осями колес и с подвижными осями некоторых колес. В механизмах первого вида оси колес неподвижны относительно стойки: редукторы подъемных кранов, коробки передач автомобилей, коробки скоростей металлорежущих станков и т.д. В зубчатых механизмах второго вида оси некоторых колес подвижны относительно стойки. Такие механизмы называются планетарными, они лежат в основе конструкции планетарных редукторов, используемых, в основном, в транспортных машинах, в частности, в самолетах и вертолетах для передачи движения от двигателя к винту и в системах управления.

Виды зубчатых передач

Основу конструкции любого сложного зубчатого механизма составляют простейшие зубчатые механизмы, называемые передачами (точнее, зубчатыми передачами). Передача является трехзвенным механизмом, она содержит два зубчатых колеса и стойку. Различают три вида передач:

- с параллельными осями колес;

- с пересекающимися осями колес;

- с перекрещивающимися осями колес.

Рассмотрим их подробнее.

Передачи с параллельными осями колес.

У зубчатых колес таких передач зубья располагаются по образующим цилиндров. Поэтому они называются цилиндрическими передачами. Схема цилиндрической передачи показана на рис. 1а. В кинематических схемах машин такую передачу часто изображают в виде прямоугольников, как это показано на рис. 1б. Крестики внутри прямоугольников зубчатых колес обозначают их жесткое крепление на валах. Различают цилиндрические передачи прямозубые, косозубые и с шевронными зубьями. Зубья прямозубых колес параллельны их осям, зубья косозубых колес располагаются по винтовым линиям на цилиндрах. Угол наклона зубьев к оси колеса = (10 15)0 (рис. 1б). Легко представить, что из-за использования наклонных зубьев в косозубых передачах возникают осевые нагрузки. Чтобы избежать их, в тяжело нагруженных передачах используют зубья с двойным наклоном, так называемые шевронные зубья (рис. 1в). Надо сказать, что такие зубчатые колеса сложны в изготовлении, поэтому используются редко (например, в прокатных станах).

Передачи с пересекающимися осями колес.

У зубчатых колес таких передач зубья располагаются на образующих усеченных конусов, поэтому они называются коническими передачами. Схема конической передачи приведена на рис. 1г. Угол пересечения осей колес может быть любым, но в большинстве случаев

Рис. 1

этот угол равен 900. Коническую передачу часто изображают в виде усеченных конусов, как это показано на рис. 1д. Так же, как и в предыдущем случае, крестики означают жесткое крепление колес на валах. Среди конических передач различают прямозубые, косозубые и передачи с круговыми зубьями. Зубья прямозубых колес располагаются вдоль образующих усеченных конусов, косозубых - по винтовым линиям на конусах, а круговые зубья в плане очерчены по окружностям (для упрощения техпроцесса, такие зубья образуются круговым режущим инструментом).

Передачи с перекрещивающимися осями колес.

Зубья колес таких передач располагаются по образующим гиперболоидов вращения. Гиперболоид вращения образуется следующим образом. Если к оси, находящейся в подшипниках (рис. 2а) жестко прикрепить рейку, расположенную в другой плоскости, и привести эту жесткую систему во вращение вокруг оси, то рейка оставит в пространстве след, являющийся гиперболоидом вращения. Не смотря на то, что гиперболоид вращения - это поверхность двойной кривизны, он образован при помощи прямой линии. Поэтому, если к гиперболоиду вращения в определенном положении приложить прямую линейку, то она ляжет на его поверхность без зазора. Вдоль этих прямых, образующих гиперболоид, и располагаются зубья колес. Соответственно, такие передачи называются гиперболоидными.

Рис. 2

Для образования зубчатых колес используется не весь гиперболоид, а его отдельные части. Если для зубчатых колес взята средняя часть гиперболоида вращения (с на рис. 2а), то такие колеса образуют винтовую передачу (рис. 2б). Обычно, в такой передаче угол скрещивания валов равен 900, а зубья расположены на винтовых линиях, угол подъема которых - 450. С виду эти колеса подобны косозубым цилиндрическим, но с большим углом наклона зубьев. Кривизна гиперболоидной поверхности на малой ширине колеса не заметна.

Если для зубчатых колес взята крайняя часть гиперболоида (к на рис. 2а), то такие колеса образуют гипоидную передачу (рис. 2в). Обычно, в такой передаче, как и в предыдущем случае, угол скрещивания равен 900. С виду колеса гипоидных передач подобны косозубым коническим, но с большим углом наклона зубьев. Кривизна гиперболоидной поверхности незаметна. Гипоидные передачи используются в автомобилях и тракторах в качестве главной передачи к ведущим колесам для выполнения требований повышения проходимости или устойчивости этих колесных транспортных машин.

К передачам с перекрещивающимися осями колес относится и червячная передача (рис. 2г). Червяк 1 - это, как правило, однозаходный винт. Зубья червячного колеса 2 охватывают червяк в пределах определенного угла. Червячная передача может иметь большое передаточное отношение, но ее использование при больших мощностях ограничено из-за больших потерь на трение.

Основной закон зацепления. Эвольвента и ее свойства

Теория зубчатых зацеплений, геометрические параметры зубчатых колес и кинематика зубчатых передач базируются на основном законе зацепления [2], [17]. Зацепление - это картина контакта зубьев двух сопряженных (то есть, находящихся в зацеплении) зубчатых колес. Для демонстрации основного закона зацепления можно не рассматривать всех зубьев в контакте, достаточно ограничиться изображением только тех частей профиля зубьев, которые образуют высшую кинематическую пару.

На рис. 3 приведена схема контакта зубьев двух зубчатых колес. Чтобы показать принадлежность контактирующих частей зубьев зубчатым колесам 1 и 2, они соединены с соответствующими центрами вращения колес О1 и О2.

Прямая, проведенная через центры вращения колес, называется линией центров. Согласно теории высшей кинематической пары, через точку контакта К можно провести общую нормаль n-n к профилям зубьев. Вектор силы, передаваемой от первого колеса ко второму, будет располагаться вдоль этой нормали, поэтому, она называется линией действия. В точке пересечения нормали с линией центров находится точка Р, называемая полюсом зацепления.

Рис. 3.

Основной закон зацепления формулируется следующим образом: линия действия делит линию центров на части, обратно пропорциональные угловым скоростям сопряженных зубчатых колес.

Отношение угловых скоростей - это передаточное отношения, поэтому, можно записать:

Заметим, что в этой формуле имеет значение не только величина отрезков О1Р и О2Р, но и их направление. Для схемы на рис. 3 эти отрезки направлены противоположно. Следовательно, отношение их длин, отношение угловых скоростей и передаточное отношение - отрицательно, что говорит о противоположном направлении вращения сопряженных зубчатых колес.

Рассмотрим, как может изменяться картина зацепления и передаточное отношение в процессе передачи движения. Для этого изобразим еще одно положение зубчатых колес (звеньев 1 и 2) (рис. 4).

В процессе передачи движения контактирующие профили скользят друг по другу и контактная точка перемещается по какой-то линии. Геометрический след контактной точки называется линией зацепления (рис. 4).

В первой позиции нормаль n'-n', проведенная через контактную точку К', пересекает линию центров в полюсе Р', значит, передаточное отношение:

Во второй позиции нормаль n”-n”, проведенная через контактную точку К”, пересечет линию центров в полюсе Р”, который, в рассматриваемом случае, не совпадает с полюсом Р'. Передаточное отношение во второй позиции:

Из рис. 4 видно, что отношение отрезков в первой позиции и во второй различно, следовательно:

Рис. 4

Отсюда следует простой вывод: если угловая скорость первого зубчатого колеса постоянна, то есть, оно вращается равномерно, то, в рассматриваемом случае, угловая скорость второго колеса будет непостоянной, то есть, оно будет вращаться неравномерно.

Однако, для большинства случаев, это является неприемлемым. В машинах следует использовать зубчатые механизмы, обеспечивающие постоянную угловую скорость звеньев, то есть, необходим зубчатый механизм с постоянным передаточным отношением

Для соблюдения этого условия профили зубьев должны быть таковы, чтобы общая нормаль, проведенная через точку их контакта в любой позиции, проходила через одну и ту же точку (полюс Р) на линии центров, то есть, в процессе зацепления полюс Р не должен менять своего положения на линии центров.

Такому требованию отвечают профили зубьев, очерченные по некоторым кривым, наиболее употребительной из которых является эвольвента окружности. Более двухсот лет тому назад эту кривую для профилирования зубьев предложил использовать русский ученый немецкого происхождения Эйлер. И с тех пор эвольвентный профиль зубьев с успехом используется в подавляющем большинстве зубчатых механизмов машин во всем мире.

Рис. 5

Образование эвольвенты можно представить следующим образом. На барабан (рис. 5) намотана нить в направлении движения часовой стрелки. Будем разматывать эту нить, сохраняя ее натяжение. Конец нити описывает кривую, являющуюся эвольвентой.

Возможен другой способ: при перекатывании прямой по окружности точка этой прямой описывает эвольвенту. Прямая называется производящей прямой, а окружности - основной окружностью. Поэтому, можно сказать: эвольвента образуется при перекатывании производящей прямой по основной окружности.

Из способа получения эвольвенты следуют ее свойства, из которых отметим только те, которые используются при образовании зубьев колес и в процессе зацепления.

1. Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2. Центр кривизны эвольвенты находится на основной окружности.

3. Радиус кривизны эвольвенты в определенной точке равен длине дуги, смотанной с основной окружности.

Когда нить сматывается с барабана против часовой стрелки, то образуется правая эвольвента, так как она профилирует правую сторону будущего зуба колеса. Если нить намотана против часовой стрелки, а сматывается по часовой стрелки, то образуется левая эвольвента, профилирующая левую сторону зуба (рис.5).

Геометрические параметры эвольвентного нулевого зубчатого колеса

Чтобы получить эвольвентное зубчатое колесо, то есть, зубчатое колесо, профили зубьев которого очерчены по эвольвентам, надо центр основной окружности, от которой и образуется эвольвента, поместить в центр зубчатого колеса. Наибольшее распространение в технике имеют, так называемые, нормальные или нулевые зубчатые колеса (в отличие от ненулевых - положительных или отрицательных; разница между этими колесами будет описана ниже).

Геометрические параметры эвольвентных зубчатых колес стандартизованы. Рассмотрим эти параметры для нормального (нулевого) колеса.

К действительным параметрам зубчатого колеса относятся следующие: число зубьев z, боковые стороны которых очерчены по эвольвентам; радиус окружности вершин ra; радиус окружности впадин rf (рис. 6). Остальные параметры являются расчетными. Зуб по высоте условно делится на две части - головку и ножку при помощи делительной окружности с радиусом r. Высота зуба, то есть, расстояние между окружностями впадин и вершин, обозначается буквой h, высота головки зуба - ha, высота ножки зуба - hf, причем, в соответствии со стандартом,

(5.2)

Радиус основной окружности, от которой образуется эвольвента, rb. Эта окружность может быть больше или меньше окружности впадин, в зависимости от числа зубьев колеса. Эвольвента зуба образует с окружностью вершин острую кромку, а у основания зуба эвольвента плавно переходит в окружность впадин при помощи вспомогательной кривой, называемой галтелью.

Одним из основных параметров зубчатого колеса является шаг зубьев по делительной окружности р - это расстояние, измеренное по окружности, между одноименными профилями двух смежных зубьев (рис. 6). Половину шага составляет толщина зуба по делительной окружности - s, то есть, s = 0,5p.

Эвольвента, используемая для образования профиля зуба, начинается от основной окружности и срезается окружностью вершин. Эта часть эвольвенты определяется профильным углом - это угол между двумя касательными к делительной и основной окружностям, проведенными из одной точки делительной окружности. Подробнее о профильном угле см. [2], [17]. Для стандартных зубчатых колес = 200.

Рис. 6.

Из вышеперечисленных параметров надо выбрать один стандартный, с которым были бы связаны все остальные. Причем, этот параметр должен быть таким, чтобы его значение определяло величину зуба. Больше всего для этого приспособлен шаг зубьев:

Однако выражение величины шага включает иррациональное число , являющееся бесконечной десятичной дробью. Поэтому, шаг стандартизовать неудобно. Удобно сделать стандартной часть этого выражения без числа . Эта величина называется модулем зуба m:

Значение модуля связано с величиной зуба, а именно, модуль численно равен высоте головки зуба, то есть,

Модуль является стандартной величиной и измеряется в мм, поэтому, все размеры зубчатых колес измеряются в мм. Согласно стандарту, существующий ряд модулей включает значения от долей миллиметра до 100 мм. Вот только некоторые значения модулей: m = 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5;...100 мм. Запишем формулы, связывающие геометрические параметры зубчатого колеса с число его зубьев, стандартным модулем и стандартным профильным углом = 200:

- радиус делительной окружности, с учетом

- радиус окружности вершин, с учетом и рис. 6:

- радиус окружности впадин, с учетом и рис. 6:

- радиус основной окружности, из рис.6:

- высота зуба, с учетом



- шаг зубьев по делительной окружности, с учетом

- толщина зуба по делительной окружности:

Из этих формул следует: чтобы определить все геометрические размеры стандартного нормального зубчатого колеса достаточно знать только две величины - число зубьев z и модуль m.

Изготовление зубчатых колес. Положительные и отрицательные колеса. Технологические ограничения

Существует два метода изготовления зубчатых колес: метод копирования и метод обкатки.

Метод копирования предполагает копирование формы инструмента, при помощи которого вырезаются впадины между зубьями в заготовке колеса. В большинстве случаев, этими инструментами являются модульные дисковые или пальцевые фрезы (рис. 7). Фрезы называются модульными, так как каждая фреза может вырезать в заготовке колеса впадину между зубьями вполне определенного модуля. Однако форма зубьев одного и того же модуля может быть разной, она зависит от числа зубьев в колесе. Это следует из того, что кривизна эвольвенты зависит от радиуса основной окружности. Соответственно разной является и форма впадины между зубьями разного модуля. Значит, количество фрез одного модуля соответствует количеству зубчатых колес с разным числом зубьев этого модуля и может быть очень велико.

Рис. 7.

Чтобы уменьшить количество фрез, следует допустить некоторую погрешность формы зуба и обрабатывать зубчатые колеса с близким числом зубьев (например, 20, 21 и 22) одной модульной фрезой. Поэтому, на модульных фрезах маркируется модуль и диапазон чисел зубьев зубчатых колес, которые могут быть нарезаны этой фрезой.

Однако, это не единственный недостаток метода копирования. После вырезания одной впадины, заготовку зубчатого колеса следует повернуть на один угловой шаг, прорезать следующую впадину и т.д. до тех пор, пока не будут нарезаны все зубья. Кроме невысокой точности это метод весьма непроизводителен. Поэтому, в настоящее время, метод копирования при изготовлении зубчатых колес резанием практически не используется. Он используется в массовом производстве при изготовлении зубчатых колес литьем и штамповкой (сельхозмашиностроение, приборостроение), а также, в автомобилестроении при использовании специальных режущих головок.

В настоящее время, в большинстве случаев, используется метод обкатки. Представить его можно следующим образом. Положим на стол зубчатую рейку с трапецеидальными зубьями, боковые стороны которых наклонены на 200 к оси зуба. Цилиндрическую заготовку зубчатого колеса из мягкого материала (из воска, или из пластилина) вдавим в эту рейку и прокатим по ней. В результате этого действия на заготовке образуются эвольвентные зубья. Возможность этого связана со свойствами эвольвенты, кривой полученной при обкатывании образующей прямой линии по основной окружности. Однако реальная заготовка зубчатого колеса выполнена из твердого материала, поэтому, ее не удастся так просто обкатать по зубчатой рейке. Поэтому, движение обкатки дополняется движением резания, для чего зубчатая рейка выполняется из твердого материала, а на ее профиле формируются режущие кромки.

На рис.8 показана стандартная рейка, используемая для изготовления эвольвентных зубчатых колес; она называется инструментальной рейкой с исходным производящим профилем. При помощи такой рейки могут быть изготовлены зубчатые колеса определенного модуля с любым числом зубьев.

Рис. 8

Рейка имеет трапецеидальные зубья, их боковые стороны сопряжены с вершинами и впадинами при помощи галтелей (скруглены). Прямые, проходящие через вершины и впадины называются соответственно линиями вершин и впадин; прямые, ограничивающие прямолинейные части боковых профилей, называются граничными прямыми. По высоте зуб делится на две равные части при помощи средней линии рейки.

Геометрические параметры следующие. Расстояния между средней линией и граничными прямыми равны модулю m. Высота галтелей, то есть, расстояние между граничными прямыми и линиями вершин, или впадин, называется радиальным зазором с*m, где с* - коэффициент радиального зазора. Название «радиальный зазор» связано с тем, что при зацеплении зубчатых колес между вершинами зубьев одного колеса и впадинами между зубьями другого имеется радиальный зазор; такой же зазор есть и в зацеплении инструментальной рейки и заготовки зубчатого колеса, в так называемом станочном зацеплении. Шаг зубьев р = m (рис. 8), толщина зуба рейки s = 0,5 p, угол наклона стороны зуба = 200.

Рассмотрим станочное зацепление. На рис. 9, в средней его части, показано станочное зацепление инструментальной рейки с нулевым колесом. В этом случае средняя линия рейки касается с делительной окружностью нарезаемого зубчатого колеса. Стрелками показано движение обкатки: рейка движется слева направо, а зубчатое колесо поворачивается против часовой стрелки вокруг неподвижного центра. Движение резания, то есть, возвратно-поступательные движения рейки перпендикулярно плоскости чертежа, показаны снизу в виде креста и точки в окружностях (хвостовик и острие стрелы).

Надо сказать, что рейка не сразу врезается в заготовку на полную глубину, то есть, она не сразу занимает положение, показанное на рис. 9; рейка врезается постепенно, при помощи, так называемой, радиальной подачи. Между окружностью вершин колеса (окружность с диаметром заготовки) и линией впадин рейки всегда остается радиальный зазор с*m (см. рис. 8). Это значит, что боковые стороны зуба рейки формируют эвольвентные части зуба колеса, а вершина зуба колеса - это цилиндрическая часть его заготовки. Что касается впадины между зубьями колеса, то она полностью формируется вершинами зубьев инструментальной рейки.

Если, при нарезании зубчатого колеса, рейка после радиальной подачи остановится в позиции, когда ее средняя линия не касается делительной окружности колеса (левая часть рис. 9), то при обкатке образуется положительное колесо. В этом случае средняя линия рейки находится на некотором расстоянии от делительной окружности, то есть дальше от центра колеса, чем в случае нарезания нулевого колеса. У положительного колеса модуль, число зубьев и радиус делительной окружности такие же, как и у нулевого колеса, а радиусы впадин, вершин и профиль зуба положительного колеса отличаются от соответствующих параметров нулевого колеса.

Смещение рейки от нулевого положения (то есть, от положения, когда ее средняя линия касается делительной окружности), в сторону от центра колеса называется положительным смещением инструмента (рис. 9), причем

где x - коэффициент положительного смещения.

Рис. 9

Если, при нарезании зубчатого колеса, рейка после радиальной подачи остановится в позиции, когда ее средняя линия пересекает делительную окружность колеса (правая часть рис. 9), то при обкатке образуется отрицательное колесо. В этом случае средняя линия рейки находится на некотором расстоянии от делительной окружности, но ближе к центру колеса, чем в случае нарезания нулевого колеса. У отрицательного колеса модуль, число зубьев и радиус делительной окружности такие же, как и у нулевого колеса, а радиусы впадин, вершин и профиль зуба отрицательного колеса отличаются от соответствующих параметров нулевого колеса.

Смещение рейки от нулевого положения (то есть, от положения, когда ее средняя линия касается делительной окружности), в сторону к центру колеса называется отрицательным смещением инструмента

- (рис. 9), причем



где -x - коэффициент отрицательного смещения.

Иногда зубчатые колеса, нарезанные со смещением инструмента (положительные и отрицательные) называют корригированными колесами, а коэффициент смещения называют коэффициентом коррекции.

Разницу между профилями зубьев нулевого, положительного и отрицательного колес показана на рис. 10. По сравнению с зубом нулевого колеса зуб положительного колеса толще у основания, но тоньше при вершине. При образовании бокового профиля используется более пологий участок эвольвенты.

Рис. 10

Такой зуб прочнее зуба нулевого колеса, поэтому положительные колеса используются в тяжело нагруженных силовых передачах. Зуб отрицательного колеса по сравнению с зубом нулевого колеса тоньше у основания и толще при вершине. Такой зуб слабее нулевого, но погрешности при изготовлении отрицательного колеса могут быть меньше, так как при образовании бокового профиля зуба используется более крутой участок эвольвенты. Отрицательные колеса, как более точные, чем нулевые, могут используются в измерительных кинематических цепях машин и в приборах.

Величины коэффициентов смещения инструментальной рейки стандартизованы и при необходимости выбираются из справочников или рассчитываются в зависимости от числа зубьев колеса и условий его работы. Здесь отметим только некоторые технологические ограничения при выборе коэффициентов смещения, связанные с уменьшением толщины зуба у вершины положительного колеса и у основания отрицательного колеса.

Чем больше положительное смещение рейки, тем толще зуб у основания, но тоньше при вершине. В пределе толщина зуба при вершине может быть нулевой, то есть, зуб заострится, что недопустимо по соображениям прочности.

Чем больше отрицательное смещение рейки, тем тоньше зуб у основания. При некотором критическом смещении вершины зубьев инструментальной рейки будут срезать эвольвентную часть зуба у его основания примерно так, как показано в правой части рис.9. Подрез эвольвентной части зуба недопустим по соображениям прочности.

Такое же явление пореза эвольвентной части у основания зуба может произойти при изготовлении нулевого колеса с малым числом зубьев. Специальный расчет [17] показывает, что число зубьев нулевого колеса, изготовленного без подреза, не может быть меньше 17.

Сформулируем отдельно эти технологические ограничения.

1. Величина положительного смещения инструмента ограничена недопустимым явлением заострения вершины зуба колеса.

2. Величина отрицательного смещения инструмента ограничена недопустимым явлением подреза эвольвентной части у основания зуба.

3. Минимальное число зубьев нулевого колеса zmin = 17.

Зубчатое зацепление и его параметры

Будем изучать нулевое эвольвентное зубчатое зацепление, как наиболее употребительное, в том числе и в самолетостроении. Такое зацепление состоит из двух нулевых зубчатых колес (в отличие от ненулевых, то есть, положительных или отрицательных), находящихся в контакте, или, говорят, сопряженных колес. Эти колеса имеют один модуль mи числа зубьев z1 и z2.

На рис. 11 показано такое зацепление, первое колесо слева - меньшее, а второе справа - большее. Меньшее зубчатое колесо обычно называется шестерней. По рис. 11 движение передается от шестерни к колесу.

Геометрические параметры шестерни и колеса определяются по формулам, приведенным в предыдущей лекции. У сопряженных зубчатых колес есть окружности, которые касаются друг друга и при работе перекатываются без скольжения. Эти окружности имеют радиусы rw1 и rw2 и называются начальными окружностями. В случае нулевой передачи, то есть, в том случае, который сейчас рассматривается, начальные окружности (окружности, присущие передаче) равны делительным окружностям зубчатых колес (окружностям, присущим отдельным зубчатым колесам): rw1 = r1и rw2 = r2. Здесь следует заметить, что все геометрические параметры, присущие передаче (а не отдельным колесам), имеют индекс w.

Расстояние между окружностями вершин одного колеса и окружностями впадин другого - c*m - называется радиальным зазором, а с* - это коэффициент радиального зазора; в стандартных передачах c* =0,25.



Рис. 11

Точка контакта эвольвент зубьев колес является высшей кинематической парой. Через эту точку (на рис. 11 она находится на линии центров) можно провести общую нормаль к эвольвентам сопряженных зубьев и согласно свойствам эвольвенты, о чем говорилось в предыдущем параграфе, эта нормаль будет касаться основных окружностей сопряженных зубчатых колес. Угол между этой касательной и перпендикуляром к линии центров называется углом зацепления бw. Для стандартной нулевой передачи этот угол равен профильному углу исходного производящего контура: бw= б = 20?. Расстояние между центрами вращения сопряженных зубчатых колес aw называется межцентровым (межосевым) расстоянием.

В процессе работы зубчатой передачи, то есть, в процессе зацепления, контактная точка будет занимать различные позиции, однако, в любом положении нормаль к боковым поверхностям зубьев будет являться касательной к основным окружностям, что следует из свойств эвольвенты. В процессе зацепления контактная точка будет перемещаться вдоль общей касательной к основным окружностям, поэтому эта касательная является линией зацепления эвольвентной передачи. Таким образом, линия зацепления эвольвентной передачи есть прямая, наклоненная под углом зацепления от перпендикуляра к линии центров.

Различают теоретическую и практическую линии зацепления. Теоретическая линия зацепления - это отрезок между точками касания вышеуказанной прямой с основными окружностями - АВ на рис. 11. Но так как эвольвенты зубьев ограничены окружностями вершин зубчатых колес, то контакт боковых поверхностей зубьев происходит по практической линии зацепления ab, которая отсекается на теоретической окружностями вершин. При работе зубчатой передачи в соответствии с направлением вращения колес, показанным на рис. 11, перемещение контактной точки происходит по практической линии зацепления от точки aдо точки b, то есть, в точке a зубья входят в контакт, а в точке b - выходят из контакта. Заметим здесь, что теоретически зацепление считается беззазорным, как это показано на рис. 5.11, то есть, боковой зазор между зубьями отсутствует; однако, в реальных передачах боковой зазор есть и его величина зависит от степени точности изготовления колес.

Различают два количественных показателя зубчатой передачи: геометрический и кинематический. Геометрический показатель - это межцентровое расстояние:

Кинематический показатель - передаточное отношение, равное отношению угловых скоростей (или частот вращения) входного и выходного колеса с учетом знака:

Согласно основному закону зацепления,

В соответствии с этими количественными показателями различают зубчатые передачи внешние и внутренние, замедляющие и ускоряющие.

На рис. 12 показана схема внешней передачи, причем z1 <z2. Геометрический параметр этой передачи - межцентровое расстояние

Кинематический параметр - передаточное отношение; его величина зависит от того, какое колесо является входным звеном.

Рис. 12



Если входным колесом является меньшее, то передаточное отношение определяется по формуле:

Знак минус указывает на противоположное направление вращения зубчатых колес. Так как z1 <z2 , то абсолютное значение передаточного отношения u12> 1, а 2<1. Такая передача является замедляющей и называется редуктором.

Если входным является большее колесо, то

В этом случае, абсолютное значение передаточного отношения u12< 1, а 1>2. Такая передача является ускоряющей и называется мультипликатором.

На рис.13 показана схема внутренней зубчатой передачи. Так же, как и в предыдущем случае z1 <z2, но первое колесо с внешними зубьями находится внутри второго, имеющего внутренние зубья.

Геометрический параметр такой передачи - межцентровое расстояние:

Кинематический параметр здесь - передаточное отношение - всегда положительно, так как колеса вращаются в одном направлении. Если входным является первое колесо, то это редуктор:

> 1

Рис. 13

Если входным является второе колесо (с внутренними зубьями), то это мультипликатор:

<

Надо сказать, что в подавляющем большинстве современных машин используются зубчатые механизмы в виде редукторов, они редуцируют, то есть, уменьшают скорость вращения двигателей машин, которые для уменьшения их габаритов выполняются высокооборотными.

Коэффициент перекрытия. Двухпарное и однопарное зацепление

Главным качественным показателем зубчатой передачи является непрерывность и плавность ее работы.Судя по рис. 11 после того, как одна пара зубьев выйдет из зацепления в точке b, вторая пара зубьев войдет в зацепление в точке a, потом вторая пара зубьев выйдет из зацепления, в зацепление войдет третья пара и т.д. При этом не трудно предположить, что при такой передаче движения возникнет прерывистость и удары между зубьями, особенно если учесть наличие боковых зазоров в реальных зубчатых механизмах. Чтобы избежать ударов и сделать передачу движения непрерывной и по возможности плавной, необходимо обеспечить условие, при котором первая пара зубьев не выйдет из зацепления до тех пор, пока вторая пара войдет в зацепление. Это условие называется перекрытием. Понятно, что чем больше одна пара зубьев перекрывает другую на практической линии зацепления, тем с большей уверенностью можно утверждать, что работа передачи будет непрерывной и плавной.

Явление перекрытия оценивается коэффициентом перекрытия. На рис. 14 - угловой шаг зубьев, l- длина практической линии зацепления. Учитывая, что, согласно свойствам эвольвенты, длины отрезков на линии зацепления равны дугам на основной окружности, а эти дуги пропорциональны центральным углам, можно утверждать, что - угол поворота колеса за время перемещения контактной точки по практической линии зацепления, а pb - шаг зубьев по основной окружности.

Рис.14

Коэффициент перекрытия - это отношение угла к угловому шагу зубьев или отношение длины практической линии зацепления к шагу зубьев по основной окружности:

Учитывая, что

,

Получим

Используя аналитическое выражение длины практической линии зацепления (вывод см. приложение 3 или [17]) получим формулу для расчета коэффициента перекрытия нулевой зубчатой передачи:

Теоретически величина коэффициента перекрытия находится в пределах от единицы до двух, однако, практически

1,2 ?? 1,8.

Из вышесказанного следует, что в процессе зацепления имеет место непрерывное чередование двухпарного и однопарного зацепления, то есть, часть времени в зацеплении находятся две пары зубьев, а часть времени - одна. В результате, при двухпарном зацеплении вся передаваемая зубчатой передачей нагрузка распределяется между двумя парами зубьев, а при однопарном зацеплении вся нагрузка приходится на одну пару зубьев. Таким образом, несмотря на то, что в кинематическом отношении передача является плавной в результате перекрытия, при работе под нагрузкой зубчатая передача принципиально является прерывистой, в частности, шум при работе зубчатых передач есть следствие этой прерывистости. Для увеличения плавности работы и уменьшения шума используют косозубые передачи, в которых коэффициент перекрытия может быть значительно больше, чем в прямозубых передачах из-за наклона зубьев.

Существующая методика определения процента времени двухпарного и однопарного зацепления дает возможность сказать, что, например: при = 1,25, 40% времени имеет место двухпарное зацепление, а 60% - однопарное; если = 1,7, то двухпарное зацепление - 82%, однопарное - 18%.

Сложные зубчатые механизмы с неподвижными осями колес

Будем рассматривать только сложные зубчатые механизмы, состоящие из цилиндрических передач. В начале этой главы было сказано, что различают два вида таких механизмов: с неподвижными осями колес и с подвижными осями некоторых колес. Начнем с первых.

Оси колес таких механизмов неподвижны относительно стойки, то есть, относительно корпуса. К ним относятся коробки скоростей станков, коробки передач автомобилей, редукторы подъемных кранов и т.д.

Рис. 15

На рис. 15 показано схематическое изображение главного вида и вида сверху одного из возможных вариантов сложного зубчатого механизма с неподвижными осями колес. В кинематических схемах обычно показывают один вид, как правило - вид сверху или сбоку.

Механизм содержит четыре подвижных звена: звено 1 - зубчатое колесо с числом зубьев z1, жестко закрепленное на валу; звено 2 - блок-шестерня, то есть, два жестко связанных зубчатых колеса с числами зубьев z2 и z'2, свободно вращающееся на неподвижной оси; звено 3 - блок-шестерня с числами зубьев z3 и z'3, жестко закрепленное на валу; звено 4 - зубчатое колесо с внутренними зубьями и числом зубьев z4, жестко закрепленное на валу. Механизм предназначен для уменьшения (редуцирования) угловой скорости от первого звена к четвертому и состоит из трех передач - двух внешних и одной внутренней. Такой механизм называется трехрядным или трехступенчатым: первая ступень z1-z2 - быстроходная, вторая ступень z'2-z3 - промежуточная и третья ступень z'3-z4 - тихоходная.

Кинематический анализ зубчатых механизмов значительно проще, чем для стержневых и кулачковых механизмов. Мы предполагаем, что все зубчатые колеса вращаются равномерно, а задачей кинематического расчета является определение угловых скоростей зубчатых колес при известной угловой скорости одного из звеньев, чаще всего, входного звена. Задача решается при помощи передаточных отношений в механизме.

Для механизма на рис.15 угловая скорость 4 выходного звена может быть найдена из формулы передаточного отношения механизма:

(

Выведем рабочую формулу передаточного отношения, для чего умножим и разделим эту дробь на угловые скорости второго и третьего звеньев. Причем, чтобы различать два зубчатых колеса в одном звене, то есть, z2 и z'2 в звене 2 и z3 и z'3 в звене 3, используем 2 = '2 и 3 = '3.

Отношение угловых скоростей 1/2 - это передаточное отношение первой ступени зубчатого механизма, соответственно, '2/3 - передаточное отношение второй ступени и '3/4 - передаточное отношение третьей ступени. Значит можно записать:

Согласно формуле , передаточное отношение сложного зубчатого механизма равно произведению передаточных отношений входящих в него передач.

Используя формулы передаточных отношений внешней и внутренней передач из предыдущего параграфа, запишем рабочую формулу передаточного отношения механизма:

Теперь из формулы можно найти искомую угловую скорость четвертого, выходного звена.

Запишем формулу передаточного отношения в общем виде для зубчатого механизма с n подвижными звеньями:

где k - количество внешних зацеплений. Знак передаточного отношения меняет только внешняя передача.

По этой формуле могут быть рассчитаны передаточные отношения любого сложного зубчатого механизма с неподвижными осями колес.

Рис.16

Рассмотрим теперь сложный зубчатый механизм, схема которого отличается от предыдущего. Это механизм показан на рис.16.

Отличие этого механизма от предыдущего состоит в том, что все его зубчатые колеса находятся в одном ряду, то есть, это - однорядный зубчатый механизм. Для решения кинематической задачи этого механизма используем формулу

Однако, из схемы механизма видно, что звенья 2 и 3 не являются блок-шестернями, а имеют по одному зубчатому венцу, то есть,

z2 = z'2, а z3 = z'3. Поэтому, после сокращения имеем:

Из формулы следует, что промежуточные зубчатые колеса не влияют на величину передаточного отношения механизма, на эту величину влияют только первое и последнее колеса, находящиеся в одном ряду. Из-за этого промежуточные колеса в таком механизме называются паразитными. Паразитные зубчатые колеса используются, если надо изменить знак передаточного отношения (изменить направление вращения), или в механизмах с большим расстоянием между осями входного и выходного колес.

Из рассмотрения этого механизма следует общий вывод для кинематического расчета: если в кинематической цепи несколько зубчатых колес расположены в одном ряду, то на величину передаточного отношения влияют числа зубьев только первого и последнего колес в этом ряду, промежуточные (паразитные) колеса влияют лишь на знак передаточного отношения.

Планетарные механизмы

Сложные зубчатые механизмы с подвижными осями некоторых колес называются планетарными. Схема простейшего планетарного механизма приведена на рис. 17. Зубчатое колесо 1 и звено Н могут вращаться вокруг неподвижной точки. На звене Н расположен центр вращения зубчатого колеса 2, входящего в зацепление с колесом 1.

Звенья 1 и Н могут вращаться независимо друг от друга, то есть, вращаться с разными скоростями, в одном или противоположных направлениях. При работе механизма колесо 2 совершает сложное движение, обкатываясь по колесу 1. Движение звеньев напоминает движение планет в солнечной системе, поэтому звено 1 называется солнечным колесом, звено 2 - это сателлит, а звено Н - водило (или сателлитодержатель).

Рис. 17

Солнечное колесо и водило - это входные звенья, а выходным является сателлит. Использовать сателлит, совершающий сложное движение, для привода рабочих или вспомогательных органов машин затруднительно. Чтобы упростить эту задачу пришлось усложнить простейший планетарный механизм, добавив к нему еще одно цент-ральное колесо 3 (рис. 18), с внутренними зубьями, входящее в зацепление с сателлитом - коронное колесо.

Следующее усложнение конструкции планетарного механизма связано с тем, что с одним сателлитом такой механизм работать не может из-за неуравновешенности: при больших скоростях вращения неуравновешенная масса сателлита вызовет появление большой силы инерции, которая может привести к разрушению механизма.

Рис. 18

Минимальное количество сателлитов в планетарных механизмах - два, однако, их число может быть большим и достигать десяти и даже двенадцати. Это связано с возможностью уменьшения габаритов механизма: при одной и той же передаваемой мощности планетарный механизм с десятью сателлитами может быть значительно менее габаритным, чем механизм с двумя сателлитами. Внутри механизма передаваемая мощность делится на число потоков, равное числу сателлитов. В результате, у механизма с десятью сателлитами поток мощности, проходящий через зубчатое зацепление, будет в пять раз меньше, чем у механизма с двумя сателлитами, значит, можно уменьшить модуль, межосевое расстояние и, в общем, габариты.

Механизм на схеме рис. 18 содержит четыре сателлита, которые установлены на водиле, выполненном в виде крестовины. На виде сбоку, который обычно используется в кинематических схемах, показывается только один сателлит.

Определим число степеней свободы планетарного механизма на рис. 5.18 по формуле Чебышева

Число подвижных звеньев n = 7: солнечное и коронное колеса, водило (центральные звенья) и четыре сателлита. Количество низших кинематических пар рн = 7: каждое центральное звено образует кинематическую пару со стойкой, а каждый сателлит - с водилом. Число высших кинематических пар рв = 8: четыре внешних зацепления сателлитов с солнечным колесом и четыре их внутренних зацепления с коронным колесом. Число избыточных связей или лишних звеньев s = 3: выше было сказано, что три сателлита 4, 5 и 6 введены из соображений уравновешенности, прочности и габаритов, но в структурном смысле являются лишними звеньями. Подставим значения в формулу Чебышева:

Планетарный механизм имеет две степени свободы: он может иметь два входных звена и одно выходное, или одно входное и два выходных. Такой механизм используется в виде сумматора и дифференциала.

Сумматор имеет два входных звена, обычно, центральные колеса, и одно выходное звено - водило. Например, если солнечное колесо повернется на 5 оборотов, а коронное - на 3, то водило повернется на количество оборотов, пропорциональное восьми. Сумматоры обычно содержат конические передачи и используются в механизмах подачи станков с программным управлением.

Дифференциалы имеют одно входное звено, обычно, водило, и два выходных звена - центральные колеса. Выходные звенья могут вращаться независимо одно от другого, и характер их движения зависит не только от конструкции механизма, но и от внешних условий. Дифференциалы, также как и сумматоры, содержат не цилиндрические, а конические передачи, и используются в колесных транспортных машинах (автомобили, тракторы) для привода ведущих колес. Правое и левое ведущие колеса могут вращаться независимо одно от другого согласно условиям, диктуемыми их размерами и дорогой. Например, если автомобиль поворачивает налево, то левое колесо пройдет меньший путь, чем правое, значит, за одно и то же время левое колесо совершит меньше оборотов, чем правое, то есть будет вращаться с меньшей угловой скоростью.

Однако более широкое распространение в технике имеет модернизированный планетарный механизм: если остановить одно из центральных зубчатых колес, то планетарный механизм с двумя степенями свободы превращается в планетарный редуктор, то есть, в механизм с одной степенью свободы, с одним входным и одним выходным звеном. Планетарные редукторы используются в технологических и транспортных машинах, в том числе, в качестве главных редукторов самолетов и вертолетов.

Планетарные редукторы. Типы и кинематика

Начнем с кинематики. Задача кинематического анализа здесь, как и в любом зубчатом механизме сводится к определению передаточного отношения. Напомним, что речь идет о планетарных редукторах, которые образуются из планетарных механизмов при остановке одного из центральных зубчатых колес. Чаще других используются планетарные редукторы с остановленным коронным колесом (рис.19). Входным звеном здесь является солнечное колесо 1, а выходным - водило Н.

Чтобы вывести формулу передаточного отношения этого редуктора, воспользуемся методом обращенного движения. (Заметим, что этот метод используется для анализа кинематики любого планетарно го механизма). Остановим водило Н. Тогда солнечное и коронное колеса получат дополнительную скорость - щН (рис. 19), а планетарный редуктор превратится в зубчатый механизм с неподвижными осями колес. Запишем формулу передаточного отношения этого механизма от колеса 1 к колесу 3 (то есть, передаточного отношения между центральными колесами планетарного механизма при остановленном водиле):

зубчатый механизм колесо редуктор

Рис. 19

Эта формула является математической записью теоремы Виллиса [2], связывающей угловые скорости центральных зубчатых колес планетарного механизма.

В нашем случае щ3 = 0 (так как в рассматриваемом планетарном редукторе коронное колесо неподвижно), поэтому:

Отсюда получим формулу передаточного отношения рассматриваемого планетарного редуктора:

Величина uH13 называется характеристикой планетарного механизма - это передаточное отношение между его центральными колесами при остановленном водиле.

Формула может быть использована при расчете передаточных отношений любых планетарных редукторов.

Рассмотрим три вида простейших планетарных редукторов: редуктор Джеймса, двухрядный редуктор и редуктор Давида.

Редуктор Джеймса - это однорядный планетарный редуктор с неподвижным коронным или солнечным колесом. Чаще используются редукторы с неподвижным коронным колесом, схема такого редуктора дана на рис. 20. Согласно , передаточное отношение такого редуктора:



Редуктор используется в случаях, когда

2,5 u1H 8

В редукторе Джеймса с неподвижным солнечным колесом движение передается от коронного колеса к водилу:

(5.26)

Рис. 20 Редуктор используется в случаях, когда

1,2 uH1 1,8

Редукторы Джеймса широко используются в коробках скоростей и бортовых передачах наземных транспортных машин, в грузоподъемных машинах, в качестве главных силовых редукторов самолетов и вертолетов для передачи вращения от двигателей на винты, а также, в механизмах систем управления.

Двухрядный планетарный редуктор имеет сдвоенный сателлит и неподвижное коронное колесо (рис 1). Входным звеном является солнечное колесо, а выходным является водило. Согласно , передаточное отношение редуктора:

Из формулы видно, что переда-точное отношение такого редуктора может быть больше, чем у редуктора Джеймса. Он используется, когда

8 u1H 15.

Используется в качестве силового редуктора, в том числе, в самолетах и вертолетах.

Редуктор содержат солнечное и коронное колесо, то редуктор Давида может иметь два солнечных или два коронных колеса. На рис. 22 показан редуктор Давида с двумя солнечными колесами, одно из которых, колесо 3, неподвижно. В таком редукторе движение передается от водила Н к солнечному колесу 1.

Передаточное отношение редуктора:

Из формулы видно, что чем ближе дробь в знаменателе к единице, тем больше величина передаточного отношения такого редуктора. Он используется, когда

15 uH1 10000 и более.

Например, если z1 = 100, z2 = 99, z'2 = 100 и z3 = 101, то

Однако такие редукторы не могут использоваться как силовые из-за больших потерь на трение. Редуктор с передаточным отношением uH1 = 10000 имеет коэффициент полезного действия = 0,04, то есть, только 4% подводимой к нему мощности может быть использовано на выходе, а 96% мощности теряется на трение внутри редуктора. Подобные редукторы используются в измерительных кинематических цепях, в приборах и в астрономии для поворота телескопов.

Проектирование планетарных редукторов

Цель проектирования - по заданному значению передаточного отношения выбрать схему редуктора, определить числа зубьев его колес и число сателлитов с учетом конструктивных условий.

Как было сказано выше, схема редуктора зависит от требуемого передаточного отношения. А именно:

- если u1H< 8 - редуктор Джеймса;

- если 8 <u1H<15 - двухрядный редуктор;

- если u1H> 15 - редуктор Давида.

Числа зубьев колес редуктора рассчитываются при совместном решении алгебраических выражений передаточного отношения редуктора и расстояния между осями центральных колес и сателлитов. Методика определения чисел зубьев приведена в [2] и [13]. При решении этой задачи, а также, при определении числа сателлитов редуктора должны учитываться конструктивные условия соосности, соседства и сборки. Условие соосности вытекает из того, что планетарный редуктор является соосным, то есть, оси его входного и выходного валов находятся на одной прямой. Условие соседства ограничивает число сателлитов редуктора, а условие сборки проверяет возможность сопряжения всех сателлитов редуктора с центральными колесами. Рассмотрим эти условия подробнее.

Условие соосности.

Для редуктора Джеймса (рис.20) совпадение осей водила, входного и выходного валов достигается, если

С учетом (5.6) имеем:

После сокращения получим условие соосности для редуктора Джеймса:

(5.29)

Для двухрядного редуктора соосность достигается, если

После преобразований, аналогичных вышеприведенным, получим условие соосности для двухрядного редуктора:

Условие соседства.

Это условие позволяет определить максимально возможное число сателлитов редуктора. При проектировании силовых планетарных редукторов, надо иметь ввиду, что чем больше сателлитов имеет редуктор, тем на большее число ветвей делится входная мощность и тем менее прочными, то есть, более мелкими, могут быть зубья его колес. Значит, чтобы спроектировать редуктор с минимальными габаритами, надо поместить в него максимальное число сателлитов.

На рис. 23 приведена схема однорядного редуктора, сателлиты которого находятся в предельно возможном положении, то есть, касаются друг друга окружностями вершин зубьев. Условие соседства в данном случае можно сформулировать так: расстояние между центрами соседних сателлитов должно быть больше суммы радиусов вершин их зубьев. По рис. 5.23 можно записать:

Выразим сумму радиусов через модуль и число зубьев по формулам с учетом того, что сателлиты имеют одинаковые размеры:

Таким образом,

Рис. 23

Теперь свяжем расстояние между центрами сателлитов с их количеством. Из АОС имеем:

После преобразований, а также учитывая, что

где k - число сателлитов, получим:

Подставив в исходное неравенство, получим условие соосности для однорядного планетарного редуктора:

Условие сборки.

Один сателлит можно всегда вставить между центральными колесами редуктора, соответственно повернув их так, чтобы зубья сателлита попали во впадины между зубьями солнечного и коронного колес (рис. 24). Два и более сателлитов можно вставить только в том

Рис.24

случае, если соблюдено определенное соотношение между числом зубьев солнечного и коронного колес и количеством сателлитов. Это соотношение называется условием сборки. Чтобы вывести формулу этого условия, найдем сначала максимальное число сателлитов, которые могут быть вставлены между солнечным и коронным колесом не в одной плоскость, как это имеет место в действительности, а в параллельных плоскостях, то есть, за первым сателлитом, или перед ним; по рис. 24 - за плоскостью чертежа, или пред ней. В этом случае условие соседства игнорируется. Глядя на рис. 24 можно заметить, что при неподвижном коронном колесе второй сателлит может быть вставлен, если солнечное колесо повернуть на один зуб, точнее, на один угловой шаг 1. Водило при этом повернется на какой-то угол Н, величина которого зависит от передаточного отношения редуктора. Значит, общее число сателлитов, которые могут быть вставлены в разных плоскостях (без соблюдения условия соседства) таково: