Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стержневые механизмы

1. Плоские стержневые механизмы

Особенности строения

В стержневых механизмах звенья имеют в основном вид стержней. Конструктивно они могут быть выполнены самым различным образом, но в своей основе - это, в большинстве случаев, стержень, по концам которого расположены элементы кинематических пар для присоединения к другим звеньям.

Функциональное назначение звеньев в механизмах может быть самым различным, названия звеньев соответствуют их функциональному назначению и могут быть весьма разнообразны. Однако в курсе ТММ механизмы изучаются в самом общем смысле, и мы будем абстрагироваться от функционального назначения механизмов и их звеньев до тех пор, пока не изучим их свойства и не перейдем к примерам их использования.

С точки зрения совершаемых движений в стержневых механизма различают шесть типов звеньев: кривошип, коромысло, ползун, шатун, камень и кулису. Рассмотрим их подробнее.

Кривошип - звено, совершающее полный оборот вокруг неподвижной точки (рис. 3.1а). В большинстве случаев кривошип является входным звеном механизма, и его схема дополняется круговой стрелкой, указывающей направление его вращения.

Коромысло - звено, которое совершает качательное движение относительно неподвижной точки (рис. 3.1б), то есть, возвратное движение поворота в пределах определенного угла. В отличие от схемы кривошипа здесь нет круговой стрелки, а в некоторых случаях коромысло изображается в виде двуплечего рычага (рис. 3.1в).

Ползун - звено, совершающее движение по неподвижным направляющим. В большинстве случаев эти направляющие прямолинейны и движение ползуна является возвратно-поступательным. Чаще всего ползун показывается на схемах в виде прямоугольника (рис. 2.1г), иногда - как стержень (рис. 3.1д).

Рис. 3.1

Шатун - звено, совершающее сложное движение в плоскости. Шатун не образует кинематических пар со стойкой (рис. 3.1е), но только с другими подвижными звеньями.

Камень - звено, совершающее движение по подвижной направляющей; подвижная направляющая называется кулисой (рис. 3.1ж). Камень и кулиса не существуют в отдельности, но составляют единую неразрывную группу звеньев. Направляющие кулисы, как правило, прямолинейны. Кулиса, являясь подвижной направляющей камня, может совершать все виды движений: простые - вращательное, качательное, поступательное, сложное. То есть, может быть, кулиса-кривошип, кулиса-коромысло, кулиса-ползун и кулиса-шатун.

Из таких звеньев состоит стержневой механизм любой сложности. В основе конструкции сложных стержневых механизмов находятся простейшие, которые и являются предметом нашего изучения. Простейшие стержневые механизмы являются четырехзвенными, то есть, содержат три подвижных звена и стойку. Названия таких механизмов состоят из названия входного и выходного звеньев. В зависимости от конструкции простейшие стержневые механизмы делятся на шарнирные, ползунные и кулисные. Рассмотрим каждый из этих типов.

В шарнирных стержневых механизмах все кинематические пары - вращательные. На рис. 3.2а приведена схема наиболее употребительного шарнирного механизма. Звено 1 (входное) - кривошип, звено 2 (промежуточное) - шатун, звено 3 (выходное) - коромысло. Механизм называется - кривошипно-коромысловый. Он служит для преобразования вращательного движения кривошипа в качательное движение коромысла. Используется в качестве исполнительных механизмов технологических машин (прессы, дробилки, ткацкие станки и пр.), а также в качестве вспомогательных механизмов.

Рис. 3.2

На рис. 3.2б показан двухкривошипный механизм, который еще называют механизмом шарнирного параллелограмма, так как звенья его попарно равны и параллельны. Входное и выходное звенья совершают синхронное вращение, а шатун совершает сложное движение в плоскости параллельно самому себе. Используется как механизм спарников ведущих колес локомотивов и в некоторых механизмах технологических машин.

Двухкоромысловый механизм, приведенный на рис. 3.2в, может составлять основу подъемного деррик-крана, причем, коромысла 1 и 3 являются его качающимися стойками, а шатун 2 - стрелой, точка Е которой (к ней крепится крюк для груза) перемещается приблизительно по прямой линии в пределах небольших углов качания коромысел 1 и 3.

В ползунный стержневых механизмах имеется хотя бы один ползун. На рис. 3.3а приведена схема наиболее употребительного в технике механизма, который преобразует вращательное движение кривошипа 1 в возвратно-поступательное движение ползуна 3; шатун является промежуточным звеном. Такой механизм называется кривошипно-ползунным. Используется в качестве исполнительных механизмов механических прессов, горизонтально-ковочных машин, поршневых компрессоров, швейных машин и пр. Если входным звеном такого механизма является ползун, то это есть механизм поршневых двигателей внутреннего сгорания.

Коромыслово-ползунный механизм, то есть, механизм с входным коромыслом и выходным ползуном (рис. 3.3б), используется как составная часть более сложных механизмов.

Рис. 3.3

Двухползунный механизм (рис. 3.3в) наиболее известен, как механизм эллипсографа - при работе такого механизма любая точка шатуна описывает эллипс, параметры которого зависят от положения этой точки на шатуне. Если эта точка расположена посередине шатуна, то эллипс вырождается в окружность. Заметим, что при работе этого механизма входным звеном является попеременно то один, то другой ползун, что необходимо для возможности прохода ими крайних положений. Известен случай использования этого механизма в качестве основного механизма поршневого двигателя внутреннего сгорания.

Кулисные механизмы содержат хотя бы одну кулису. На рис. 3.4а приведена схема кривошипно-кулисного механизма с качающейся кулисой: входным звеном здесь является кривошип 1, промежуточным - камень 2, выходным - кулиса 3. Механизм служит для преобразования вращательного движения кривошипа в качательное движение кулисы. Используется в качестве исполнительных и вспомогательных механизмов некоторых технологических машин.

Рис. 3.4

Если в таком механизме расстояние между центром вращения кривошипа и точкой качания кулисы (АС на рис. 3.4а) сделать меньше

длины кривошипа АВ, то механизм с качающейся кулисой превратится в механизм с вращающейся кулисой (рис. 3.4б), причем характер этого вращения будет зависеть от соотношения размеров АВ и АС. Выше было сказано, что кулиса, являясь подвижной наравляющей, может совершать любое движение в плоскости - простое (вращательное или поступательное) или сложное. На рис. 3.4в показан кривошипно-кулисный механизм с поступательно движущейся кулисой. Кулиса 3 является ползуном, в котором выполнена направляющая для камня 2. Такой механизм используется в качестве исполнительных механизмов прессов, насосов и пр.

Во многих машинах кулисные механизмы используются, как механизмы с качающимися гидроцилиндрами. Такие механизмы являются коромыслово-кулисными. На рис. 3.5 показано преобразование его схемы с обычными условными обозначениями камня и кулисы (рис. 3.5а) c помощью постепенных их изменений (рис. 3.5б и 3.5в), в схему со специальными условными обозначениями камня в виде штока с поршнем и кулисы в виде гидроцилиндра (рис. 3.5г).

Рис. 3.5

На рис. 3.6а показано использование такого механизма, как механизма опрокидывания кузова автомобиля-самосвала, а на рис. 3.6б - как механизма убирания ноги шасси самолета.

Рис. 3.6

Заметим, что в подобных механизмах с качающимся гидроцилиндром входным звеном является шток с поршнем (то есть, камень кулисного механизма), так как именно к нему подводится движение извне - давление жидкости гидросистемы.

2. Кинематика простейших стержневых механизмов

Цель и задачи

Цель изучения кинематики (кинематического исследования или кинематического анализа) сформулирована в курсе теоретической механики, это определение возможных движений. Применительно к механизмам - это определение возможных движений звеньев и их точек, то есть, тех движений, которые принципиально возможны и которые не учитывают сил и моментов, действующих на звенья механизма.

Задачи кинематического исследования:

- определение позиций звеньев механизма в процессе его рабо-

ты и определение траекторий точек звеньев;

- определение скоростей звеньев и их точек;

- расчет передаточных отношений в механизме;

- определение ускорений звеньев и их точек.

Указанные задачи могут быть решены аналитическими, графическими и графоаналитическими методами. Рассмотрим решения каждой задачи.

3. Построение положений звеньев механизма и траекторий их точек

Определение позиций звеньев механизма в процессе его работы обычно ведется графическими приемами с использованием метода засечек. Производится построение нескольких совмещенных положений механизма, то есть, неподвижные точки механизма находятся в одном и том же месте. Как правило, строится четное число положений - 6, 8 или 12, соответствующих равнорасположенным позициям входного звена. Покажем это на примере нецентрального кривошипно-ползунного механизма, то есть, механизма, у которого линия дви-жения ползуна не проходит через центр вращения кривошипа (рис. 3.7).

Схема механизма изображается в масштабе длин. Здесь надо сказать, что в курсе теории механизмов и машин используются масштабы, которые являются отношениями действительной величины на ее изображение на схеме, чертеже или графике. Изображение на чертеже - это всегда отрезок, измеряемый в миллиметрах, а единица измерения действительной величины зависит от вида параметра, который надо изобразить в масштабе - это может быть масса, угол, момент, скорость и т.д. В масштабе длин действительной величиной является длина, измеряемая в метрах. Масштаб обозначается греческой буквой с соответствующим индексом; в данном случае - это индекс длины l:

(3.1)

где: l - действительная длина в м;

- изображение этой длины на схеме в мм.

Рис. 3.7

На рис. 3.7 показаны 8 совмещенных положений механизма. Строятся они следующим образом. Прежде всего, изображается схема этого механизма в первой позиции; это может быть любая позиция, например, при горизонтальном левом положении кривошипа. После этого чертятся траектории точки В кривошипа (окружность) и точки С ползуна (прямая). Окружность траектории точки В делится на 8 равных частей и изображаются восемь равнорасположенных позиций кривошипа. Затем, из каждой точки В радиусом, равным длине шатуна, делаются засечки на прямой траектории точки С ползуна. Получаем позиции ползуна, соответствующие точкам В кривошипа. Соединив точки S шатуна в каждой его позиции плавной кривой, получим траекторию этой точки шатуна.

Совмещенные положения кривошипно-коромыслового механизма строятся подобным образом с той разницей, что засечки из точек кривошипа радиусом равным длине шатуна делаются не на прямой траектории точки ползуна, как в кривошипно-ползунном механизме, а на дуге окружности траектории точки коромысла (рис. 3.8).

Рис. 3.8



Рис. 3.9

Построение совмещенных положений кривошипно-кулисных механизмов значительно проще, так как у них точки кривошипа, камня и кулисы совпадают (рис. 3.9). Заметим, что в зависимости от длины кривошипа и расстояния между центрами вращения кривошипа и кулисы, кулиса может совершать качательное или вращательное движение.

4. Виды скоростей и ускорений в стержневых механизмах и методы их определения

Сначала рассмотрим классификацию скоростей в стержневых механизмах. Заметим, что все сказанное о типах скоростей относится и к ускорениям.

Различают скорости угловыеи линейные.

Угловыми скоростями обладают звенья, в том числе и шатуны, которые в каждый момент времени можно рассматривать, как поворачивающиеся вокруг какой-то точки (мгновенный центр вращения в абсолютном движении или шарнир звена - в относительном). Исключение составляет ползун, так как он совершает только поступательное движение. Угловые скорости обозначаются греческой буквой , измеряются в рад/с и имеют два направления: по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Линейными скоростями обладают точки звеньев и ползун, как звено, совершающее только поступательное движение. Линейная скорость - это векторная величина, она обозначается латинской буквой v.

Среди линейных скоростей будем различать скорости абсолютные, относительные и релятивные.

Абсолютная скорость - это скорость точки относительно стойки. В этом случае обозначение скорости имеет индекс этой точки, например, v_В, или v_S.

Относительная скорость - это скорость одной точки звена относительно другой точки того же звена. В основном будем рассматривать относительные скорости точек шатунов, например, v_CB - это скорость точки С относительно точки В.

Релятивная скорость - это скорость точки одного звена относительно совпадающей с ней точки другого звена. Эту скорость будем рассматривать только для кулисных механизмов. Точка В (рис. 3.9) реализована на кривошипе 1 и камне 2 в виде шарнира, связывающего камень с кривошипом; в данный момент времени с этой точкой совпадает воображаемая точка на кулисе 3, то есть, точка, которая никак не реализована, но которая нужна для расчетов и построений. Релятивная скорость v_В3В1 (или v_B3B2) - это скорость точки В₃ кулисы относительно точки В₁ кривошипа (или точки В₂ камня). Учитывая, что камень и кулиса совершают друг относительно друга поступательное движение, можно сказать, что релятивная скорость - это скорость кулисы относительно камня.

Различают графоаналитические и аналитические методы определения скоростей. Из графоаналитических наиболее употребительны методы планов скоростей и кинематических диаграмм. Аналитические методы и кинематические диаграммы будут рассмотрены ниже. Здесь рассмотрим определение скоростей при помощи планов скоростей.

План скоростей - это многоугольник векторов абсолютных, относительных и релятивных скоростей, построенный в определенном масштабе, с помощью которого могут быть определены мгновенные линейные и угловые скорости в механизме, то есть, скорости в заданной позиции этого механизма (а также найдены его передаточные отношения, о чем будет сказано ниже). В этом многоугольнике векторы абсолютных скоростей выходят из одной точки, называемой полюсом плана скоростей (точка р), а векторы относительных скоростей соединяют концы абсолютных.

5. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма при помощи планов скоростей и ускорений

Определение скоростей звеньев и их точек

Рассмотрим решение кинематической задачи сначала на примере кривошипно-ползунного механизма. Исходными данными задачи являются геометрические параметры механизма - кинематическая схема в масштабе _l (рис. 3.10), и его входной кинематический параметр - постоянная угловая скорость кривошипа ₁. Линейная скорость точки В кривошипа может быть найдена по известной формуле

(3.2)

Вектор этой скорости, изображенный в произвольном масштабе скоростей, является исходным для построения плана скоростей. Масштаб скоростей:

(3.3)

где: v - действительная линейная скорость в м/с;

- изображение вектора этой скорости в мм.

Для упрощения построений и вычислений удобно этот масштаб выбирать не произвольным, а таким, чтобы изображение вектора скорости точки В кривошипа было равно изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, чтобы = . Тогда, с учетом (3.2), масштаб скоростей:

С учетом (3.1) получим:

(3.4)

Так как в данном случае изображение вектора скорости точки вращающегося звена равно изображению радиус-вектора расположения этой точки на звене, то такой масштаб скоростей называется масштабом начального звена или для нашего случая - масштабом кривошипа.

Будем строить план скоростей в указанном масштабе (рис. 3.10). Сначала из полюса p проводим вектор скорости точки В кривошипа в сторону, соответствующую направлению его угловой скорости. Этот вектор по вышеуказанному условию будет равен и перпендикулярен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, . (Эти и последующие действия при построении плана скоростей приведены в виде примечаний под планом скоростей на рис. 3.10).

Переходим к шатуну. Точка В принадлежит не только кривошипу, но и шатуну, значит скорость точки В шатуна такая же, как и скорость точки В кривошипа, или, говорят, кинематические параметры точек В кривошипа и шатуна одинаковые.

Шатун совершает сложное движение в плоскости, то есть, его движение состоит из переносного поступательного со скоростью точки В и относительного вращательного вокруг точки В. Чтобы определить скорость точки С шатуна, надо решить векторное уравнение:

(3.5)

Точка С принадлежит не только шатуну, но и ползуну, и скорости их одинаковы. Ползун совершает поступательное движение вдоль направляющих, значит, линия действия скорости точки С в нашем случае горизонтальна. Так как эта скорость абсолютна, то горизонталь проводим через полюс р. Относительная скорость v_CB перпендикулярна шатуну, так как в относительном движении он совершает поворот вокруг точки В. Поэтому, выполняя действие графического сложения по векторному уравнению (3.5), через точку b плана скоростей проводим перпендикуляр к шатуну. В пересечении этих двух линий и будет находиться искомая точка с плана скоростей. Таким образом, - это вектор абсолютной скорости точки С, а есть вектор относительной скорости точки С относительно точки В.

Для нахождения точки s на плане скоростей используем теорему подобия: фигура, образованная векторами относительных скоростей точек звена подобна фигуре звена. В нашем случае можно сказать, что отрезки звена и относительной скорости пропорциональны. То есть, если точка S расположена посередине шатуна ВС, то на плане скоростей точка s будет находиться посередине между точками b и с: - вектор абсолютной скорости точки S. С помощью построенного плана скоростей могут быть определены величины и направления всех скоростей в механизме, то есть, скоростей точек и звеньев. Направления скоростей точек видны из плана скоростей, а их величину, согласно формуле (3.4), найдем как произведение длины вектора в мм на масштаб скоростей. Например, скорость точки С (или скорость ползуна):

 (м/с)

Найдем угловую скорость шатуна. Шатун совершает сложное движение в плоскости, но в каждый момент времени можно рассматривать его движение, как движение поворота вокруг мгновенного центра вращения в абсолютном движении или вокруг точки В в относительном движении с одной и той же мгновенной угловой скоростью. Эта скорость определяется при помощи схемы механизма и плана скоростей, как частное от деления относительной скорости точки В шатуна на радиус-вектор расположения этой точки на шатуне (т.е. на размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на схеме и плане скоростей, получим:

И после сокращения:

(рад/с) (3.6)

Чтобы определить направление этой скорости, надо мысленно перенести вектор из плана скоростей в точку С схемы механизма и он укажет направление щ₂, в данном случае, против часовой стрелки (рис. 3.10).

Расчет передаточных отношений в механизме

Передаточные отношения - это отношения скоростей звеньев, точек или звеньев и точек. Величины передаточных отношений используются в динамических расчетах, а также для решения некоторых кинематических задач, в основном, в кулачковых и зубчатых механизмах. Передаточное отношение обозначается буквой u с буквенными или цифровыми индексами. Например, u₂₁ - это передаточное отношение от звена 2 к звену 1, или u_S2 - передаточное отношение от точки S к звену 2.

Будем различать передаточные отношения двух типов: безразмерные и имеющие размерность.

Безразмерные передаточные отношения. Это отношение угловых скоростей или линейных скоростей. Для стержневых механизмов - это отношение угловых скоростей звеньев или линейных скоростей точек звеньев (исключением является ползун, как звено, обладающее только линейной скоростью). Общее количество передаточных отношений в механизме зависит от числа звеньев и может быть велико, все они не определяются, а рассчитываются только те, которые нужны для тех или иных расчетов. Передаточные отношения стержневого механизма для заданного его положения легко определяются, если есть его схема и план скоростей.

Рис. 3.10

Для рассматриваемого кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.10) найдем передаточное отношение от шатуна к кривошипу (с учетом (3.6)):

Физический смысл такого передаточного отношения следующий: во столько раз одно звено вращается быстрее (или медленнее) другого. Следует помнить, что в следующем положении механизма это передаточное отношение изменится, так как щ ₂ станет другим. Таким образом, передаточное отношение в стержневом механизме имеет только расчетный смысл (используется для динамических расчетов). Практический смысл оно имеет для механизмов передачи вращательного движения, в частности, для зубчатых механизмов, где скорости звеньев постоянны и передаточное отношение неизменно (см. раздел зубчатых механизмов).

Найдем теперь передаточное отношение от точки S к ползуну (учитывая, что скорость ползуна равна скорости точки С):

Физический смысл этого передаточного отношения такой: во столько раз ползун движется быстрее (или медленнее) точки S. Величина этого передаточного отношения для стержневого механизма имеет только расчетный смысл, так как в следующей позиции механизма она изменится. Практический смысл подобное передаточное отношение может иметь для клиновых механизмов. Такие механизмы имеют ограниченное применение и в нашем курсе не изучаются.

Передаточные отношения, имеющие размерность. Это отношения скорости точки звена (или ползуна) к скорости звена, или наоборот - отношение скорости звена к скорости точки звена (или ползуна).

Определим для нашего механизма передаточное отношение от ползуна к кривошипу:

(м)

Физический смысл этого передаточного отношения такой: на столько метров переместится ползун при повороте кривошипа на один радиан. Так как в следующей позиции механизма, то есть, в следующее мгновение, это передаточное отношение изменится, то его величина имеет только расчетный смысл для данной позиции. Практический смысл подобное передаточное отношение имеет для механизмов «шестерня-рейка» и «винт-гайка», где его величина может оставаться неизменной при работе механизма (см. приложения 1 и 2).

Аналогичным образом могут быть найдены и другие передаточные отношения от точек к звеньям или от звеньев к точкам; в последнем случае передаточное отношение будет иметь размерность обратную предыдущему примеру.

Определение ускорений звеньев и их точек

Подобно тому, как скорости в механизме находятся при помощи плана скоростей, ускорения в механизме определяются с помощью плана ускорений. План ускорений - это многоугольник векторов абсолютных и относительных ускорений точек. Исходными данными для определения ускорений являются кинематическая схема механизма и план скоростей (рис. 3.10).

Так как угловая скорость кривошипа постоянна, то каждая его точка имеет нормальное (центростремительное) ускорение, величина которого определится по формуле:

(3.7)

Вектор этого ускорения, изображенный в произвольном масштабе ускорений, является исходным для построения плана ускорений. Масштаб ускорений:

(3.8)

где: а - действительное линейное ускорение в м/с ²;

- изображение вектора этого ускорения в мм.

Подобно тому, как это было сделано при построении плана скоростей, для упрощения построений и вычислений удобно этот масштаб выбирать не произвольным, а таким, чтобы изображение вектора ускорения точки В кривошипа было равно изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, чтобы = . Тогда, с учетом (3.7), масштаб ускорений:

С учетом (3.1) получим:

 (3.9)

Так как в данном случае изображение вектора нормального ускорения точки вращающегося звена равно изображению радиус-вектора расположения этой точки на звене, то такой масштаб скоростей называется масштабом начального звена или для нашего случая - масштабом кривошипа.

Будем строить план ускорений в указанном масштабе (рис. 3.10). Сначала из полюса р проводим вектор нормального ускорения точки В кривошипа, которое направлено к центру его вращения, то есть, от точки В к точке А. По вышеуказанному условию этот вектор будет равен и параллелен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, ||. (Эти и последующие действия при построении плана ускорений приведены в виде примечаний под планом ускорений на рис. 3.10). Переходим к шатуну. Точка В принадлежит не только кривошипу, но и шатуну, значит ускорение точки В шатуна такое же, как и ускорение точки В кривошипа. Шатун совершает сложное движение в плоскости, то есть, его движение состоит из переносного поступательного и относительного вращательного вокруг точки В. Значит, ускорение точки С относительно точки В шатуна состоит из относительного нормального и относительного тангенциального. Чтобы определить ускорение точки С шатуна, надо решить векторное уравнение:

Точка С принадлежит не только шатуну, но и ползуну, и ускорения их одинаковы. Ползун совершает поступательное движение вдоль направляющих, значит, линия действия ускорения точки С в нашем случае горизонтальна. Так как это ускорение абсолютно, то горизонталь проводим через точку р плана ускорений. Нормальное ускорение точки С шатуна относительно точки В шатуна может быть определено, так как известна его угловая скорость в относительном движении вокруг точки В. Определим сразу изображение этого ускорения, то есть, длину того вектора, который следует показать на плане ускорений. Выполняя действие графического сложения, согласно векторному уравнению, этот вектор надо отложить из конца вектора ускорения точки В, то есть, от точки b параллельно шатуну в направлении от точки С к точке В - к центру относительного вращения ( на рис. 3.10). Длину вектора с учетом (3.6) найдем так:

После сокращения получим окончательно:

(мм) (3.10)

Линию действия тангенциального относительного ускорения проводим, выполняя действие графического сложения, согласно векторному уравнению, из конца вектора перпендикулярно шатуну. В точке пересечения этой линии с горизонталью линии действия ускорения точки С и находится искомая точка с - конец векторов (абсолютное ускорение точки С) и (тангенциальное относительное ускорение точки С). Сумма векторов нормального и тангенциального относительных ускорений даст вектор полного относительного ускорения . Что касается ускорения точки S, то аналогично вышеуказанному для плана скоростей, точка s на плане ускорений будет расположена посередине отрезка .

План ускорений показывает направления и пропорции линейных ускорений в механизме. Величины линейных и угловых ускорений находятся из плана ускорений по формулам. Линейные ускорения - с учетом масштаба ускорений. Например, ускорение ползуна:

(м/с²)

Угловое ускорение шатуна в его относительном движении вокруг точки В найдем как частное от деления тангенциального относительного ускорения точки С на радиус-вектор расположения этой точки на шатуне (размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на плане ускорений и схеме механизма, получим:

И после сокращения имеем:

(рад/с) (3.11)

Направление углового ускорения шатуна укажет вектор , мысленно перенесенный из плана ускорений в точку С схемы механизма. В данном случае угловое ускорение шатуна направлено против часовой стрелки, так же, как его угловая скорость - это значит, что шатун в данный момент времени движется ускоренно.

В заключение заметим, что величины ускорений точек и звеньев используются в силовом расчете механизмов для определения сил инерции и силовых инерционных моментов.

6. Кинематический анализ кривошипно-коромыслового механизма при помощи планов скоростей и ускорений

Определение скоростей звеньев и их точек

Напомним, что планы скоростей и ускорений являются универсальным средством для определения скоростей, передаточных отношений и ускорений в стержневых механизмах. Как производится это определение, было показано в предыдущей лекции на примере одного из простейших (четырехзвенных) стержневых механизмов - кривошипно-ползунного. Теперь рассмотрим, как строятся планы скоростей и ускорений кривошипно-коромыслового механизма.

Схема механизма для заданной позиции строится в масштабе м_l (рис. 3.11). План скоростей будем строить в масштабе кривошипа м _v = м_lщ₁ (м/с·мм), при котором изображение вектора скорости точки В кривошипа на плане скоростей равно изображению кривошипа на схеме механизма (вывод этого положения смотри в предыдущей лекции). Из полюса р плана скоростей проводим вектор , равный и перпендикулярный кривошипу , в сторону, соответствующую направлению его вращения: . (Эти и последующие действия при построении плана скоростей приведены в виде примечаний под планом скоростей на рис. 3.11).



Рис. 3.11

Дальнейшие построения производятся по векторному уравнению для скорости точки С шатуна:

Точка С принадлежит не только шатуну, но и коромыслу, поэтому линия действия скорости перпендикулярна коромыслу CD. Эту ли-

нию проводим через полюс плана скоростей, так как скорость точки С абсолютна. Линия действия относительной скорости точки С шатуна перпендикулярна шатуну, поэтому, выполняя действие графического сложения, проводим ее через конец вектора . Эти две линии действия пересекаются в искомой точке с плана скоростей. В пересечении этих двух линий и будет находиться искомая точка с плана скоростей.

Таким образом, - это вектор абсолютной скорости точки С, а - это вектор относительной скорости точки С относительно точки В. Для нахождения точки s на плане скоростей используем теорему подобия, согласно которой фигура, образованная векторами относительных скоростей точек звена подобна фигуре звена. В нашем случае можно сказать, что отрезки звена и относительной скорости пропорциональны. То есть, если точка S расположена посередине шатуна ВС, то на плане скоростей точка s будет находиться посередине между точками b и с: - вектор абсолютной скорости точки S.

Используем план скоростей для нахождения величины и направления угловых скоростей шатуна (звено 2) и коромысла (звено 3). Шатун в относительном движении поворачивается вокруг точки В и его угловая скорость равна частному от деления линейной относительной скорости v_CB на радиус-вектор расположения точки С на шатуне. Заменяя действительные величины их изображениями на плане скоростей и схеме механизма, получим, с учетом (3.1) и (3.4):

После сокращения получим окончательно:

(рад/с) (3.12)

Направление этой скорости укажет вектор , мысленно перенесенный из плана скоростей в точку С шатуна - против часовой стрелки (рис. 3.11).

Величина угловой скорости коромысла определится по аналогичной формуле, в которой вместо надо подставить , а вместо - :

(рад/с) (3.13)

Направление этой скорости указывает вектор , мысленно перенесенный в точку С коромысла - против часовой стрелки (рис. 3.11).

Расчет передаточных отношений в механизме

Определение и смысл передаточных отношений в кривошипно-коромысловом механизме такие же и величины их рассчитываются так же, как это было описано в §3.5.

Найдем передаточное отношение от коромысла к кривошипу. Это безразмерное передаточное отношение определяется как отношение угловых скоростей коромысла и кривошипа. C учетом (3.13) после сокращения получим:

Передаточное отношение от точки S шатуна к коромыслу (c учетом (3.13):

(м)

С учетом (3.4) после сокращения получим:

 (м)

Любые другие передаточные отношения рассчитываются аналогично.

Определение ускорений звеньев и их точек

Переходим к плану ускорений. Подобно плану скоростей будем строить его в масштабе кривошипа м _a = м _l щ ² (м/с²·мм), при котором изображение вектора нормального ускорения точки В кривошипа на плане ускорений равно изображению кривошипа на схеме механизма (вывод этого положения смотри в предыдущей лекции). Сначала из полюса р проводим вектор нормального ускорения точки В кривошипа, которое направлено к центру его вращения, то есть, от точки В к точке А. По вышеуказанному условию этот вектор будет равен и параллелен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, ||. (Эти и последующие действия при построении плана ускорений приведены в виде примечаний под планом ускорений на рис. 3.11).

Переходим к шатуну. Точка В принадлежит не только кривошипу, но и шатуну, значит ускорение точки В шатуна такое же, как и ускорение точки В кривошипа. Шатун совершает сложное движение в плоскости, то есть, его движение состоит из переносного поступательного и относительного вращательного вокруг точки В. Значит, ускорение точки С относительно точки В шатуна состоит из относительного нормального и относительного тангенциального. С другой стороны, точка С принадлежит не только шатуну, но и коромыслу. Ускорение этой точки в абсолютном движении вокруг точки D состоит из нормального и тангенциального. Поэтому, чтобы определить ускорение точки С шатуна, надо совместно решить два векторных уравнения:

 (3.14)

В первом уравнении нормальное ускорение точки С относительно точки В шатуна находится по известной формуле. Определим сразу его изображение, то есть, длину вектора в мм, который следует провести на плане ускорений (с учетом (3.12)):

После сокращения получим:

(мм) (3.15)

Выполняя действие графического сложения, согласно первому векторному уравнению, этот вектор надо отложить из конца вектора ускорения точки В, то есть, от точки b параллельно шатуну в направлении от точки С к точке В - к центру относительного вращения ( на рис. 3.11). Из конца полученного вектора, то есть, из точки n₁, согласно тому же векторному уравнению, проводим линию действия тангенциального относительного ускорения точки В шатуна - перпендикулярно в шатуну.

Теперь переходим ко второму векторному уравнению. Нормальное ускорение точки С коромысла может быть найдено по известной формуле. Определим его изображение, то есть длину вектора в мм, который надо провести на плане ускорений (с учетом 3.13):



После сокращения получим:

(мм) (3.16)

Из конца полученного вектора, то есть, из точки n ₂, согласно второму векторному уравнению, проводим линию действия тангенциального ускорения точки С коромысла - перпендикулярно к коромыслу на схеме механизма (рис. 3.11).

Точка пересечения двух линий действия тангенциальных ускорений является концом векторов тангенциального относительного ускорения точки С шатуна и тангенциального абсолютного ускорения точки С коромысла . Кроме того, эта точка является концом искомого вектора полного абсолютного ускорения точки С механизма , полученного в результате графоаналитического решения системы векторных уравнений (3.14). Сумма векторов и дает вектор полного относительного ускорения точки С шатуна . Точка s на плане ускорений, так же как на плане скоростей расположена посередине вектора : - вектор абсолютного ускорения точки S.

Используем план ускорений для нахождения угловых ускорений шатуна и коромысла. Угловое ускорение шатуна в его относительном движении вокруг точки В найдем как частное от деления тангенциального относительного ускорения точки С на радиус-вектор расположения этой точки на шатуне (размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на плане ускорений и схеме механизма, получим:

И после сокращения имеем:

(рад/с) (3.17)

Направление углового ускорения шатуна укажет вектор , мысленно перенесенный из плана ускорений в точку С схемы механизма. В данном случае угловое ускорение шатуна направлено по часовой стрелке, то есть, в сторону противоположную его угловой скорости - это значит, что шатун в данный момент времени движется замедленно.

Угловое ускорение коромысла найдем, как частное от деления тангенциального ускорения точки С на радиус-вектор расположения этой точки на коромысле (размер CD). Заменяя действительные величины их изображениями на плане ускорений и схеме механизма, получим:

И после сокращения имеем:

(рад/с) (3.18)

Направление углового ускорения коромысла укажет вектор , мысленно перенесенный из плана ускорений в точку С схемы механизма. В данном случае угловое ускорение коромысла направлено против часовой стрелки, так же, как и его угловая скорость, это значит, что шатун в данный момент времени движется ускоренно.

7. Кинематический анализ кривошипно-кулисного механизма при помощи планов скоростей и ускорений

Определение скоростей звеньев и их точек

Схема механизма для заданной позиции строится в масштабе м _l (рис. 3.12). Своеобразие этого механизма заключается в наличии совпадающих точек камня и кулисы. Точка В реализована на кривошипе 1 и камне 2 в виде шарнира, связывающего камень с кривошипом. В данный момент времени с этой точкой совпадает воображаемая точка на кулисе 3, то есть, точка, которая никак не реализована, но которая нужна для расчетов и построений. Релятивная скорость v_В3В1 (или v_B3B2) - это скорость точки В₃ кулисы относительно точки В₁ кривошипа (или точки В₂ камня). Учитывая, что камень и кулиса совершают друг относительно друга поступательное движение, можно сказать, что релятивная скорость - это скорость кулисы относительно камня.

План скоростей будем строить в масштабе кривошипа м _v = м_l щ ₁ (м/с·мм), при котором изображение вектора скорости точки В₁ кривошипа на плане скоростей равно изображению кривошипа на схеме механизма (вывод этого положения смотри в предыдущей лекции). Из полюса р плана скоростей проводим вектор скорости точки В₁ - , равный и перпендикулярный кривошипу , в сторону, соответствующую направлению его вращения: . (Эти и последующие действия при построении плана скоростей приведены в виде примечаний под планом скоростей на рис. 3.12). Дальнейшие построения производятся по векторному уравнению для скорости совпадающей точки В₃ кулисы:

Линия действия скорости перпендикулярна кулисе и так как эта скорость абсолютна, то ее линию действия проводим через полюс плана скоростей. Линия действия релятивной скорости

Рис. 3.12

 расположена вдоль кулисы (это скорость кулисы относительно камня), поэтому, выполняя действие графического сложения по

векторному уравнению, проводим на плане скоростей через точку b₁ прямую, параллельную кулисе . В пересечении этих двух линий действия находится искомая точка b₃ , так что, вектор - это век-

тор абсолютной скорости точки b₃ кулисы, а вектор есть вектор релятивной скорости. Положение точки d на плане скоростей определим так: точка D расположена на кулисе и находится на продолжении ее участка CD, поэтому, согласно теореме подобия, на плане скоростей точка d будет располагаться на продолжении вектора , а размер вектора скорости точки D определится из пропорции:

Определим угловую скорость кулисы в данной позиции механизма:

После сокращения получим:

(3.19)

Направление вращения кулисы укажет вектор , мысленно перенесенный из плана скоростей в точку В₃ кулисы, - против часовой стрелки.

Расчет передаточных отношений в механизме

Определение и смысл передаточных отношений в кривошипно-кулисном механизме такие же и величины их рассчитываются так же, как это было описано в §3.5.

Найдем передаточное отношение от кулисы к кривошипу. Это безразмерное передаточное отношение определяется как отношение угловых скоростей коромысла и кривошипа. С учетом (3.19) после сокращения получим:

Передаточное отношение от точки D кулисы 3 к камню 2 в его релятивном движении (то есть, в движении вдоль кулисы):

Другие передаточные отношения находятся аналогично.

Определение ускорений звеньев и их точек

Переходим к плану ускорений. Подобно плану скоростей будем строить его в масштабе кривошипа м _a = м_l щ² (м/с²·мм), при котором изображение вектора нормального ускорения точки В₁ кривошипа на плане ускорений равно изображению кривошипа на схеме механизма (вывод этого положения смотри в предыдущей лекции). Сначала из полюса р проводим вектор нормального ускорения точки В₁ кривошипа, которое направлено к центру его вращения, то есть, от точки В₁ к точке А. По вышеуказанному условию этот вектор будет равен и параллелен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, ||. (Эти и последующие действия при построении плана ускорений приведены в виде примечаний под планом ускорений на рис. 3.12). Тангенциальное ускорение точки В₁ отсутствует, так как (рис. 3.12).

Переходим к кулисе. Ускорение совпадающей точки В₃ кулисы складывается из ускорения точки В₁ кривошипа (или точки В₂ камня) и релятивного ускорения, состоящего из кориолисова и тангенциального. С другой стороны, ускорение точки В₃ кулисы состоит из нормального и тангенциального абсолютных ускорений. Таким образом, чтобы найти ускорение точки В₃ надо решить систему из двух векторных уравнений:

(3.20)

Кориолисово ускорение может быть определено по известной из теоретической механики формуле. Найдем его изображение, то есть, длину вектора, который надо отложить на плане ускорений, с учетом (3.1) и (3.8) и (3.19):

После сокращения получим:

(мм) (3.21)

Выполняя действие графического сложения по первому векторному уравнению системы (3.20), это вектор следует отложить из конца вектора ускорения точки В₁, то есть, из точки b₁ плана ускорений в сторону, которая определяется следующим правилом: направление вектора кориолисова ускорения указывает вектор релятивной скорости на плане скоростей, повернутый на 90? в сторону вращения кулисы (щ ₃ на схеме механизма). Из точки k проводим линию действия тангенциального релятивного ускорения - параллельно кулисе.

Теперь переходим ко второму векторному уравнению. Нормальное ускорение точки С коромысла может быть найдено по известной формуле. Определим его изображение, то есть длину вектора в мм, который надо провести на плане ускорений (с учетом (3.19)):

После сокращения получим:

(мм) (3.22)

Из конца полученного вектора, то есть, из точки n , согласно второму векторному уравнению, проводим линию действия тангенциального ускорения точки В₃ кулисы - перпендикулярно к кулисе на схеме механизма (рис. 3.12).

Точка пересечения двух линий действия тангенциальных ускорений является концом векторов тангенциального релятивного ускорения точки В₃ кулисы и тангенциального абсолютного ускорения точки В₃ кулисы . Кроме того, эта точка является концом искомого вектора полного абсолютного ускорения точки В₃ механизма , полученного в результате графоаналитического решения системы векторных уравнений (3.20). Сумма векторов и дает вектор полного релятивного ускорения точки В₃ шатуна .

Используем план ускорений для нахождения углового ускорения кулисы. Это есть частное от деления тангенциального абсолютного ускорения точки В₃ на радиус-вектор расположения этой точки на кулисе (размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на плане ускорений и схеме механизма, получим:

И после сокращения имеем:

(рад/с) (3.23)

Направление углового ускорения кулисы укажет вектор , мысленно перенесенный из плана ускорений в точку В схемы механизма. В данном случае угловое ускорение кулисы направлено против часовой стрелки, то есть, в ту же сторону, что и угловая скорость - это значит, что кулиса в данный момент времени движется ускоренно.

8. Аналитический метод кинематического анализа стержневых механизмов

Аналитический метод основан на составлении и решении алгебраических уравнений аналитической геометрии рассматриваемого механизма в требуемой позиции. Для нахождения параметров скорости и ускорения звена или точки эти уравнения дифференцируются.

Аналитический метод не является универсальным в том смысле, что при помощи него невозможно сразу определить все скорости и ускорения в механизме, а также, направления этих скоростей и ускорений так, как это позволяют сделать планы скоростей и ускорений. Составленные функции и их производные дают возможность найти перемещение, скорость и ускорение только одного звена или только одной точки звена, но результаты могут быть получены с большой точностью. Кроме того, весь процесс может быть компьютеризирован. Поэтому, аналитический метод используется для уточнения соответствующих графических приемов и для создания компьютерных программ кинематического исследования типовых механизмов.

Покажем использование аналитического метода на примере определения кинематических параметров ползуна нецентрального кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.13).

Для определения перемещения s ползуна запишем выражения проекций звеньев механизма на горизонталь и вертикаль.

Проекция на горизонталь:

(3.24)

Проекция на вертикаль:

 (3.25)

В результирующих выражениях кинематических параметров ползуна удобно иметь только размеры звеньев механизма и его входной кинематический параметр - угол поворота кривошипа. Поэтому, выразим угол поворота шатуна через названные параметры.

Из (3.25) имеем:

Рис. 3.13

Введя обозначения

(3.26)

получим:

 (3.27)

(3.28)

С учетом (3.26) из (3.24) получим:

(3.29)

Подставив (3.28) получим окончательное выражение перемещения ползуна:

(3.30)

Переходя к определению скорости и ускорения ползуна, следует заметить, что и в этом случае удобно пользоваться такими скоростными параметрами и параметрами ускорения, которые бы не менялись при изменении угловой скорости кривошипа, а зависели бы только от соотношений размеров механизма. Такими параметрами являются аналоги скоростей и ускорений.

Аналог скорости - это величина пропорциональная скорости, но зависящая не от времени, а от угла поворота входного звена механизма (здесь - кривошипа), то есть, это первая производная от перемещения не по времени, а по углу поворота этого звена:

 (3.31)

Чтобы найти связь между аналогом скорости и скоростью умножим и разделим эту дробь на dt:

Здесь ds/dt - это линейная скорость (в данном случае, ползуна), а dц/dt - угловая скорость входного звена - кривошипа. Поэтому,

(м) (3.32)

Аналог ускорения - это вторая производная от перемещения по углу поворота входного звена:

(3.33)

Для нахождения связи между аналогом ускорения и ускорением умножим и разделим эту дробь на dt²:

Здесь d²s/dt² - это линейное ускорение ползуна, а dц²/dt² - квадрат угловой скорости кривошипа. Поэтому,

 (м) (3.34)

Заметим, что аналоги линейных скорости и ускорения имеют размерность длины.

Найдем выражение для аналога скорости ползуна. Для этого продифференцируем (3.29):

(3.35)

Для нахождения d/d продифференцируем (3.25):

Откуда:

(3.36)

Подставим (3.36) в (3.35):

Учтя, что sin/cos = tg, после сокращения найдем:

(3.37)

Подставив (3.28), получим окончательное выражение аналога скорости ползуна:

(3.38)

Скорость ползуна определится с учетом (3.32):

(3.39)

Для определения аналога ускорения ползуна продифференцируем (3.37):

С учетом (3.36) получим:

После умножения получим:

Подставив (3.28), получим окончательное выражение для аналога ускорения ползуна:

(3.40)

Ускорение ползуна определится с учетом (3.34):

(3.41)

Направления скорости и ускорения ползуна зависят от знаков результата расчетов по формулам (3.39) и (3.41) в соответствии с первоначально принятыми условиями о знаках и направлениях.

9. Силовой расчет стержневых механизмов

Цель и принцип

Работа реального механизмапроисходит под действием внешних сил. Внешние силы вызывают появление в механизме внутренних сил, то есть сил, с которыми одни звенья действуют на другие. Силовой расчет имеет целью определение сил взаимодействия звеньев в кинематических парах механизма. Если одно звено действует на второе с определенной силой, то, согласно третьему закону Ньютона, это вызывает противодействие второго звена с такой же силой. Поэтому, силы взаимодействия звеньев в кинематических парах называются силами реакции или просто реакциями и обозначаются буквой R с соответствующими индексами, например, R₂₃ - это сила, с которой второе звено действует на первое, а R₃₂ - равная и противоположная ей сила.

Знание величин реакций в кинематических парах необходимо для дальнейшего расчета на прочность этих кинематических пар с целью определения их размеров, например, диаметра шарнира, длины направляющих и пр.

Силовой расчет механизмов, как подвижных механических систем, производится с использованием принципа Даламбера: если к подвижной механической системе наряду с внешними силами приложить силы инерции ее звеньев, то такую систему можно рассматривать в равновесии и рассчитывать методами статики. Рассмотрим сначала методы расчета сил инерции для звеньев, совершающих простые и сложные движения.

10. Определение сил инерции и силовых моментов инерции звеньев

В начале заметим, что силы инерции - это фиктивные силы, не существующие в природе, а введенные для удобства расчетов. В реальности дело обстоит так. У тела есть только два естественных состояния - покоя и равномерного прямолинейного движения, при которых на тело не действуют никакие силы. Если эти состояния нарушаются при наложении какой-либо связи, то на тело действует сила реакции связи; эта сила вызывает противодействие, которое и принято называть силой инерции.

Рассмотрим определение сил инерции и силовых моментов инерции для звеньев, совершающих поступательное, вращательное и сложное движения.

Поступательно движущееся звено. Ползун, имеющий массу m, условно сосредоточенную в центре масс, (рис.3.14а) движется с ускорением а, значит, согласно второму закону Ньютона, к нему приложена сила инерции F_и, направленная в сторону, противоположную ускорению. Величина этой силы находится так:

(Н)

Вращающееся звено. Звено с массой m, условно сосредоточенной в центре масс S (рис. 3.14б), и моментом инерции I относительно центра масс вращается вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью щ и угловым ускорением е. Следовательно, центр масс имеет нормальное ускорение аⁿ и тангенциальное ускорение а^ф. Используя второй закон Ньютона можно сказать, что на это звено действуют нормальная и тангенциальная составляющая силы инерции и силовой инерционный момент, причем эти силы и момент направлены в сторону, противоположную соответствующим кинематическим параметрам. Их величины найдем так: