Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.1 Теория напряжений

1.2 Теория деформаций

1.3 Закон Гука

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

2.1 Основные уравнения теории упругости

2.2 Типы задач теории упругости

2.3 Прямая и обратная задачи теории упругости

2.4 Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)

3. УПРУГАЯ И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

4. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



ВВЕДЕНИЕ

Теория упругости изучает напряженное и деформированное состояния твердого упругого тела, вызванные различными внешними воздействиями. Аналогичными вопросами занимается и сопротивление материалов. Однако теория упругости решает свои задачи более общими и более точными методами, применяя сравнительно сложный математический аппарат. К теории упругости близко примыкает теория пластичности. Теория пластичности изучает общие законы образования напряжений и деформаций, возникающих на всех стадиях пластического деформирования тела.



1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.1 Теория напряжений

Требуется изучить напряженное состояние в области произвольной точки твердого тела. Для этого из тела выделяется бесконечно малый параллелепипед с тремя парами граней, параллельными координатным плоскостям. По каждой грани полное напряжение имеет три составляющих. Всего на всех гранях действуют 18 составляющих напряжений. Следует учесть, что одноименные напряжения на противоположных гранях параллелепипеда различаются друг от друга лишь на приращение по той координате, которая изменяется при переходе от одной грани к другой (количество неизвестныхстановится равным девяти).

Составляют шесть условий равновесия, в результате чего получают три соотношения, выражающих хорошо известный из сопротивления материалов закон взаимности касательных напряжений, и три дифференциальных уравнения, содержащих девять неизвестных напряжений. Учитывая закон взаимности касательных напряжений, число неизвестных напряжений уменьшается до шести.

Если тело находится в движении, то к действующим силам добавляют силы инерции. Полученные три дифференциальных уравнения называются дифференциальными уравнениями равновесия и движения, уравнениями Навье.

Чтобы полностью изучить напряженное состояние в произвольной точке тела, надо знать составляющие полного напряжения по любой площадке, проходящей через эту точку.

Рассматриваем условия равновесия элементарного тетраэдра, выделенного из тела тремя плоскостями, параллельными координатным, и четвертой плоскостью, пересекающей все три координатные оси. Предполагая, что площадь наклонной грани в пределе стремится к нулю, получаем уравнения, связывающие напряжения по наклонной площадке, проходящей через рассматриваемую точку, и по площадкам, параллельным координатным плоскостям. Таким образом, напряженное состояние в данной точке тела вполне определяется шестью составляющими, или компонентами напряжения, по трем координатным площадкам, проходящим через эту точку. Совокупность составляющих напряжений по трем координатным площадкам образует так называемый тензор напряжений. Итак, напряженное состояние в точке тела вполне определяется шестью компонентами тензора напряжений.

Следует внимательно проанализировать вывод кубического уравнения для определения главных напряжений. Так как значения главных напряжений не зависят от выбора координатной системы, то и коэффициенты кубического уравнения также не зависят от этой системы, т.е. они являются инвариантами преобразования координат. Эти коэффициенты называются инвариантами напряженного состояния или инвариантами тензора напряжений.

1.2 Теория деформаций

Совокупность девяти компонентов деформаций образует тензор деформаций; он определяет деформированное состояние в данной точке тела. Тензор деформаций записывается в виде матрицы, аналогичной тензору напряжений, причем нормальным напряжениям соответствуют линейные деформации, а касательным напряжениям - половины угловых деформаций. Ввиду взаимности сдвигов, аналогичной взаимности касательных напряжений, число неизвестных угловых деформаций равно трем. Поэтому тензоры напряжений и деформаций фактически характеризуются шестью компонентами. Для деформаций существуют три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями деформаций. Волокна,

направленные по ним, только удлиняются или укорачиваются, но не поворачиваются, т.е. сдвиги в главных осях деформаций равны нулю.

Кубическое уравнение для определения главных удлинений записывается аналогично соответствующему уравнению для главных напряжений путем замены компонентов тензора напряжений на соответствующие компоненты тензора деформаций.

Компоненты малой деформации связаны с тремя компонентами смещения в той же точке (u, v и w) шестью дифференциальными зависимостями, называемыми соотношениями Коши. Шесть уравнений, связывающих компоненты деформаций между собой, называются уравнениями неразрывности или совместности деформаций или уравнениями Сен-Венана. Физический смысл этих уравнений таков: тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и непрерывным и после деформации.

1.3 Закон Гука

Опыт показывает: при малых деформациях напряжение прямо пропорцианально относительному удлинению . Эта зависимость, называемая законом Гука, записывается так:

= E ||

Относительное удлинение в формуле (1) взято по модулю, так как закон Гука справедлив как для деформации растяжения, так и для деформации сжатия, когда < 0.

Коэффициент пропорциональности E, входящий в закон Гука, называется модулем упругости или модулем Юнга. Модуль Юнга определяют по формуле (1), измеряя напряжение и относительное удлинение при малых деформациях.

Для большинства широко распространённых материалов модуль Юнга определён экспериментально. Так, для хромоникелевой стали E=2,11011 Па, а для алюминия E=71010 Па. Чем больше модуль Юнга, тем меньше деформируется стержень при прочих равных условиях (одинаковых F,S,l0). Модуль Юнга характеризует сопротивляемость материала упругой деформации растяжения или сжатия.

Закон Гука, записанный в формуле (1), легко привести к виду, известному из курса физики IX класса.

Действительно, подставив в формулу (1) = F/S и = |l|/l0 , получим:

F/S=E |l|/l0

Отсюда

F = SE/l0 |l|.

Обозначим

SE/l0=k, тогда

F=k|l |.

Таким образом, жесткость k стержня прямо пропорциональна произведению модуля Юнга на площадь поперечного сечения стержня и обратно пропорциональна его длине.



2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Основная задача теории упругости - определение напряженно-деформированного состояния по заданным условиям нагружения и закрепления тела.

Напряжено-деформированное состояние, если найдены компоненты тензора напряжений и вектора перемещений, девять функций.

2.1 Основные уравнения теории упругости

Для того, чтобы найти эти девять функций надо записать основные уравнения теории упругости, или:

Дифференциальные Коши

где - компоненты тензора линейной части деформаций Коши;

компоненты тензора производной перемещения по радиусу.

Дифференциальные уравнения равновесия

где - компоненты тензора напряжений; - проекция объемной силы на ось j.

Закон Гука для линейно-упругого изотропного тела



где - константы Ламе; для изотропного тела. Здесь - нормальные и касательные напряжения; деформации и углы сдвига соответственно.

Вышеперечисленные уравнения должны удовлетворять зависимостям Сен-Венана

В теории упругости задача решена, если выполняются все основные уравнения.

2.2 Типы задач теории упругости

Граничные условия на поверхности тела должны выполняться и в зависимости от типа граничных условий различают три типа задач теории упругости.

Первый тип. На поверхности тела заданы силы. Граничные условия

Второй тип. Задачи, в которых на поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

Третий тип. Смешанные задачи теории упругости. На части поверхности тела заданы силы, на части поверхности тела задано перемещение. Граничные условия

2.3 Прямая и обратная задачи теории упругости

Задачи, в которых на поверхности тела заданы силы или перемещения, а требуется найти напряженно-деформированное состояние внутри тела и то, что не задано на поверхности, называют прямыми задачами. Если же внутри тела заданы напряжения, деформации, перемещения и т.д., а требуется определить то, что не задано внутри тела, а также перемещения и напряжения на поверхности тела (то есть найти причины, вызвавшие такое напряженно-деформированное состояние) ), то такие задачи называются обратными.

2.4 Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)

Для определения уравнений теории упругости в перемещениях запишем: дифференциальные уравнения равновесия (5) закон Гука для линейно-упругого изотропного тела (6)

Если учесть, что деформации выражаются через перемещения (4), запишем:

Следует также напомнить, что угол сдвига связан с перемещениями следующим соотношением (4):

Подставив в первое уравнение равенств (6) выражение (8), получим, что нормальные напряжения

Отметим, что запись иц в данном случае не подразумевает суммирования по i.

Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения

Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1

Подставив в уравнение (12) выражения для нормальных (10) и касательных (11) напряжений, получим

где л- константа Ламе, которая определяется по выражению:

Подставим выражение (14) в уравнение (13) и запишем,

где определяется по выражению (8), или в развернутом виде

Разделим выражение (15) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:



где - оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как

Аналогично можно получить:

Уравнения (17) и (18) можно записать в следующем виде:

Уравнения (19) или (16) и (18) являются уравнениями Ламе. Если объемные силы равны нулю или постоянны, то

причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь. напряженный деформированный упругость пластичность



или, с учетом (17)

Подставив (8) в (20) и проведя преобразования, получим

а, следовательно

где - функция, удовлетворяющая данному равенству. Если

следовательно, f - функция гармоническая. Значит и объемная деформация также функция гармоническая.

Считая верным предыдущее предположение, возьмем гармонический оператор от i -ой строчки уравнения Ламе

где

Если объемные силы равны нулю или постоянны, то компоненты перемещения есть бигармонические функции.

Известны различные формы представления бигармонических функций через гармонические (удовлетворяющие уравнениям Ламе).

где k = 1,2,3. Причем



и

Можно показать, что такое представление перемещений через гармоническую функцию обращает в тождество уравнения Ламе (19). Часто их называют условиями Попковича-Гродского. Четыре гармонические функции не обязательны, ведь ф0 можно приравнять нулю.



3. УПРУГАЯ И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Деформация - изменение формы и размеров твердого тела под воздействием приложенных к нему нагрузок. Различают деформацию упругую (обратимую) и пластическую (необратимую)

Упругой деформацией называют такую, которая исчезает после снятия нагрузок, т.е. тело восстанавливает свою первоначальную форму. Пластическая деформация остается после снятия внешней нагрузке, (тело не восстанавливает первоначальную форму и размеры).

Пластическая деформация сопровождается смещением одной части кристалла относительно другой на расстояние, значительно превышающие расстояния между атомами в кристаллической решетке металлов и сплавов.

Способность металлов и сплавов к пластической деформации имеет важное практическое значение, т.к. все процессы обработки металлов давлением основаны на пластическом деформировании заготовок.

Величина пластической деформации не безгранична, при определенных ее значениях может начинаться разрушение металла.

При пластической деформации изменяется не только форма, но и свойства деформируемого металла. В реальном поликристаллическом металле происходит изменение форм зерен (кристаллитов) дробление отдельных зерен, а также ориентация их определенных кристаллографических осей в направлении течения металла. Преимущественная ориентация зерен называется текстурой. Текстура металлов обусловливает анизотропию их механических, магнитных и электрических свойств. В общем случае анизотропия свойств металла отрицательно сказывается при дальнейшей его обработки и эксплуатации изделий. В некоторых случаях специально стремятся создать максимально текстурованный в определенных направлениях для повышения механической прочности или магнитно-электрических свойств.



4. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Раздел механики, в котором изучаются законы, отражающие связи между напряжениями и упругопластичными деформациями и разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении деформируемых твердых тел. Теория пластичности является основой современных расчётов конструкций, сооружений и машин с учётом максимального использования прочностных и деформационных ресурсов материалов, а также расчётов технологических процессов обработки металлов давлением (ковки, штамповки и др.) и ряда природных процессов (горообразования, дрейфа континентов и др.).

Упругие деформации конструкционных материалов имеют величину 0,3--0,5%, тогда как пластические деформации до разрушения достигают значений 10-- 20% и более, а напряжения при разрушении превышают предел текучести в несколько раз. Поэтому методы расчёта, основанные на допустимости только упругих деформаций, не всегда технически и экономически целесообразны. Более того, иногда создание жизнеспособной конструкции просто невозможно без учёта стадии пластической деформации.

Для определения пластических свойств металлов производятся эксперименты по растяжению -- сжатию плоского или цилиндрического образца и деформированию тонкостенной цилиндрической трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего момента и внутреннего давления, т. е. эксперименты, позволяющие вести независимый отсчёт усилий и деформаций. Диаграмма зависимости "напряжение -- деформация" характеризует деформацию данного материала. Теория пластичности идеализирует поведение реальных материалов при пластическом деформировании, пользуясь различными гипотезами. Обычно в диаграмму "напряжение -- деформация" апроксимируют схемой, состоящей из двух участков: отрезка прямой, соответствующего упругому состоянию материала, и отрезка, соответствующего состоянию пластичности.

При пластическом деформировании напряженное и деформированное состояния материала существенно зависят от истории нагружения. Так, вторичное нагружение образца повышает предел упругости материала Поэтому данному напряжённому состоянию могут соответствовать различные пластические деформации в зависимости от того, какой последовательностью напряжённых состояний оно достигнуто. Определение модели пластического тела состоит в установлении связи между тензорами, определяющими сложное напряжённое и деформированное состояния материалов.

Одной из наиболее распространённых является теория малых упругопластических деформаций (деформационная теория), которая формулирует соотношения между интенсивностью напряжений

и интенсивностью деформаций в той же точке

где sx, sy, sz -- нормальные напряжения в координатных площадках, проходящих через данную точку, txy, tyz, tzx -- касательные напряжения, ex, ey, ez -- деформации удлинения, gxy, gyz, gzx -- деформации сдвига. Для случая, когда интенсивность деформаций в данной точке возрастает, принимается, что величины si и ei связаны между собой независимо от вида напряжённого состояния. Деформационная пластичной теории строго говоря, применима лишь в случае простого нагружения, когда все компоненты напряжённого состояния возрастают пропорционально одному параметру.

Более общей является теория течения, связывающая приращения деформаций и напряжении с компонентами напряжений.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопросы пластичности и упругости тел имеют первостепенное значение для многих отраслей техники. Пластичность и упругость данного материала определяют в конечном счете возможность использования его в строительных сооружениях, в деталях машин, в конструкциях приборов, в инструментах для механической обработки твердых тел и во многих других случаях. Эти же свойства определяют также возможность механической обработки данного материала давлением (ковкой, прокаткой, штамповкой, резанием) и задают мощности применяемых для этой цели машин.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. 400 стр.Высшая школа.1990г.

2 Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть I.Теория напряжений .Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности». 2005.-37с.

3 Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть II .Теория деформаций. Связь между напряженным и деформированным состоянием.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-53с.

4 Веретимус Д.К. Основы теории упругости.Часть III .Основные уравнения теории упругости.Типы задач теории упругости.Методическое пособие по курсу «Основы теории упругости и пластичности»,2005.-45с.

Размещено на Allbest.ru