Уравнения пластического состояния деформируемых твердых тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

Кафедра «Технология материалов»

Секция «Обработка металлов давлением»

Пояснительная записка

по семестровой работе

Дисциплина: Теория обработки металлов давлением

Тема работы: Уравнения пластического состояния деформируемых

твердых тел

Выполнил: студент гр М-435

Журавлев А.А.

Проверил: Столярчук А.С.

Волгоград 2015



ЗАДАНИЕ

Уравнения пластического состояния деформируемых твердых тел

1. Условия пластичности Треска - Сен - Венана и Губера - Мизеса

Основные понятия, сущность, уравнения, геометрический и физический смысл; проиллюстрировать. В чем заключается принципиальное отличие этих условий пластичности? Пластическая постоянная: ее сущность и величина. Проанализировать влияние среднего главного нормального напряжения на момент наступления пластического состояния металла для уловия пластичности Губера - Мизеса. При каких значениях среднего главного нормального напряжения оба условия пластичности совпадают? При каких не совпадают?

2. Основные теории пластичности

Основные положения, уравнения. В чем заключается принципиальное различие этих теорий. Какая теория дает лучшие результаты для больших пластических деформаций? Почему? Уравнения связи между напряжениями и деформациями, скоростями деформации.



Оглавление

1. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

1.1 Условия перехода твердого тела в пластическое состояние

1.2 Условие пластичности Треска - Сен-Венана

1.2.1 Геометрический смысл условия пластичности Треска - Сен - Венана

1.3 Условие пластичности Губера - Мизеса

1.3.1 Геометрический смысл условия пластичности Губера-Мизеса

1.3.2 Физический смысл условия пластичности Губера-Мизеса

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

2.1 Теория малых упругопластических деформаций (деформационная теория пластичности)

2.1.1 Теория пластического течения (теория течения)

2.2 Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформации, полученные на основе теории пластического течения

2.3. Сравнение двух теорий пластичности

Список использованной литературы



1. УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

1.1 Условия пластичности

Условие перехода твердого тела из упругого состояния в пластическое заключается в следующем: переход происходит при строго определенных величинах и соотношений их между напряжением в точке. Для объемной задачи количество возможны комбинаций таких соотношений бесчисленно, а их совокупность в системе координат образуют поверхность пластичности, определенной функцией:

Поверхность пластичности строится на основании экспериментально проверенных гипотез и эти гипотезы и их математические выражения называются условием пластичности. В теории ОМД используется два условия пластичности:

1) условие пластичности Треска-Сен-Венана (условие постоянства максимально касательных напряжений);

2) условие пластичности Губера - Мизеса (условие постоянства удельного энергии формообразования).

1.2 Условие пластичности Треска-Сен-Венана

твердый тело пластический деформация

При растяжении или осадки цилиндрического образца из мало углеродистой стали (Ст.10) имеющие поверхность в момент перехода металла в пластическое состояние на поверхности образца появляются линии текучести, которая называется линией Чернова-Людерса.



Рисунок 1 - Образование линий Чернова - Людерса.

Эти линии направления под углом 45? к оси сжатия или расширения. Пересечение с поверхностью образца плоскости, в которой действует максимальное касательное напряжение . Исходя из этого можно считать, что пластическое состояние наступает тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает критического состояния.

,

- пластическая постоянная равная текучести при чистом сдвиге

«» определяет максимальное значение, которое может достигнуть главных касательных напряжений при наступлении пластической деформации:

Соотношение между напряжением при чистом сдвиге и при линейно-напряженном состоянии получим уравнение (2) . Так какТаким образом, постоянная с этим учетом будет равна:



Такие предположения в 1864году сделал французский инженер Треска на основе своих экспериментов. Если в уравнение главных касательных напряжений подставить (), то получим систему уравнений для условия пластичности Треска-Сен-Венана для объёмной задачи:

Именно такое математическое выражение позднее предложил французский математик Сен-Венан.

Знак равенства может быть только в одном из трех уравнений. Так как напряжение всегда положительна, а одновременное равенство всех трех главных касательных напряжений одной и той же положительной величиной не возможно, по сколько не будет выполняться условие:

.

Как следует из уравнения (4) равенство достигается последующим уравнением представляющий разность наибольшего и наименьшего значения напряжения.

Пластическое состояние наступает, если одна из разностей двух главных нормальных напряжений становится равной напряжению текучести вне зависимости от двух других.

Условие пластичности Треска-Сен-Венана можно представить виде главных касательных напряжений:



Пластическое состояние наступает, если какое либо одно касательное напряжение достигает максимальной величины, равной половине напряжений текучести или напряжению текучести при чистом сдвиге.

Рисунок 2 - Призма текучести Треска - Сен - Венана.

1.2.1 Геометрический смысл условия пластичности Треска-Сен-Венана

Геометрический смысл условия пластичности Треска-Сен-Венана состоит в том, что в координатах главной нормали напряжения уравнения (4) определяет правильную шестигранную призму с гидростатической осью , то есть равнонаклоненной к трем осям координат. Гидростатическая ось является нормалью к девиаторной плоскости проходящей через начало координат. Поверхность призмы является поверхностью пластичности. Все точки внутри объема призмы находятся в упругом напряженном состоянии.

Рисунок 3 - Проекция призмы на девиаторную плоскость.

Каждая грань призмы параллельна одной из координат осей и равнонаклонена к двум другим осям; каждое из уравнений системы (4) определяет пару противоположной граней призмы.

Ребра призмы отсекают на каждой из координат осей отрезок равной напряжению при линейном напряженном состоянии. При плоском напряженном состоянии и система уравнения (4) будет иметь вид:



Уравнение (6) определяет прямые образующие шестиугольный контур пластичности для плоского напряженного состояния.

При плоском деформированном состоянии условие пластичности Треска-Сен-Венана

Поскольку напряжение - среднее, а разность берется между максимальным и минимальным, при произведении, условие пластичности Треска-Сен-Венана совпадают.

1.3 Условие пластичности Губера-Мизеса

Призма пластичности Треска-Сен-Венана описывается тремя уравнениями, которые не учитывают влияние третьего главного нормального напряжения. В связи с этим, очевидно более точно описывает переход металла из упругого состояния в пластическое условие пластичности Губера-Мизеса. Первоначально это условие было предложено Максвеллом, затем в 1904 году Губером и окончательно в 1943году сформулированМизесом. «Любая элементарная частица металлического тела переходит из упругого состояния в пластическое. Когда интенсивность напряжения достигает величины равной напряжению текучести при линейно пластическом напряжении состояния в соответствии температурным скоростным условиям деформирования и степени деформации». В момент наступления пластического состояния интенсивность напряжениястановится равной истинному напряжению текучести:



Условие пластичности Губера-Мизеса можно выразить через октаэдрические касательные напряжения:

1.3.1 Геометрический смысл условия пластичности Губера-Мизеса

В системе координат уравнение (12) представляет собой поверхность бесконечно длинного цилиндра с радиусом, описанный вокруг шестигранной призмы Треска-Сен-Венана.Ось цилиндра проходит через начало координат и равнонаклоненна к осям, то есть, ее уравнение , а угол наклона .

Поверхность цилиндра является предельной поверхности пластичности. Окружности, получаемые сечением цилиндра плоскости перпендикулярной к его оси определяет шаровой тензор, то есть напряженое состояние с постоянным средним напряжением. Эти плоскости определяются уравнениями:

где - расстояние от начала координат.

Плоскость, проходящая через начало координат при, определяет напряжение состояния, как чисто девиаторное. Образующие цилиндра являются геометрическим местом точек с постоянной разностью трех главных нормальных напряжений, то есть с одинаковым девиатором. Рассмотрим условие пластичности при плоском напряженном состоянии (рисунок 3).

Из формулы (12) получим с учетом :

Выражение (14) является уравнением эллипса с центром в начале координат и с осями наклонённых под углом к осям координат. Точки на предельном контуре пластичности с начальными координатами:

.

соответствует также и плоскому деформированному состоянию, поскольку одно из напряжений с этими координатами равно полусумме двух других (включая )



Рисунок 4 - Предельный контур пластичности при плоском напряженном состоянии; - вписанный шестигранник - условие пластичности Треска - Сен - Венана; - эллипс - условие пластичности Губера - Мизеса.

Малая ось эллипса равна радиусу цилиндра. Из этого рисунка 3 следует, что при плоском напряженном и плоско деформированном состоянии не одну из главных нормальных напряжений не может быть большей величины:

Для плоско деформированного состояния из формулы (12) получим

или



Таким образом, величина пластической постоянной, равная напряжению текучести при чистом сдвиге, изменяется в пределах в зависимости от условия пластичности.

1.3.2 Физический смысл условия пластичности Губера-Мизеса

В основе этого условия пластичности гипотеза перехода твердого тела в пластическое состояние независимо от вида напряженного состояния когда потенциальная энергия формоизмененная отнесенная к единице объема достигает постоянной величины зависящая только от свойств деформированного тела.

Полная потенциальная энергия деформирования равна сумме удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии:

Удельная потенциальная энергия равна половине произведения тензора и тензору деформирования:

Потенциальная энергия изменения объема равна:

Используя формулы обобщенного закона Гука и решая уравнение (17) относительную потенциальную энергию изменения формы получим:

Сопоставим формулы (20) и (12):

Любая элементарная частица твердого тела переходит из упругого состояния в пластическое, когда удельная энергия формоизменения достигает постоянной величины.

Влияние среднего главного нормального напряжения на момент наступления пластического состояния металла.

Среднее главное нормальное напряжение может изменяться только между наибольшим и наименьшим соотношением:

Представим условие пластичности Губера-Мизеса для любого значения :

В этом уравнение среднее главное нормальное напряжение учитывается коэффициентом:



Где -коэффициентНадаи-Лодэ

Если равна одному из крайних напряжений(, или ), то коэффициент по формуле (23) будет равна 1 (), а уравнение (22) примет вид:

В этом случае, когда среднее главное напряжение равно одномуиз крайних, условие Губера-Мизеса, написанное в упрочненном виде, совпадает с условием пластичности Треска-Сен-Венана. Максимальная величина достигает при плоском деформированном состоянии.

В этом случае коэффициент Надаи-Лорэ равен 0 или

Таким образом, изменяется:

Таким образом, влияние среднего главного нормального напряжения на момент наступления пластического состояния несущественно.Условие пластичности Губера-Мизеса (22) используют для анализа объемного напряженного состояния в различных процессах ОМД:



2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

В теории обработки металлов давлением для изучения пластической деформации используют две теории пластичности:

1. Теория малых упругопластических деформации (деформационная теория пластичности)

2. Теория пластического течения (теория течения)

Обе теории базируются на использовании единой кривой для процессов удовлетворения условия простого нагружения или монотонности напряжения.

2.1 Теория малых упругопластических деформации (деформационная теория пластичности)

Теория малых упругопластических деформаций устанавливает связь между конечными значениями напряжения и деформаций, т.е. для каждого пути деформирования устанавливают однозначную связь между ними.

Поскольку при больших пластических деформациях простое напряжение неосуществимо , то эта теория получила название теория малых упругопластических деформаций

Исходное положение:

1. Тело принимают изотропным.

2. Относительное изменение объема является упругая деформация пропорциональной среднему напряжению

3. В условиях изотропного упрочнения деформация складывается из упругой и пластической составляющей



_, (2)

4. Девиатор напряжений и деформаций пропорциональны

где - это функция инвариантов тензора напряжений и деформаций.

В известных формулах интенсивности напряжений и деформаций. Заменим компоненты тензора на компонентыдевиатора. И после преобразования получим уравнение Генки - Ильюшкина.

Эти уравнения похожи на обобщенный закон Гука, но не линейный, и являются уравнениями нелинейной упругой среды.

Расчеты по деформационной теории пластичности не зависят от пути деформирования в отличии от теории течения , а напряжение определяется только деформацией и интенсивностью напряжения.



2.1.1 Теория пластического течения (теория течения)

Теория пластического течения исходит из предпосылки, что напряжение связано не с самими остаточными деформациями, а с их бесконечно малых превращений.

Уравнения пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформации и компонентов напряжений.

Исходными положениями теории пластического течения являются следующее.

1. Тело принимают изотропным.

2. Относительные измерения объема мало и является упругой деформацией пропорциональное среднему напряжению.

где - относительное изменение объема,

- среднее значение.

F- модуль объемной податливости

- модуль объемной жесткости

где -коэффициент Пуассона

3. Полные приращения составленных деформаций складываются из приращений упругой деформации и модуль составляющих пластические деформации.

4. Девиатор напряжений и девиатор приращений пластической деформации пропорциональны

где - бесконечно малый скалярный множитель.

Связь между приращениями деформации и напряжениями выражается уравнениями состояния Прандтля-Рейсса:

Уравнение (8) не интегрируется, т.е. не могут быть соединены к конечным соотношениям между напряжением и деформациями. Для произвольного пути деформирования иными словами двум разным путям деформации, имеющих общее начало и конец будут соответствовать разным значениям напряжения.

В процессах обработки металлов давлением приращение значительно превышает. В связи с тем, что

В этом случае, если рассматривать процесс деформации во времени: , то получим зависимость между напряжением и скоростями деформации, которую определяет уравнение Сен-Венана-Леви-Мизеса:

Уравнение (9) значительно проще уравнения (8), поскольку представляет зависимость между конечными значениями напряжений и скоростей деформаций. Поскольку уравнение (9) аналогично уравнению вязкой жидкости, то отсюда и сложилось название теории течения. Однако принципиальное отличие уравнения (9) от уравнения вязкого течения состоит в том, что всегда отбросив время dt можно вернуться к уравнению системы (8).

2.2.1 Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформации, полученные на основе теории пластического течения

В пределах упругости зависимость между деформациями и напряжениями определяется системой уравнений, обобщенного закона Гука.



Линейные упругие деформации для сдвигов:

G - модуль упругости первого и второго рода

Рассмотрим характер связи напряжения и деформации при пластической деформации.

Воспользуемся следующим подтверждающим положением: «В каждый данный момент активной пластической деформации направление главных линейных деформаций и главных нормальных напряжений совпадает, а диаграммы Мора для деформации и напряжения геометрически подобны».



Рисунок 5 - Условие пластичности Треска - Сен - Венана: шестигранный контур пластичности при плоском напряженном состоянии.

Активная деформация предполагает, что в каждый момент времени величина у превышает предыдущие значения.

Исходя из подобия кругов Мора и пропорциональности девиаторов деформаций и напряжений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6 - Подобие кругов МОРА для напряжений и деформаций.



мы можем записать

- коэффициент пропорциональности

-модульпластичности 2 рода

Среднее выражение (12) подставим из условия постоянства объема

Решим его относительно:

Полученное значение подставим в первое выражение равенства (12) и решаем относительное.

Аналогичные решения выполним для и .В результате решения получим систему уравнений, которая представляет еще одну форму записи обобщенного закона Гука, но для пластической деформации.

Соотношения между этими модулями аналогично соотношению между модулями упругости.

Для пластического состояния в уравнение (13) и (14) коэффициент Пуассона принят равным .

Таким образом, уравнение (10) и (13) отличаются только коэффициентами. Обобщенную зависимость между и интенсивностью деформаций можно записать следующим образом:

Интенсивность деформации определяет степень упрочнения материала, которую можно выразить функциональной зависимостью:

Эта зависимость выражается кривой в координатах:, который строится по экспериментальным данным в условиях линейного нагруженияпри осадки или растяжения цилиндрических образцов. В этом случае интенсивность нормальных напряжений

Если в уравнение (13) заменить суммы напряжений разностями например,, то с учетом уравнений (15) и (16) можно записать обобщенную зависимость между напряжениями и деформациями в девиаторной форме, т.е. для пластической деформации:



Где .

Если компоненты напряжений и деформаций заданы в произвольных осях координат, то в уравнение (13) и (14) нужно добавить еще 3 уравнения связи касательных напряжений и деформации сдвига.

При этом значения напряжения деформации в уравнении (13) и (17) следует записывать тоже с индексом x, y, z. Между модулями упругости и пластичности первого и второго рода существует принципиальная разница, состоит она в том, что если для упругого состояния эти модули являются const, то при пластическом состоянии они могут принимать в каждый момент различные значения.

На основании принятых допущений можно утверждать, что коэффициент вида напряженного и деформированного состояния равны. Следовательно



Уравнение связи напряжений и деформаций - (12), (17), (18), (19) получены таким образом на основе деформационной теории пластичности.

На основе теории пластичности течения устанавливают связь междунапряжение и скоростями деформации. Предпосылки для этого те же, что и для установления связи напряжений и деформаций: пропорциональнодевиатору напряжений скоростей деформации

Геометрическое подобие диаграмм Мора для напряжений и скоростей деформаций и условие постоянства объема

Коэффициент пропорциональности и - это модуль скорости пластической деформации первого и второго вида.

Аналогично уравнение (15) и (16) запишем интенсивность нормальных напряжений



Эти уравнения используются в одном из аналитических методов исследования напряжений деформированного состояния, которой называется - метод сопротивления материала пластической деформации, которая была разработана Смирновым-Аляевам.

2.3 Сравнение двух теорий пластичности

Уравнение деформационной теории пластичности в полной мере описывает пластическую деформацию только в условиях простого нагружения, когда направления главных осей девиаторов напряжений и деформаций совпадают и неизменяют своего положения в процессе деформации.

Такое нагружение осуществимо только при малых упруго - пластических деформации. Теория пластического течения не имеет таких ограничений и уравнение этой теории применима и для малых и для больших пластических деформаций. Они не зависят от величины деформации и характера нагружения, поскольку напряжение состояния здесь определяется мгновенными превращениями компонента пластической деформации, т.е. скорости деформаций.

В экспериментах наблюдается изменение компонентов главных осей, но подобия девиаторов напряжения и деформация сохраняются всегда:

Уравнения Сен - Венна - Мизеса широко применяются в математической теории пластичности. Они имеют простую структуру и представляют собой конечную зависимость между компонентами напряжений и скоростей деформации когда простое напряжение не осуществимо.

Результаты расчетов по двум теориям пластичности совпадают только для малых деформаций при простом нагружении, это подтверждается экспериментально. Однако, для больших пластических деформаций, результаты эксперимента лучше всего согласуются с теорией пластического течения.



Список использованной литературы

1. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. - М.: Металлургия, 1977. - 322 с.

2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

3. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1977. - 424 с.

4. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. - М.: Металлургия, 1972. - 408 с.

5. Максимук В.С. Курс лекций по дисциплине «Теория обработки металлов давлением».

Размещено на Allbest.ru