Геометричне моделювання еліптичних ділянок фазових портретів коливальних систем при визначенні їх областей стійкості

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ

АГРОТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Геометричне моделювання еліптичних ділянок фазових портретів коливальних систем при визначенні їх областей стійкості

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Піксасов Михайло Михайлович

Мелітополь - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Університеті цивільного захисту України Міністерства з питань надзвичайних ситуацій України.

Науковий керівник: - кандидат технічних наук, доцент

Сенчихін Юрій Миколайович,

начальник факультету оперативно-рятувальних сил,

Університет цивільного захисту України (м. Харків)

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Бадаєв Юрій Іванович,

завідувач кафедри інформаційних технологій,

Київська державна академія водного транспорту (м. Київ);

- кандидат технічних наук, доцент

Караєв Олександр Гнатович,

старший науковий співробітник

завідувач відділом зрошення і механізації,

Інститут зрошувального садівництва ім. М.Ф.Сидоренка УААН (м. Мелітополь);

Захист відбудеться "02" липня 2009 р. о 10⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 18.819.02 у Таврійському державному агротехнологічному університеті за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського державного агротехнологічного університету за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

еліпс коливальний стійкість кривий

Актуальність теми. Становлення виробництва України неможливо без досліджень стійкості коливальних процесів різноманітної природи, які описуються диференціальними рівняннями. Для вивчення стійкості найбільш перспективним вважається аналіз розв'язків диференціальних рівнянь із залученням їх фазових портретів. Це відбито в роботах фахівців з якісної теорії диференціальних рівнянь А.А.Андронова, Ю.Ю.Тарасевича, Є.І.Бутікова, В.С.Аніщенка, Б.П.Безручка, С.В.Кузнецова, В.В.Козлова, О.М.Кисельова та інших вчених. Також відомі дослідження Т.В.Гнітецької, Л.Л.Запольського, О.С.Сидоренко, І.Ю.Адашевської, Б.І.Кривошея та А.О.Дашкевича в їхніх кандидатських дисертаціях, які захищені за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія і інженерна графіка. Зображення фазових портретів із застосуванням комп'ютерної анімації залежно від вхідних параметрів коливань може скласти предмет дослідження прикладної геометрії, адже геометричне моделювання складних за формою об'єктів як результату їхнього профілювання за певними законами належить до головних напрямків розвитку прикладної геометрії й інженерної графіки. Однак, ще не дослідженими залишилися питання автоматизованого виявлення особливостей геометричної форми фазових портретів на площині з координатами «параметр» - «похідна параметру по часу» із застосуванням комп'ютерної анімації. На практиці для дослідження стійкості необхідно розпізнавати частини фазового портрета зі стійким фокусом, який оточують еліптичні або спіралеподібні фазові траєкторії. В цьому випадку на фазовому портреті існує сім'я спіралеподібних кривих, кожну з яких можна апроксимувати еліпсом. Серед послідовності одержаних еліпсів необхідно виявити еліпс максимальної площі, який буде обмежувати область стійкості коливальної системи. Опис еліпса максимальної площі дозволить реалізувати спосіб автоматизованого керування коливальною системою за критерієм не виходу точки з координатами «параметр» - «похідна параметру по часу» за межі області стійкості. Це має переваги порівняно з вибором області стійкості у вигляді прямокутника (описаного навколо еліпса).

Для визначеності у якості дослідної коливальної системи було обрано судно на повітряній подушці (СПП). Цей універсальний засіб підвищеної прохідності потрібний для аварійно-рятувальних служб МНС України. Саме таких суден не вистачало при ліквідації наслідків розливів рік у Західній Україні. За кордоном існує індустрія виготовлення СПП. Огляд літературних джерел в Інтернеті показав, що при цьому переважають експериментальні методи досліджень, пов'язані з експериментами на моделях. Більш раціональним буде спосіб розрахунку коливань СПП за допомогою фазових портретів диференціальних рівнянь, чому і присвячено дану роботу. Дослідження щодо СПП спиралися на результати робіт Ю.А.Лукомського, А.Л.Стариченкова, В.М.Амбросовського, І.Дубовика та ін.

Вищевикладене вказує на актуальність обраної теми досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі інженерної та аварійно-рятувальної техніки Університету цивільного захисту України в рамках науково-технічної програми «Проектування аварійно-рятувальних засобів підвищеної прохідності» за замовленням Прилуцького заводу протипожежного і спеціального машинобудування.

Формулювання наукової задачі, нове вирішення якої отримано в дисертації. Розробити спосіб апроксимації еліпсами спіралеподібних фазових кривих коливальних систем за допомогою перенесення до простору параметрів (перетворення Хафа) та опису еліпса максимальної площі серед множини таких еліпсів (на прикладі розрахунку суден на повітряній подушці).

Мета і задачі дослідження. Розробити графоаналітичний спосіб виявлення з використанням комп'ютерної анімації на фазовому портреті коливальної системи сім'ї спіралеподібних кривих, кожну з яких слід апроксимувати еліпсом, і серед послідовності одержаних еліпсів необхідно обрати еліпс максимальної площі, який використати для автоматизованого керування коливальною системою за критерієм не виходу її з області стійкості.

Об'єктом дослідження є геометричні прояви стійкості коливань механічних систем із застосуванням їх фазових портретів.

Предметом дослідження є математичне забезпечення алгоритмів геометричного анімаційного моделювання та аналізу фазових портретів коливальних систем.

Методи дослідження: теорія диференціальних рівнянь та обчислювальної математики, елементи теорії коливань, динамічних систем та обчислювальної математики, а також елементи комп'ютерної анімаційної графіки у середовищі математичного процесора Maple.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено такі основні задачі:

1. Розробити спосіб побудови комп'ютерної анімації фазових портретів диференціальних рівнянь залежно від зміни обраного параметра з метою виявлення спіралеподібних фазових кривих, які прямують до стійкої точки.

2. Розробити спосіб апроксимації еліпсами спіралеподібних фазових кривих коливальних систем за допомогою графоаналітичного прийому перенесення до простору параметрів (перетворення Хафа).

3. Розробити спосіб визначення еліпса максимальної площі серед еліпсів, які апроксимують спіралеподібні фазові криві коливальної системи.

4. Розробити спосіб аналітичного опису еліпса загального положення з центром в початку координат за координатами його точок дотику з координатною рамкою шляхом розв'язання оберненої геометричної задачі.

5. Запропонувати метод локалізації з еліптичною областю стійкого фокуса диференціального рівняння на основі знайденого аналітичного опису еліпса загального положення.

6. Розробити варыант апаратної реалізації системи керування з датчиками зміни кута дрейфу та швидкості рискання для судна на повітряній подушці.

7. Виготовити діючу модель судна на повітряній подушці.

8. Результати роботи передати для впровадження на Прилуцькому заводі протипожежного і спеціального машинобудування.

Наукові положення, розроблені особисто дисертантом та їх новизна.

1. Поглиблено спосіб побудови комп'ютерної анімації фазових портретів диференціальних рівнянь залежно від зміни обраного параметра.

2. Вперше розроблено спосіб апроксимації еліпсами спіралеподібних фазових кривих коливальної системи з перенесенням до простору параметрів.

3. Удосконалено спосіб еліптичної локалізації стійкого фокуса диференціальних рівнянь з наданням варіанту її апаратної реалізації.

Вірогідність та обґрунтованість результатів підтверджується доведенням тверджень, аналітичними перетвореннями за допомогою процесора Maple та побудованими за допомогою комп'ютера зображеннями результатів розв'язання диференціальних рівнянь, а також розрахунками у процесі впровадження.

Практичне значення одержаних результатів дисертації полягає у спроможності на її теоретичній базі розраховувати реальні коливальні процеси при впровадженні у пристроях, дія яких базується на нелінійних ефектах. Реалізація роботи виконана в Прилуцькому заводі протипожежного і спеціального машинобудування, та у навчальному процесі кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки Університету цивільного захисту України.

Особистий внесок здобувача. Особисто автор виконав теоретичні дослідження по опису та побудові фазових портретів коливальних процесів [1,3,4,6,7] з спіралеподібними кривими та унаочненню еліпсів [2,8,10], розробив для процесора Maple версії алгоритмів побудови фазових портретів [5,9].

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на: міській секції графіки під керівництвом доктора технічних наук, професора Ю.М.Тормосова (м. Харків, 2008 р); науковому семінарі кафедри прикладної геометрії і інформаційних технологій проектування ім. В.М.Найдиша ТДАТА під керівництвом д.т.н., проф. А.В.Найдиша (м. Мелітополь, 2008 р.); науково-практичних конференціях „Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (м. Сімферополь, 2007, 2008 рр); україно-російській науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Харків, 2005 р.); науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Дніпропетровськ, 2006 р.), науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Луцьк, 2008р.), науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 2007, 2008 рр.).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 10 робіт (з них 2 одноосібно, 6 у виданнях, які рекомендовано ВАК України).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 125 найменувань та додатків. Робота містить 144 сторінки машинописного тексту та 44 рисунки.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень. Показано наукову новизну і практичну цінність отриманих розв'язків.

У першому розділі з метою окреслення кола диференціальних рівнянь, що розглядаються у роботі, було наведено класифікацію диференціальних рівнянь, фазові портрети яких включають елементи еліпсоподібних кривих. У випадку системи ; для аналізу фазових портретів слід залучити матрицю . Для цього у точці x = x^*, y = y^* необхідно обчислити якобіан , слід якобіанної матриці та знак виразу . Для матриці J характеристичним є рівняння . В цих позначеннях маємо розв'язки квадратного рівняння .

Класифікувати фазові портрети зручно відносно умовної «параболи» . А саме, фазовий портрет коливальної системи включатиме еліпсоподібну криву лише за умови .

На практиці доцільно розглядати випадки «невеликих» значень сліду якобіанної матриці trJ, коли стійкий фокус обмежуватиме спіралеподібна крива, яку можна наблизити еліпсом.

Наприклад, в «лінійному» випадку класифікація для системи рівнянь ; в характеристичному рівнянні коефіцієнт a+d при є «слідом матриці» Tr, а вираз ad - bc визначає детермінант Det.

Крім того, у вигляді відомий розв'язок лінійної системи, де ₁, ₂ власні числа матриці , і - вектори.

Отже, для подальших досліджень прийнятними будуть випадки лінійної системи рівнянь, для яких власні числа матриці коефіцієнтів будуть однакові і від'ємні. В цьому випадку стійкий фокус можна локалізувати за допомогою еліпса.

Наведено огляд основних функцій керування динамічними об'єктами, класифікацію положень рівноваги системи другого порядку, на якісному рівні дослідження динамічних систем з метою вивчення топологічних і аналітичних характеристик їх окремих розв'язків, а також способів визначення форми фазових кривих на базі різновидів перетворення Хафа.

Аналіз відомих робіт із суміжних наукових областей, дозволив сформулювати таку концепцію досліджень. Вважається, що система описується диференціальним рівнянням і має домінуючий параметр p процесу (або конструкції), а також існує домінуючий параметр q зовнішнього впливу. Необхідно узгодити значення цих параметрів так, щоб на фазовій площині з координатами «параметр» - «похідна параметру по часу» система мала стійкий фокус, який би охоплював еліпс максимальної площі. В цьому випадку можна розробити раціональну схему реагування на зовнішній вплив: не аварійним слід вважати стан системи, якому відповідають точки на фазовій площині, що обмежені еліпсом. Аварійним буде стан системи з точками зовні еліпса. Адже у цьому випадку відповідна фазова крива не прямуватиме до фокуса. Для СПП параметрами будуть кут дрейфу і швидкість рискання (що є похідною кута по часу). Це дозволить конструювати пристрої для автоматичного керування рулями висоти (або тягою двигунів) у випадку, коли кут дрейфу або швидкість рискання вийдуть за розрахункові безпечні межі.

В другому розділі наведено спосіб еліптичної локалізації на фазовому портреті диференціального рівняння коливальної системи стійкого фокуса шляхом виявлення його охоплюючого еліпса максимальної площі, коли цей еліпс обирається серед еліпсів, що апроксимують збіжні в цей фокус спіралеподібні фазові криві, які виявлені за допомогою комп'ютерної анімації.

Вважатимемо, що динамічну систему з апріорі існуючою точкою стійкої рівноваги задано диференціальним рівнянням з домінуючим параметром, значення якого необхідно визначити. Для цього розроблено математичне наповнення програми побудови комп'ютерної анімації залежно від значень домінуючого параметра з метою одержання системи спіралеподібних кривих, які прямують до стійкого центра.

Для дослідження стійкості коливальної системи необхідно розглянути фрагмент фазового портрета з точкою стійкого фокуса, в яку збігаються спіралеподібні фазові траєкторії. Кожну зі спіралеподібних фазових траєкторій пропонується наближати еліпсом

В одержаній послідовності еліпсів необхідно обмежитися тим еліпсом, відстань до якого від точки на спіралеподібній кривій буде не перевищувати деяке наперед задане число . Саме цей еліпс вважатиметься обмежувачем області стійкості коливальної системи.

Визначати обмежувальний еліпс пропонується у два етапи.

Перший етап базується на методі перенесення до простору параметрів (перетворення Хафа). Знайти рівняння еліпса, що «найближче» проходить повз N даних точок площини Oxy з координатами {(x_i; y_i), i =1..N}. Розв'язувати задачу пропонується методом віднесення Оху Oab до простору параметрів еліпса. Для спрощення пояснення спочатку вважатимемо, що = 0,4.

Відобразити точки А(x, y) з площини Oxy на площину Oab можна за допомогою рівняння «повернутого» на кут еліпса з півосями a і b:

. (1)

Якщо зафіксувати значення x і y, то на площині Oab рівнянням (1) буде описано множину гіпербол, залежно від параметрів x і y.

Приклад. Нехай послідовність з 10 точок обрано на спіралеподібній кривій: (5,2; 1,8); (2,2; -1); (0,3; -2,5); (-2,2; -3); (-5,8; -2,7); (-6.; -1,2); (-2,5;1,3); (-0,3; 1,8); (2,2; 3); (5,8; 2,7). (=0,4). За допомогою відображення Оху Oab здійснимо віднесення параметрів еліпса у множину гіпербол в системі координат 0ab (=0,4).

Далі необхідно знайти точку (a; b) максимальної кількості гіпербол, які перетинаються. При цьому можливим є наявність декількох зон перетинів. Після підстановки двійок чисел (7; 2,3); (5,8; 2,3); (6,2; 2,2) в формулу (1) як значень (a; b) одержимо три варіанти опису різновидів еліпсів

;

; (2)

.

Серед одержаних розв'язків прийнятний варіант пропонується обрати за умови мінімуму суми відстаней від даних точок до описаного еліпса.

У випадку, коли необхідно визначити ще і кут повороту еліпса, то віднесення параметрів слід здійснювати до тривимірного простору Oab. На зображено квазіеліптичний циліндр, описаний у просторі Oxy рівнянням (1) для фіксованих значень a і b. Цьому циліндру у просторі Oab відповідатиме квазігіперболічна поверхня, описана рівнянням (1) за умови, що значення x і y фіксовано. Для квазігіперболічної поверхні характерним є наявність гіпербол в її перетинах площинами рівня = const

Отже, для виявлення еліпса загального положення, який проходив би повз N даних точок площини Oxy, необхідно в просторі параметрів Oab описати N штук квазігіперболічних поверхонь, та визначити точки простору Oab, у околі яких кількість перетинів цих поверхонь буде максимальна. Розроблено алгоритм та складено програму. У фазовому просторі вводиться сітка, що розбиває його на комірки, кожна з яких відповідає набору еліпсів із близькими значеннями параметрів. Кожній комірці фазового простору ставиться у відповідність число (лічильник), який вказує кількість точок інтересу. Аналіз лічильників комірок дозволяє знайти на зображенні еліпси, на яких лежить найбільша кількість точок інтересу.

Другий етап полягає у описі рівнянням еліпса за координатами характерних точок дотику еліпса з координатним прямокутником.

Нехай в системі координат Oxy задано еліпс рівняннями ; . «Повернемо» його на кут за допомогою перетворення

; . (3)

Для опису еліпса можна використати, наприклад, координати «північно-західних» точок xА, yА і хB. Зваживши на те, що крива апріорі за означенням є еліпсом, то координати інших характерних точок можна обчислити за умови симетрії.

Використовуючи координати xА, yА і хB, параметри повернутого еліпса обчислюються за формулами:

;

; (4)

,

де ;

.

Тут .

В третьому розділі представлено можливе впровадження одержаних результатів (як приклад) для розрахунку руху суден на повітряній подушці (СПП). Наголошується, що дисертація присвя-чена геометричним питанням аналізу фазових портретів, а не технологічним питанням конструювання відповідного обладнання.

Вважається, що у тому числі і потоки повітря спричиняють нестійкість при русі легкого (маломісного) зазначеного рятувального засобу.

Вивчення аварій СПП показало, що аварійна ситуація починається зі збільшення кута та швидкості рискання , і супроводжується наростанням кута дрейфу (див., Стариченков А.Л. Эллиптическая аппроксимация границы области устойчивости горизонтального движения корабля на воздушной подушке // Институт проблем транспорта РАН. Труды ИПТ, 2000, № 4). В подальшому розвитку аварій зростає крен і диферент , які призводять до перекидання СПП. Тому актуальною темою буде розробка пристроїв для автоматичного реагування на нештатну ситуацію у випадку, коли кут дрейфу або швидкість рискання виходять за розрахункові безпечні межі.

Математичне забезпечення пристроїв автоматичного реагування на нештатну ситуацію базується на розв'язках системи диференціальних рівнянь, які описують коливальний процес, та аналізі їх фазових портретів в площині зміни кута дрейфу (далі позначено як x) та швидкості рискання (далі позначено як y).

Наведемо рівняння (А.Л.Стариченков), які обираються для опису руху

СПП в горизонтальній площині:

; ; (5)

Параметри конструкції СПП «закладено» в коефіцієнти системи рівнянь (4). Таким чином, в результаті комп'ютерної анімації було виявлено значення домінуючого параметра p = -0,08, який забезпечує існування спіралеподібних кривих, спрямованих в точку стійкого фокуса.

Далі слід здійснити наближення еліпсами спіралеподібних кривих за допомогою прийому перенесення до простору параметрів. В результаті з похибкою = 0,001 одержимо охоплюючий еліпс

За формулами (2) і (3) можна знайти рівняння охоплюючого еліпса:

; (6)

.

При цьому кут нахилу осі еліпса можна обчислити за формулою:

, (7)

де ;

.

Для рекомендацій по експлуатації СПП необхідно дослідити прояви зовнішнього збурення, які спричиняє вітро - хвильовий процес.

Для прикладу розглянемо опис вітро-хвильового процесу у вигляді:

; , (8)

де h - висота хвиль.

За допомогою комп'ютерної анімації можна виявити момент, коли збільшення висоти хвиль спричинить порушення штатної структури фазового портрета.

Вирази (5) і (6) дозволяють апаратно реалізувати спосіб автоматизованого керування рухом СПП. Як початковий варіант було розроблено функціональну схему пристрою для реагування СПП на нештатну ситуацію, коли кут дрейфу і швидкість рискання виходять за розрахункову безпечну область, яку на площині параметрів можна визначити шляхом аналізу знака F:

. (9)

Для проведення натурних експериментів виготовлено діючу модель СПП.

Результати роботи передано для впровадження на Прилуцький завод протипожежного і спеціального машинобудування при проектуванні аварійно-рятувальний засоби серії СПП, та у навчальний процес кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки Університету цивільного захисту України.

ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено новому способу еліптичної локалізації на фазовому портреті диференціального рівняння коливальної системи стійкого фокуса шляхом виявлення його охоплюючого еліпса максимальної площі, коли цей еліпс обирається серед еліпсів, що апроксимують збіжні в цей фокус спіралеподібні фазові криві, які виявлені за допомогою комп'ютерної анімації (на прикладі розрахунку руху судна на повітряній подушці).

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку способів опису та аналізу коливальних механічних систем на основі їх фазових портретів.

Значення для практики досліджень полягає в скороченні термінів та підвищенні точності моделювання коливань, одержанні моделей, що задовольняють заданим вимогам і прискорюють проектування виробів.

При цьому отримані результати, що мають науково-практичну цінність.

1. Виконано критичний огляд способів локалізації стійких фокусів фазових портретів, з чого випливає необхідність розробок програм розрахунку еліптичної області стійкості коливальних систем.

2. Поглиблено спосіб побудови комп'ютерної анімації фазових портретів диференціальних рівнянь залежно від зміни обраного параметра з метою виявлення спіралеподібних фазових кривих, які прямують до стійкої точки.

3. Розроблено спосіб апроксимації еліпсами спіралеподібних фазових кривих коливальних систем за допомогою перенесення до простору параметрів, що дозволило розширити межі геометричного застосування методу перенесення до простору параметрів.

4. Розроблено спосіб визначення еліпса максимальної площі серед еліпсів, які апроксимують спіралеподібні фазові криві коливальних систем, що дозволило здійснити еліптичну локалізацію стійкого фокуса на фазовому портреті диференціального рівняння коливальної системи.

5. Розроблено спосіб опису еліпса загального положення з центром в початку координат за координатами його точок дотику з координатною рамкою, що дозволило поповнити розв'язки обернених геометричних задач.

6. Удосконалено спосіб еліптичної локалізації стійкого фокуса диференціальних рівнянь, що дозволило формалізувати визначення стійкості диференціальних рівнянь.

7. Надано варіанти апаратної реалізації системи керування з датчиками зміни кута дрейфу та швидкості рискання для судна на повітряній подушці.

8. Виготовлено діючу модель судна на повітряній подушці, що дозволило на практиці здійснювати експерименти руху судна на повітряній подушці.

9. Результати роботи передано для впровадження на Прилуцькому заводі протипожежного і спеціального машинобудування при проектуванні аварійно-рятувальних засобів підвищеної прохідності серії СПП, та у навчальний процес кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки УЦЗ України.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ТАКИХ РОБОТАХ

1. Куценко Л.М. Визначення області стійкості горизонтального руху корабля на повітряній подушці/ Куценко Л.М., Піксасов М.М. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2007. - Вип. 20. - С. 45-52

Особисто автором розроблено алгоритм дослідження області стійкості шляхом розв'язання диференціального рівняння.

2. Піксасов М.М. Визначення параметрів еліпсоподібної кривої за її растровим зображенням / Піксасов М.М., Запольський Л.Л. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2008.- Вип. 21. - С. 106-111

Особисто автором знайдено формули для визначення геометричної форми еліпса за координатами його дотику до прямокутника.

3. Грінченко Є.М. Геометричне моделювання розв'язків диференціальних рівнянь типу Дуффінга / Грінченко Є.М., Піксасов М.М. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2007. - Вип. 16. - С. 36-41

Особисто автором досліджено розв'язки диференціальних рівнянь типу Дуффінга шляхом побудови їх фазових портретів.

4. Грінченко Є.М. Геометричне моделювання динаміки системи рівнянь Лоренца / Грінченко Є.М., Піксасов М.М. // Геометричне та комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн. - Київ: КНУТД №4 (30), 2006. - С. 114 - 118.

Особисто автором досліджено розв'язки системи диференціальних рівнянь типу Лоренца шляхом побудови її фазових портретів.

5. Куценко Л.М. Визначення критичних значень параметрів нелінійних диференціальних рівнянь за допомогою анімації зображень їх розв'язків / Куценко Л.М., Піксасов М.М. // Прикладна геометрія і інженерна графіка. - Київ: КНУТД, Випуск 78, 2007.- С. 33 - 40.

Особисто автором розглянуто спосіб визначення критичних значень параметрів нелінійних диференціальних рівнянь.

6. Куценко Л.М. Побудова ізоліній однакового нахилу на деяких поверхнях другого порядку / Куценко Л.М., Піксасов М.М. // Прикладна геометрія і інженерна графіка. - Київ: КНУТД, Випуск 80, 2008.- С. 31 - 35.

Особисто автором визначено критичні значення параметрів нелінійних диференціальних рівнянь шляхом побудови ізоліній однакового нахилу .

7. Куценко Л.М. Опис роздільних поверхонь, що обмежують у фазовому просторі гілки фазових кривих / Куценко Л.М., Піксасов М.М. // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - Вип. 4. - Т. 38. - С. 21-27

Особисто автором розроблено алгоритм роздільних поверхонь, що обмежують у фазовому просторі гілки фазових кривих.

8. Піксасов М.М. Розрахунок області стійкості руху корабля на повітряній подушці / Піксасов М.М. // Наукові нотатки. «Сучасні проблеми геометричного моделювання». Луцьк: ЛДТУ, 2008. - Вип. №22 Ч.1. - С. 264-269

9. Куценко Л.М. Геометричне моделювання поведінки динамічних систем з нечіткими параметрами / Куценко Л.М., Піксасов М.М., Сидоренко О.С. //Современные проблемы геометрического моделирования. Спецвыпуск. - Харьков: ХГУПТ. 2007. - C. 108-121

Особисто автором розроблено алгоритм дослідження області стійкості динамічних систем з нечіткими параметрами.

10. Піксасов М.М. Геометричне моделювання еліптичних ділянок фазових портретів коливальних систем / Піксасов М.М. Харьков: УЦЗУ, 2008. - 30с.

Особисто автором запропоновано спосіб визначення еліпса максимальної площі на фазовому портреті коливальної системи.

Піксасов М.М. Геометричне моделювання еліптичних ділянок фазових портретів коливальних систем при визначенні їх областей стійкості - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнологічна академія, Мелітополь, Україна, 2009.

Дисертацію присвячено розробці нового способу виявлення на фазовому портреті коливальної системи еліпса максимальної площі для локалізації стійкого фокуса, коли цей еліпс обирається серед множини еліпсів, що апроксимують еліпсоподібні фазові криві коливальних систем (на прикладі розрахунку руху судна на повітряній подушці).

До головних результатів слід віднести спосіб побудови комп'ютерної анімації фазових портретів диференціальних рівнянь залежно від зміни обраного параметра з метою виявлення спіралеподібних фазових кривих, які прямують до стійкої точки, спосіб апроксимації еліпсами спіралеподібних фазових кривих коливальних систем за допомогою перенесення до простору параметрів, а також спосіб визначення еліпса максимальної площі серед еліпсів, які апроксимують спіралеподібні фазові криві коливальних систем, що дозволило розширити множину описів фрагментів фазових портретів. Також розроблено спосіб опису еліпса загального положення з центром в початку координат за координатами його точок дотику з координатною рамкою шляхом розв'язання оберненої задачі.

Запропоновано алгоритм локалізації стійких фокусів на основі знайденого опису еліпса загального положення, що дозволило формалізувати визначення областей стійкості.

Розроблено елементи апаратної реалізації системи керування з датчиками зміни кута дрейфу та швидкості рискання для судна на повітряній подушці. Результати роботи передано для впровадження на Прилуцькому заводі протипожежного і спеціального машинобудування при проектуванні аварійно-рятувальних засобів підвищеної прохідності

Ключові слова: фазова траєкторія, фазовий портрет, спіралеподібна фазова крива, стійкий фокус.

Пиксасов М.М. Геометрическое моделирование эллиптических участков фазовых портретов колебательных систем при определении их областей устойчивости. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврийская государственная агротехнологическая академия, Мелитополь, Украина, 2009.

Диссертация посвящена разработке нового способа выявления на фазовом портрете колебательной системы эллипса максимальной площади для локализации устойчивого фокуса, когда этот эллипс избирается среди множества эллипсов, аппроксимирующих спиралеобразных фазовые кривые колебательных систем (на примере расчета движения судна на воздушной подушке).

К главным результатам нужно отнести способ построения компьютерной анимации фазовых портретов дифференциальных уравнений в зависимости от изменения избранного параметра с целью выявления спиралеобразных фазовых кривых, которые направляются к устойчивому фокусу. Предложен способ аппроксимации на плоскости с координатами «параметр» - «производная параметру по времени» эллипсами спиралеобразных фазовых кривых колебательных систем при помощи перенесения в пространство параметров. А также способ определения эллипса максимальной площади среди эллипсов, которые аппроксимируют спиралеобразных фазовые кривые колебательных систем, что позволило расширить множество описаний фрагментов фазовых портретов. Также разработан способ описания эллипса общего положения с центром в начале координат по координатам его точек соприкосновения с координатной рамкой путем решения обратной задачи. Предложен алгоритм локализации устойчивых фокусов на основе найденного описания эллипса общего положения, которое позволило формализовать определение областей устойчивости. Алгоритм локализации устойчивых фокусов был проверен на тестовых примерах, что указывает на его универсальность. Предметом исследования работы является взаимосвязь между колебаниями и фазовыми портретами, что указывает на целесообразность изучения формы фазовых портретов с применением компьютерной анимации. Проведенные исследования не позволили создать информационное обеспечение геометрического моделирования фазовых портретов с возможностью их распознавания в автоматизированном режиме. Причиной было отсутствие математических процессоров, позволяющих моделировать решения дифференциальных уравнений на аналитическом и графическом уровнях.

Для определенности в качестве колебательной системы было избрано судно на воздушной подушке (СВП). Это аварийно-спасательное средство повышенной проходимости пригодилось бы для служб МЧС Украины. За границей существует индустрия изготовления СВП. Но проведенный обзор литературных источников в Интернете показал, что здесь преобладают экспериментальные методы исследований, связанные с макетированием. Более рациональным будет способ расчета колебаний СВП с помощью фазовых портретов. В этом случае постановка задачи будет такой: на фазовом портрете колебательной системы СВП необходимо выявить семью спиралеобразных кривых, которые необходимо аппроксимировать эллипсом, и среди последовательности полученных эллипсов выявить эллипс максимальной площади. Описание эллипса максимальной площади позволит реализовать способ автоматизированного управления колебательной системой по критерию не выхода точки с координатами «угол дрейфа» - «скорость рыскания» за границы эллиптической области устойчивости. В этом имеется преимущество по сравнению с выбором области устойчивости в виде прямоугольника (описанного вокруг эллипса). Вышеизложенное указывает на актуальность избранной темы исследований.

Ключевые слова: фазовая траектория, фазовый портрет, спиралеобразная фазовая кривая, устойчивый фокус.

Piksasov М.М. The Geometrical design of elliptic areas of phases portraits of the oscillating systems at determination of their areas of stability. - The manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a specialty 05.01.01 - applied geometry, engineering graph. - The Tavria State Agrotechnologecal Academy, Melitopol, Ukraine, 2009.

Dissertation is devoted to development of new method of exposure on the phase portrait of the oscillating system of ellipse of maximal area for localization of steady focus, when this ellipse is elected among the great number of ellipses which approximate by ellipses curves of phases of the oscillating systems (on the example of calculation of ship on an air pillow). To the main results it is needed to deliver the method of description of ellipse of maximal area, when this ellipse is elected among the great number of other ellipses which approximate by ellipses curves of phases of the oscillating systems by transference in space of parameters. The method of construction of ellipse is developed on 2d-plane to on to three to the points and to two tangent by an output in 3d- spaces, when the tangent are interpreted as formative circular cone, and points determine a secant plane. The method of description of ellipse of general is also developed with a center at the beginning of co-ordinates on the co-ordinates of his points of contiguity with a co-ordinate scope by the decision of reverse task.

Keywords: phase trajectory, phase portrait, ellipses phase curve, steady focus.

Размещено на Allbest.ru