Актуальність теми. При дослідженні процесів з післядією розповсюдження розчинних речовин у пористих схильних до деформацій середовищах (зокрема, процесів доочистки води шляхом фільтрування через пористі завантаження) виникає чимало труднощів, пов'язаних із складністю не лише рівнянь у частинних похідних і граничних умов відповідних модельних задач (за рахунок врахування зворотного впливу характеристик складових процесу на характеристики середовища), а й геометрії області, у якій шукається розв'язок. Зважаючи на великі об'єми рідин, що фільтруються, і відносно високу вартість фільтруючих матеріалів, важливим є більш якісне використання завантаження та збільшення тривалості фільтроциклу фільтрів за рахунок оптимізації їх форми, що приводить до побудови і дослідження нових просторових моделей. Не менш актуальними проблемами на сьогоднішній день також є математичне моделювання і дослідження процесів масопереносу забруднюючих речовин в товщі полігонів та звалищ твердих побутових відходів (ТПВ).

Одним із ефективних шляхів розв'язання відповідних задач у випадку переважання конвективних складових процесу над дифузійними при плоско-вертикальній фільтрації водних розчинів у пористих середовищах - модельних областях, обмежених лініями течії та екві - або квазіеквіпотенціальними лініями, є: поетапна фіксація характеристик і складових процесу та середовища; розв'язання задач фільтрації з використанням квазіконформних (конформних) відображень області комплексного квазіпотенціалу (потенціалу) на фізичну область (що включає побудову гідродинамічної сітки, поля швидкостей, обчислення величин різних перетоків тощо); перехід у рівняннях конвективної дифузії і граничних та початкових умовах від фізичних змінних до координат області комплексного квазіпотенціалу (потенціалу), що значно спрощує їх запис і забезпечує можливість проведення автономних досліджень, розпаралелювання обчислень; розв'язання регулярно і сингулярно збурених задач типу "конвекція-дифузія-масообмін" з використанням числово-асимптотичних методів. При більш складній геометрії області фільтрації, наявності в ній повздовжньої та поперечної (вертикальної і горизонтальної) викривленостей, актуальною задачею є поширення цієї загально визнаної методики із площини на простір, а саме: відшукання спеціальних типів просторових аналогів крайових задач на конформні та квазіконформні відображення, які є математичними моделями ідеальних і квазіідеальних фільтраційних процесів у пористих середовищах - одно- та двозв'язних модельних областях, обмежених екві- або квазіеквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії, розробка числових методів побудови їх розв'язків та розвиток числово-асимптотичних методів розв'язування відповідних просторових нелінійних сингулярно збурених задач конвективної дифузії, зокрема, за умов масообміну.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках держбюджетних тем кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету (РДГУ): "Числово-асимптотичні методи розв'язання нелінійних сингулярно збурених задач типу "фільтрація-конвекція-дифузія" з післядією та керуванням" (№ держ. реєстр. 0106U000591), "Системне математичне моделювання нелінійних збурень процесів типу "фільтрація-конвекція-дифузія" з післядією при неповних даних" (№ держ. реєстр. 0109U001065).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у вирішенні задачі математичного моделювання просторових процесів типу "фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін" у пористих середовищах - одно - та двозв'язних модельних областях складної геометрії, обмежених екві - або квазіеквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії, за умови переважання конвективних складових над дифузійними з урахуванням зворотного впливу характеристик процесу на характеристики середовища шляхом узагальнення на простір числово-аналітичних методів конформних та квазіконформних відображень розв'язання крайових задач теорії фільтрації і, на цій основі, розвитку числово-асимптотичних методів розв'язання відповідних нелінійних сингулярно збурених задач конвективної дифузії за умов масообміну.

Для досягнення мети ставились наступні завдання дослідження:

на основі закону Дарсі та рівняння нерозривності шляхом побудови різницевих просторових аналогів крайових задач на конформні і квазіконформні відображення та їх числових розв'язків розробити загальний підхід до моделювання просторових ідеальних і квазіідеальних фільтраційних процесів та алгоритми числового розрахунку відповідних полів (гідродинамічної сітки руху, поля швидкостей, величин різних перетоків тощо) у пористих середовищах - одно - та двозв'язних модельних областях, обмежених екві- або квазіеквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії;

на цій основі сформувати просторові моделі процесів масопереносу в пористих середовищах з урахуванням різного роду залежностей коефіцієнта дифузії від концентрації розчинної речовини (многочленної, інтегральної, із запізненням у часі), характеру конвективно-дифузійного підведення і відведення забруднюючої речовини, анізотропних властивостей і шаруватості середовища та узагальнити методику числово-асимптотичного наближення розв'язків відповідних нелінійних сингулярно збурених крайових задач на простір;

побудувати нові просторові нелінійні моделі процесів доочистки води шляхом її фільтрування через пористі завантаження з урахуванням зворотного впливу характеристик складових процесу (концентрацій забруднюючих речовин у воді і в осаді, швидкості фільтрації тощо) на характеристики середовища (коефіцієнти пористості, масообміну та ін.) з метою прогнозування більш якісного використання завантаження та збільшення тривалості фільтроциклу за рахунок оптимізації форми фільтрів;

фільтрування вода пористе середовище

сформувати просторові нелінійні сингулярно збурені математичні моделі для прогнозування оцінки впливу полігонів і звалищ ТПВ на біосферу, отримати числово-асимптотичні розв'язки відповідних задач - теоретичної бази для науково-обґрунтованого розрахунку і проектування полігонів та звалищ ТПВ.

Об'єкт дослідження. Просторові нелінійні сингулярно збурені процеси типу "фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін" за умов взаємовпливу характеристик складових процесу та пористого середовища.

Предмет дослідження. Просторові математичні моделі процесів фільтрації та масопереносу у пористих середовищах з урахуванням дифузійних явищ та зворотного впливу характеристик складових процесу на характеристики середовища.

Методи дослідження. При моделюванні процесів типу "фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін" у пористих середовищах використано числові методи знаходження наближеного розв'язку відповідних крайових задач, асимптотичні методи теорії сингулярних збурень, методи теорії функцій комплексної змінної та методи теорії рівнянь математичної фізики. При переході від "незбурених" просторових задач до "збурених" нелінійних ставилась вимога: класичні форми законів, що описують такі процеси залишити початково прийнятими, та, не починаючи спочатку, отримані "незбурені" розв'язки доповнювати різними поправками.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі отримано такі нові результати:

вперше шляхом побудови різницевих просторових аналогів крайових задач на конформні і квазіконформні відображення та їх числових розв'язків розроблено загальний підхід до моделювання просторових ідеальних і квазіідеальних фільтраційних процесів у пористих середовищах - модельних складної геометрії областях, обмежених екві- або квазіеквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії, а, також, алгоритми числового розрахунку відповідних полів;

на цій основі сформовано нові просторові моделі процесів прогнозування поширення забруднень у пористих середовищах з урахуванням різного роду залежностей коефіцієнта дифузії від концентрації розчинної речовини (многочленної, інтегральної, із запізненням у часі), характеру конвективно-дифузійного підведення і відведення забруднюючої речовини, анізотропних властивостей середовища та розвинуто ефективний числово-асимптотичний метод розв'язування відповідних просторових нелінійних сингулярно збурених задач;

відповідну методику узагальнено стосовно моделювання процесів міграції розчинних речовин у нелінійно-шаруватих "чутливих" до діючих фільтраційних тисків (потенціалів) середовищах (коли поверхні розділу однорідних шарів формуються в залежності від розв'язків відповідних фільтраційних задач); при цьому отримано нового типу поправки в асимптотичних розкладах розв'язків відповідних сингулярно збурених задач з розривними коефіцієнтами, що характеризують механізм дифузійного перерозподілу концентрацій в околах ділянок розділу шарів;

вперше побудовано нові просторові нелінійні моделі процесів фільтрування води через пористі завантаження за умов зворотного впливу характеристик складових процесу (концентрацій забруднюючих речовин у воді і в осаді, швидкості фільтрації) на характеристики середовища (коефіцієнти пористості, масообміну тощо), зокрема, доочистки води від залишкових катіонів алюмінію фільтруванням через аніоноактивні та окислювально-відновні завантаження і алгоритми розв'язків відповідних сингулярно збурених задач, які забезпечують можливість прогнозування оптимальних варіантів використання завантаження та збільшення тривалості фільтроциклу за рахунок оптимізації вибору форми фільтрувальних установок та очисних споруд;

вперше сформовані просторові нелінійні сингулярно збурені математичні моделі для прогнозування оцінки впливу полігонів та звалищ ТПВ на біосферу і отримані числово-асимптотичні розв'язки відповідних задач, які є теоретичною базою для науково-обґрунтованого розрахунку і проектування полігонів та звалищ ТПВ.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується: математичною строгістю постановок задач з використанням основних положень теорій фільтрації, масопереносу і сингулярних збурень; коректністю та комп'ютерною збіжністю розробленого наближеного числового методу розв'язування фільтраційної задачі, яка перевірялась шляхом проведення багато чисельних експериментів при різних розбиттях області і порівнянням знайдених розв'язків із точними та фізичною несуперечністю отриманих числових результатів; застосуванням надійних математичних методів знаходження асимптотичних наближень розв'язків просторових сингулярно збурених задач конвективної дифузії і узгодженням розв'язків відповідних плоских та просторових модельних задач, що описують процеси міграції розчинних речових у пористих середовищах при плоско-вертикальній фільтрації. Адекватність побудованих нових моделей перевірялась при дослідженні процесу доочистки води, зокрема, видалення залишкових катіонів алюмінію фільтруванням через аніоноактивний фільтруючий матеріал, порівнянням даних, отриманих при числових розрахунках, з експериментальними, опублікованими у науковій літературі.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені в роботі дослідження дають можливість більш точно аналізувати фільтраційні характеристики пористих середовищ, враховуючи різного роду збурення фільтраційного процесу, і прогнозувати поведінку поширення і розподілу забруднюючих речовин у них. Результати роботи впроваджено: науково-дослідним виробничим бізнес-центром науково-дослідного сектора Національного університету водного господарства та природокористування (м. Рівне) на об'єкті "Обстеження і техніко-економічне обґрунтування реконструкції каналізаційних очисних споруд м. Кузнецовськ" (г/д №30-495 від 04.11.2008 р.) при пусконалагоджувальних роботах для визначення оптимальних режимів роботи очисних споруд; ДП "Аква-Волинь" (м. Ківерці Волинської обл.) на об'єкті "Каналізаційні очисні споруди, що зблоковані з каналізаційною насосною станцією в м. Ківерці Волинської області" для підвищення ефективності біологічного очищення стічних вод в біофільтрах. В перспективі знайдуть своє застосування при: науковому обґрунтуванні, розрахунку і проектуванні полігонів та звалищ ТПВ (прогнозуванні оцінки їх впливу на біосферу); моделюванні регенерації фільтрувальних установок та очисних споруд, процесу добування корисних речовин із підземних пористих пластів шляхом їх вилуговування тощо.

Викладений в дисертаційній роботі матеріал використовується у навчальному процесі при читанні дисциплін "Методи теорії функцій комплексної змінної", "Методи теорії збурень", "Комп'ютерне моделювання складних систем", а також є основою для написання курсових, кваліфікаційних, дипломних і магістерських робіт по кафедрі інформатики та прикладної математики РДГУ. Більшість результатів, отриманих в роботі, подано у вигляді формул, алгоритмів і графіків, внаслідок чого вони можуть бути включені в різні посібники, довідники і використані в інженерній практиці.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати роботи доповідалися і обговорювалися на: VII Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (м. Львів, 2006 р.); Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІІ)", присвяченого 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (Україна, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 2007 р.); Міжнародній науковій школі-конференції "Тараповські читання" (м. Харків, 2008 р.); ХІІ Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 2008 р.); ХІХ відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України "Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи" (м. Львів, 2005 р.); XII, XIV і XV Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (м. Львів, 2005 р., 2007 р., 2008 р.); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (м. Львів, 2009 р.); II Всеукраїнській науково-практичній конференції студентів, педагогів, психологів та молодих науковців "Наука, освіта, суспільство очима молодих" (м. Рівне, 2007 р.); IІI Всеукраїнській науково-практичній конференції студентів, аспірантів та науковців "Інформаційні технології в професійній діяльності" (м. Рівне, 2009 р.); звітних конференціях викладачів, співробітників, аспірантів і докторантів РДГУ (м. Рівне, 2006-2011 рр.); XVІІ-XХІ наукових сесіях Наукового товариство імені Шевченка (2006-2011 рр., секція математичного моделювання та обчислювальних методів).

У повному обсязі дисертація обговорювалася на розширеному науковому семінарі при кафедрі інформатики і прикладної математики РДГУ під керівництвом д. т. н., проф.А.О. Сяського; на розширеному семінарі відділу №175 Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом д. ф. - м. н., проф., член-кор. НАН України В.В. Скопецького; на семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника.

Публікації. За основними результати дисертаційної роботи опубліковано 31 наукову працю, у тому числі: 18 статей, з яких 9 у фахових наукових виданнях з технічних наук, які входять до переліку ВАК України; 13 публікацій у матеріалах тез доповідей, з них 5 на міжнародних наукових конференціях; 4 праці опубліковано без співавторів.

Особистий внесок здобувача полягає у безпосередній участі в проведенні теоретичних досліджень, розробці алгоритмів та самостійному проведенні числових експериментів, оформленні проміжних результатів роботи у вигляді публікацій і доповідей, самостійному узагальненню окремих етапів досліджень дисертаційної роботи в цілому. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У працях, опублікованих у співавторстві, дисертанту належить: в роботах [1-13, 17-26, 29, 31] - побудова числово-асимптотичних розкладів розв'язків та проведення комп'ютерних розрахунків, крім того, в [1-3, 6] - аналіз результатів розрахунку і зроблені на його основі висновки, а в [7, 8] - побудова модельних задач; в роботах [14-16, 26-28, 30] - побудова обернених крайових задач на знаходження просторових аналогів конформних відображень одно - та двозв'язних модельних областей фільтрації, обмежених еквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії, на відповідні прямокутні паралелепіпеди, різницева дискретизація і побудова фрагментів алгоритмів розв'язування, виведення формул для знаходження швидкостей у вузлах розрахункових сіток, побудова модельних фільтраційних областей і проведення числових розрахунків, комп'ютерне опрацювання, аналіз та систематизація отриманих результатів.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 175 сторінок, містить 148 сторінок основної частини, включає 26 рисунків, 7 таблиць, 220 джерел бібліографічних найменувань на 24 сторінках, 3 додатки.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначено наукову новизну роботи та її зв'язок із науковими програмами, планами і темами. Наведено також основні результати, отримані у роботі, їх практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

У першому розділі міститься огляд праць за темою дисертації, зокрема, висвітлено основні етапи розвитку математичного моделювання фільтраційних процесів та різного роду процесів масопереносу (конвекції, дифузії, масообміну, фільтрування) у пористих середовищах, аналітичних, числових і асимптотичних методів розв'язання відповідних задач. Суттєвий вклад в розвиток теорії фільтрації, масопереносу та фільтрування внесли: А. Дарсі, Ж. Дюпюі, Ф. Форхгеймер, Ч. Сліхтер, М. Є. Жуковський, М.М. Павловський, П.Я. Полубаринова-Кочина, В.І. Аравін, С.М. Нумєров, М.М. Веригін, М.А. Лаврентьєв, Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин, Б.Б. Девісон, Н.М. Гeрсеванов, Р. Коллінз, Р.Р. Чугаєв, П.Ф. Фільчаков, О.В. Голубєва, А.Я. Глущенко, В.С. Дейнека, В.Н. Монахов, Г.В. Голубєв, Н.Д. Якімов, М.Б. Ільїнський, А.Р. Касімов, В.Ф. Півень, В.Л. Поляков, П.Ф. Фільчаков, Я. Бер, Д. Заславскі, Х. Рауз, Л.М. Мілн-Томсон, Г.І. Баренблатт, В.М. Ентов, С.Ф. Авер'янов, І.Г. Богуський, Е.А. Бондарєва, Ф.Н. Бочевер, Г.Л. Молтянер, В.Н. Ніколаєвський, С.І. Ляшко, І.І. Ляшко, О.Я. Олійник, А.Н. Патрашев, В.І. Пеньковський, В.С. Саркісян, Ж. Фрид, Б.С. Шержуков, В.М. Шестаков, Д.Ф. Шульгіна, Я.Й. Бурак, В.В. Скопецький, В.М. Булавацький, І.В. Сергієнко, О.Ю. Грищенко, В.М. Еміх, Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Я.Д. П'янило, Б.В. Гера, Я.Г. Савула, О.Б. Стеля, М.М. Гіроль, В.М. Сівак та інші.

В.І. Лавриком розроблений підхід до розв'язання двовимірних задач для рівнянь конвективної дифузії при фільтрації в пористих середовищах, що ґрунтується на переході від криволінійної фізичної області фільтрації до відповідної області комплексного потенціалу. Використання зазначеної методики та методу квазіконформних відображень дозволило А.Я. Бомбі, А.П. Власюку та їх учням вирішити ряд двовимірних нелінійних сингулярно збурених крайових задач фільтрації й масопереносу в неоднорідних анізотропних пористих середовищах. При цьому підкреслено, що для розв'язування таких задач у випадку переважання конвективних складових процесу над дифузійними ефективним є метод асимптотичного наближення, запропонований М.І. Вишиком, Л.А. Люстерником, А.Б. Васильєвою і В.Ф. Бутузовим з побудовою відповідних примежових поправок.

У розділі також відзначено ряд результатів та намагань вчених стосовно узагальнення на простір поля комплексних чисел (з втратою тих чи інших властивостей) та різного роду відображень (зокрема, конформних) з точки зору їх застосувань в окремих галузях науки і техніки.

При загальній постановці завдань дослідження наголошено на врахуванні складної структури області і просторових взаємозалежностей різних факторів, що визначають процеси у системах типу "фільтрація-конвекція-дифузія", шляхом збурення вихідних фільтраційних фонів. Відповідні процеси у пористих середовищах - модельних областях, обмежених екві- або квазіеквіпотенціальними поверхнями та поверхнями течії (рис. 1), вивчаються на основі нелінійної системи диференціальних рівнянь виду:

(1)

де , , і - відповідно потенціал і вектор швидкості фільтрації, - коефіцієнт (тензор) фільтрації, і - відповідно масові концентрації речовин у воді і пористому середовищі у точці в момент часу , - коефіцієнти (тензори) конвективної дифузії, - активна (або ефективна) пористість середовища, - коефіцієнти, які характеризують швидкість масообміну.

Рис. 2. Схема очисної споруди з біофільтром

Другий розділ присвячено постановці і розробці числових методів розв'язання обернених крайових задач на знаходження просторових аналогів конформних і квазіконформних відображень одно - та двозв'язних складної геометрії областей на відповідні многогранники (паралелепіпеди) із гранями, паралельними координатним площинам. Побудовані числові алгоритми знаходять своє застосування при побудові фільтраційних полів у фільтрах (рис.2), областях вилуговування, форма яких описується двома еквіпотенціальними поверхнями і поверхнею течії.

У п.2.1.1 моделювання стаціонарного процесу руху нестискуваної рідини у пористому середовищі проведено на прикладі модельної області - криволінійного паралелепіпеда , обмеженого екві - або квазіеквіпотенціальними поверхнями , та поверхнями течії , , , (рис.3 а). У випадку врахування анізотропних властивостей середовища тензор фільтрації моделюється за допомогою симетричного тензора , де () - обмежені неперервно-диференційовані функції, а відповідні поверхні області (рис.3 а) є квазіортогональними між собою в кутових точках та вздовж ребер. При цьому відповідна задача описується першими двома рівняннями (1) з крайовими умовами на границі

, , , (2)

де , (), - зовнішня нормаль до відповідної поверхні.

а) б)

Рис. 3. Просторова фізична область (а) та відповідна їй область комплексного квазіпотенціалу (б)

Шляхом введення функцій , (просторово комплексно квазіспряжених із функцією ), таких, що , відповідну задачу зведено до розв'язання оберненої крайової задачі на знаходження просторового аналогу квазіконформного відображення області комплексного квазіпотенціалу (рис.3 б) на відповідну область , де , - невідомі параметри, - кількість рідини, що проходить через деяку квазіеквіпотенціальну поверхню області :

(3)

(4)

В основу алгоритму числового розв'язання відповідної різницевої задачі (3), (4) (для простоти викладок наведено для знаходження просторового аналогу конформного відображення прямокутного паралелепіпеда на криволінійний) покладено ідею "почергового заморожування" інваріанта відображення та граничних і внутрішніх вузлів сітки , де , і - параметри рівномірної сітки в відповідно по змінних , та (рис.3 б), , , , , , , , , .

Далі, задавши параметри , та розбиття сіткової області , параметр , що характеризує точність наближення розв'язку відповідної різницевої задачі (3), (4), початкові наближення координат граничних і внутрішніх вузлів, знаходимо початкове наближення невідомої величини за рівнянням, що забезпечує виконання умови "подібності у малому" відповідних елементарних паралелепіпедів областей та . Використовуючи дане наближення , проводимо уточнення координат внутрішніх вузлів на основі почергового використання відповідно ліво - і правосторонніх різницевих аналогів рівнянь (3).

Потім уточнюємо координати граничних вузлів, виходячи з умов ортогональності сіткової області та знову обчислюємо нові наближення величин і т.д. Серед умов закінчення процесу в першу чергу є стабілізація значень координат вузлів та витрати .

Крім того, у випадках областей складної геометрії та ін. здійснюється, зокрема, перевірка виконання рівностей (3). Результатом виконання алгоритму є побудова в області фільтрації динамічної сітки руху, знаходження повної фільтраційної витрати та поля швидкостей (п.2.2).

Рис. 4. Двозв'язна фізична область з розрізом

Для випадку області , обмеженої гладкими квазіеквіпотенціальними поверхнями , і поверхнями течії , (рис.4), крайові умови (2) фільтраційної задачі матимуть вигляд , , , а розв'язання задачі шляхом виконання умовного розрізу вздовж відповідної поверхні течії та додаванням умови непроникності вздовж розрізу зводиться до знаходження просторового аналогу квазіконформного відображення (п.2.1.2).

Відповідна методика поширюється і на розв'язання такого роду задач у областях більш складної геометрії, багатозв'язних областях з врахуванням взаємодії розчинної речовини із скелетом пористого середовища.

Перевірку точності їх наближень проведено у п.2.3 шляхом співставлення результатів, отриманих за цим алгоритмом, із заздалегідь відомими розв'язками тестових прикладів. Комп'ютерну збіжність та коректність розробленого алгоритму апробовано шляхом проведення числових розрахунків гідродинамічних сіток у одно - та двозв'язних областях при різних значеннях параметрів розбиття відповідних областей комплексного потенціалу. Результати обчислень подано у вигляді таблиць та ілюстрацій гідродинамічних сіток руху.

У третьому розділі узагальнено на простір математичні моделі нелінійних процесів конвективної дифузії у випадках переважання конвективних їх складових над дифузійними в одно - та багатозв'язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями. При цьому враховано: крім повздовжньої, ще й поперечну (вертикальну і горизонтальну) дифузійні складові; нерівномірний і змінний в часі розподіл концентрації розчинної речовини вздовж ділянки входу фільтраційної течії; механізми конвективного або конвективно-дифузійного підведення та відведення розчинної речовини; наявність додаткових джерел забруднень на водонепроникних ділянках фільтраційної області. У загальному випадку для області , де (рис.3 а), задачі описуються першими двома рівняннями системи (1) з крайовими умовами (2) і рівнянням

(5)

за наступних крайових та початкової умов:

, (6)

або ,

(7)

і , , , , (8)

( або ) (9)

та таких залежностей коефіцієнта дифузії від концентрації розчинної речовини: (п.3.1); (п.3.2); (п.3.3), де і - деякі вагові обмежені функції, - запізнення, , (, ) - дійсні числа, - малий параметр (), - біжуча точка відповідної поверхні, , , , (), , , , , , , - достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах (зокрема, в кутових точках) області . Крім цього, вважаємо, що функція при задовольняє умови, які забезпечують необхідну гладкість розв'язку .

Для випадків інтегральної та многочленної залежностей коефіцієнта дифузії від концентрації розв'язки відповідних задач з точністю в області знайдено у вигляді асимптотичного ряду

, (10)

де , - залишковий член, - розв'язок відповідної виродженої задачі (конвективного переносу); - поправки, які враховують вплив дифузійної складової всюди в області фільтрації (за виключенням деякої її приграничної ділянки), (), , , , - функції типу примежевого шару в околах , , , і (відповідно поправки на виході конвективної течії і поправки, що враховують вплив "бічних джерел"), , , , , - відповідні їм регуляризуючі перетворення (розтяги). Проведено порівняння усереднень по змінній отриманих числових розв'язків з розв'язками відповідних плоских задач (п.3.5).

Розв'язування задачі із запізнюючим аргументом в області зведено до знаходження сукупності асимптотичних розв'язків у вигляді рядів (10) задач без запізнення на кожному із часових проміжків , . Крім того, асимптотичні наближення розв'язків таких задач поширено на анізотропні середовища.

Відповідну методику у п.3.4 застосовано до моделювання процесу міграції розчинних речових у багатошарових пористих середовищах (на прикладі двошарового). При цьому сформовано та одержано числово-асимптотичний розв'язок модельної задачі відносно перших двох рівнянь системи (1) і рівняння (5), де , (рис.3 а), , , за умов (2), (6), (8), (9) та умов узгодженості на еквіпотенціальній поверхні : , , до якого входять нового типу поправки, які характеризують механізм дифузійного перерозподілу концентрації в околі ділянки розділу підобластей.

Четвертий розділ присвячено дослідженню просторових нелінійних сингулярно збурених процесів масопереносу у пористих середовищах з урахуванням масообміну, зворотного впливу характеристик процесу на характеристики середовища, знаходженню відповідних коефіцієнтів моделей. Зокрема, у п.4.1 розглянуто модельну задачу прогнозування процесу роботи швидкого фільтра з пористим завантаженням для області типу (рис.3 а), яка описується першими двома рівняннями системи (1) з крайовими умовами (2) і рівняннями , за крайових та початкових умов: , , , де і - функції, які характеризують відповідно обсяги адсорбованих і десорбованих за одиницю часу домішкових частинок, , , - задане додатне дійсне число. При врахуванні незначної зміни пористості завантаження з часом в цю систему додано рівняння з початковою умовою , де - функція, яка характеризує швидкість зміни активної пористості середовища. Розв'язки цих задач в області з точністю знайдено у вигляді асимптотичних рядів (10) із додатковими поправками на ділянці входу у фільтр (), . Запропоновані моделі описують процес доочистки води від залишкових катіонів алюмінію фільтруванням через аніоноактивний фільтруючий матеріал. Згідно з результатами експериментальних даних для фільтра висотою 1м з цеолітовою засипкою зерен діаметром 0.5-2мм встановлено наступні параметри: , , , , м/добу, м²/с і на цій основі проведено дослідження впливу форми фільтра на якість очистки води шляхом співставлення результатів розрахунків для двох фільтрів (однакової довжини 1м та об'єму), що мають форму прямокутного і криволінійного паралелепіпедів. Для фільтра, форму якого описано поверхнями , , , , , де функції () підібрані так, щоб забезпечити "монотонне звуження" в напрямку від входу до виходу, побудовано розрахункову сітку в при , , , , , знайдено фільтраційну витрату м³/год, обчислено величини швидкості фільтрації |v| та ін. Також відповідні величини обчислені при і 66.69, 166.25, 266.76, 333.45, що відповідають величинам середніх швидкостей руху води через засипку криволінійного фільтра: 2, 5, 8, 10 м/год.

На рис.5 зображено розподіли концентрацій _сер, _сер і пористості _сер в прямокутному і криволінійному фільтрах отримано для , , . Як показують числові розрахунки (п.4.4), така форма дозволяє більш раціонально використовувати сорбційну ємність і продовжити термін фільтроциклу на 3-6%.

При цьому зазначимо, що врахування залежностей між концентраціями складових процесу та характеристиками середовища (зокрема, врахування зворотного впливу на коефіцієнти пористості і фільтрації) впливає лише на кількість операцій та час одержання результатів (суттєво не змінюючи алгоритму), адже в процесі побудови числово-асимптотичного розв'язку відповідної задачі необхідно перебудовувати розрахункову гідродинамічну сітку в кожен наступний момент часу.

Рис.5. Розподіли середніх концентрацій катіонів алюмінію у воді та в осаді і пористості завантаження фільтру при _сер =10 м/год. у моменти часу год., год., год.

(суцільна лінія відповідає криволінійному паралелепіпедові, а штрихова - прямокутному)

Запропоновано просторову модель (п.4.2), що описує процес вилучення катіонів алюмінію під час доочистки природних вод від колоїдних і дисперсних частинок методом контактної коагуляції, коли в якості коагулянту використовується сульфат алюмінію, а завантаження мають окислювально-відновні властивості. Отримані розв'язки відповідних задач дозволяють дослідити не лише зворотний вплив складових характеристик процесу (концентрацій катіонів алюмінію та частинок алюміній гідроксиду) на характеристики пористого середовища, а й їх взаємовплив між собою.

Для моделювання процесу розкладу ТПВ і опису типових підпроцесів, які при цьому відбуваються, запропоновано модель на наступних припущеннях: розклад полімерів і метаногенез розглядаються як основні складові (підпроцеси) даного процесу; концентрації ТПВ, летких жирних кислот і біомаси метаногенних мікроорганізмів - основні модельні характеристики процесу. Їхня природна взаємодія розглянута в пористому пласті типу, поданого на рис.3а, 4, оскільки для організації звалищ ТПВ зазвичай використовують ями (котловани) із огородженням, що й зумовлює підземне поширення продуктів розкладу. У п.4.3 задача зведена до розв'язування в області , (рис.3 а) системи трьох нелінійних рівнянь трикомпонентної конвективної дифузії за умов малого масообміну () і за умов типу (6), (8), (9), де , , , , , () - неперервні обмежені функції. Сформульовано та отримано числово-асимптотичний розв'язок аналогічної задачі з урахуванням запізненого масообміну.

Обґрунтовано, що: при врахуванні гетеродифузії для -компонентних систем окрім власних коефіцієнтів також доцільно враховувати парціальні коефіцієнти взаємної дифузії (у цьому випадку сумарний коефіцієнт гетеродифузії для -того компонента виражається так: , ); розроблену методику можна перенести на прогнозування процесів регенерації фільтрувальних установок та очисних споруд, зокрема, моделювання процесів добування корисних речовин шляхом їх вилуговування з підземних пористих пластів.

Основні результати роботи та висновки