Теория линейных систем автоматического управления и регулирования

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ

Введение. Основные понятия и определения

Автоматика - область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих без непосредственного участия человека.

Автоматика - раздел технической кибернетики. Составной частью автоматики как науки является теория автоматического управления и регулирования.

К 1947 году Норберт Винер пришел к следующему выводу: как для механических систем так и для живых тканей существует единство ряда задач, в центре которых находятся вопросы управления и регулирования, связи между отдельными системами различной природы, а также задачами статической механики.

Н. Винером было предложено всю теорию автоматического управления и регулирования и теорию связи в механических системах и живых организмах назвать кибернетикой.

Теория автоматического управления и регулирования дает основную теоретическую базу для решения задач анализа и синтеза автоматических систем.

Управление - это свойство организованных систем различной природы (включая и технические системы) обеспечивать

= заданный режим функционирования системы;

= сохранять или необходимым образом изменять структуру системы

Для выполнения этой системой заданной задачи (цели) управления; или какой-либо программы.

Система стабилизации курса «АИСТ»

Система стабилизации курса предназначена для автоматической ориентации его продольной оси в заданном направлении движения. Система стабилизации курса известна под названием «авторулевой» (автопилот), получила самое широкое распространение практически на всех типах морских подвижных объектов.

На рисунке показано произвольное положение судна в горизонтальной плоскости, определяемое взаимным расположением полусвязанной системы координат , продольная ось которой ориентирована в направлении частной цели движения, и подвижной системы координат , жестко связанной с корпусом судна. В совмещении этих координатных систем заключается основная функция управления для этого вида системы управления движением морского подвижного объекта.

На рисунке показана функциональная схема автоматической системы управления курсом судна типа АИСТ с гидроприводом (ГП) руля.

В системе АИСТ используется сельсиноизмерительное звено курса, которое состоит из сельсина-датчика (СДк), связанного с гирокомпасом (ГК), и сельсина приемника курса (СПк). Механическая передача (МП) осуществляет алгебраическое суммирование углов поворота СПк и штурвала (Ш), которым устанавливается заданный курс. Угловое перемещение на выходе МП пропорционально углу отклонения судна от заданного курса.

Угол называется углом рыскания. Сельсин-датчик управляющего сигнала (СДу) преобразует угол рыскания в переменное напряжение управляющего сигнала. Блок коррекции (БК), который состоит из дифференцирующего (ДУ) и интегрирующего (ИУ) устройств, вырабатывает сигналы, пропорциональные первой производной и интегралу от угла рыскания. Электродвигатель исполнительного механизма ИМ через редуктор Р и рычажковую передачу управляет гидроприводом (ГП) - рулевой гидравлической машиной. Сельсин СДр работающий в трансформаторном режиме, вырабатывает сигнал обратной связи по положению руля , а сельсин СДим служит для получения сигнала обратной связи по положению истока золотника гидроусилителя. На входе усилителя (У) суммируются управляющий и корректирующий сигналы и , а также сигналы обратных связей и .

Автоматическое удержание курса. Судно идет прямым курсом, совершая около него небольшие колебания (рыскание). Если заданный курс , а его истинный курс в любой момент времени , то разница между ними образует угол рыскания

.

Функции, задача, цель управления автоматической системы стабилизации курса заключается в том, чтобы поддержать значения угла рыскания, близким к нулю: .

При отклонении от заданного курса под влиянием возмущающих воздействий гирокомпас отмечает величину этого отклонения с помощью СДк. Сельсин СПк, связанный с СДк синхронной передачей, повернется на тот же угол и соответственно развернет СДу. В результате на выходе Сду появится напряжение , пропорциональное углу рыскания.

Так как напряжение с сельсина СДу поступает на блок коррекции БК, то в нем вырабатывается напряжение пропорциональное первой производной от . Сигналы , суммируются на входе усилителя У. Усиленный сигнал поступает на ИМ, который через редуктор Р поворачивает СДим и одновременно через рычажную передачу перемещает исток гидроусилителя ГП. При этом осуществляется перекладка пера руля.

Сигналы обратных связей, снимаемые с сельсинов Сдим и СДр, вычитаются из основных сигналов, и, когда эта разность равна нулю вращение ИМ прекратиться, а руль будет переложен на определенный угол. Под действием момента, создаваемого рулем, судно начинает возвращаться на заданный курс. При этом СДк вращается в обратную сторону и СПк возвращает СДу в нулевое положение.

Всякий процесс управления подразумевает наличие объекта управления и управляющей им системы.

Управляющая система - это совокупность технических средств, стремящихся обеспечить выполнение объектом управления определенной задачи (цели управления).

Управляющая система и объект управления взаимодействуют друг с другом.

Под процессом управления будем понимать любые изменения состояния объекта управления, ведущие к достижению поставленной задачи.

Автоматическая система управления - это объект управления, измерительная и управляющая аппаратура объединенные в единую систему, в которой обработка информации, формирование команд и их преобразование в воздействие на объект управления осуществляется без участия человека.

Автоматическое управление осуществляется приложением управляющих воздействий у исполнительным механизмам, непосредственно определяющим ход процесса.

Теория автоматического управления в настоящее время является самостоятельно наукой и стала в ряд важнейших фундаментальных наук. Она дает основную теоретическую базу для исследования и проектирования любых автоматических систем во всех областях техники.

Из существующих принципов построения систем автоматического управления, обеспечивающих выполнение поставленной задачи управления можно выделить два основных класса:

системы управления работающие по разомкнутому циклу;

системы управления работающие по замкнутому циклу (системы с обратными связями).

Замкнутый цикл управления - это использование для формирования управляющего воздействия информации о состоянии объекта управления. Принцип замкнутого цикла использует сравнение входного воздействия с действительным изменением управляемой величины за счет применения элементов сравнения и обратных связей.

Здесь важно отметить, что в замкнутых системах автоматического управления, как правило, не бывает «спокойного» состояния равновесия: все время имеются внешние возмущения порождающие рассогласования, которые заставляют систему работать. Поэтому важным элементом проектирования таких систем является исследование динамических процессов, протекающих в них.

Эти процессы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенностью усложняющей расчет динамики системы является то, что в замкнутой системе все физические величины, характеризующие воздействия одного звена на другое, связаны в единую замкнутую цепь. Поэтому приходится уравнения, описывающие динамику всех звеньев системы, решать совместно, т.е. иметь дело с дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Основные задачи теории автоматического управления

Задачи анализа систем автоматического управления (исследование процессов в системе управления):

разработка методов исследования качества САУ;

исследование устойчивости САУ;

исследование точности САУ;

Синтез автоматического управления (задача проектирования систем автоматического управления).

разработка теоретических основ проектирования САУ;

алгоритмические основы проектирования систем управления.

Объектом исследования ТАУ является математические модели систем управления.

Математические модели систем автоматического управления

Математические соотношения, которые описывают процессы, протекающие в системах автоматического управления, называют математическими моделями этих систем. Возможность представить систему автоматического управления в виде математической модели является основой для их аналитического исследования.

В основе формирования математической модели систем управления лежит физическое описание всех процессов, которые протекают в исследуемой системе.

Требования к математическим моделям систем автоматического управления:

Математическая модель должна как можно точнее отражать физические процессы в исследуемой системе управления.

Математическая модель системы управления должна быть достаточно простой и наглядной, чтобы излишне не усложнять исследования.

Математическая модель системы управления должна устанавливать связь входной переменной и выходной переменной (см. рисунок).

Основные этапы составления математических моделей систем автоматического управления и регулирования

Разделение системы автоматического управления на отдельные элементы.

Для этой цели составляется функциональная схема системы автоматического управления. На рисунке приведена функциональная схема замкнутой системы управления; система управления с обратной связью.

На функциональной схеме указывают

отдельные элементы системы;

связь между элементами;

направления распространения сигналов и их обозначение;

входные и выходные переменные.

Составляются математические модели каждого элемента системы;

Составляются математические модели связей между элементами системы;

Составляются математические модели внутренних и внешних помех, действующих на систему;

Составляются математические модели внешних возмущающих воздействий , действующих на систему.

Совокупность математических моделей элементов системы, моделей связей между этими элементами и математических моделей помех и возмущений действующих на объект управления и на систему управления образуют математическую модель исследуемой системы управления.

Везде далее под системой автоматического управления мы будем понимать ее математическую модель.

Формы представления математических моделей систем автоматического управления:

дифференцианые уравнения;

передаточные функции;

структурные схемы.

Дифференциальные уравнения

Динамические процессы в системах автоматического управления можно описать линейным дифференциальным уравнением, которое в самом общем случае имеет вид:

(1)

где и соответственно выходная и входная переменные системы; - выход системы; - вход системы (известна функция времени).

Уравнение (1) - это дифференциальное уравнение -ного порядка относительно неизвестной функции . Здесь следует сразу отметить, что в реальных системах управления - условие физической реализуемости системы.

Решение уравнения (1) - это математическая модель процесса на выходе системы. Чтобы решить уравнение (1) необходимо задать начальных условий:

(2)

Уравнение (1) - это линейное неоднородное дифференциальное уравнение -ного порядка, общее решение которого имеет вид:

, (3)

где общее решение неоднородного дифференциального уравнения

, (4)

- определяет собственное движение системы.

-частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, и определяет вынужденное движение системы, которое определяется входным воздействием .

Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения

Составляется характеристическое уравнение:

;

Находятся решения характеристического уравнения: , ,…,;

Записывается фундаментальная система частотных решений в зависимости от решений характеристического уравнения (не учитывается постоянные интегрирования);

Составляется общее решение однородного уравнения как сумма системы фундаментальных решений (с учетом постоянных интегрирования);

Отыскивается частотное решение однородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, - определяются постоянные интегрирования.

Так например, если корни характеристического уравнения , ,…, действительны и различны, то фундаментальная система частных решений имеет вид:

, ,…, .

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет

где - постоянные интегрирования.

Если же среди корней характеристического уравнения , ,…, есть комплексно - сопряженные, например, то фундаментальная система решений для и заменяется на следующие: и и для этих корней соответствующее общее решение:

.

Частное решение линейного неоднородного уравнения

Линейное неоднородное дифференцирующее уравнение -ного порядка - это дифференциальное уравнение вида:

.

Частное решение линейного дифференциального уравнения отыскивается по виду правой части, т.е. по виду функции

.

Так, например, если , то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения отыскивается в виде: , где , … , , - постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Коэффициенты , … , определяются из тождества

,

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной полиномов в правой и левой частях этого тождества.

После того как найдено общее решение неоднородного уравнения (в решении присутствуют постоянные интегрирования) следует определить постоянные интегрирования по известным начальным условиям (2).

Замечание: В теории автоматического управления часто используют операторную форму записи дифференциального уравнения (1). Для этой цели вводится оператор дифференцирования

, .

Тогда уравнение (1) принимает вид

(5)

или

. (6)

Пример: Составить дифференциальное уравнение RC-контура принципиальная схема которого представлена на рисунке:

где - резистор; - конденсатор; -соответственно входное и выходное напряжения; - ток в контуре.

Найти процесс на выходе RC-контура при постоянном значении входного сигнала и нулевых начальных условиях .

Решение : На основании второго закона Кирхгофа уравнения, описывающие изменения , и будут иметь вид:

, (1)

(2)

Продифференцируем (2) по времени

,

откуда

. (3)

Подставим (3) в уравнение (1)

. (4)

Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно связывает входное и выходное напряжения RC- контура.

Зная входное напряжение , можно определить выходное напряжение , решив дифференциальное уравнение (4), которое перепишем в виде с учетом условия задачи и полагая :

.

Характеристическое уравнение и его решение:

;.

Общее решение однородного уравнения:

,

где - постоянная интегрирования.

Частное решение неоднородного уравнения .

Общее решение неоднородного уравнения

.

Определим постоянную интегрирования из заданных начальных условий: .

Тогда решение дифференциального уравнения (4) будет:

.

Вид процессов на выходе - контура:

Обратимся вновь к дифференциальному уравнению (1). Введем в рассмотрение новые переменные:

, , … , (7)

Тогда в новых переменных уравнение (1) преобразуется к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых является уравнением первого порядка (система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши):

,

,

, (8)

.

Переменные , … , называются переменными состояния системы управления или ее фазовыми переменными. Связь переменных состояния системы с выходной ее переменной задается формулой:

(9)

Формула (9) приводится для случая ; если то соответствующие коэффициенты в (9) следует положить равными нулю.

В векторно-матричной форме записи уравнений (8) и (9) может быть представлена в виде

,

, (10)

где -символ транспонирования.

;

;

; .

Первое уравнение системы (10) - это уравнение динамики системы автоматического управления относительно переменных состояния - это уравнение выхода системы.

Переход от уравнения (1) к системе уравнений (10) может быть осуществлен различными способами. Это зависит от выбора переменных состояния системы.

В уравнении (10) и - входная и выходная переменные системы (скалярные функции времени); - квадратная матрица размера - матрица динамики системы (в общем случае это матрица произвольного вида, ее элементы - действительные числа); и - -мерные вектора, элементы которых постоянные числа; -скаляр (числа); - - мерный вектор, координаты которого - это переменные состояния системы управления.

Решение уравнения относительно переменных состояния системы (10) задается формулой Коши

(11)

где - заданные начальные условия; - матричная экспонента, это матрица определяется равенством

,

где - единичная матрица:

Подставив равенство (11) во второе уравнение системы (10) получим уравнение системы (10) получим уравнение выхода системы в явном виде

(12)

Пример. Преобразовать математическую модель системы автоматического управления

к системе дифференциальных уравнений относительно переменных состояния. автоматический управление динамический

Решение: По условию задачи

; ; ; ; ; .

Тогда

; ; .

Передаточные функции систем автоматического управления

Передаточная функция системы автоматического управления - это одна из форм представления ее математической модели. Математической основой методов исследования систем автоматического управления с использованием аппарата передаточных функций комплексного переменного и в частности операционное исчисление (преобразование Лапласа).

Основные преимущества использования передаточных функций в задачах исследования систем автоматического управления:

достаточно просто получить аналитически решение дифференциальных уравнений, а, следовательно, провести анализ процессов в системах автоматического управления;

сравнительно просто получить частотные характеристики систем автоматического управления (косвенная оценка качества процессов управления);

возможность выполнять алгебраические преобразования математических моделей системы управления (действия над полиномами и дробно - рациональными функциями).

Пример. Для элемента системы управления, схема которого представлена на рисунке требуется:

Получить его передаточную функцию.

Исследовать процессы на выходе элемента при

2.а.

2.б. ,

- амплитуда входного сигнала; - частота входного сигнала.

Решение. Ранее была получена математическая модель данного элемента в виде дифференциального уравнения

, (1)

где ; .

Выполним преобразование Лапласа уравнения (1), введя обозначения:

; ;

имеем:

. (2)

Из уравнения (2) получаем передаточную функцию элемента системы

.(3)

Звено с передаточной функцией (3) называется апериодическим звеном системы автоматического управления.

Из равенства (3) получаем:

. (4)

Пусть теперь

. (5)

Тогда

. (6)

С учетом (6) равенство (4) принимает вид

. (7)

Выполнив обратное преобразование Лапласа обеих частей равенства (7), получим искомый закон изменения во времени выходной переменной элемента

. (8)

Обратное преобразование найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этой цели представим следующим образом:

, (9)

где , - постоянные коэффициенты подлежащие определению.

Из последнего равенства получаем

.

Из равенства двух дробно - рациональных функций имеем:

. (10)

Это система двух линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов и . Решение системы (10) дает , . С учетом полученного решения равенство (9) принимает вид

.

Следовательно

,

. (11)

Рассмотрим теперь случай, когда . Тогда уравнение (1) принимает вид:

. (12)

Выполним преобразование Лапласа уравнения (12):

. (13)

Откуда получаем

. (14)

Далее, аналогично предыдущему последовательно имеем

. (15)

Здесь неопределенные коэффициенты , , подлежат определению. Из (15) получаем

.

Следовательно

,

Это система трех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A,B,C. Ее решением будет

; ; .

Подставив полученные равенства в соотношение (15) имеем

.

И окончательно

.

Установившийся процесс на выходе элемента системы определяется из последнего равенства при :

.

Введем обозначения ; . Это амплитуда и фаза соответственно выходного сигнала, которые зависят от частоты входного сигнала. С ростом частоты от до амплитуда выходного сигнала изменяется в пределах от до , а фаза - в пределах от нуля до .

,

; .

Пусть теперь математическая модель системы автоматического управления задана в виде системы уравнений относительно переменных состояния

, (8)

. (9)

Из соотношений (8) и (9) можно получить передаточную функцию системы управления. Для этой цели выполним преобразование Лапласа при нулевых начальных условий уравнений (8) и (9):

, (10)

. (11)

где

,

; .

Преобразуем равенство (10):

,

,

. (12)

Равенство (12) подставим в соотношение (9):

,

. (13)

По определению передаточной функции системы

. (14)

Сравнивая равенства (13) и (14) легко установить, что

. (15)

Равенство (15) справедливо, если существует обратная матрица к матрице , т.е. . Матрица невырожденная матрица, за исключением может быть в отдаленных точках - -полюсах системы.

Замечание: Справедливы следующие равенства:

,

. (16)

Это один из способов вычисления матричной экспоненты .

Пример. По математической модели системы автоматического управления относительно переменных состояний

,

, (1)

, (2)

.

Получить передаточную функцию системы управления. Решение:

; ; ; .

Выполним преобразование Лапласа уравнений (1), (2) при . Имеем

,

, (3)

. (4)

Решим систему уравнений (3) относительно переменных и

,

;

.

Внимание. - характеристический полином системы дифференциальных уравнений (1).

Присоединенная матрица к матрице :

.

.

- это передаточная функция колебательного звена.

Преобразование структурных схем систем автоматического управления

Как правило, структурные схемы систем автоматического управления являются многоконтурными, например, такие как показаны на рисунке 1.

Для решения задач анализа систем управления целесообразно привести ее структуру к виду:

которую в дальнейшем будем называть расчетной структурной схемой исследуемой системы автоматического управления, - передаточная функция разомкнутой системы.

Чтобы найти передаточную функцию любой многоконтурной системы, нужно, вообще говоря, составить соответствующую систему дифференциальных уравнений, применить к ней преобразование Лапласа и решить полученную таким образом систему алгебраических уравнений относительно интересующей нас переменной.

Однако более удобным для указанной цели является способ, основанный на предварительном преобразовании структурных схем.

Этот способ заключается в составлении структурной схемы рассматриваемой многоконтурной системы и последующего ее преобразования к эквивалентной расчетной структурной схеме.

Его преимущество заключается в том, что громоздкое формальное решение совместных уравнений заменяется наглядными преобразованиями, имеющими геометрическую интерпретацию и уменьшающими возможность ошибок.

Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем.

ПРАВИЛО 1. Последовательное соединение элементов

,

,

,

.

ПРАВИЛО 2. Параллельное соединение элементов

,

Пример. Получить передаточную функцию соединения звеньев, показанных на рисунке где

- интегрирующее звено;

- апериодическое звено с коэффициентом усиления .

Решение. В соответствие с формулой получаем:

.

Откуда

,

где .

появилось дифференцирование - в числителе -дифференцирующее звено первого порядка.

ПРАВИЛО 3. Соединение с гибкой обратной связью

Введем обозначения на исходной структурной схеме: ,

,

,

,

,

,

,

,

.

Пример

, .

В соответствии с формулой:

,

, , .

ПРАВИЛО 4. Соединение с жесткой обратной связью

Получить можно аналогично предыдущему правилу, если положить .

ПРАВИЛО 5. Перенос сумматора с выхода элемента на его вход

. (1)

,

,

. (2)

Сравнивая (1) и (2): первые слагаемые равны; равенство двух слагаемых дает:

что ; .

ПРАВИЛО 6. Перенос сумматора со входа элемента на его выход

ПРАВИЛО 7. Перенос узла с выхода на вход элемента

ПРАВИЛО 8. Перенос узла с входа на выход элемента

Пример

Преобразование структурной схемы системы автоматического управления (см. рис.) к расчетной структурной схеме.

Решение. Способ 1. Контур системы с передаточными функциями и преобразуем в звено с передаточной функцией (правило 2).

Контур структурной схемы с передаточными функциями и в звено с передаточной функцией

(правило 3).

В результате чего исходная структурная схема принимает вид

На полученной структурной схеме перенесем узел 1 со входа звена с передаточной функцией на его выход (правило 8). В результате чего структурная схема системы принимает вид:

На основании правила 1 последняя структурная схема будет

где Ф₃(S) = Ф₁(S)Ф₂(S)W₄(S);

Ф₄(S) = W₆(S)W₄^-1(S);

И окончательно на основании правила 3 имеем

где .

Из последнего равенства с учетом формул для вычисления передаточных функций и получаем

.

Способ 2 (алгебраический способ). На исходной структурной схеме введем обозначения. Тогда последовательно получаем

, ,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

Следовательно

.

Виды типовых входных воздействий

При анализе различных вариантов системы автоматического управления необходимо исследовать процессы управления в каждом из вариантов автоматической системы при одних и тех же типовых входных управляющих воздействиях.

При анализе процессов в системах автоматического управления в качестве входных сигналов управления выбирают обычно следующие типовые входные сигналы - .

Ступенчатые или единичные воздействия:

.

К воздействию такого рода часто прибегают при оценке качества процессов управления.

Дельта функция (функция Дирака);

и .

Дельта - функцию (t) можно рассматривать как предел последовательностей -образных функций. Например, вида:

.

Площадь такого прямоугольника равна единице, а при 0 амплитуда импульса 1/2 - неограниченно возрастает, а ширина стремится к нулю.

Гармонический (синусоидальный) входной сигнал;

,

где - частота входного воздействия; - амплитуда входного воздействия.

Полиномиальный закон изменения управляющего воздействия.

Частный случай: линейный закон изменения управляющего входного воздействия.

Размещено на Allbest.ru