Непрерывная и импульсная линейные системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

I. Исследование линейной непрерывной САУ

Исходные данные

Структура исследуемой замкнутой линейной непрерывной САУ представлена на рис.1.1, где - управляющее воздействие, - возмущающее воздействие, - сигнал ошибки, - выходной сигнал. Значения параметров , , заданы в табл. 1. Размерность , , в секундах, общий коэффициент передачи имеет размерность 1/с, в табл. 1 заданы также желаемые показатели качества системы: максимальная ошибка по скорости при скачке по скорости и , время переходного процесса в секундах, и перерегулирование в процентах.

Исходные данные приведены в табл.1

Таблица 1

Структурная схема линейной САУ имеет вид:

1. Найдем передаточные функции разомкнутой системы W(s); замкнутой системы: главную передаточную функцию Ф(s); по ошибке Фe(s) и по возмущению Фf(s):

1.1 Определим передаточную функцию разомкнутой системы W(s) (при f=0 и e=v):

1.2 Определим главную передаточную функцию замкнутой системы Ф(s) (при f=0):

Выражение для сигнала рассогласования имеет вид:

Исключим из этих двух выражений E(s):

1.3 Определим главную передаточную функцию замкнутой системы по ошибке Фe(s) (при f=0):

Исключим из этих двух выражений V(s):

1.4 Определим передаточную функцию замкнутой системы по возмущению Фf(s) (при v=0):

Исключим из этих двух выражений Eвозм(s):

2. Построим область устойчивости системы в плоскости общего коэффициента передачи K=K1K2K3 и постоянной времени T2 при заданных значениях T1 и T3. Найти граничное значение K' при заданном значении T2, при котором система выходит на границу устойчивости:

Передаточная функция разомкнутой исходной системы имеет вид:

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет:

где при заданных исходных данных T1 и T3, коэффициенты bi будут зависеть от параметров K и T2. Применение критерия Гурвица к характеристическому уравнению четвертого порядка дает следующие условия устойчивости:

Приравнивая в написанных соотношениях правые части нулю, получим в плоскости K и T2 границы устойчивости, ограничивающие некоторую область устойчивости.

Так как физически не имеют смысла отрицательные значения параметров T1...T3, то единственным ограничивающим уравнением будет:

Выражая bi через параметры T1...T3 и K, приравняем полученное выражение к нулю

При заданном T2 находим граничное значение K' коэффициента передачи K:

3 Построим графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик L(щ) и ц(щ) при значении коэффициента передачи K=0.7K':

3.1 Построим в логарифмическом масштабе график амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы на интервале 0.1-10 рад/с (из соображений наглядности графика), по вертикальной оси будем откладывать амплитуду, а по горизонтальной оси - частоту:

3.2 Построим в логарифмическом масштабе график фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ) разомкнутой системы на интервале 0.1-10 рад/с (из соображений наглядности графика), по вертикальной оси будем откладывать фазу в градусах, а по горизонтальной оси - частоту:

4. Используя полученные характеристики и построенные графики, найдем и оценим следующие показатели качества системы:

4.1 запасы устойчивости системы по амплитуде ДL и фазе Дц:

частота среза системы определяется по графику ЛАЧХ как частота, на которой коэффициент усиления равен 0 дБ (корень уравнения L(w)=0):

Запас устойчивости системы по фазе Дц показывает, на какое значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от р (180 °):

Критическая частота определяется из графика ФЧХ как частота, на которой фаза разомкнутой системы равна р (180 °):

Запас устойчивости системы по амплитуде (усилению) ДL показывает, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости

Расчет показывает, что в систему нужно вводить дополнительный усилитель.

4.2 величину ошибки по скорости еск при v(t)=v1t, f=0:

4.3 tр - время переходного процесса и перерегулирование у в исходной системе при K=0.7K':

определим переходную характеристику системы как обратное преобразование Лапласа от:

определим установившееся значение на выходе системы ууст при воздействии на нее ступенчатой функции:

Построим график переходного процесса:

длительность переходного процесса определим как время, с момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет отличаться от его установившегося значения не более чем на 5%:

Определим по графику переходного процесса максимальное значение выходного сигнала:

Определим перерегулирование:

Так как замкнутая система имеет время регулирования, значительно превышающее требуемое по условию (tpзад=3.0с), большое перерегулирование (узад=25%) и ошибку регулирования, превышающую заданную (ескзад=0.1) то система не оптимальна и требует коррекции. Кроме того, по графику переходного процесса подтверждается наличие низкого запаса по амплитуде и фазе - процесс установления ошибки регулирования носит колебательный характер.

5. Так как исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества tp, у, еск и имеет малые запасы устойчивости по амплитуде и фазе, то произведем коррекцию системы и найдем передаточную функцию корректирующего устройства.

Построим желаемую ЛАЧХ. Для системы с астатизмом первого порядка общий вид желаемой передаточной функции разомкнутой системы будет иметь вид:

Определим требуемую полосу пропускания:

где l можно приближенно определить по графику:

Определим требуемую частоту среза как:

Определим требуемые запасы по амплитуде и фазе:

Определим частоту щ3 как:

При этом должно выполняться условие:

Коэффициент ошибки по скорости еск определит общий коэффициент усиления:

Для нахождения времени T'1 и T'2 установим связь сопряженных частот щ1=1/T'1 и щ2=1/T'2 с коэффициентом усиления и частотой среза:

Наклон характеристик между частотами щ1 и щ2 равен 40 дБ/дек, поэтому:

Тогда:

При этом должно выполняться условие:

Для упрощения структуры корректирующей цепи очевидным является следующее значение частоты щ2:

Для системы с астатизмом первого порядка общий вид желаемой передаточной функции разомкнутой системы будет иметь вид:

Построим желаемую ЛАЧХ и ЛФЧХ:

6. Используя полученные характеристики и построенные графики, и оценим удовлетворяет ли система с желаемой передаточной функцией следующим показателям качества системы: запасы устойчивости системы по амплитуде ДL и фазе Дц, время регулирования tд и перерегулирование у.

запас устойчивости системы по фазе Дц показывает, на какое значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от р (180 °):

критическая частота определяется из графика ФЧХ как частота, на которой фаза разомкнутой системы равна р (180 °):

Так как критическая частота находится далеко за пределами полосы пропускания, то введение дополнительного запаса по амплитуде не требуется.

Определим переходную характеристику системы как обратное преобразование Лапласа от:

определим установившееся значение на выходе системы ууст при воздействии на нее ступенчатой функции:

построим график переходного процесса:

длительность переходного процесса определим как время, с момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет отличаться от его установившегося значения не более чем на 5%:

Определим по графику переходного процесса максимальное значение выходного сигнала:

линейный система автоматический управление

Определим перерегулирование:

Таким образом замкнутая система имеет время регулирования, не превышающее требуемое по условию (tpзад=3.0с), значительно меньшее перерегулирование (узад=25%) и ошибку регулирования, удовлетворяющую заданной (ескзад=0.1), т.е. система оптимальна и для синтеза такой системы необходимо лишь ввести в исходную нескорректированную систему корректирующее звено. Произведем синтез корректирующей цепи.

Вычитая из ЛАЧХ нескорректированной системы желаемую ЛАЧХ получим ЛАЧХ корректирующей цепи:

Произведем синтез корректирующей цепи:

Определим необходимое добавочное усиление:

Необходимость в добавочном усилении означает, что в тракт необходимо включить усилитель с коэффициентом усиления равным Кдоб. Далее КЦ цепь должна содержать звено, которое обеспечит на частоте щ1 завал ЛАЧХ на 20дБ, далее на частоте щ2 КЦ цепь должна содержать звено, которое обеспечит подъем ЛАЧХ на 20дБ ( а также компенсации полюса -1/T3 исходной системы). На частоте 1/Т2 КЦ цепь должна содержать звено, которое обеспечит подъем ЛАЧХ на 20дБ ( а также компенчаци. полюса -1/T2 исходной системы). На частотах щ3 и щ4 КЦ цепь должна содержать звено, которое обеспечит завал ЛАЧХ на 20дБ, а на частотах 1/Т2 и 1/Т1 КЦ цепь должна содержать звено, которое обеспечит подъем ЛАЧХ на 20дБ. Данную КЦ удобно реализовать с помощью усилителя с наличием в цепи ООС частотозависимой цепи, которая реализует требуемую АЧХ КЦ и общим коэффициентом усиления на постоянном токе Ку=Ктреб.

II. Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

1. Найдем передаточные функции импульсной САУ: W*(z) - разомкнутой системы, Ф*(z) - замкнутой системы, Фе*(z) - замкнутой системы по ошибке. Параметры T, T1, ф1, K0, г входят в выражения передаточных функций в общем виде, т.е. в буквенном виде.

Представим передаточную функцию в виде двух слагаемых, учитывая что ф1=0:

C помощью таблицы соответствия найдем модифицированное z-преобразование для каждого из слагаемых в правой части уравнения:

Для 0<у<г:

Обозначив T/T1=в, получим выражение для импульсной передаточной функции разомкнутой системы:

Полагая у=0 получим выражение для импульсной передаточной функции разомкнутой системы для моментов времени t=nT:

Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:

Найдем передаточную функцию Ф*(z) - замкнутой системы:

Найдем передаточную функцию Фе*(z) - замкнутой системы по ошибке:

2. Найдем интервал изменения коэффициента передачи K0, при котором система будет устойчива K"0<K0<K'0. Для дальнейших исследований выберем значение K0=0.5 K'0.

Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы

D*(z)=1+W*(z)=0.

В соответствии с алгебраическим критерием устойчивости замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств:

В неравенстве при известных значениях T, T1, ф1, г входит величина K0. Таким образом, можно выделить отрезок значений K"0<K0<K'0, при которых система будет устойчива и далее принять K0=0.5 K'0.

Ограничением является условие 1-b2>0, граница устойчивости:

тогда:

3. Построим графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L*(л) и ц*(л) при заданных значениях T, T1, ф1, г и выбранном значении K0. По графикам определим запасы устойчивости системы по модулю ДL* и фазе Дц*.

Для построения логарифмических характеристик разомкнутой системы в передаточной функции W*(z) делаем замену переменной:

где щ - обычная частота, л - псевдочастота, j - мнимая единица. При изменении частоты щ в диапазоне -р/T<щ<р/T псевдочастота изменяется от -? до +?, при щ=0 псевдочастота л=0. В результате замены передаточная функция W*(z) преобразуется в частотную характеристику относительно псевдочатоты следующего вида:

Используя полученные характеристики и построенные графики, найдем и оценим запасы устойчивости системы по амплитуде ДL и фазе Дц:

частота среза системы определяется по графику ЛАЧХ как частота, на которой коэффициент усиления равен 0 дБ (корень уравнения L*(л)=0):

запас устойчивости системы по фазе Дц* показывает, на какое значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от р (180 °):

критическая частота определяется из графика ФЧХ как частота, на которой фаза разомкнутой системы равна р (180 °):

4. Определим ошибку системы по скорости еск при входном воздействии н(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок c0, c1.

Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная еск вычисляется по формуле еск=1/W*1(1). Величина с0=0, а коэффициент ошибки с1 находится по следующей формуле:

5. Вычислим переходной процесс в системе при воздействии н(t)=1[t] (скачок по положению).

z-изображение входного воздействия н(t)=1[t] имеет вид G(z)=z/(z-1), тогда:

Разложение этого выражения в ряд по степеням z-1 дает следующие значения:

III. Исследование нелинейной непрерывной САУ

Исходные данные:

Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.

1. Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для нашего случая (идеальное реле) имеет вид WH(a)=q(a)=4c/рa, где a - амплитуда искомого периодического режима, a>0.

2. На комплексной плоскости построим характеристику MH(a)=[-WH-1(a)]=-рa/4c, причем заполняет всю отрицательную вещественную ось. В том же масштабе на комплексной плоскости построим АФЧХ разомкнутой системы W(jщ) при изменении частоты от 0 до +?.

В точке пересечения АФЧХ W(jщ) и прямой MH(a) по графику W(jщ) найдем частоту искомого периодического (гармонического) режима щ=щ*, а на прямой MH(a) в точке пересечения его амплитуда a=a*. Так как в данном случае прямая MH(a) пересекается с W(jщ) в точке, где а=0 и щ=?, то в системе отсутствуют периодические автоколебания.

Литература

1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1: Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. Пособие /В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2007. - 132с.

2. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.2:

Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учеб.-метод. Пособие /В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2007. - 160с.

3. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. - Москва: Высшая школа, 1990. - 334с.

4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2006.

5. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.2: Дискретные,нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С.В. Лукьянец, А.Т. Доманов, В.П. Кузнецов., М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2007.

Размещено на Allbest.ru