Основы управления техническими системами

y(t) = А_вых.e^j(t+). (21)

Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

Определим производные по Лапласу:

у Y

у' sY

у'' s²Y и т.д.

Определим производные ЧХ:

у'(t) = j А_выхе^{j(t + )} = j у,

у”(t) = (j)² А_выхе^{j(t + )} = (j)² у и т.д.

Отсюда видно соответствие s = j. Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = j [4].

Пример [4]:

При s = j имеем:

.

Изменяя от 0 до , можно построить АФХ.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

, . (22)

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re() = A() cos (), (23)

Im() = A() sin (). (24)

Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, используются совместно и изображаются в виде графиков [2]:

1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ.

Формула для построения ЛАЧХ: L() = 20lg A_вых().

Единица измерения - децибел (дБ).

На графике ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Это означает, что равным величинам отрезков по оси соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10.

По оси ординат откладываются значения L() в обычном масштабе.

2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ. Представляет из себя ФЧХ, у которой ось частоты проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ. По оси ординат откладываются фазы .

Примеры ЛЧХ.

1. Фильтр низких частот (ФНЧ)

Фильтр низких частот предназначен для подавления высокочастотных воздействий.

2. Фильтр высоких частот (ФВЧ)

Фильтр высоких частот предназначен для подавления низкочастотных воздействий.

3. Заградительный фильтр

Заградительный фильтр подавляет только определенный диапазон частот [2]

2.3 Элементарные звенья и их характеристики

Определение передаточной функции

Передаточная функция - один из способов математического описания динамической системы.

Отношение изображения реакции к изображению воздействия при нулевых начальных условиях называется операторной передаточной функцией (ОПФ).

Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент - сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной [4]:

(26)

В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье (частотных изображений) выходной и входной величин:

(27)

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

(28)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение преобразований Лапласа изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных значениях [4]

(29)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

(30)

где B(s) = b₀ + b₁s + b₂ s² + … + b_m s^m - полином числителя,

А(s) = a₀ + a₁s + a₂ s² + … + a_n sⁿ - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s). (31)

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

Примеры типовых звеньев.

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении.

Элементарными звеньями называются простейшие составные части (блоки) системы, поведение которых описывается алгебраическими уравнениями или дифференциальными уравнениями 1-го - 2-го порядка:

(32)

где - выходная переменная, - входная переменная, - постоянные коэффициенты (параметры). Уравнение (32) можно записать в операторной форме:

(33)

то есть передаточная функция звена имеет вид

(34)

В теории автоматического управления (ТАУ) выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления [4].

Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но относится к одной группе. Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями.

Простейшие типовые звенья:

· усилительное,

· интегрирующее,

· дифференцирующее,

· апериодическое,

· колебательное,

· звено транспортного (чистого) запаздывания.

1) Усилительное звено

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления. автоматический управление технологический

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и другие [4].

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины.

; W(s) = (35)

При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает.

Это звено астатическое, то есть не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее

Передаточная функция этого звена имеет вид:

(36)

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой.

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

; (37)

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (-функцию).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям. Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют вид:

(38)

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида:

; . (39)

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х0.

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

(40)

Разложим дробь на простые:

Оригинал первой дроби по таблице: , второй:

(41)

Тогда окончательно получаем:

(42)

Постоянная Т называется постоянной времени, постоянный коэффициент которой при первой производной имеет размерность времени.

Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону [4].

5) Колебательное звено имеет ДУ и ПФ вида

(43)

(44)

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х₀ на переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т1 2Т2) или колебательный (при Т1 < 2Т2).

В случае когда Т₁ = 0, получаем консервативное звено.

Передаточная функция, которого

(45)

Частотная передаточная функция

(46)

Фазовая частотная функция

(47)

Это выражение можно получить из фазовой частотной функции колебательного звена предельным переходом при о0.

Переходная функция

(48)

6) Звено транспортного (чистого) запаздывания

y(t) = x(t - ), W(s) = e-s. (49)

Выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием . Примеры: движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу.

Соединения звеньев.

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев [4]:

1) Последовательное соединение.

W_об = W₁.W₂.W₃ (50)

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

2) Параллельное соединение.

W_об = W₁ + W₂ + W₃ + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

(51)

Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона.

Передаточные функции АСР.

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор».

Это необходимо, во-первых, для того, чтобы определить математические зависимости в системе, и, во-вторых, как правило, все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

Если выход системы у не подавать на ее вход, то мы получим разомкнутую систему регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W = W_p^.W_y

(W_p - ПФ регулятора, W_y - ПФ объекта управления).

То есть последовательность звеньев W_p и W_y может быть заменена одним звеном с W. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W:

(52)

(далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку они используются в подавляющем большинстве АСР).

Данная передаточная функция замкнутой системы Ф_з(s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

- по ошибке, (53)

- по возмущению, (54)

где W_ув(s) - передаточная функция объекта управления по каналу передачи возмущающего воздействия.

Поскольку передаточная функция разомкнутой системы W является в общем случае дробно-рациональной функцией вида, то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы:

, . (55)

Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражениями числителей. Выражение знаменателя называется характеристическим полиномом замкнутой системы и обозначается как D_з(s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в числителе передаточной функции разомкнутой системы W, называется характеристическим полиномом разомкнутой системы А(s) [4].

Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой.

Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.

Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика. Требуется определить вид и параметры передаточной функции.

Предположим, что передаточная функция имеет вид

,

(инерционной звено с запаздыванием).

Параметры передаточной функции:

К - коэффициент усиления,

Т - постоянная времени,

- запаздывание.

Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равна отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:

(56)

Установившееся значение выходной величины у_уст - это значение у при t .

Запаздыванием называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у.

Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой y_уст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.

В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание _доп, которое прибавляется к основному: = + _доп.[4].

2.4 Структурные схемы и правила их преобразования

Схема является основным документом, поясняющим принцип действия и взаимодействия различных элементов, устройств или в целом систем автоматики. По схеме осуществляют монтаж, наладку и эксплуатацию автоматических устройств [2].

Схемы автоматики разделяются на: функциональные, структурные, принципиальные, схемы соединения и подключения. Схемы вычерчивают в условных обозначениях без соблюдения масштаба и часто без учета действительного пространственного расположения составных элементов.

Функционально - структурные схемы отражают взаимодействие устройств, блоков, узлов и элементов автоматики в процессе их роботы. Схема системы автоматического управления или регулирования, в которой функциональные элементы представлены типовыми динамическими звеньями, называются структурной схемой данной системы [2].

Структурную схему используют для теоретического исследования системы автоматического управления, так как она отображает её динамические свойства. Графически отдельные устройства автоматически изображают прямоугольниками, а существующие между ними связи - линиями со стрелками, соответствующими направлению прохождения сигнала. Внутренне содержание каждого блока не конкретизируется. Функциональное назначение блоков зашифровывается буквенными символами [2].

Функциональная схема автоматической системы управления регулирования температуры теплоносителя зерносушилки:

ОУ - зерносушилка;

ВО (воспринимающий орган) - термоотдатчик;

СО (сравнивающий орган) измерительный мост;

УО - усилительный орган;

ИО - (исполнительный орган) - заслонка совместно с электродвигателем;

ОС -(обратная связь) - связь между заслонкой и ползунком потенциометра Rс;

БП (блок питания) - источник питания.

Такое описание достаточно для понимания общего принципа работы автоматической установки и оснащения её приборами и средствами автоматизации, но не дает количественных соотношений между входными и выходными величинами элементов и системы в целом.

Для определения количественных значений параметров элементов и САУ применяют описание в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций и частотных характеристик. Функционально - алгоритмические схемы показывают взаимосвязь составных частей автоматической системы и характеризуют их динамические свойства. Они разрабатываются на основе функциональных или принципиальных схем автоматики. Структурная схема является наиболее удобной графической формой представления АСУ в процессе исследования ее динамических свойств. На схеме отображают математическую модель процесса управления [2].

На структурной схеме элементы управляющего устройства и объекта управления изображают в виде прямоугольников. Внутри прямоугольника указывается математическая зависимость W_і между выходной и входной величинами данного звена, а связи между звеньями изображают в виде стрелок, указывающих направления и точки приложения воздействий.

Y - регулируемая величина;

Х₄ - воздействующая на управляемый объект;

Х₀ - задающая величина;

Х₁ Х₂, Х₃, и Х₅ - промежуточные значения воздействующих величин одного органа регулятора на другой.

Символом W обозначены функции, устанавливающие зависимость выходных величин от входных:

У = W₀(X₄); X₁ = W₁(y); Х₂ = W₂(X₀, Х₃, Х₅);

Х₃ = W₃(X₂); Х₄ = W₄(X₃); Х₅ =W₅ (Х₄).

Функция сравнивающего органа W₂ представляет собой разность между задающей величиной Х₀ и входными величинами X_i и Х₅ то есть

Х₂=(Х_о- X_i)± Х₅.

Эта разность - сигнал рассогласования - подается на усилитель W₃.С выхода усилителя сигнала Х₃ поступает на двигатель с заслонкой W₄. Между функционально -- структурной и функционально - алгоритмической схемами есть определенная общность: отражают процесс преобразования и передачи сигнала в системе управления.

Различие: функционально - структурная схема - характеризует систему по составным частям, рассматриваемым по их функциональному назначению, а функционально - алгоритмическая схема содержит математическое описание динамических свойств элементарных звеньев, по которым определяются динамические свойства всей системы.

Функционально-технологическая схема является основным техническим документом, определяющим структуру и функциональные связи между технологическим процессом и средствами контроля и управления. Функциональную технологическую схему выполняют в виде чертежа, на котором схематически, условными изображениями показывают технологическое оборудование, приводные силовые установки и средства автоматизации - измерительные преобразователи (датчики) и исполнительные устройства [2].

В основу условных обозначений приборов и средств автоматизации или святи между ними (по ГОСТу) положены буквенные обозначения в сочетании с простыми условными графическими обозначениями. Все буквенные обозначения (по ГОСТу) построены на буквах латинского алфавита, причем место расположения буквы определяет ее значение.

На схеме автоматизации отражают оснащение объекта техническими средствами автоматизации и вычислительной техники, функции контроля и управления, реализуемые в АСУ ТП, характер процесса передачи и обработки информации; на ней показывают технологическое оборудование, коммуникации, органы управления, приборы и средства автоматизации и вычислительной техники, приборы лабораторного и экспресс-анализа, необходимые для выполнения функций АСУ ТП, устройства ввода-вывода информации, в том числе устройства ручного ввода, устройства представления информации оператору, связи между технологическим оборудованием и всеми перечисленными устройствами автоматизации.

Структурные схемы комплексов технических средств (КТС) выполняют для той части технических средств системы, состав которой, внутренние взаимосвязи и функциональное назначение отдельных устройств не раскрывается на схеме автоматизации в основном для агрегатированных комплексов вычислительной техники, комплексов централизованного контроля и управления.

На структурной схеме изображают все основные функциональные части КТС и основные взаимосвязи между ними. В рабочем проекте функциональные, структурные и принципиальные схемы контроля и управления разрабатываются при наличии изменений по сравнению с техническим проектом. В противном случае в состав рабочего проекта включаются соответствующие материалы технического проекта.

Например, схема электрическая структурная аналогична по содержанию и исполнению структурной схеме КТС, разработанной в техническом проекте АСУ ТП для УВК, но дополнительно включает указания кодов выборки подключаемых устройств и распределение приборов и средств автоматизации по входам-выходам модулей УВК. На схеме электрической выявляются резервные места в стойках типового (базового) комплекса или определяются количество и типы дополнительных стоек. На ней показывают размещение функциональных модулей в типовых конструкциях (шкафах, тумбах), размещение блоков питания, вентиляторов.

Схема электрическая общая разрабатывается для определения способов подключения модулей друг к другу и к источникам питания, а также для определения номенклатуры требуемых жгутов и источников питания. Поэтому на схеме показывают все функциональные модули, блоки питания и управления, блоки интерфейсные, разъемы, марки используемых жгутов, электрические связи между модулями.

Кроссовые ведомости содержат четкие указания о том, какие кабели и жилы приходят от объекта, на какую сторону кросса, к каким калибровочным сопротивлениям или блокам нормализации подключены линии связи и каким образом они переадресовываются на машинную сторону кросса. В кроссовых ведомостях показывают тип модуля, на который направляется информация, его адрес и номер разъема, тип используемого жгута, адрес панели кроссовой, маркировку жил в жгуте, адрес клемм на панели кроссовой, назначение и адресацию жил кабеля, пришедшего от объекта.

Монтажный чертеж размещения средств вычислительной техники разрабатывается на все устройства УВК независимо от места их размещения (в машинном зале или вне его) с учетом допустимых длин линий связи и расстояний до другого оборудования и строительных конструкций. На монтажном чертеже размещения средств вычислительной техники показывают план помещения, в котором размещаются устройства управляющего вычислительного комплекса, размещение устройств с указанием основных размеров между устройствами и способов крепления (установки) устройств.

На чертеже плана расположения средств автоматизации и электрических и трубных проводок показывают контуры здания или промплощадки, техническое оборудование и основные технологические трубопроводы, все средства автоматизации (отборные устройства, первичные приборы и регулирующие органы, приборы, регуляторы, исполнительные механизмы, электроаппаратуру), устанавливаемые вне щитов и пультов.

Преобразование структурной схемы

Структурную схему любой сложности можно привести к одноконтурной с помощью последовательных преобразований [2].

Для преобразования структурной схемы, прежде всего, необходимо установить, какие имеются типовые соединения звеньев (последовательные, параллельные, встречно-параллельные). Каждое типовое соединение звеньев следует заменить эквивалентным звеном в соответствии с правилами структурных преобразований.

Передаточная функция по определению представляет отношение изображения по Лапласу выходной величины Х(p) к изображению входной величины G(p) и выражается формулой

, (57)

где - передаточная функция прямой цепи;

- передаточная функция разомкнутой системы, которая

определяется как произведение всех последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур:

(58)

В случае единичной обратной связи W₀(p)=1 передаточная функция замкнутой системы

,(59)

а передаточная функция разомкнутой цепи

.(60)

Передаточная функция Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию относительно выходной величины х (по входу f и выходу х) в соответствии с (1) определяется выражением

,(62)

где -передаточная функция прямой цепи;

- передаточная функция разомкнутой системы.

Передаточная функция по ошибке для задающего воздействия

.(63)

Передаточная функция по ошибке по возмущающему воздействию

.(64)

После подстановки передаточных функций звеньев выражения для передаточных функций системы приобретают вид сложных дробей, числитель и знаменатель которых представляют дробную структуру.

Для дальнейших вычислений необходимо провести преобразования, в результате которых выражения (58-64) принимают вид простых дробей вида:

,(65)

где а_0, a_{1 ,}a₂ ... a_n,b_{0 ,} b_1, b₂ … b_m- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров звеньев, составляющих структурную схему (постоянных времени Т и коэффициентов усиления К).

Сначала коэффициенты передаточной функции системы необходимо записать в общем виде, выразив их через параметры звеньев, а затем подставить численные значения [4; 2].

Характеристическое уравнение замкнутой АСР получается путем выделения знаменателя передаточной функции (65) и приравнивания его к нулю

(66)



3. Устойчивость и качество регулирования линейных систем

3.1 Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

Критерии устойчивости. Устойчивость

Устойчивость замкнутой АСР - важнейшее требование к системам. Под устойчивостью АСР следует понимать, что при любом реальном возмущении на систему, регулируемая величина при переходном процессе не будет бесконечно отклоняться от заданного значения.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости. Рассмотрим некоторые из них:

1) критерий Гурвица,

2) критерий Михайлова

3) критерий Найквиста,

4) Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Проверка устойчивости АСР по критерию Гурвица

Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям.

При его использовании из коэффициентов характеристического уравнения (66) составляют матрицу (главный определитель Гурвица) по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до a_n в порядке возрастания индексов. Затем каждый столбец дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались на 1, а вниз уменьшались. Вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут 0. Главный определитель Гурвица для системы n-го порядка

Выделяя в главном определителе диагональные миноры, отчеркивая строки и столбцы, как показано в, получаем определители Гурвица низшего порядка

(67)

Номер определителя Гурвица зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры при а₀ >0 были положительны, т.е. Д₁ > 0; Д₂ > 0; Д₃ > 0; ... ; Д_n > 0.

Ниже приведены условия устойчивости для систем первого, второго, третьего и четвертого порядков:

- для системы первого порядка (n=1)

а₀ > 0 ; а₁ > 0;

- для системы второго порядка (n=2)

а₀ > 0 ; а₁ > 0; а₂ > 0;

- для системы третьего порядка (n=3)

а₀ > 0 ; а₁ > 0; а₂ > 0; а₃ > 0;

а₁ а₂ - а₀ а₃ > 0 ;

- для системы четвертого порядка (n=4)

а₀ > 0; а₁ > 0; а₂ > 0; а₃ > 0; а₄ > 0;

а₃ (а₁ а₂ - а₀ а₃)- а₁² а₄ > 0.

Система находится на границе устойчивости, если Д_n=0, а все предыдущие определители положительны. Это возможно при а_n=0 (апериодическая граница устойчивости) или при Д_n-1 =0 (колебательная граница устойчивости).

Если при проверке устойчивости оказалось, что система неустойчива, необходимо найти критический коэффициент усиления системы, при котором система будет на границе устойчивости. Критический коэффициент находят из уравнения Д _n-1 = 0.

Проверка устойчивости по критерию Михайлова

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении частоты щ от 0до ?, называемую годографом Михайлова

Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы (66) при подстановке :

(68)

Выражение (68) представляют в виде

где и , - вещественная и мнимая части соответственно:

(69)

Задавая значения щ от 0 до ?, вычисляют и . Расчет оформляют в виде таблицы 3.



Таблица 3 - Координаты годографа Михайлова

щ	0	0,1	1	2	3	4	5	. . .	?
Х(щ)
Y(щ)

По данным таблицы 3 строят годограф (кривую Михайлова).

Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. Если это условие не выполняется, система не устойчива. Если годограф проходит через начало координат, система на границе устойчивости.

Оценка устойчивости системы по критерию Найквиста

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой АСР по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) разомкнутой системы.

Различают три случая использования критерия Найквиста.

а) Разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).

б) Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни. А у остальных корней вещественные части отрицательные.

Для устойчивости замкнутой системы в этом случае необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ?, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса, не охватывала точку с координатами [-1,j0].

В этом случае критерий формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ? охватывала точку с координатами [-1,j0] в положительном направлении (против часовой стрелки) l/2 раз, где l - число положительных корней характеристического уравнения.

Исследование устойчивости системы по критерию Найквиста выполняют по следующему алгоритму.

а) Определяют устойчивость разомкнутой системы.

В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Поэтому, если система не содержит местных обратных связей, определяют корни характеристических полиномов звеньев. Если все корни имеют отрицательную вещественную часть, разомкнутая система устойчива. Наличие в структурной схеме интегрирующего звена дает нулевой корень и, следовательно, система будет на границе устойчивости. Если есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, система неустойчива.

б) Преобразуют передаточную функцию разомкнутой системы ;

к виду

.(70)

в) Составляют частотную передаточную функцию разомкнутой системы , для чего в выражение для передаточной функции разомкнутой системы (71) подставляют .

,(71)

где

г) Записывают выражения для вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции

(72)

. (73)

д) Подставляя в (72) и (73) различные значения частоты щ от 0 до ?, рассчитывают координаты для построения АФЧХ разомкнутой системы. При этом целесообразно сначала определить характерные точки АФЧХ: ее точки при предельных значениях частоты (щ = 0, щ = ? ); точки пересечения АФЧХ осей координат. Далее вычисляют дополнительные точки для более точного построения АФЧХ.

Для определения точек пересечения вещественной оси (оси абсцисс) необходимо приравнять нулю мнимую часть комплексной частотной функции = 0, по полученному выражению вычислить частоты, при которых справедливо это равенство, затем вычислить значения U(щ) на этих частотах. Для расчета точек пересечения АФЧХ мнимой оси приравнивают нулю вещественную часть = 0.

ж) Результаты расчета записывают в таблицу 4.

Таблица 4 - Расчет АФЧХ разомкнутой системы

щ	0	1	3	5	10	20	30	. . .	?
UI
VI
U2
V2
U(щ)
V(щ)

з) По данным таблицы 4 на комплексной плоскости строят АФЧХ.

Каждому значению частоты будет соответствовать точка на комплексной плоскости. Соединив точки плавной кривой, получим годограф. Рядом с точкой на годографе указывается соответствующая частота. Таким образом, полученный годограф будет представлять АФЧХ разомкнутой системы.

и) Делают заключение об устойчивости системы, применяя соответствующую формулировку критерия.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в общем виде:

, (74)

где - общий коэффициент передачи системы;

н - порядок астатизма (равен числу интегрирующих звеньев),

- постоянные времени форсирующих звеньев;

- постоянные времени инерционных звеньев;

- постоянные времени колебательных звеньев;

о_k - коэффициенты демпфирования;

l - число форсирующих звеньев;

- число инерционных звеньев;

n - число колебательных звеньев.

При подстановке в (18) передаточная функция преобразуется в частотную, являющуюся векторной величиной

,(75)

где - амплитудная частотная функция, модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы ;

- аргумент , , фазовая частотная функция.

Модули и аргументы частотных передаточных функций системы и звеньев связаны между собой соотношениями

;(76)

,(77)

где - модули частотных передаточных функций звеньев,

- аргументы частотных передаточных функций звеньев.

Логарифмическая амплитудная характеристика определяется по формуле

(78)

Из (20) видно, что

(79)

где

Построение логарифмических частотных характеристик

На основании (78) и (80) можно получить следующее правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ систем, передаточные функции которых преобразованы к виду (75): строят логарифмические характеристики звеньев, а затем их геометрически складывают.

Логарифмические частотные характеристики строят в полулогарифмическом масштабе. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие . При этом на отметке, соответствующей , пишут само значение частоты , а не .

Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой. Декада - равномерная единица на оси абсцисс. В начале координат по оси абсцисс откладывается произвольная частота, а не частота, равная нулю, поскольку =.

По оси ординат откладывают значения в линейном масштабе с единицей измерения децибел (дБ). Логарифмическая фазовая частотная характеристика имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в равномерном масштабе фазу в угловых градусах или радианах.

Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы от частоты можно было сопоставить с изменениями амплитуды.

Для упрощения расчетов монотонная ЛАЧХ аппроксимируется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков с типовыми наклонами: … +40, +20, 0, -20, -40 … дБ/декаду. Такие характеристики называются асимптотическими.

Частоту , при которой пересекаются отрезки прямых (асимптоты), называют сопрягающей.

Для построения асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик можно рекомендовать следующий порядок:

а) Определяют передаточную функцию разомкнутой системы путем перемножения передаточных функций звеньев , входящих в замкнутый контур, в виде (18). При этом, если в структурной схеме САР имеется звено второго порядка с передаточной функцией

, (80)

необходимо определить значение о и Т_k по формулам

, .(81)

Звено будет колебательным, если 0 < о <1, и апериодическим второго порядка, если о 1. Для апериодическое звено второго порядка передаточную функцию (81) можно преобразовать к виду

(82)

. (83)

Таким образом, апериодическое звено можно представить как последовательное соединение двух инерционных звеньев.

б) Определяют частоты сопряжения (частоты излома ЛАЧХ) .

в) Размечают ось абсцисс (щ) на декады, например, со следующей сеткой частоты: щ = 10^-1, 10⁰, 10¹, 10² 1/с. Соответствующие логарифмы

= -1, 0, 1, 2 Обычно бывает достаточно иметь 3-4 декады. Выбирают те декады, в зону которых попадают частоты сопряжения. При этом расстояние от минимальной частоты сопряжения до начала координат должно быть приблизительно равным длине декады.

г) Размечают ось ординат вверх (10, 20, … 60) дБ и вниз от оси абсцисс (-10,-20,… -40) дБ для ЛАЧХ.

д) Размечают ось ординат для ЛФЧХ вниз от оси абсцисс в пределах 0…(-270?); для последующего анализа устойчивости

проводят пунктирную линию с ординатой (-180?).

е) Строят ЛАЧХ.

- Проводят низкочастотную асимптоту до первой сопрягающей частоты

.

Для статической системы это будет прямая, параллельная оси абсцисс (с нулевым наклоном) с ординатой

,

где К = - общий коэффициент передачи системы;

К_i - коэффициенты передачи звеньев.

Для астатической системы первого порядка это будет прямая линия с наклоном - 20 дБ/дек, проходящая через точку с координатами (20 lgК, щ=1).

Продолжают ЛАЧХ, начиная от частоты щ_1, в область высоких частот. При этом на каждой сопрягающей частоте ЛАЧХ претерпевает изменение наклона: на (- 20) дБ/дек на частотах сопряжения, соответствующих инерционным, на (- 40) дБ/дек - колебательным, на (+20) дБ/дек - реальным дифференцирующим (форсирующим) звеньям.

Последняя асимптота ЛАЧХ, получаемая в результате построения, должна иметь наклон 20(-н + l-r-2n) согласно (75).

Строить линию с типовым наклоном удобно по двум точкам, например, начальной с координатами (щ_1, L₁) и дополнительной - с координатами (10щ₁ , L₁±20 дБ). При другом способе в первой декаде строят линии с типовыми наклонами и используют их при построении асимптотической ЛАЧХ путем параллельного переноса.

При построении асимптотической ЛАЧХ наибольшая погрешность получается в районе сопрягающих частот. У инерционных звеньев она не превышает 3 дБ. При построении ЛАЧХ колебательного звена необходимо проверить условие о > 0,4.

Если оно выполняется, то можно строить асимптотическую ЛАЧХ, если нет, ЛАЧХ в области сопрягающей частоты уточняется.

Строят логарифмическую фазовую характеристику разомкнутой системы ц_У(щ) путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов ц вычисляют в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превысит (-180^є), а ЛАЧХ выходит в высокочастотной части за предел (-20) дБ.

ЛФЧХ звеньев вычисляются по формулам:

для усилительного звена 0;

- для идеального интегрирующего звена на всех частотах

- р/2;

- для инерционного звена - arctg щT ;

для форсирующего звена + arctg щT ;

для колебательного - arctg при щ ? ,

- р - arctg при щ ? .

Результаты расчета приводят в таблице.

Таблица 5 - Расчет фазовой частотной характеристики

Частота, щ, с-1	Звено 1	Звено 2 …	Звено n	цУ(щ)
	щТ1	ц1(щ)	щТ2	ц2(щ)	щТn	цn (щ)

Делают вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для устойчивости замкнутой системы, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию -180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

Для устойчивых систем определяют запас устойчивости по модулю и по фазе .

Запас устойчивости по модулю равен значению на частоте, при которой = -180^°.

Запас устойчивости по фазе ,

где - частота среза, т.е. частота на которой , а .

Ориентировочно оценивают время регулирования по формуле < t_P < .

3.2 Методы оценки качества регулирования

Показатели качества

Если, исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения [5].

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,

2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,

3) частотные - по частотным характеристикам,

4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.

Прямые показатели качества.

К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка ест, время регулирования tp и др.

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид [4; 5].

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания определяется по формуле

где А₁ и А₃ - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование

,

где y_max - максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х - у_уст, где х - входная величина.

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение = 5% у_уст и строится «трубка» толщиной 2. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения [4].

Корневые показатели качества.

К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости и др.

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются [4]:

Степень устойчивости определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

= min,

где Re(s_i) - действительная часть корня s_i.

Степень колебательности m рассчитывается через угол : m = tg . Для определения проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:

Частотные показатели качества.

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По АФХ определяются запасы: - по амплитуде, - по фазе.

Запас определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас определяется по точке пересечения с этой окружностью [5].

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке МЕ как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

Связи между показателями качества.

Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; ; ; .



Заключение

В последние годы в деревообрабатывающей промышленности, как и в других отраслях, наблюдаются заметные изменения промышленного производства и систем управления технологическими процессами в направлении совершенствования технологии, повышения производительности труда, снижения материальных затрат, увеличения ассортимента и качества продукции. В этих условиях автоматизация производственных процессов играет существенную роль.

Изучив курс «Управление техническими системами», на инженера возложены большие задачи по применению принципиально новых материалов и работа с основными приборами и машинами. Главная задача курса лекций состоит в том, чтобы обеспечить технологическую подготовку будущего специалиста и создать предпосылку для успешного освоения специальных дисциплин.

Актуальность изучения курса «Управление техническими системами» в учебном процессе, продиктована необходимостью получения знаний студентами по вопросам автоматизации производственных процессов на предприятиях деревообрабатывающей промышленности.

В данной ситуации важным и обязательным элементом учебного процесса является своевременное и, как правило, накануне теоретическое ознакомление каждым студентом с очередной темой дисциплины посредством прослушивания лекционного курса и последующего самостоятельного изучения нового материала. Полученные теоретические знания являются существенно необходимой базой для успешного выполнения очередной практической работы, а это, в свою очередь, в совокупности позволяет позитивно влиять на успешное овладение основами автоматизации производственных процессов.



Библиографический список

1 Гудинов, В.Н., Корнейчук, А.П. Технические средства автоматизации: Конспект лекций [Текст]/ В.Н. Гудинов, А.П. Корнейчук// Технические средства aвтоматизации (ТСА) Учебное пособие. -СПб. СЗТУ - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. -184с.

2 Системы управления химико-технологическими процессами: учебное пособие [Текст]/Т.Г. Зингель; М-во образования Рос. Федерации, Сиб. гос. технол. ун-т. - Красноярск: СибГТУ,2003.-343с.

3 Соколов В.А., Яценко В.Ф. Основы автоматизации технологических процессов пищевых производств [Электронный ресурс]/ В.А. Соколов, В.Ф. Яценко// Основы автоматизации технологических процессов пищевых производств - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983. - 400 с. Режим доступа: http://libooks.org/book_541.html

4 Кирюшин О.В. Управление техническими системами: Курс лекций [Электронный ресурс]/ О.В. Кирюшин// Управление техническими системами Учебное пособие.-Уфа: Изд-во УГНТУ, 2003. - 80 с. Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/26418/

5 Чекрыжов С.Г Основы теории автоматического управления: Краткий конспект лекций [Электронный ресурс]/ С.Г. Чекрыжов // Основы теории автоматического управления Учебное пособие. - Кохтла-Ярве: Вирумааский колледж талинского технического университета, 2008. -51с. Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/1085114/

Размещено на Allbest.ru