Електротермомеханічний стан нелінійно деформованих контактуючих тіл

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Спеціальність: 05.02.09 - динаміка та міцність машин

ЕЛЕКТРОТЕРМОМЕХАНІЧНИЙ СТАН НЕЛІНІЙНО ДЕФОРМОВАНИХ КОНТАКТУЮЧИХ ТІЛ

ВИКОНАВ КРИЩУК МИКОЛА ГЕОРГІЙОВИЧ

Київ - 2007



АНОТАЦІЯ

Крищук М.Г. Електротермомеханічний стан нелінійно деформованих контактуючих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора технічних наук по спеціальності 05.02.09-динаміка та міцність машин. - Національний технічний університет України, Київ, 2007.

Дисертація присвячена вирішенню актуальної наукової проблеми визначення нестаціонарного нелінійного електротермомеханічного (ЕТМ) стану сполучених неоднорідних тіл з електропровідними та діелектричними властивостями, які деформуються та можуть рухатись при експлуатаційних навантаженнях. Розроблена ефективна методика побудови математичних моделей в формі крайової задачі механіки деформованого твердого тіла з урахуванням ЕТМ зв'язаності, скінченних переміщень та малих деформацій, фізичної нелінійності та фазових перетворень матеріалів, контактної взаємодії та присутності жорсткостних зв'язків. На єдиній науково-методологічній основі створені нові методи, алгоритми та програмне забезпечення для розрахунку ЕТМ стану сполучених деформованих тіл, які орієнтовані на вирішення проблем проектування та створення нової техніки та прогресивних технологій. Отримані нові результати по електромеханічній навантаженості та міцності високовольтних ізоляційних конструкцій. Досліджено ЕТМ стан моделей різних за сполученими парами матеріалів високошвидкісної триботехнічної системи рельсового прискорювача при імпульсному навантаженні електричним током. Встановлено закономірності зміни термомеханічного стану ріжучого інструменту в процесі алмазного точіння виробів з титанових сплавів.

електротермомеханічний ріжучий титановий точіння



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТИ

Актуальність теми. Сучасні галузі промисловості України, здійснюючи розширення виробництва і номенклатури виробів енергетичного і машинобудівного комплексу пред'являють все більш високі і різноманітні технічні вимоги до їх властивостей і якості. У цих умовах для створення прогресивних технологій проектування конструкцій нової техніки, а також оптимізації технологічних процесів їх виготовлення, виникає природна необхідність залучення разом з експериментальними, методів обчислювального експерименту.

Більшість елементів конструкцій машин і устаткування є поверхнево зв'язаними (контактуючими) тілами, що деформуються. Пара тіл, що введена в контактну взаємодію силами різної фізичної природи і здійснює при цьому відносне переміщення, утворює триботехнічну систему (ТРС). Для широкого класу техніко-технологічних ТРС сутність проблем визначена дослідженням взаємодії електромагнітних, теплових і механічних полів в контактуючих структурно зв'язаних тілах. Аналіз літературних джерел показав, що дослідження і вирішення проблем, пов'язаних з нелінійними процесами деформації контактуючих рухомих і нерухомих тіл при електротермомеханічному (ЕТМ) навантаженні фізично неможливо на основі проведення прямих вимірювань параметрів, які контролюються або є надзвичайно трудомісткою і дорогою інженерною процедурою. Найбільш прийнятним тут є застосування розрахунково-теоретичних методів аналізу процесів різної фізичної природи у поєднанні з прямими або непрямими способами контролю отриманих результатів різними експериментальними вимірюваннями.

Успішний розвиток даного напряму досліджень залежить в першу чергу від раціональності методики побудови математичних моделей контактуючих тіл, що рухаються та деформуються, на основі обліку ЕТМ зв'язаності, контактної взаємодії, скінченних переміщень і швидкостей, фізичної нелінійності матеріалів і т.і. Інший не менш важливий момент тут пов'язаний із створенням ефективних методів розрахунку ЕТМ стану контактуючих рухомих тіл ТРС і програмною реалізацією на їх основі розроблених математичних моделей. Не дивлячись на велику кількість робіт, присвяченій теорії і практиці застосування чисельних методів в розв`язках нелінійних краєвих задач електротермомеханіки для контактуючих тіл, що деформуються, з неоднорідними фізико-механічними властивостями, не існує однозначної відповіді на питання про обґрунтований вибір методик і алгоритмів для розрахунку зв`язаних ЕТМ процесів в ТРС.

На даний час проблемі розробки науково обґрунтованих методів розв'язку зв'язаних задач електротермомеханіки для структурно сполучених тіл, що деформуються, з рухомими елементами ТРС присвячені окремі розробки, які не задовольняють повною мірою запитів сучасної інженерної практики при створенні раціональних конструкцій і технологій їх виготовлення в енергетиці і машинобудуванні. Актуальність вказаних проблем, їх велике наукове і народно-господарське значення, визначили вибір напряму досліджень - розробці методів розрахунку, програмного забезпечення і математичного моделювання зв'язаних ЕТМ процесів в контактуючих рухомих та нерухомих тілах ТРС, що нелінійно деформуються, з урахуванням комплексного характеру взаємодії фізичних полів для нових областей практичного застосування в галузях сучасної техніки і технологій.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення на єдиній методологічній основі нових методів розрахунку нестаціонарного ЕТМ стану нелінійно деформованих поверхово сполучених тіл з урахуванням зв'язаності полів, скінченності їхніх швидкостей та переміщень, малих деформацій в електропровідних середовищах і діелектриках, нелінійних (контактних взаємодій поверхонь сполучення з різними триботехнічними властивостями) і лінійних “жорсткістних” зв'язків, а також створення математичного забезпечення для розв'язання актуальних конструкційних і технологічних задач у нових галузях практичного застосування в енергетиці та машинобудуванні.

Для досягнення зазначеної мети в дисертації були поставлені та вирішені наступні науково-технічні задачі:

1. Розробити методику розрахунку ЕТМ стану поверхнево сполучених нелінійно деформованих електропровідних контактуючих тіл та діелектриків з рухливими елементами і неоднорідними фізико-механічними властивостями в умовах дії інтенсивних навантажень різної фізичної природи.

2. Розвинути узагальнене математичне формулювання крайової задачі механіки деформованих контактуючих тіл з обліком ЕТМ зв'язаності, скінченності їх переміщень і швидкостей, нелінійних моделей середовищ з діелектричними та електропровідними властивостями, наявності лінійних і нелінійних “жорсткістних” зв'язків.

3. Розробити нові методи і алгоритми розв'язку зв'язаних задач електротермомеханіки для нелінійно деформованих контактуючих тіл з рухомими елементами. Побудувати на основі проекційно-сіткових методів систему дискретних рівнянь для розрахунку нестаціонарних нелінійних електромагнітних полів для контактуючих середовищ із електропровідними та діелектричними властивостями, процесів теплопереносу і деформування термов'язкопружних і термопружнопластичних неоднорідних сполучених тіл з рухомими елементами при ЕТМ навантаженні.

4. Реалізувати розроблені методи і обчислювальні алгоритми у вигляді високоавтоматизованого спеціалізованого програмного забезпечення (ПО) та виконати розв'язок тестових задач з метою перевірки розроблених і програмно реалізованих методик розрахунку.

5. Застосувати розроблене математичне забезпечення (методи, алгоритми і програми) для розрахунково-теоретичного дослідження фізичних процесів у практичних задачах та здійснити перевірку вірогідності отриманих результатів за допомогою порівняння з відомими в літературі аналітичними, чисельними розв'язками і експериментальними даними; внести (при необхідності) уточнення в математичну модель. Впровадити розроблені методики, алгоритми, програмне забезпечення та результати досліджень у практику зацікавлених організацій.

Об'єктом дослідження є неізотермічні процеси деформування сполучених тіл з рухомими контактними поверхнями при наявності електромагнітного поля та термосилових впливів.

Предметом дослідження є математичне моделювання ЕТМ стану поверхово сполучених нелінійно деформованих неоднорідних тіл у триботехнічних електромеханічних системах при нестаціонарних процесах навантаження силами різної фізичної природи.

Методи досліджень. Розрахунково-теоретичні дослідження проведені на основі:

1) достовірних гіпотез і адекватних математичних моделей;

2) розроблених методик, алгоритмів і ПО;

3) використання математичного апарату у формі проекційно-сіткових методів, а також сучасних чисельних методів;

4) зв'язаних систем рівнянь електродинаміки, теплопереносу та механіки суцільних середовищ;

5) основних положень техніки високих напруг і теорії різання металів.

Результати експериментальних досліджень, які наведені в роботі, отримані з використанням сучасної контрольно-вимірювальної апаратури, статистичних методів обробки експериментальних даних і застосовані для контролю отриманих результатів, перевірки встановлених у розрахунках закономірностей.

Наукова новизна отриманих результатів. В результаті виконаних у дисертації досліджень отримані наступні результати.

1. Розроблено на єдиній науково-методологічній основі методи розрахунку нестаціонарного ЕТМ стану і оцінки міцності (механічної, електричної) та теплової стійкості для неоднорідних рухомих і нерухомих контактуючих тіл, що деформуються та мають струмопровідні і діелектричні властивості в умовах взаємодії електромагнітних, теплових та силових полів, які орієнтовані на вирішення проблем створення нової техніки і прогресивних технологій.

2. Створено нові математичні моделі ЕТМ процесів триботехнічних систем у формі крайових задач електротермомеханіки контактуючих тіл з урахуванням ЕТМ зв'язаності, скінченних переміщень, швидкостей і малих деформацій, нелінійних моделей середовищ, наявності лінійних і нелінійних “жорсткістних” зв'язків на поверхнях сполучення, різних зон крайових ефектів фізичних полів в ортогональних напрямах.

3. Розвинута методика розв'язання крайових задач даного класу на основі проекційно-сіткових методів у формі скінченних різниць (МСР) і скінченних елементів (МСЕ), кроково-ітераційних алгоритмів і спеціальних методів масштабування та узгодження параметрів математичних моделей. Досліджена збіжність, точність і стійкість дискретних розв'язків. Отримана зв'язана система рівнянь у формі МСЕ для розрахунку ЕТМ стану непружних контактуючих тіл, що нелінійно деформуються, з лінійними і нелінійними (контактного сингулярного шару) “жорсткістними” зв'язками. Розроблені методи обліку лінійних “жорсткістних” зв'язків (шпильок, теплових труб, сингулярного шару струмопровідних забруднень) на поверхнях сполучення массивних тіл ЕТМ систем, новий метод чисельного розрахунку електричних полів контактуючих тіл з діелектричними і електропровідними неоднорідними властивостями, електромагнітних і теплових полів при високочастотному нагріві суцільних середовищ з діелектриками. Запропоновано ефективний метод та реалізовано алгоритм розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), який об'єднує позитивні якості відомих алгоритмів Холецького і Краута та скорочує число арифметичних операцій в розв'язках СЛАР. Розроблено методи, алгоритми і програми автоматизованої побудови дискретних моделей контактуючих деформованих тіл з лінійними та нелінійними “жорсткістними” зв'язками.

4. На основі розроблених методів розрахунку реалізовано науково-обгрунтований підхід для раціонального конструювання високовольтних ізоляційних конструкцій (ВІК) з нормованою механічною і електричною міцністю при експлуатаційних навантаженнях. Проведено загальне дослідження ЕТМ стану і виявлені закономірності деформації сполучених тіл ВІК різного технічного виконання. Вперше встановлено закономірності механічної навантаженності силових вузлів ВІK залежно від розподілу величин залишкових напружень загартованої склодеталі, умов силової взаємодії в контактній зоні її сполучення з цементно-піщаною зв'язкою, впливів конструктивно-технологічних параметрів контактуючих тіл та їх сполучень.

5. Встановлено нові якісні і кількісні закономірності високошвидкісної ЕТМ взаємодії контактуючих тіл в триботехнічній системі рейковий прискорювач (РП) і термосилової взаємодії системи рухомих і нерухомих контактуючих тіл в процесах алмазного ортогонального точіння виробів з титанових сплавів. Визначені допустимі параметри швидкості формозміни поверхонь оброблюваних деталей, які забезпечують необхідну температуростійкість, механічну міцність і мінімальну інтенсивність зношування твердосплавної пластини ріжучого інструменту.

Обґрунтування, вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечена в роботі адевактним вибором математичних моделей, коректним застосуванням проекційно-сіткових методів та багаторазовою перевіркою чисельних алгоритмів, дослідженнями збіжності чисельних розв'язків при варіюванні ступеня дискретизації розрахункових областей, задовільним узгодженням при порівнянні чисельних розв'язків, які отримані за допомогою розроблених методів розрахунку та ПО, з відомими аналітичними, чисельними та експериментальними даними.

Практичне значення отриманих результатів.

· Розроблено універсальні методи та ефективні алгоритми розв'язку крайових задач механіки контактуючих нерухомих і рухомих тіл, що деформуються та мають електропровідні та діелектричні властивості. Створена проблемно-орієнтована інструментальна система скінченно-елементних розрахунків зв'язаних задач електротермомеханіки для нелінійно деформованих контактуючих тіл "ІСКЕР", яка забезпечує автоматизоване введення, обробку цифрової і графічної інформації на ПЕОМ. Розроблені математичні моделі, алгоритми і програми забезпечують практичну формалізацію процесів дослідження ЕТМ стану контактуючих тіл при проектуванні нової техніки та оптимізації параметрів технологічних процесів її виготовлення.

· Результати досліджень електротермомеханічного стану в зоні ковзного контакту сполучених тіл при ЕТМ навантаженні рейкового прискорювача використані для проектування технічних систем спеціального призначення.

· Встановлено закономірності ЕТМ стану контактуючих тіл ізоляційних конструкцій, які дозволили істотно скоротити терміни проектування і виготовлення скляних, фарфорових і полімерних ВІК, що випускалися серійно. Із застосуванням розробленого математичного забезпечення вивчено причини нестабільності і низької відтворюваності високовольтних випробувань ВІК на пробій, визначено рекомендації по експлуатації устаткування в умовах промислових забруднень і в розробках технології високочастотного нагріву суцільних середовищ для прискореної сушки цементно-піщаної зв'язки при виготовленні силових вузлів ізоляторів.

· Для технологічних процесів алмазного точіння титанових сплавів визначено діапазон швидкісних режимів, що дозволяє забезпечити максимальну продуктивність.

· Розроблене програмне забезпечення (ПЗ) є базовим у складі САПР науково-дослідного інституту Високої напруги (НДІ ВН) та широко використовується з 1990р і по теперішній час у виробничій діяльності НДІ ВН та інших підприємств при проектуванні нових скляних, фарфорових і полімерних ВІК, екранних арматур, обмежувачів перенапружень. Із застосуванням розробленого математичного забезпечення: розроблені і створені вперше в СНД ізолятори із загартованого скла всіх класів по механічному навантаженню з меншими на 30-40% масогабаритними параметрами силового вузла; вдосконалені конструкції та знижена матеріаломісткість фарфорових опорно-стрижневих високовольтних ізоляторів; створені різноманітні класи стрижневих полімерних ВІК з нормованою електричною і механічною міцністю.

· Створені методи, алгоритми, ПЗ, результати математичного моделювання, висновки і рекомендації упроваджені в практику наукових досліджень і промислових розробок на підприємствах: Київського Центрального конструкторського бюро арматуробудування, Казанського філіалу Науково-дослідного інституту двигунів (РФ), а/с А-3661 (м. Волгоград, РФ), ВНДІСИМС (м. Александров, РФ), ЦКБН (м. Подольськ, РФ), Інститут нових фізичних проблем (м. Київ), приладобудівному факультеті НТУУ “КПІ”, Слов'янському заводі високовольтних ізоляторів, ТОВ ”Ізопласт”, Науково-дослідний інститут Високої напруги (м. Слов'янськ), Державному підприємству “Конструкторське бюро ”Південне” ім М.К. Янгеля” (м. Дніпропетровськ).

· Результати дисертації і розроблене ПЗ використовуються в учбовому процесі ВМЕІ (м. Габрово, Болгарія), Інституті електричних машин і трансформаторів (м. Лодзь, Польща), Новосибірському державному технічному університеті (м. Новосибірськ, РФ), механіко-машинобудівному інституті та теплоенергетичному факультеті НТУУ "КПІ".

· На основі алгоритмів розрахунку термопружнопластичного стану і програмного забезпечення "ТЕРСОД" для ЕС ЕОМ і його модифікованої версії "Термоупругопластичність" для ПЕВМ розроблено розділ галузевого стандарту 26-04-2585-86 "Техніка кріогенна і кріогенно-вакуумна. Судини і камери. Норми і методи розрахунку на міцність, стійкість і довговічність зварних конструкцій".

· Документально підтверджений економічний ефект від впроваджень робіт, виконаних під науковим керівництвом і за участю автора тільки в НДІ ВН складає понад 100 тисяч гривень.

Особистий внесок здобувача. У дисертаційній роботі узагальнені результати досліджень ЕТМ стану сполучених тіл, які виконані автором. Здобувачем сформульовані мета і постановка задачі роботи, а також розроблені методи та способи досягнення поставленої мети, виконана розробка математичної моделі, алгоритмів і ПЗ для чисельних розв'язків зв'язаних задач електротермомеханіки для сполучених тіл з лінійними та нелінійними “жорсткістними” зв'язками, проведені відповідні розрахунки та їхній аналіз, узагальнені отримані результати і встановлені закономірності досліджуваних ЕТМ процесів. Матеріали дисертації не містять ідей і розробок, які належать співавторам, з якими були написані спільні наукові роботи.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актульність дисертаційної роботи, визначена мету, сформульовані задачі досліджень, викладено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, надано відомості про зміст роботи, апробацію, публікації, особистий внесок автора і структуру побудови роботи.

У першому розділі на основі літературного огляду проведено аналіз сучасного стану та перспектив розвитку методів математичного моделювання для дослідження ЕТМ процесів у нелінійно деформованих сполучених контактуючих тілах, що рухаються.

В основі методів розрахунку ЕТМ процесів для деформованих контактуючих тіл лежать фундаментальні співвідношення термодинаміки, електродинаміки та механіки деформованого твердого тіла.

Рівняння нелінійної електротермомеханіки деформованих тіл становлять основу розрахунково-теоретичних досліджень при проектуванні сучасних техніко-технологічних систем і процесів, де поряд з якісним і кількісним аналізом потрібне одержання конкретних рекомендацій з досягнення раціональних конструктивно-технологічних параметрів. Особливого значення тут набуває розробка ефективних чисельних методів, алгоритмів і програмних реалізацій, які забезпечили б одержання необхідних результатів на основі обчислювальних експериментів. Загальна стратегія математичного моделювання нелінійних зв'язаних фізико-механічних процесів для деформованих неоднорідних контактуючих тіл заснована на сполученні проекційно-сіткових методів і кроково-ітераційних алгоритмів. На даний час досягнуті величезні успіхи в розробці спеціалізованих та універсальних програмних систем у розвитку даного напрямку. За останні два десятиліття істотно зросли можливості доведення розв'язків складних нелінійних задач механіки до чисельних результатів, що пов'язано в першу чергу з бурхливим розвитком обчислювальної техніки і математики. Однак теорія і практика використання методів розрахунку зв'язаних полів при дослідженні ЕТМ стану рухливих контактуючих тіл в триботехнічних системах на даний час розвинені недостатньо. Це пояснюється необхідністю комплексного розгляду широкого кола взаємозалежних питань, відповіді на які сполучені із значними математичними труднощами і представляють самостійний напрямок досліджень. У практичних застосуваннях аналізу ЕТМ стану елементів деформованих сполучених рухомих тіл виникає необхідність розглядати велику кількість взаємообумовлених явищ різної фізичної природи, що істотно ускладнює математичну модель і утрудняє її аналіз.

На підставі проведеного аналізу літературних джерел обґрунтована актуальність теми дисертації та необхідність розробки на єдиній науково-методичній основі методів, алгоритмів і програмного забезпечення для розрахунків зв'язаних ЕТМ процесів у нелінійно деформованих сполучених контактуючих тілах з елементами, що рухаються.

У другому розділі приведені основні співвідношення, що визначають математичну модель зв'язаних ЕТМ процесів для сполучених лінійними і нелінійними зв'язками деформованих тіл, які під дією сил різної фізичної природи можуть робити відносне переміщення з скінченною швидкістю.

У нелінійних рівняннях, що описують ЕТМ стан сполучених деформованих контактуючих тіл, що рухаються, використовували основні класичні співвідношення балансу механіки суцільних середовищ у формі законів збереження. Рівняння нелінійної механіки суцільних середовищ, електродинаміки і теплопереносу покладені в основу розробленої математичної моделі.

Для опису зв'язаних ЕТМ процесів у сполучених тілах вибрали тривимірний евклідовий простір з різними системами координат і класичний час. Як базис у просторі спостерігача використовували нерухому тривимірну ортогональну систему декартовых координат з полюсом . Ввели поняття ”точка” і ”частка”, що означають відповідно матеріальну точку і нескінченно малий об'єм матеріального контінуума сполучених елементів деформованих тіл. Рахували, що в початковий момент часу сполучені тіла недеформовані і займають просторову область із об'ємом та початковою конфігурацією і відповідно для відомої поточної конфігурації в момент . Для рухомого елемента параметри руху визначено векторами поступальної швидкості та миттєвої кутової швидкості обертання щодо полюса .

З метою спрощення аналізу відносного руху часток деформованого середовища ввели ряд гіпотез. Вважали, що на відрізку часу, що передує , має місце рух часток недеформованого середовища. На поточному малому часовому інтервалі [,], рух часток середовища може бути представлено суперпозицією кінцевих зсувів рухомого недеформованого середовища, а також переміщень, обумовлених її деформацією.

Для математичного опису траєкторії руху суцільного деформованого середовища, використовували різні координатні системи. Просторове положення рухомої системи декартових координат з базисними векторами , пов'язаним з елементом, що рухається, сполучених тіл, визначено щодо базису радіусом-вектором

і кутами поворотів

одиничних ортів. Конвективна система координат з базисними векторами , “вморожена” в елементи, що рухаються, сполучених тіл, деформується разом з ними і визначає матеріальні координати “часток”. Супутня недеформована система декартових координат з базисними векторами жорстко пов'язана із частками тіла і визначає поточні кути поворотів деформованих елементів середовища.

У початковий момент часу просторове положення рухомої

а) конвективної

б) і супутньої відлікової

в) координатних систем збігається з базисом .

Відносне положення довільної ”точки” сполучених тіл у недеформованому стані задавали радіусом-вектором , проведеним з полюса , а в деформованому стані - векторною сумою



, (1)

де - вектор переміщення ”точки” з відлікової в поточну конфігурацію.

Абсолютне положення ”точки” сполучених тіл у деформованому стані описували вектором

. (2)

Деформаційні градієнти суцільного середовища мають вигляд

де - одиничний тензор, і - просторові градієнти переміщень у відліковій і поточній конфігураціях. У виразах для тензорів деформації Коші-Гріна і Альманзі величини та представили у вигляді суми симетричної та кососиметричної частин

(3)

У співвідношеннях (3) симетрична частина і визначає тензор лінійних деформацій

,



а кососиметрична - тензор обертань

часток тіла відповідно у відліковій і поточній конфігураціях. На часовому інтервалі величини деформацій , середовища елементів сполучених тіл вважали малими в порівнянні з . У припущенні, що використовували теорію малих деформацій.

Швидкість деформованого середовища в поточній конфігурації представили як геометричну суму трьох складових: швидкостей поступального (переносного) і обертового рухів, а також деформаційної швидкості в “точці”. Абсолютна швидкість і прискорення часток визначені в системі координат з базисом векторами

(4)

Просторовий градієнт швидкості в поточній конфігурації представили у вигляді суми симетричної та кососимметричної частин

. (5)

Симетрична частина визначає тензор швидкості деформування Ейлера (тензор “деформації швидкості”), а кососиметрична - тензор вихора.

Залежно від прийнятої системи координат - лагранжевої (конвективної) або ейлерової компоненти тензора напружень можуть бути віднесені до недеформованого стану середовища в поточній або у відліковій конфігураціях.

Зв'язок між симетричними тензорами напружень Коші та Піоли-Кірхгофа у випадку малих деформацій і скінченних обертань часток середовища задавали у вигляді

.

У випадку малості обертань компоненти тензорів напружень виявляються приблизно рівними, а для нестисливих матеріалів із щільністю вони збігаються з тензором напружень Кірхгофа . Для опису швидкості зміни напружень використовували коротаційну похідну Яуманна-Нолла

. (6)

Електромагнітне поле (ЕМП) характеризується векторами напруженості та індукції електричного і магнітного полів, а також електричної поляризації і намагнічування суцільного середовища. Нерухомі електричні заряди є джерелом електричного поля , а заряди, що рухаються, створюють магнітне поле . Рух струмопровідних матеріальних середовищ в ЕМП супроводжується виникненням електричних струмів. Взаємодія струмів щільністю з магнітним полем, у свою чергу, приводить до зміни ЕМП і як наслідок до появи пондеромоторних сил

(7)



у діелектриках і провідниках електричного струму .

Диференціальну форму балансових співвідношень електродинаміки для ейлерової системи координат представили рівняннями Максвела

(8)

де швидкості зміни величин визначені виразами

,(9)

а щільність повного струму

(10)

складається із щільності струмів провідності і зсуву . Швидкості зміни величин , в (8) у рухомих системах координат представили частковими похідними за часом (нерелятивістське наближення).

При розгляді ЕТМ процесів у сполучених тілах із струмопровідними або діелектричними властивостями рівняння (7)-(9) відповідним чином спрощували розглядаючи квазістаціонарні , стаціонарні , квазісталі (, , -кругова частота, -магнітна сприйнятливість матеріалу) і електростатичні (, -електричний потенціал) поля.

Рівняння балансу у формі закону збереження енергії представили у вигляді узагальнених співвідношень теплопереносу в ейлеровій формі з урахуванням розривів 1-го роду для коефіцієнтів об'ємної теплоємності при температурі фазового переходу з тепловиділенням (тепловбиранням)

(11)

Тут - температура; - питомий тепловий потік, - еквівалентна потужність поверхневих і об'ємних джерел тепла різної фізичної природи в ейлеровій системі координат. На впливають:

1) щільність струму, напруженості електричного і магнітного полів;

2) умови теплопередачі між сполученими тілами та теплообміну з навколишнім середовищем;

3) процеси виділення теплоти в результаті деформації, тертя поверхневих часток контінуума сполучених тіл, фазових перетвореннях матеріалів.

При високошвидкісному ЕТМ навантаженні сполучених тіл масштабні ефекти температурних полів у поздовжньому і поперечному напрямках можуть розрізнятися на кілька порядків. Для даного класу задач введена масштабована просторово-часова система координат і перетворені рівняння (11). Методи подоби та афінних перетворень застосовані для зміни величин координатного базису, часу і компонент вектора швидкості [25].

Закон збереження маси при тисках менших 10 МПа вважали такими, що виконуються автоматично, тобто щільність матеріалу не міняється, а рівняння балансу імпульсу матеріального контінуума для діелектриків

, (12)



де - щільність масових сил, - магнітна і діелектрична проникність вакууму, - діелектрична проникність середовища.

Визначальні співвідношення для рухомих об'ємів суцільного середовища отримані на основі термодинамічного принципу локальної рівноваги, відповідно до якого будь-якій “частці” тіла у фіксований момент часу відповідає зрівноважений стан деякої еквівалентної ЕТМ системи, обумовленої параметрами стану. Матеріал сполучених тіл розглядали у твердій або “квазітвердій” формах із пружними, вязкопружними або пружнопластичними ізотропними властивостями. Зв'язком електромагнітного стану та пружно-деформованого стану у визначальних рівняннях середовища зневажали. Для однорідного вязкопружного матеріалу напруження в момент часу представили сумою внесків напружень від окремих деформацій за кінцеві проміжки часу в інтервалі . Відповідно до лінійного закону спадкоємної вязкопружності та принципом суперпозиції Больцмана девіатор і шаровий тензор напружень представили

, (13)

де - девіатор деформацій; - об'ємна деформація; константа - миттєвий модуль зрушення, пов'язаний з модулем пружності першого роду і коефіцієнтом Пуассона формулою

при температурі приведення ; константа - миттєвий модуль всебічного розтягання (стиску) при температурі приведення ; “умовний” або приведений час із функцією температури , що нормує, введено з використанням температурно-часової аналогії.

Функції швидкостей зрушеної і об'ємної релаксації й в (13), що залежать від часу , відповідають вязкому опору одиничному імпульсу деформації.

Для прийнятої моделі вязкопружного ізотропного матеріалу релаксацією об'ємних характеристик зневажали, а величини для зрушеної функції релаксації апроксимували набором експонент із негативними ступенями. Вибір такої апроксимації еквівалентний моделюванню термовязкопружного середовища узагальненою моделлю Максвела.

До визначальних рівнянь термовязкопружності приводить диференціювання в змісті Яуманна-Нолла співвідношень (13), перетворених з урахуванням співвідношень Дюгамеля-Неймана для термопружних середовищ і виразів для тензора напружень Коші

(14)

де - тензор пружних властивостей, - вектори об'ємних деформацій і швидкості їхньої зміни, - вектор швидкості початкових напружень, які відповідають за зміну консервативних складових внутрішніх параметрів стану матеріального контінуума при вязкопружному деформуванні; час релаксації, - модуль релаксації при температурі навколишнього середовища, - коефіцієнт в'язкості, - девіатор деформацій, - вектор напружень -го елемента моделі Максвела, відповідальних за величини по зрушенню для функції релаксації.

Реологічну модель термопружнопластичного тіла представили рівнянням стану неізотермічно деформованого середовища в рамках теорії плину з ізотропним зміцненням і застосуванням вимірів пружного і деформованого станів, певних у відліковій конфігурації

(15)

де - інваріантний тензор четвертого рангу пружнопластичних властивостей матеріалу, - симетричний тензор другого рангу відповідає температурним напруженням, - швидкість зміни температури, - тензор другого рангу, що залежить від напружень, обумовлених зміною властивостей матеріалу від температури; - (параметр Одквіста) неголономний вимір пластичної деформації, - границя течії матеріалу при температурі та зміцненні ; - інтенсивність напружень,

функція пластичного потенціалу асоційована з поверхнею пластичності . Для струмопровідних середовищ із ізотропними властивостями прийняті лінійні залежності між потоками (щільності теплового потоку - і електричного струму - ) та потужностями термодинамічних сил у вигляді законів Фур'є і Ома



(16)

де - узагальнений коефіцієнт теплопровідності; - коефіцієнт електропровідності; і - коефіцієнти, що характеризують термоелектричні ефекти.

Вектори, що характеризують ЕМП, зв'язані визначальними співвідношеннями

(17)

де - діелектрична і магнітна проникність вакууму, - діелектрична і магнітна проникливість середовища.

Математична постановка задачі електротермомеханіки (8)-(17) вимагає задання початкових, а також головних і природних граничних умов для сполучених тіл з об'ємом обмежених поверхнею .

Тензорозначні функції введені для рівнянь балансу ( 8-12) і визначальних рівнянь (13-17) безперервні і мають безперервні часткові похідні необхідного порядку в однорідних середовищах. Для неізотермічного нестаціонарного стану деформованого контінуума сполучених тіл в ЕМП тензорозначні функції і їхні похідні можуть бути сингулярними (мають розриви першого роду) на поверхнях однорідних і неоднорідних середовищ. На практиці найбільше поширення одержали випадки, коли поверхня є поверхнею сполучення неоднорідних середовищ або рухомою поверхнею контактної взаємодії сполучених тіл з однорідними і неоднорідними середовищами. Тут мають місце обмеження для векторів переміщень (швидкостей), а також обмеження та зв'язки нормальних і дотичних зусиль (реакцій) або їхніх питомих величин на поверхнях контакту. Зокрема, кінематичні умови взаємного непроникання в момент часу контактних поверхонь сполучених тіл і із заданим первісним зазором мають вигляд а силові умови мають обмеження нормальної компоненти вектора контактних зусиль на

. (18)

У випадку твердого зчеплення тіл і відносна швидкість зсуву поверхонь контакту двох тіл відсутня. На реалізуються кінематичні умови спільності руху і силових умов у формі третього закону Ньютона (по напруженнях).

Коли умови зчеплення сполучених тіл і з відносно малим зазором у напрямку нормалі до поверхні порушуються

, (19)

, (20)

відбувається відносне переміщення поверхонь контакту . Якщо виконуються нерівності (20), що реалізують умови взаємного проковзування контактуючих поверхонь сполучених тіл, то на відповідній частині поверхні повинні бути задані умови . Для зв'язку між компонентами вектора дотичних і нормальних зусиль на контактній поверхні в більшості випадків справедливий закон Амонтона-Кулона.

Граничні умови для векторів ЕМП на поверхні сполучення середовищ із різними властивостями матеріалу в ейлеровій системі координат випливають безпосередньо з рівнянь електродинаміки. Компоненти векторів ЕМП можуть мати розриви 1-го роду при перетинанні :

При конкретизації крайової задачі припускали, що в об'ємі сполучених тіл кожний із множини нерухомих об'ємів (тіл заданої геометричної конфігурації з нелінійними і лінійними “жорсткістними” зв'язками) має однорідні фізико-механічні властивості та задані поверхні сполучення . Довільний об'єм суцільного середовища із границею може бути рухомим при ЕТМ навантаженні. Для рухомого об'єму із границею і нерухомим об'ємом із границею площа поверхні сполучення (контакту) з нелінійними зв'язками змінна та підлягає визначенню. Триботехнічні умови на рухомі контактній поверхні можуть змінюватися. Для лінійних зв'язків площа поверхні сполучення емпірично відома і у процесі ЕТМ навантаження не змінюється.

При розгляді окремих випадків ЕТМ стану деформованих поверхово сполучених тіл з рухомими елементами розв'язки рівнянь (1)-(24) допускають спрощення. В якості функцій розв'язку для математичної моделі досліджуваних процесів прийняли вектори переміщення , швидкості , температуру , електричний або магнітний потенціали, напруженість магнітного поля .

У третьому розділі приведено опис загальної методики побудови системи дискретних рівнянь крайових контактних задач електротермомеханіки для рухомих нелінійно деформованих тіл, які мають сполучення лінійними та нелінійними зв'язками.

Узагальнений математичний опис крайової нелінійної задачі електротермомеханіки деформованих сполучених твердих тіл (1-24) сформулювали для об'єму



(21)

(22)

(24)

рухомого тіла та нерухомого . Операторне формулювання даної задачі (з головною частиною 1-го порядку) представили у вигляді

(25)

(26)

; (27)

де вектор шуканого розв'язку задачі (25), що задовольняє природним і головним граничним умовам (25), заданим на ділянках граничної поверхні області , умовам сполучення (26) з початковим зазором рівним і величиною жорсткості нелінійних зв'язків рівним на участках при обмеженнях (27), а також початковим умовам (25); вектори, що характеризують взаємодію системи із зовнішнім середовищем; - порядки старших похідних відповідних диференціальних операторів ; - множина в загальному випадку матричних невироджених лінійних диференціальних операторів, позитивно визначених в сепарабельному гільбертовому просторі, - множина в загальному випадку матричних невироджених нелінійних диференціальних операторів узагальнені нелінійні диференціальні оператори, - символ, що означає операції скалярного, векторного або тензорного (діадного) множення.

Операторні співвідношення для термодинамічних умов сполучення (21) у задачах теплопереносу на рухомій контактній поверхні неоднорідних середовищ тіл і представили у формі аналогічній (26). Для задач електродинаміки операторні співвідношення (26) сформулювали щодо компонентів вектора (нормальної або дотичної) напруженості електричного або магнітного поля.

Для побудови чисельних розв'язків початково-крайових задач (25)-(27) застосовували метод Гальоркіна на основі ослабленого формулювання, що використовує кусочно-гладкі локальні базисні функції. Наближений розв'язок задачі електротермомеханіки деформованих твердих тіл (25)-(27), який задовольняє умовам сполучення (26) з обмеженнями (27), граничним і початковим умовами (25), визначили на класі допустимих функцій у вигляді лінійної форми

, (28)

де індекс характеризує прийняту систему функцій розв'язку . Підстановка (28) в (25) дає нев'язки рівні для рівнянь балансу та для граничних умов, а наближений розв'язок (28) в (26) визначає нев'язки для умов сполучення.

Побудову дискретно-гладких локальних базисних функцій МКЕ для сполучених тіл і зв'язків виконували заміною початкової області сукупністю підобластей-елементів , взаємодіючих у скінченному числі вузлових точок для кожного з об'ємів. У межах кожного такого елемента роз'язок, який знаходили представляли у вигляді інтерполянта за вузловими значеннями. При виборі в якості базисних функцій компонент матриці форми елемента і ототожнення базисів розкладання проекційного з ваговим отримали звичайні диференціальні рівняння по часовому аргументі щодо вектора шуканих вузлових амплітуд. В якості вагового базису використовували базисні функції розкладання (28), які задовольняють головним граничним умовам. Вважали, що базисні функції можуть бути різними, але погодженими для сполучених тіл і неузгодженими для зв'язків . В ейлеровій системі координат матричну форму рівнянь для сполучених тіл , і зв'язків з урахуванням подання матеріальної (субстанціональної) похідної шуканого вектора розв'язку як повної похідної по привели до напівдискретної форми

(29)

Тут і - узагальнені матриці диссипації (демпфірування), жорсткості та трансляції ансамблю елементів, які визначаються сумуванням по елементах відповідних величин, - вектор узагальнених вузлових зусиль, - ваговий множник: - для нестаціонарних задач термов'язкопружності, електродинаміки і теплопереносу; - для квазістатичних і стаціонарних задач електротермомеханіки суцільних середовищ.

Систему проекційних рівнянь методу Гальоркіна для сполучених тіл , і зв'язків еквівалентних (11) з урахуванням фазових змін стану матеріалів і масштабних перетворень для величин просторових координат, часу, швидкості в плинний момент часу представили у напівдискретній формі нелінійних рівнянь тепло переносу

, (30)

де - вектори температур, швидкостей температур; - вектор модифікованих теплових навантажень; , - модифіковані матриці демпфірування, трансляції і теплопровідності системи сполучених тіл і зв'язків .

При виводі системи розв'язку поставленої задачі на основі рівнянь електродинаміки (8)-(10) для різних моделей ЕМП сполучених тіл застосовували їхнє перетворення до форми, у якій зберігається величина або (в окремих випадках і виражали через скалярний і векторний магнітні потенціали). Із припущення про лінійність та ізотропію електрофізичних властивостей середовища, справедливому в нормальному температурному діапазоні для більшості неферомагнітних металів і тотожності балансових формулювань для квазістаціонарної моделі ЕМП у задачах електродинаміки (8), (9) і теплопереносу (11) зроблено висновок, що система напівдискретних рівнянь аналогічна (30) може бути застосована для розрахунку нестаціонарних ЕМП в струмопровідних середовищах сполучених тіл.

З метою спрощення математичного аналізу ЕМП для електромеханічних систем (наприклад, ВІК), що складаються з діелектриків і провідників використовували квазісталу модель поля. Змінне у часі ЕМП представили суперпозицією монохроматичних полів у формі ряду Фур'є. Просторово-хвильовий характер ЕМП в об'ємі ВІК буде слабо виражений, якщо глибина проникнення ЕМП і довжина хвилі в кілька разів перевищує характерні розміри ізоляційної конструкції. Для цього випадку вектори магнітної та електричної напруженості змінного ЕМП у ВІК вважали незалежними, а вихровою складовою струму провідності зневажали. З урахуванням зроблених допущень і закону Ома для повного струму стосовно до випадку квазісталих ЕМП в елементах ВІК систему дискретних розв'язків рівнянь Максвелла у формі МСЕ представили у вигляді

, (31)

де - комплекснозначна матриця електромагнітної "жорсткості" системи СЕ; , - комплекснозначні вектори вузлових навантажень і значень електричного потенціалу, що залежить від частоти і часового аргументу. Електропровідність матеріалу в матриці "жорсткості" рівнянь (31).

Системи проекційних рівнянь методу Гальоркіна (30)-(31) для розрахунку ЕТМ процесів у сполучених тілах записані в матричній формі МСЕ. Кожна із шуканих функцій , представлена скінченновимірними векторами з компонентами визначеними в дискретних точках простору розрахункової області сполучених тіл.

Для масивних багатозв'язкових неоднорідних сполучених тіл і з площинною або вісьовою симетрією дискретизацію розрахункової області здійснювали сукупністю підобластей-елементів двох типів, трикутними і чотирикутними вісьосимметричними або плоскими СЕ кусочно-однорідної товщини. Залежно від розглянутої задачі кожний вузол таких СЕ містить один або два ступені свободи вузлів. Поверхні сполучення масивних тіл при наявності лінійних і нелінійних “жорсткістних” зв'язків можуть бути розташовані як на їхній зовнішній границі, так і в довільних перетинах об'ємів тіл. При моделюванні зв'язків використовували різного типу двох- і чотирьохвузлові СЕ з різним числом вузлових ступенів свободи і точним обліком умов сполучення в дискретній моделі контактуючих тіл. Еквівалентні жорсткістні характеристики визначали для кожного типу лінійних і нелінійних зв'язків залежно від типів розглянутих задач.

Для обліку нелінійних зв'язків між контактними поверхнями сполучених тіл і у задачах термомеханіки використовували модель контактного сингулярного шару у вигляді стисливого безтовщинного середовища. Пружні властивості середовища характеризують нормальна і дотична жорсткості контактного шару. Пружини подібно пружній основі Вінклера встановлюють жорсткістні зв'язки між поверхнями сполучення тіл по двох взаємно ортогональних напрямках (по нормалі і дотичній до поверхні). Площі поверхонь сполучення визначаються з розв'язку крайової задачі термомеханіки.

Для обліку термічного опору зв'язків сполучених тіл і також використовували модель сингулярного шару, який характеризується скалярною функцією теплової “жорсткості”.

У задачах термомеханіки і теплопереносу для обліку лінійних “жорсткістних” зв'язків застосовували двохвузлові СЕ балкового типу. Для обчислення компонентів матриці в (31) жорсткістні характеристики лінійних пружних зв'язків (наприклад, у шпильковому з'єднанні масивних фланців) представили у вигляді співвідношень, які отримані з умов на поверхні нерозривності лінійних переміщень і кутів повороту у вузлах СЕ балкового типу з вектором переміщень для дискретної моделі масивних тіл. Умови сполучення різної кількості вузлових невідомих на поверхнях масивних тіл і “жорсткістних” зв'язків (наприклад, теплових труб у технічних пристроях спеціального призначення) враховували безпосередньо в системі рівнянь теплового балансу (31).

Четвертий розділ присвячений опису ефективної чисельної реалізації методики розв'язку крайових контактних задач механіки суцільних середовищ для рухомих нелінійно деформованих та сполучених лінійними і нелінійними зв'язками тіл з діелектричними і струмопровідними властивостями при ЕТС навантаженні.

Реалізація методики і алгоритмів розв'язку даного класу крайових задач здійснена в розробленій автоматизованій інструментальній системі скінченно-елементних розрахунків “ІСКЕР”. Вона складається з наступних основних підсистем:

1) проблемно-орієнтованого графічного редактора FEM-Editor для підготовки геометричної моделі досліджуваного об'єкта;

2) генератора сіток скінченних елементів (ССЕ) FEM-АВТОМКЕ (препроцесор) для побудови дискретних моделей сполучених тіл;

3) підсистеми накладення умов сполучення, граничних і початкових умов BND-Impose (препроцесор);

4) процесорів розв'язку зв'язаних крайових нелінійних контактних задач електротермомеханіки для сполучених тіл з рухомими елементами і нелінійними/лінійними зв'язками (BLU-NDS, VISCO, ASYMP - для задач термовязкопружності і термопружнопластичності, HEAT - для нестаціонарних нелінійних задач теплопровідності і теплопереносу, PRIZ - для задач розрахунку електричних полів в неоднорідних середовищах із діелектричними і струмопровідними ізотропними властивостями, MAGSTAT - для стаціонарних і нестаціонарних задач ЕМП у лінійній або нелінійній постановці з використанням векторного або скалярного магнітних потенціалів);

5) утіліт (блок програм) узгодження параметрів дискретних моделей різних ССЕ і обчислення диференціальних та інтегральних характеристик польових функцій;

6) підсистеми візуалізації результатів розрахунків - FEM-Server (постпроцесор);

7) монітора, що здійснює взаємодію підсистем;

8) бази даних для зберігання результатів розрахунків.

Загальна організація системи “ІСКЕР” та потоки даних між підсистемами. Потоки даних позначені одинарними лініями, керування - подвійними. Побудова геометричної моделі об'єкта дослідження в системі “ІСКЕР” здійснюється власним проблемно-орієнтованим графічним редактором FEM-Editor або в середовищі автоматизованої системи геометричного моделювання (Autocad, Inventor і ін.) з наступним її імпортом. Побудова геометричних моделей досліджуваних об'єктів і їхнє редагування, виконання процедур дискретизації граничних ліній і генерації сіток трикутних і чотирикутних СЕ першого порядку, а також контактних ліній і топологічних даних про зв'язки вузлів на поверхнях сполучення, перенумерації вузлів дискретної моделі проводиться в інтерактивному режимі. На графічному образі об'єкта виконуються процедури підготовки вихідних даних для автоматичної генерації контактних ліній і ліній сполучення, накладення і редагування граничних умов, симетричних і антисиметричних умов зв'язку фізичного процесу для задач електродинаміки, теплопереносу і термомеханіки. Графічна візуалізація числових даних здійснюється на етапах побудови геометричних і дискретних моделей, введення зовнішніх фізичних впливів і обробки результатів розрахунків у вигляді кольорової карти і тривимірних поверхонь досліджуваних функцій, ізоліній та графіків на довільно обраних лініях або перетинах. Монітор системи є ядром системи і забезпечує:

1) організацію діалогового режиму роботи користувача з різними підсистемами;

2) взаємодію і обмін даними підсистем і утіліт, що входять до складу інтегрованого середовища;

3) зберігання параметризованої моделі та довідкової інформації в базі даних;

4) діагностику і обробку помилок у процесі роботи системи.

У процесі розробки ПЗ особливу увагу приділено створенню препроцесорних систем, що дозволяють генерувати дані про дискретні моделі задач в автоматичному та інтерактивному режимах. Реалізовано ефективні методи та алгоритми генерації ССЕ для двовимірних розрахункових областей (плоских перетинів сполучених тіл кусочно-змінної товщини або меридіональних перетинів вісьосиметричных тіл), а також топологічних даних для обліку зв'язків параметрів фізичного процесу на поверхнях сполучення та умов симетрії/антисиметрії шуканого розв'язку. Процедура створення ССЕ в системі “ІСКЕР” включає чотири послідовних етапи:

1) геометричне моделювання;

2) генерація сітки СЕ;

3) оптимізація якості ССЕ;

4) оптимізація числових характеристик ССЕ. Для генерації ССЕ в базових підобластях розроблений оригінальний алгоритм методу вирівнювання-виїмки. IJ-алгоритм застосовується для побудови регулярних ССЕ. Для оптимізації якості ССЕ використовуються алгоритми ітераційної регуляризації координат вузлів сітки і топологічного перетворення СЕ трикутної форми в множину трьохвузлових та чотирьохвузлових СЕ (з урахуванням задоволення критеріїв якості їх геометричних характеристик). Топологічні перетворення не змінюють геометричні координати вузлів раніше згенерованої ССЕ. Чотирикутні елементи також створюються в результаті об'єднання двох сполучених трикутників за топологічними критеріями.

При наявності (за умовами задачі) лінійних і нелінійних зв'язків у топологічній моделі до генерації ССЕ вказуються базові лінії на яких будуть накладені умови сполучення. При моделюванні лінійних і нелінійних зв'язків у задачах електротермомеханіки використовуються різного типу спеціальні двох- і чотирьохвузлові СЕ з різним числом вузлових ступенів свободи. При генерації контактних вузлів і елементів, всі вузли за винятком кінцевих на базових контактних лініях дублюються. Новоутворені контактні вузли, пов'язані з базовими вузлами, мають рівні з ними координати, але інші номери. Для обліку нелінійних зв'язків між контактними поверхнями сполучених тіл здійснюється автоматична генерація топологічно непересічної множини безтовщинних СЕ, площа яких дорівнює нулю. Вони формуються послідовно з пар сполучених вузлів (основного та опозитного) з однаковими координатами на двох контактних лініях. Для обліку лінійних зв'язків сингулярного шару покриттів з відносно малою товщиною на поверхнях сполучених тіл застосовуються двохвузлові СЕ (ДСЕ) відповідного типу. Формування топологічно непересічної множини такого типу СЕ здійснюється за допомогою автоматичного подвоєння вузлів з однаковими координатами на відповідних базових лініях з неоднорідними властивостями матеріалів. Довжини ребер ДСЕ сингулярного шару і ребер СЕ масивних тіл збігаються. На прикладі плоских і вісьосиметричних розрахункових схем елементів роз'ємних арматур для обліку лінійних зв'язків поверхонь сполучення масивних тіл використовуються спеціально розроблені ДCЕ балкового типу. Моделювання лінійних зв'язків у формі теплових труб між двома різними поверхнями сполучення масивних тіл (наприклад, у термодинамічних системах) здійснюється за допомогою ДСЕ стрижневого типу.